用假設(shè)法解決問題(一)

1、用假設(shè)法解決問題（一）河北省平鄉(xiāng)縣大劉莊小學(xué) 李明亮先舉一個簡單的例子：甲班有學(xué)生 45人，乙班比甲班多3人。兩班共有學(xué)生多少解此題的一般方法是，先求出乙班人數(shù)，再求學(xué)生總數(shù)。如果列式為 45X2+3就 是用了假設(shè)法一一假設(shè)乙班也是 45人，則兩班共有45X2=90（A）。但乙班實際人數(shù)比 45人多3人，所以兩班的實際總?cè)藬?shù)比90人多3人。有些數(shù)學(xué)題的數(shù)量關(guān)系不明顯，不容易找到解題的方法。如果我們做一些適當、合理的假設(shè)，就有可能使數(shù)量關(guān)系明顯，從而找到解題的方法。這種解題方法叫做假設(shè)法。假設(shè)的方法有多種，要靈活運用。一、把“缺少”的條件假設(shè)為已知例1.甲、乙、丙三人出了同樣多的錢在糧店買了若干

2、千克大米?；丶液?，乙要的 大米比甲、丙都少6千克，因此，甲、丙都又退給乙 6元錢。每千克大米多少元、分析：不知道三人共買了多少千克大米，也不知道三人各要多少千克，求大米的 單價似乎很難。但是，我們可以假設(shè)大米的數(shù)量。假設(shè)乙要了 1千克大米，則甲、丙都要了 7千克，三人共買了 7+7+1=15 （千克） 每人平均15+ 3=5 （千克）。在糧店，他們平均出錢，每人出的都是 5千克大米的 錢?；丶液?，甲、丙要的大米都比平均數(shù)多 75=2 （千克），所以甲或丙退給乙的 6 元錢就是多要的2千克大米的價錢。乙要的大米比平均數(shù)少 5-1=4 （千克），所以甲 和內(nèi)退給他的12元錢就是少要的這4千克大米的

3、價錢。這樣，就可求出大米的單 價。解法 +7（7+7+ 1） + 3=3 （元）解法 X 2+ （7+7+ 1） + 31=3 （元）本題還可以用下面的方法解（這里只畫出線段圖，分析略）此文原題目為用假設(shè)法解應(yīng)用題，初稿完成于 1993年11月，1994年12月第一次修改，1997年8月第二 次修改。占十*內(nèi)n* I L M1碼Tji i II . .再1 七二 一-6 才 t±A< （創(chuàng)1團）解法+ （6 6X2 + 3） =3 （元）解法 X2+ （6X2 + 3） =3 （元）例2.小王騎車去火車站。他計劃以每小時 15千米的速度行駛，這樣才能正好趕上 火車?？墒?，前一半

4、路程他騎車的速度是每小時12千米。下一半路程他應(yīng)該以多快的速度騎行，才能趕上火車分析與解答：題中只有兩個速度，沒有路程怎樣計算可以假設(shè)路程。假設(shè)路程是30千米，則小王按計劃騎行，需要的時間是 30+15=2 （小時）。前 一半路程他已經(jīng)用了 30+2+12=（小時）；下一半路程他應(yīng)該用的時間是 2 二（小 時），應(yīng)該用的騎車速度是每小時 30 + 2 + =20 （千米）。30 + 2+ （30+ 1530+2+12） =20（千米）答:（略）當然，把路程假設(shè)為3千米、6千米、10千米結(jié)果都是一樣的。把路程假設(shè) 為“1”當作工程問題來解，也很簡便。例3.甲數(shù)的心等于乙數(shù)的5 ,甲數(shù)比乙數(shù)大幾分

5、之幾58分析與解法1.假設(shè)甲數(shù)是25,則甲數(shù)的，是25X3=15。即乙數(shù)的，也是15,乙 數(shù)是 15+ 5=24。8,、1（2524） -24=24解法2.假設(shè)乙數(shù)是1,則甲數(shù)是1X5 + 3=25。85 24（251） + 1 = 2424分析與解法3.假設(shè)甲數(shù)的3與乙數(shù)的5都等于1,則甲數(shù)是1 + 3=芻，乙數(shù)是1 +585 35_8一=o8 5（38）+8=1555 24例4.一次考試，某班學(xué)生的平均分數(shù)為 87分。其中90%的學(xué)生達到了 80分，他 們的平均分數(shù)為89分。80分以下的學(xué)生的平均分數(shù)是多少分析與解答：假設(shè)全班有40人，則達到80分的學(xué)生數(shù)是40X90%=36（人），80

6、分以下的學(xué)生數(shù)為40-36=4 （人）。全班學(xué)生總分為87X40=3480 （分）；達到80分的學(xué)生總分為89X 36=3204 （分）；80分以下的學(xué)生的總分為 3480 3204=276 （分），平均分是 276+4=69 （分）。綜合算式：（87X40-89X40X 90%） + （40-40X 90%） =69 （分）注：如果假設(shè)全班有4人，則解法更簡便。這類問題，似乎都缺少一個重要條件，但問題的答案卻與這個“重要條件”無 關(guān)。所以，無論把這個“重要條件”假設(shè)為多少，都不影響計算結(jié)果，但假設(shè)的數(shù)據(jù) 應(yīng)便于計算。類似問題；. 1I .甲乙二人走同一段路，甲所用的時間比乙短 ,甲的速度比乙

7、快幾分之幾II12.一艘輪船停靠在碼頭，計劃12小時把貨卸完。實際卸貨的速度提高了 ,。實際5幾小時可以卸完3.植樹節(jié)這大，同學(xué)們?nèi)シN樹，平均每人應(yīng)該種 2棵。如果只讓男同學(xué)去種，平 均每人應(yīng)該種3棵。如果只讓女同學(xué)去種，平均每人應(yīng)該種幾棵二、把一般條件假設(shè)為特殊條件例5.一個正方形的面積是20平方分米。在這個正方形內(nèi)畫一個最大的圓，求這個 圓的面積。分析：求圓的面積，一般要先求出圓的半徑。在本題中，如果知道了正方形的邊 長，就可求出圓的半徑，但題中只給了正方形的面積。根據(jù)正方形的面積求邊長，要用開方。對于小學(xué)生來說，只有正方形的面積是4、9、16、25時，才有可能推想出它的邊長。用小學(xué)知識能

8、不能解這道題呢解法1.假設(shè)這個正方形的面積是25平方分米，則它的邊長是5分米。所以，假設(shè) 的這個正方形內(nèi)的最大的圓的直徑是 5分米，面積是（5） 2x=（平方分米）2而原正方形面積是假設(shè)的這個正方形面積的 20，所求的圓的面積也應(yīng)該是假設(shè)的25這個圓面積的2002520、，*25=（平萬分米）解法2.假設(shè)正方形的邊長是20分米，則它里面最大的圓的直徑也是 20分米，面積是（空）2X=314 （平方分米）。把面積20平方分米的正方形假設(shè)為邊長 20分米，2面積就擴大了 20倍，它里面最大的圓的面積也就擴大了 20倍。所以，所求的圓的面 積是314 + 20=（平方分米）:此題不用假設(shè)法也可以解。

9、如圖，把正方形平均分成4個小正方形，每個小正方形的面積都是 20 + 4=5 （平方分米），即r2=5.所以圓的面積是S=tt r2=x 5=（平方分米）類似習(xí)題：1 .把一個面積是平方分米的圓形紙片剪成一個最大的正方形。求這個正方形紙片 的面積。2 .一個正方體的體積是9立方分米，另一個正方體的棱長是它的 2倍。求另一個 正方體的體積。三、把帶“鈴鐺”的分率（倍數(shù)）假設(shè)為不帶“鈴鐺”有些問題，給出的兩個數(shù)量間的倍數(shù)關(guān)系后面帶著具體數(shù)量，我們稱之為分率 （倍數(shù)）帶“鈴鐺”。可以假設(shè)法（當然，也可以用用畫圖的方法）把數(shù)量進行調(diào) 整，使分率（倍數(shù)）不帶“鈴鐺”。例6.工人師傅加工一批零件，第一天加

10、工了全部零件的 1多4個，第二天加工了3全部零件的1少1個，還剩16個每加工。這批零件共多少個2分析與解答：假設(shè)第一天正好完成了全部零件的1 ,那么剩下的（沒加工的）零3件就會多4個；假設(shè)第二天正好完成了全部零件的 1,那么剩下的就會少1個。于2是，原題的條件就變成了 “第一天加工了全部零件的 1 ,第二天加工了全部零件的311,還乘U （ 16+441）個沒加工。2（16+4 1） + （1 1 1） =114（個） 32答:（略）例7.甲、乙、丙.丁四個數(shù)的和是 202,乙數(shù)比甲數(shù)多1,丙數(shù)比甲數(shù)的2倍少2, 丁數(shù)比甲數(shù)的一半多1.求這四個數(shù)。2分析與解：假設(shè)乙數(shù)等于甲數(shù)，內(nèi)數(shù)正好是甲數(shù)的

11、 2倍，丁數(shù)正好是甲數(shù)的一半，則四個數(shù)的和將是（2021+2-）。由此可求出甲數(shù)，進而求出另外三數(shù)。211甲數(shù)(2021+21) + ( 1 + 1 + 2+1) =4522乙數(shù) 45+1=46內(nèi)數(shù) 45X 22=88丁數(shù) 45+ (1 + 1+2+1) +=23 22例8.學(xué)校買來三種新書共100本，其中文藝書是科技書的3倍，畫冊比科技書 的一半少8本。這三種書各買來多少本解（分析略）：（ 100+8） + （ 3+1 + -） =24 （本）（科技書）224X3=72 (本)（文藝書）24 28=4 （本）（畫冊）解法 2 （分析略）：（100+8） + （2+1 + 2X3） =4 （本

12、）（畫冊）（4+8） X 2=24 （本）（文藝書）24 3=72 （本）（文藝書）例9.水果店有535千克橘子，第一天賣出8筐又17千克，第二天賣出5筐又11 千克，還剩195千克。每筐橘子的重量相等。第一天賣出多少千克解（分析略）：每筐橘子有多重（5351951711）+ （8 + 5） =24 （千克）第一天賣出多少千克24X8+17=209 （千克）類似習(xí)題：1 .師徒二人加工一批零件。徒弟加工了 92個，超額15%先成了自己的任務(wù)。他 的任務(wù)比師傅任務(wù)的3多32個。師傅加工零件的任務(wù)是多少個42 .車站倉庫里原有煤若干噸。第一次運出的比存煤的一半少350噸，第二次運出現(xiàn)有煤的一半有5

13、0噸，結(jié)果還剩500噸。倉庫里原有煤多少噸3 .小明有人民幣若干元。買書用去其中的一半又 5角，買文具用去剩下的一半又5角，買本又用去第二次剩下的一半又 5角，最后還剩5角。小明原有多少元四、虛構(gòu)、改編情節(jié)例10.一個班有48人。班主任在班會上問：誰做完語文作業(yè)請舉手。有 37人舉手。又問：誰做完數(shù)學(xué)作業(yè)請舉手。有 42人舉手。最后問：誰語文、數(shù)學(xué)作業(yè)都沒 做完沒有人舉手。你想想看：這個班語文、數(shù)學(xué)作業(yè)都做完的有多少人_A. .分析與解法1.全班做完語文數(shù)學(xué)作業(yè)的分別有 37人和42人，沒有兩種作業(yè)都沒 做完的。假設(shè)全班學(xué)生都正好做完了一種作業(yè)，那么全班應(yīng)該有79人（37+42=79）。但實際

14、上全班只有48人，假設(shè)的人數(shù)比實際人數(shù)多 31人（79 48=31）。為什么會多出31人是因為這31人都舉了兩次手。37+42 48=31 （人）分析與解法2.已知有37人做完了語文作業(yè)。假設(shè)全班 48人都做完了數(shù)學(xué)作 業(yè)，那么做完語文作業(yè)的37人就是兩種作業(yè)都做完的人數(shù)。但是，實際做完數(shù)學(xué)作 業(yè)的只有42人，比假設(shè)的48人少6人。所以，兩種作業(yè)都做完的也應(yīng)該比 37人少6 人。37 (4837) =31 (人)分析與解法3.有37人做完了語文作業(yè)。假設(shè)全班48人都正好做完了一種作 業(yè)，沒有人做完兩種作業(yè)，則做完數(shù)學(xué)作業(yè)的應(yīng)該是11人（48 37=11） o但實際做完數(shù)學(xué)作業(yè)的有42人，比假設(shè)

15、的11人多31人（4211=31）。這31人既做完了數(shù) 學(xué)作業(yè)，又做完了語文作業(yè)。42 (4837) =31 (人)分析4.假設(shè)班主任不是讓學(xué)生舉手，而是讓做完作業(yè)的學(xué)生交作業(yè)本一一把語 文、數(shù)學(xué)作業(yè)本各擺一行，并且同一學(xué)生的兩個作業(yè)本的兩個作業(yè)本上下對齊擺放 （如下圖）。這樣，只要數(shù)一數(shù)作業(yè)本數(shù)，就可以知道做完作業(yè)的人數(shù)。但是，兩種作業(yè)的總 本數(shù)比全班人數(shù)多，因為兩種作業(yè)都做完的學(xué)生都交了兩個本。如果再讓全班每個學(xué) 生都拿回去一個本（共拿回去 48本），就只剩下兩種作業(yè)都做完的人的作業(yè)本了（兩種作業(yè)都做完的人，每人剩一本擺在那里）。這樣就可得到解法 1。從上圖中也可以得到解法2、解法3,還可

16、以得到解法4解法 4. 48 （4837） （4837） =31 （人）注：上面的四種解法都可以用其他思考方法得到例11.一人騎摩托車從A城去B城。若以每小時30千米的速度行駛，他將遲到2 小時；若以每小時48千米的速度行駛，他將早到1小時。AB兩城相距多少千米要準 時到達，每小時該行多少千米分析1.從A城出發(fā)，以每小時30千米的速度行駛，要遲到2小時，即到既定時 刻離B城還有60千米的路程（30X2=60）;以每小時48千米的速度行駛，將早到1 小時。假設(shè)他以每小時48千米的速度行駛到B城后沒有停下，而是又向前行了 1小 時，到既定時刻才停下。用相同的時間，用兩種速度行駛的路程相差108千米

17、（60+48=108）。由此可求出行駛的時間，進而就可求出兩地距離和應(yīng)有的速度。解法1.從出發(fā)到既定時刻是幾小時（30X 2 + 48X 1） +（4830）=6（小時）AB兩城相距多少千米30X （6 + 2） =240 （千米）或 48X （6 1） =240 （千米）要準時到達，每小時該行多少千米240+ 6=40 （千米）分析2.假設(shè)有兩個人分別以每小時30千米和每小時48千米的速度，同時從A 城出發(fā)駛向B城。當快車提前1小時到達B城時，慢車距B城還有2+1=3小時的路 程，即快車比慢車多行了 30X3=90千米。由此可求出快車到達 B城所用的時間。解法2.每小時行駛48千米，幾小時可

18、到達30X （2+1） +（48 30）=5仆時）AB兩城相距多少千米48X5=240 （千米）要準時到達，每小時該行多少千米240+ （5+1） =40 （千米）解法3 （分析略）.每小時行駛30千米，幾小時可到達48X （2+1） +（48 30）=8仆時）AB兩城相距多少千米30 X 8=240 （千米）要準時到達，每小時該行多少千米240+ （8 2） =40 （千米）例12.一項工作，甲單獨做40天可以完成，乙單獨做60天可以完成。二人合 作，甲因病休息了幾天，他們共用了 27天才完成。問：甲中途休息了幾天分析：甲乙合作，每天可完成這項工作的 +=.假設(shè)甲中途沒有休息，甲40 60

19、24乙合作27天，可完成這項工作的 X 27=9，超過任務(wù)的-0甲幾天可以完成這項工2488作的1呢8解：(1 +工)X27 1+1=5 (天) 40 6040答：（略）。本題的另外幾種解法:(1) 27(1 27)+ 工=5 (天) 6040(2)把甲的工效設(shè)為 “ 1”:27 (1X4040X27)+1=5 (天)60(3)把乙的工效設(shè)為 “ 1” ： 27-(1X601X27)+ 60=5 (天)40(4) (1+40) X271 X40 + 1=5 (天)60(1 + 60) X 27-1 X60-60=5 (天)4040例13.食堂有面粉和大米共168千克。一天用去了面粉的1和大米的

20、，一共用 43去48千克。面粉和大米原來各有多少千克分析1.一天用去了面粉的1和大米的1 （共48千克）。假設(shè)連用3天，則大米 43將正好用完，面粉應(yīng)該還剩11 X 3=1。連用3天，共用去面粉和大米48X3=144 44（千克）。還剩168144=24 （千克）。這24千克都是面粉（是原來面粉重量的解法 1. （168-48X3） + （ 1X3） =96 （千克）（面粉）4168- 96=72 （千克）（大米）分析2.假設(shè)連用4天，則面粉將正好用完，面粉就會缺 1X41=1。連用4 33天,共應(yīng)該用面粉和大米 48X4=192 （千克），比總數(shù)還多192168=24 （千克）。這24千克正

21、好是原來大米重量的103 1解法 2. （48X4-168） + （ 1 X4-1） =72 （千克）（大米）3168- 72=96 （千克）（面粉）注：本題還有其他假設(shè)解法例14.一個化肥廠計劃14天完成一項任務(wù)。由于每天多生產(chǎn)噸，結(jié)果 9天就完 成了任務(wù)。原計劃每天生產(chǎn)多少噸分析1.假設(shè)有甲乙兩個廠分別按這個廠計劃的效率和實際的效率進行生產(chǎn)。則當 按實際的效率（每天比甲廠多生產(chǎn)噸）生產(chǎn) 9天完成任務(wù)時，乙廠比甲廠共多生產(chǎn)噸 （X9=）。這時，甲廠還需再生產(chǎn)5天才能完成任務(wù)。由此可求出甲廠每天生產(chǎn)多少噸 （計劃每天生產(chǎn)多少噸）.解法 1. X9+ （149）=（噸）解法2 （分析略）.X 1

22、4+ （ 149）=（噸）例15.雞和兔共43只，它們共有120條腿。雞和兔各有多少只分析與解法1.假設(shè)把雞和兔都砍掉2條腿，則43只雞和兔就會被砍掉86條腿（2 X 43=86）,只剩下34條（12086=34）。這34條都是兔腿，因為雞都沒了腿。每只兔 只剩2條腿，所以有17只兔。兔（120 2X43） +（42）=17（只）雞43-17=26（只）分析與解法2.假設(shè)每只雞也都有了 4 條腿(都又“長”出來2 條)，則 43只雞和兔一共應(yīng)該有172條腿(43X4=172)。所有的雞一共“長”出了 52條腿(172120=52)。每只雞都“長”出來了2 條腿，是多少只雞“長”出來52 條腿呢雞(4X43-120) +(42)=26(只)兔43-26=17(只)分析與解法3.假設(shè)把每只雞和兔都砍掉一半數(shù)量的腿(每只雞只剩一條腿，每只兔剩2條腿，則43只雞和兔一共剩下60條腿( 120 + 2=60)。每只雞和兔都有一個 頭。把每只雞和兔都砍掉一半數(shù)量的腿后，雞的腿數(shù)和頭數(shù)同樣多，而每只兔的腿數(shù)都比頭數(shù)多 1?，F(xiàn)在， 43 只雞和兔共有43 個頭、 60 條腿，腿數(shù)比頭數(shù)