中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)動點問題

1、模式1:平行四邊形 分類標準：討論對角線例如：請在拋物線上找一點p使得A、B、C、P四點構(gòu)成平行四邊形，則可分成以下幾種情況(1)當邊AB是對角線時，那么有 AP/BC(2)當邊AC是對角線時，那么有 AB/CP(3)當邊BC是對角線時，那么有 AC/BP例題1：(山東省陽谷縣育才中學(xué)模擬10)本題滿分14分)在平面直角坐標系中，已知拋物線經(jīng)過 A(-4 , 0), B(0, -4), 0(2, 0)三點.(1)求拋物線的解析式；(2)若點M為第三象限內(nèi)拋物線上一動點，點M的橫坐標為 m, AAMB的面積為S求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出 S的最大值；(3)若點P是拋物線上的動點，點Q是直線y

2、=x上的動點，判斷有幾個位置能使以點P、Q、B、0為頂點的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應(yīng)的點Q的坐標.練習(xí)：如圖1,拋物線yx2 2x 3與x軸相交于A、B兩點(點A在點B的左側(cè))，與y軸相交于點C,頂點為D.(1)直接寫出A、B、C三點的坐標和拋物線的對稱軸；(2)連結(jié)BC,與拋物線的對稱軸交于點E,點P為線段BC上的一個動點，過點 P作PF/DE交拋物線于點F,設(shè)點P的橫坐標為m.用含m的代數(shù)式表示線段 PF的長，并求出當 m為何值時，四邊形 PEDF為平行四邊形?設(shè)4BCF的面積為S,求S與m的函數(shù)關(guān)系.模式2 :梯形分類標準：討論上下底例如：請在拋物線上找一點 p使得A、B、C、P四

3、點構(gòu)成梯形，則可分成以下幾種情況(1)當邊AB是底時，那么有 AB/PC(2)當邊AC是底時，那么有 AC/BP(3)當邊BC是底時，那么有BC / AP例題2:已知，矩形OABC在平面直角坐標系中位置如圖1所示，點A的坐標為(4,0),點C的2坐標為(0, 2),直線y-x與邊BC相交于點D.3求點D的坐標；2(2)拋物線y ax bx c經(jīng)過點A、D、O,求此拋物線的表達式；(3)在這個拋物線上是否存在點M,使O、D、A、M為頂點的四邊形是梯形？若存在，請求出所有符合條件的點 M的坐標；若不存在，請說明理由.$練習(xí)：已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A (2, 0)、C(0, 12)兩點，且對稱軸為直

4、線 x= 4,設(shè)頂點為點P,與x軸的另一交點為點 B.(1)求二次函數(shù)的解析式及頂點 P的坐標；(2)如圖1,在直線y=2x上是否存在點 D,使四邊形 OPBD為等腰梯形？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由；(3)如圖2,點M是線段OP上的一個動點(O、P兩點除外)，以每秒 七5個單位長度的速度由點P向點O運動，過點 M作直線 MNx軸，交PB于點N. 將4PMN沿直線 MN對折，得到PiMN.在動點M的運動過程中，設(shè) ARMN與梯形OMNB的重疊部分的面積為S,運動時間為t秒，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式.模式3 :直角三角形分類標準：討論直角的位置或者斜邊的位置例如：請在拋物線上找一點

5、p使得A、B、P三點構(gòu)成直角三角形，則可分成以下幾種情況(1)當 A為直角時，AC AB(2)當 B為直角時，BC BA(3)當 C為直角時，CA CB例題3：如圖1,已知拋物線 y=x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(點A在點B左側(cè))，與y 軸交于點C(0, 3),對稱軸是直線x=1,直線BC與拋物線的對稱軸交于點 D.(1)求拋物線的函數(shù)表達式；(2)求直線BC的函數(shù)表達式；(3)點E為y軸上一動點，CE的垂直平分線交 CE于點F,交拋物線于 P、Q兩點，且點P在 第三象限.當線段pq 3 AB時，求tan/CED的值；4Word資料P的坐標.當以C、D、E為頂點的三角形是直角三角形時，請

6、直接寫出點練習(xí)：如圖1,直線yx軸、y軸的交點分別為B、C,點A的坐標是(-2 ,(1)試說明4ABC是等腰三角形;(2)動點M從A出發(fā)沿x軸向點B運動，同時動點 N從點B出發(fā)沿線段BC向點C運動，運動的速度均為每秒1個單位長度.當其中一個動點到達終點時，他們都停止運動.設(shè) M運動t秒時，AMON的面積為S.求S與t的函數(shù)關(guān)系式； 設(shè)點M在線段OB上運動時，是否存在 S= 4的情形？若存在，求出對應(yīng)的 t值；若不存在請說明理由；在運動過程中，當 AMON為直角三角形時，求t的值.模式4 :等腰三角形分類標準：討論頂角的位置或者底邊的位置例如：請在拋物線上找一點 p使得A、B、P三點構(gòu)成等腰三角

7、形，則可分成以下幾種情況(1)當 A為頂角時，AC AB(2)當 B為頂角時，BC BA(3)當 C為頂角時，CA CB例題4：已知：如圖1,在平面直角坐標系 xOy中，矩形OABC的邊OA在y軸的正半軸上，OC在x軸的正半軸上， OA=2, OC=3,過原點 O作/AOC的平分線交 AB于點 D,連接DC,過點D作DE，DC,交OA于點E.(1)求過點E、D、C的拋物線的解析式；(2)將/EDC繞點D按順時針方向旋轉(zhuǎn)后，角的一邊與y軸的正半軸交于點 F,另一邊與線一. 、一 ，一 一，6 段OC交于點G.如果DF與(1)中的拋物線交于另一點 M,點M的橫坐標為一，那么EF=52GO是否成立？

8、若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；Q,使得直線GQ與(3)對于(2)中的點 G,在位于第一象限內(nèi)的該拋物線上是否存在點AB的交點P與點C G構(gòu)成的4PCG是等腰三角形？若存在，請求出點 Q的坐標；若不存在成立，請說明理由.練習(xí)：(2012江漢市中考模擬) 已知拋物線 y = ax2 + bx+c(a>0)經(jīng)過點 R12, 0)和C(0,6),對稱軸為x=2.(1)求該拋物線的解析式.(2)點D在線段AB上且AD=AC,若動點P從A出發(fā)沿線段 AB以每秒1個單位長度的速度勻速運動，同時另一個動點 Q以某一速度從 C出發(fā)沿線段CB勻速運動，問是否存在某一時刻，使線段PQ被直線CD垂直

9、平分？若存在，請求出此時的時間t(秒)和點Q的運動速度；若存在，請說明理由.(3)在(2)的結(jié)論下，直線 x= 1上是否存在點 M,使 MPQ為等腰三角形？若存在，請求出所有點M的坐標；若不存在，請說明理由.模式5 :相似三角形突破口：尋找比例關(guān)系以及特殊角 例題5:(據(jù)荊州資料第 58頁第2題改編)在梯形 ABCD中，AD/ BC, BAXAC, / B =45°, AD = 2 , BC = 6,以BC所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，點A在y軸上。(1) 求過A、D、C三點的拋物線的解析式。(2) 求4ADC的外接圓的圓心 M的坐標，并求。M的半徑。(3) E為拋物

10、線對稱軸上一點，F(xiàn)為y軸上一點，求當 ED+EC+ FD+ FC最小日EF的長。(4) 設(shè)Q為射線CB上任意一點，點 P為對稱軸左側(cè)拋物線上任意一點，問是否存在這樣的點P、Q,使得以P、Q、C為頂點的與 ADC相似？若存在，直接寫出點P、Q的坐標，若不存在，則說明理由。模擬題匯編之動點折疊問題21. (2012深圳模擬)(本題 12分)已知二次函數(shù) y x bx c與x軸交于A( 1, 0)、B(1, 0)兩點.(1)求這個二次函數(shù)的關(guān)系式；(2)若有一半徑為r的。P,且圓心P在拋物線上運動，當。 P與兩坐標軸都相切時，求半徑r的值.(3)半徑為1的。P在拋物線上，當點 P的縱坐標在什么范圍內(nèi)

11、取值時，O P與y軸相離、相交？22.如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù) y x bx c的圖象與x軸父于A、B兩點，A點 在原點的左側(cè)，B點的坐標為(3, 0),與y軸交于C (0,-3)點，點P是直線BC下方的拋 物線上一動點.(1)分別求出圖中直線和拋物線的函數(shù)表達式；(2)連結(jié)PO、PC,并把APOC沿C O翻折，得到四邊形 POP'C,那么是否存在點 P,使四 邊形POPC為菱形？若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由.y=kx+b, 0=3k-3, k=1,y=x-3 1分將B、C兩點的坐標代入得:3b c 0b 2,解得：c 3c 3解：將B、C兩點的坐標代所

12、以二次函數(shù)的表達式為：y x2 2x 3 .(2)存在點P,使四邊形/2POP C為菱形設(shè)P點坐標為(x, x2x 3),PP,交CO于E若四邊形POP/C是菱形，則有PC= PO.5.分/連結(jié) PP 貝U PE± CO 于 E,3OE=EC= 2. . y = 3. x2 2x 3= - 6分222.10（不合題意，舍去）210解得 Xi= , X2 =2.P點的坐標為（-50,3） 9分223. （2012江西模擬）已知拋物線y x2 3x 4交y軸于點A,交x軸于點B,C （點B在點CP,過點P作直的右側(cè)）.過點A作垂直于y軸的直線1.在位于直線l下方的拋物線上任取一點 線PQ

13、平行于y軸交直線1于點Q.連接AP.（1）寫出A, B, C三點的坐標;（2）若點P位于拋物線的對稱軸的右側(cè):如果以A, P, Q三點構(gòu)成的三角形與 AOC相似，求出點P的坐標;若將 APQ沿AP對折，點Q的對應(yīng)點為點在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由M是否存在點 P,使得點 M落在x軸上若存4. （2012 安慶模擬）在直角梯形 ABCD 中，/ B=90°, AD= 1 , AB=3, BC= 4, M、N 分別是底邊BC和腰CD上的兩個動點，當點 M在BC上運動時，始終保持 AMMN、NP±BC.（1）證明： CNP為等腰直角三角形；（2）設(shè) NP= x,當 A

14、BMA MPN 時，求 x 的值；（3）設(shè)四邊形 ABPN的面積為y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出x取何值時，四邊形ABPN的面積最大，最大面積是多少.解：(1)過D作DQLBC于Q,則四邊形 ABQD為平行四邊形 DQ=AB=3, BQ=AD=1. QC=DQ ADQC 中/C=/QDC=45.RtNPC 為等腰 RtA (4 分) .VABMVMPN MP=AB=3, BM=NPNPC 為等腰 RtA”，1PC=NP= xBM=BC MP PC=1 x1- x= xx=2_ .1(8分)x+6=1( x-1 )+6.125(11 分).當 VABM VMPN 時，x = 1 2c111

15、 21(3)S四邊形ABPN = _ (AB+NP) BP=- (3+ x)(4 x)= - x +-，當x取1時，四邊形ABPN面積最大，最大面積為 6.125. （14分）25. （2012寶應(yīng)模擬）在直角坐標系中，O為坐標原點，點 A的坐標為（2, 2）,點C是線段OA上的一個動點（不運動至 O, A兩點），過點 C作CDx軸，垂足為D,以CD為邊在右側(cè)作正方形CDEF.連接AF并延長交x軸的正半軸于點 B,連接OF,設(shè)OD = t. 求tan/FOB的值；用含t的代數(shù)式表示 OAB的面積S;是否存在點 C,使以B, E, F為頂點的三角形與 OFE相似，若存在，請求出所有滿足要求的B點

16、的坐標；若不存在，請說明理由.(1)作AH，x軸于H,交CF于P A(2,2) AH=OH=2 / AOB=45 .CD=OD=DE=EF= t . tan FOB 12t 2(2)CF/ OB ACFA AOBAP CF B 2 t t一 即AH OB 2 OB OB2t2 t12t Soab -OB AH (0 t 2)22 t6分(3)要使 BEF與OFE 相似，F(xiàn)EO=/FEB=90°，只要OEEBEF OEEF EFEFEB1即：BE 2t或 EB -t2當 BE 2t 時，BO 4t,2t,八人，3 4t t 0(舍去)或 t 一 ，B(6,0)2 t2_ ,1當EB -

17、t時，2 5(i)當B在E的右側(cè)時QB OE EB -t,28 ,分t0（舍去）或t6一 B(3,0)510,分（ii）當B在E的左側(cè)時，如圖，OB OEEB -t,22t32-t t 0(舍去)或t 2 t23B(1,0)12分6. （2012廣東預(yù)測）（本小題滿分12分）如圖,拋物線的頂點坐標是2且經(jīng)過點A(8,14).（1）求該拋物線的解析式;（2）設(shè)該拋物線與y軸相交于點B ,與x軸相交于C、D兩點（點C在點D的左邊）試求點B、C、D的坐標;設(shè)點P是x軸上的任意一點，分別連結(jié)AC、試判斷：PA PB與AC BC的大小關(guān)系，并說明理由2解：（1） （ 4分）設(shè)拋物線的解析式為1 .分;拋

18、物線經(jīng)過A(8,14) , . 14= a2.分2)B(0,2)9 (或y8(2) (4 分)人，口 125令 y 0 得一x x 2 0 ,解得 x11、x242分22C(1,0)、D(4,0) 1分(3) (4 分)結(jié)論：PA PB AC BC 1分理由是：當點P與點C重合時，有PA PB AC BC 1分當點P異于點C時，直線AC經(jīng)過點A(8,14)、C(1,0) , 直線AC的解析式為y 2x 2 3分設(shè)直線AC與y軸相交于點E ,令x 0,得y 2 , E(0, 2),則點E(0, 2)與B(0,2)關(guān)于x軸對稱BC EC ,連結(jié) PE,則 PE PB ,AC BC AC EC AE

19、 , .在 APE 中，有 PA PE AE PA PB PA PE AE AC BC1分綜上所得AP BP AC BC1-分7.如圖，已知二次函數(shù) y= x2+bx+c的圖象經(jīng)過 A(-2, 1), B(0,7)兩點.(1)求該拋物線的解析式及對稱軸;(2)當x為何值時，y> 0?(3)在x軸上方作平行于 x軸的直線l,與拋物線交于C、D兩點(點C在對稱軸的左側(cè)),過點C、D作x軸的垂線，垂足分別為求C點的坐標.解：解：把A(2, 1), 口0,7)兩點的坐標代入y= x2+ bx+ c,得一4 一2b+c= 1c= 7b= 2,解得c= 7所以，該拋物線的解析式為 y=-x2+2x+

20、 7,又因為y= - x2+ 2x+ 7 = - (x- 1)2+8,所以對稱軸為直線x= 1.(2)當函數(shù)值y = 0時，-x2+2x+7=0 的解為 x= 1i2 5結(jié)合圖象，容易知道 1 2 42Vx<1 +2 回寸,y>0.(3)當矩形CDEF為正方形時，設(shè) C點的坐標為(m, n), 則門=m?+2m+7,即 CF= m?+2m+7.因為C、D兩點的縱坐標相等，所以C、D兩點關(guān)于對稱軸x= 1對稱，設(shè)點D的橫坐標為p,則1 m = p 1,所以 p = 2m,所以 CD= (2 m)m= 2 2m.因為 CD=CF,所以 22m = m2+2m+7,整理，得m2- 4m-

21、5 = 0,解得m = - 1或5.因為點C在對稱軸的左側(cè)，所以 m只能取一1.當m = - 1時，n=- m2+ 2m + 7= ( 1)2+2X(1)+7 = 4.于是，點C的坐標為(-1,4).8.如圖，在 ABC中，已知 AB=BC=CA=4cm, AD ± BC于D,點P、Q分別從 B、C兩點同時出發(fā)，其中點 P沿BC向終點C運動，速度為1cm/s ;點Q沿CA、AB向終點B運動，速度為2cm/s ,設(shè)它們運動的時間為x(s)。 求x為何值時，PQXAC; 設(shè)4PQD的面積為y(cm13 2 1. DP= 2-x,y= 2 PD QH = 2 (2-x)#3x= x +),

22、當0vxv2時，求y與x的函數(shù)關(guān)系式； 當0vxv2時，求證：AD平分 PQD的面積；(4)探索以PQ為直徑的圓與 AC的位置關(guān)系，請寫出相應(yīng)位置關(guān)系的x的取值范圍(不要求寫出過程)。AQBP DC解：當 Q在AB上時，顯然 PQ不垂直于 AC。當Q在AC上時，由題意得： BP= x, CQ=2x, PC= 4x,-.AB= BC= CA = 4, / C= 600,若 PQAC,則有/ QPC=30°,PC=2CQ .4x=2X2x, 1. x= ,5 當 x=4 (Q 在 AC 上)時，PQXAC; 5 當0vx<2時，P在BD上，Q在AC上，過點 Q作QHBC于H, .

23、/C= 60°, QC = 2x, . QH = QCKin60°=*x11 . AB = AC, ADXBC,，BD=CD = 2 BC=2 當 0vxv2 時，在 RtQHC 中，QC = 2x, /C= 600,，HC = x, . BP= HC,. BD=CD, .1. DP=DH,2 . ADXBC, QHXBC, ，AD/QH,3 .OP=OQSa pdo= Sa dqo,4 .AD平分 PQD的面積；(4)顯然，不存在x的值，使得以PQ為直徑的圓與 AC相離當x=4或暫時，以PQ為直徑的圓與 AC相切。 55當0Wxv/或xv-或uvxw 4時，以PQ為直徑的

24、圓與 AC相交。 5 5559.已知拋物線yx . a ： b = 1 ： 5,設(shè) 0A a ,即 x1 2(k 1)x k 2與x軸交于A、B兩點，且點 A在x軸的負半軸上，點B在x軸的正半軸上.(1)求實數(shù)k的取值范圍；(2)設(shè)OA、OB的長分別為a、b,且a ： b=1 ： 5,求拋物線的解析式；(3)在(2)的條件下，以 AB為直徑的OD與y軸的正半軸交于 P點，過P點作。D的切線交x軸于E點，求點E的坐標。解：(1)設(shè)點 A ( x1, 0) , B ( x2 , 0)且滿足 x1<0< x2由題意可知x1 x1k 20 ,即k 2a 貝u OB 5a 即 x2 5a a

25、 0Xix2XiX2a 5a 4aa 5a 5a22 k 1 4ak 2 5a2(3)由(2)可知，當 x2 4x即 A ( 1, 0) , B (5, 0)當PE是。D的切線時，PE± PD2由 RtDPOsRt DEP 可得 PD2DE即 32 DE.10.如圖，拋物線 y=ax2+c (a> 0)中 A ( 2,0) , B ( 1, -3).(1)求拋物線的解析式；(2)點M為y軸上任意一點，當點標；32a2 二，k 2a 1 ,即 5a 2a 3 0 解得 41 ,5 （舍去） k 3，拋物線的解析式為y x2 4x 55 0時，可得 x11 , x2 5.AB=6,

26、則點D的坐標為(2,0)OD DE992 ,故點E的坐標為(2,0)經(jīng)過梯形 ABCD的四個頂點，梯形的底 AD在x軸上，其M到A、B兩點的距離之和為最小時，求此時點M的坐(3)在第(2)問的結(jié)論下，拋物線上的點P使Sa pad=4S/ abm成立，求點P的坐標.解：(1)、因為點A、B均在拋物線上，故點 A、B的坐標適合拋物線方程4a c 0a 12解之得：；故丫 x 4為所求 4分a c 3c 4(2)如圖2,連接BD,交y軸于點M,則點M就是所求作的點2k b 0k 1b 2'故BD的解析式為y x 2 ;令x 0,則y2 ,故 M （0, 2）設(shè)BD的解析式為y kx b ,則有k b 3AMB 90(3)、如圖3,連接AM, BC交y軸于點N,由(2)知，OM=OA=OD= 2,易知 BN=MN= 1, 易求 AM 2*5, BM J2Svabm - 2也 <2 2；設(shè) P（x,x2 4）, 2依題意有：；ADgx2 4| 4 2,即：4 4gx2 4| 4 2解之得：x 2a x 0,故 符合條件的P點有三個：P（2也 4）,P2（ 2也,4）,P