2數(shù)學(xué)歸納法-簡(jiǎn)單難度-講義_第1頁(yè)
2數(shù)學(xué)歸納法-簡(jiǎn)單難度-講義_第2頁(yè)
2數(shù)學(xué)歸納法-簡(jiǎn)單難度-講義_第3頁(yè)
2數(shù)學(xué)歸納法-簡(jiǎn)單難度-講義_第4頁(yè)
2數(shù)學(xué)歸納法-簡(jiǎn)單難度-講義_第5頁(yè)
免費(fèi)預(yù)覽已結(jié)束,剩余8頁(yè)可下載查看

下載本文檔

版權(quán)說(shuō)明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請(qǐng)進(jìn)行舉報(bào)或認(rèn)領(lǐng)

文檔簡(jiǎn)介

1、數(shù)學(xué)歸納法齒?知識(shí)講解一、數(shù)學(xué)歸納法的定義定義:對(duì)于某些與自然數(shù)n有關(guān)的命題常常采用下面的方法來(lái)證明它的正確性:先證明當(dāng)n一,一 ,一 . 一 一. * . -取第一個(gè)值no時(shí)命題成立;然后假設(shè)當(dāng)n k(k N ,k>n0)時(shí)命題成立,證明當(dāng)n k 1命題也成立.這種證明方法就叫做數(shù)學(xué)歸納法.二、數(shù)學(xué)歸納法的基本思想基本思想:數(shù)學(xué)歸納法是完全歸納法的一種.它是一種歸納一一演繹的推理方法.數(shù)學(xué)歸納法的理論依據(jù)是 自然數(shù)歸納原理”:設(shè)A(n)表示關(guān)于自然數(shù)n的一命題,如果滿足條件:(i)A(1)正確;(ii)假設(shè)A(k)成立,推斷A(k+1)也成立、那么A(n)對(duì)一切自然數(shù)n都成立.其中第(

2、i)是驗(yàn)證,它是證明的基礎(chǔ);第(ii)是以假設(shè)A(k)成立,通過(guò)演繹推理,推證出 A(k+1)也正確.即先驗(yàn)證使結(jié)論有意義的最小的正整數(shù)n0,如果當(dāng)n no時(shí),命題成立,再假設(shè)當(dāng)n k*(k N , k>n°)時(shí),命題成立.(這時(shí)命題是否成立不是確定的 ),根據(jù)這個(gè)假設(shè),如能推出當(dāng)n k 1時(shí),命題也成立,那么就可以遞推出對(duì)所有不小于小的正整數(shù)no 1,no 2 ,,命題都成立.三、用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題的步驟:1.證明:當(dāng)n取第一個(gè)值no結(jié)論正確;2.假設(shè): 假設(shè)當(dāng) n k(k Nk nn0)時(shí)結(jié)論正確,證明當(dāng) n k 1時(shí)結(jié)論也正確3.得出結(jié)論:由1,2可知

3、,命題對(duì)于從n0開始的所有正整數(shù)n都正確.<注意點(diǎn) > 遞推基礎(chǔ)不可少,歸納假設(shè)要用到,結(jié)論寫明莫忘掉.用數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí),兩步缺一不可; ( 2)證題時(shí)要注意兩湊:一湊歸納假設(shè),二湊目標(biāo) .<重點(diǎn) > 數(shù)學(xué)歸納法大致可分為兩個(gè)步驟,第一步,驗(yàn)證可題對(duì)某個(gè)自然數(shù)n= n0 成立, ( nCN), 一般取n0 =1,第二步假設(shè)n=k (kC N, kM0)的時(shí)候,命題成立,證明當(dāng) n=k+1時(shí)命題也成立.至此就可以得到結(jié)論,命題對(duì)于n0和比n0大的所有自然數(shù)都成立.如果將證明數(shù)學(xué)可題用建筑高樓來(lái)比喻, 這兩步中, 第一部可以看作是奠基部分, 第二步可以看作是建設(shè)部分, 整

4、個(gè)可題的基礎(chǔ)就在第一步, 如果忽略第一步, 或者是第一步錯(cuò)誤的話,那么不管第二步的證明有多巧妙和精彩, 都如大廈建在沙子上一樣, 是不穩(wěn)固的; 而整個(gè)可題的遞推過(guò)程在于第二步,如果遞推過(guò)程出現(xiàn)了問(wèn)題或者瑕疵,那么就如同建筑中的 “爛尾樓”一般,得不到一個(gè)圓滿的結(jié)局.由此可見,這兩步都非常重要,缺一不可.注: 數(shù)學(xué)歸納法是證明有遞推性或可轉(zhuǎn)化為遞推性可題的有效手段, 它的思路明晰, 形式優(yōu)美,但也要看到它的局限性,那就是并不具有普遍性,在無(wú)法轉(zhuǎn)化為遞推形式的可題中,數(shù)學(xué)歸納法一般是沒(méi)有用武之地的 .四、數(shù)學(xué)歸納法證明可題步驟1 .歸納奠基(或遞推基礎(chǔ))2 .歸納遞推(或歸納假設(shè))五、數(shù)學(xué)歸納法可

5、以證明的可題恒等式、不等式、數(shù)列通項(xiàng)公式、整除性問(wèn)題、幾何問(wèn)題等標(biāo)>典型例題一.選擇題(共14小題)1. (2018?玉溪模擬)已知n為正偶數(shù),用數(shù)學(xué)歸納法證明1 -1+1-:+? + 2(/及+ 募 + ? +如時(shí),若已假設(shè)n=k (k>2)為偶數(shù))時(shí)命題為真,則還需要用歸納假設(shè)再證n=()時(shí)等式成立.A. n=k+1B, n=k+2C. n=2H-2D. n=2 (k+2)【解答】解:由數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟可知,假設(shè) n=k (k>2)為偶數(shù))時(shí)命題為真,則還需要用歸納假設(shè)再證n=k+2,不是n=k+1,因?yàn)閚是偶數(shù),k+1是奇數(shù),故選:B.1 ?2?+22. (2017

6、秋?普蘭店市校級(jí)期末)用數(shù)學(xué)歸納法證明a+a2+*-+a2n+1-,1-?(a*1) ",在驗(yàn)證n=1時(shí),左端計(jì)算所得項(xiàng)為()A. 1 +a+a2+a3+aB. 1+aC. 1+a+a2D. 1+aa2+a31 ?2?+2【解答】解:二.等式“+a+a2+ +a2n+i-;, (a*1) ”左端和式中a的次數(shù)由0次依次遞增,當(dāng)n=k時(shí),最高次數(shù)為(2k+1)次,1 ?2?+2用數(shù)學(xué)歸納法證明rt+a+a2+-+a2n1-, (a*1) ",在驗(yàn)證n=1時(shí),左端_?計(jì)算所得項(xiàng)為1+a+a2+a3, 故選:D._ ,13. (2018春?鶴壁期末)用數(shù)學(xué)歸納法證明某命題時(shí),左式

7、為g+cos/cos3廿+cos(2n - 1) a ( a* k % k C Z, n C N*)在驗(yàn)證n=1時(shí),左邊所得的代數(shù)式為()A. 1B.1+cosa221 1C. -+cos o+cos3 aD. -+cos o+cos3 廿cos5 a2 2,1【解答】 解:由于左式為2+cos o+cos3 +- +cos (2n 1) a (儀豐k兀,k Z, n N*),1因此在驗(yàn)證n=1時(shí),左邊所得的代數(shù)式為:2+ ?故選:B.?+?夕4. (2018春?撫順期末)用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+3+? + ?= ?+?, nN?”,則當(dāng)n=k+1時(shí),應(yīng)當(dāng)在n=k時(shí)對(duì)應(yīng)的等式的兩邊加上()A.

8、 (k3+1) + (k3+2) + (k+1) 3 B, k3+1C. (k+1) 3D (?|1)6+(?+1)3【解答】解:當(dāng)n=k時(shí),等式左端=1+2»+k3, 當(dāng) n=k+1 時(shí),等式左端=1+2+- +k3+ (k3+1) + (k3+2) + (k3+3) + (k+1) 3,增加了 2k+1項(xiàng).故選:A.5. (2018春?福州期中)用反證法證明命題 若a2+b2=0 (a, b R),則a, b全為0",其反設(shè)正確的是(A. a, b全為0B. a, b中只有一個(gè)為0C. a, b至少有一個(gè)為0D. a, b至少有一個(gè)不為 0【解答】解:由于 b全為0 (

9、a、bC R) ”的否定為:“& b至少有一個(gè)不為0”, 故選:D.6. (2018春?嘉峪關(guān)校級(jí)期中)用數(shù)學(xué)歸納法證明“5-2n能被3整除”的第二步中,n=k+1時(shí),為了使用假設(shè),應(yīng)將5k+1-2k+1變形為()A. 5 (5k-2k) +3X2kB. (5k-2k) +4X5k-2kC. (5-2) (5k2k)D. 2 (5k-2k) - 3X 5k【解答】解:假設(shè)n=k時(shí)命題成立,即:5k - 2k被3整除.當(dāng)n=k+1時(shí),5k+1-2k+1=5X5k-2X2k=5 (5k-2k) +5X2k- 2X2k=5 (5k-2k) +3X2k故選:A.一,,1 17. (2018?天

10、心區(qū)校級(jí)模擬)已知 n為正偶數(shù),用數(shù)學(xué)歸納法證明12+3 1+- +-=2( + + j 時(shí),若已假設(shè)n=k(k>2為偶數(shù))時(shí)命題為真,4?-1?+2 ?+42?則還需要用歸納假設(shè)再證()A. n=k+1時(shí)等式成立B. n=k+2時(shí)等式成立C. n=2k+2時(shí)等式成立D. n=2 (k+2)時(shí)等式成立【解答】解:若已假設(shè)n=k (k>2, k為偶數(shù))時(shí)命題為真,因?yàn)閚只能取偶數(shù),所以還需要證明n=k+2成立.故選: B8. ( 2018 春 ?湖州期末)用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng) n 為正奇數(shù)時(shí),xn+yn 能被x+y 整除 ” ,在第二步時(shí),正確的證法是()A.假設(shè)n=k (kC N*

11、),證明n=k+1命題成立B.假設(shè)n=k (k為正奇數(shù)),證明n=k+1命題成立C.假設(shè)n=2k+1 (kC N*),證明n=k+1命題成立D.假設(shè)n=k (k為正奇數(shù)),證明n=k+2命題成立【解答】 解: 由于相鄰的兩個(gè)奇數(shù)相差 2 , 根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)命題的步驟,在第二步時(shí),假設(shè)n=k( k 為正奇數(shù))時(shí),xn+yn能被x+y整除,證明n=k+2時(shí),xn+yn也能被x+y整除,故選: D 9. (2018春?商丘期末)某個(gè)命題與正整數(shù)有關(guān),若當(dāng)n=k (k N*)時(shí)該命題成立,那么推得n=k+1 時(shí)該命題成立,現(xiàn)已知當(dāng) n=8 時(shí),該命題不成立,那么可推得( )A.當(dāng)n=7時(shí),該命

12、題成立B.當(dāng)n=7時(shí),該命題不成立C.當(dāng)n=9時(shí),該命題成立D.當(dāng)n=9時(shí),該命題不成立【解答】 解:由題意可知,原命題成立則逆否命題成立,P (n)對(duì)n=8不成立,P (n)對(duì)n=7也不成立,否則n=7時(shí)命題成立,由已知必推得 n=8也成立.與當(dāng) n=8 時(shí)該命題不成立矛盾故選:Bn=k時(shí)成10. (2018春?龍鳳區(qū)校級(jí)期末)在數(shù)學(xué)歸納法的遞推性證明中由假設(shè)1 11立推導(dǎo)n=k+1時(shí)成立時(shí)f (n)=丘?*,.+2?彳增加的項(xiàng)數(shù)是()A. 1B. 2k+1D. 2kC. 2k-11 11【解答】解:假設(shè)n=k時(shí)成立,即f (k) =1+2%+一+2可,/+. +12?2?42?1,1 11

13、則口=卜+1 成立時(shí),有 f (k+1) =1+2+3+?左邊增加的項(xiàng)數(shù)是(2k+2k-1) - (2k-1) =2k.故選:D.一 一,1 1111. (2018春?石家莊期末)利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1+3+3+喬彳<f)(n>2, nCN*)的過(guò)程中,由n=k變到n=k+1時(shí),左邊增加了()A. 1項(xiàng)B. k項(xiàng)C. 2k一1 項(xiàng)D. 2k 項(xiàng)1 11*【解答】解:用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1+5+3+*T<f)(n12, nCN*)的過(guò)程中,_1 11假設(shè)n=k時(shí)不等式成立,左邊 斗弱+工?,.,111111貝U當(dāng)n=k+1時(shí),左邊二什+喬于后+7 111由n=k遞推至I n

14、=k+1時(shí)不等式左邊增加了 : 喬石福!+尹彳丁,共(2k+1 - 1) - 2k+1=2k 項(xiàng), 故選:D. .1 11?12. (2018春?羅莊區(qū)期中)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1+2+3+ 乖1 >(門1A A 2?c 1,1,1C 2?-1 +1 +2?-1 +2 +2?【解答】解:用數(shù)學(xué)歸納法證明等式N*),第二步由k到k+1時(shí)不等式左邊需增加()c 1, 1B- 2?-1 +1 +2?111D- 2?-1 +1 +2?-1 +2 + 42?1 11* 一1+- +? <f (n) (n>2, nCN) 的過(guò)程中,I 11假設(shè)n=k時(shí)不等式成立,左邊 =1+5+3+

15、+2?-1 ,II 111則當(dāng) n=k+1 時(shí),左邊=1+2+3+. +2?-1+2?-1 +1 i+2(?+1)-1,由 n=k 遞推到 n=k+1 時(shí)不等式左邊增加了-+- -+ =+- +工2?-1 +1 + +2(?+1)-1 2?-1 +1 + +2?故選:D.13. (2018春?杏花嶺區(qū)校級(jí)期中)等式A. n為任何正整數(shù)都成立C.當(dāng)n=4時(shí)成立,n=5時(shí)不成立1c12+22+32+-+n2=2 (5n2-7n+4)()B.僅當(dāng)n=1, 2, 3時(shí)成立D.僅當(dāng)n=4時(shí)不成立【解答】解:當(dāng)n=1時(shí),左邊=1,右邊=1,成立;當(dāng)n=2時(shí),左邊=1+4=5,右邊=5,成立;當(dāng)n=3時(shí),左

16、邊=1+4+9=14,右邊=14,成立;當(dāng)n=4時(shí),左邊=1+4+9+16=40,右邊=28,不成立;當(dāng)n=5時(shí),左邊=1+4+9+16+25=65,右邊=94,不成立;故選:B.4+? +2?-1 - 2?= ?+1+ ?+2+14. (2018春?屯溪區(qū)校級(jí)期中)1- 1+ 123? + 2?(nC N*) ",在用數(shù)學(xué)歸納法證明上述恒等式的過(guò)程中,由 n=k (k N*,k>1)推導(dǎo)到n=k+1時(shí),等式的右邊增加的式子是(111A,2(?+1)B 2?+1 + 2?+2c 11-111C 2(?+1) - ?+1D,2?+1 + 2(?+1) - ?+1【解答】 解:n=k 時(shí),右邊=+ 匚+ + , n=k+1 時(shí),左邊 ?+1?+22?111, 111111?+2+ +2?2?+1+2?+2(?+1 +?+22?2?+1 2?+2':從n=k至I n=k+1時(shí),左邊要增加的表達(dá)式為11111?+2+ +2?J =2?+1 + 2(?+1) - ?+1故選:D.二.解答題(共1小題)15. (2018春?禪城區(qū)校級(jí)期末)設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和,滿足Sn=2an-2 (n N*)(D求a1,a2, as, a4的值,并由此猜想數(shù)列an的通項(xiàng)公式an;(D用數(shù)學(xué)歸納法證明(I)中的猜想.【解答】解:(I)當(dāng) n=1 時(shí),a1=Si=2a1=2

溫馨提示

  • 1. 本站所有資源如無(wú)特殊說(shuō)明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請(qǐng)下載最新的WinRAR軟件解壓。
  • 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請(qǐng)聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
  • 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁(yè)內(nèi)容里面會(huì)有圖紙預(yù)覽,若沒(méi)有圖紙預(yù)覽就沒(méi)有圖紙。
  • 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
  • 5. 人人文庫(kù)網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對(duì)用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對(duì)用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對(duì)任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
  • 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請(qǐng)與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
  • 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時(shí)也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對(duì)自己和他人造成任何形式的傷害或損失。

最新文檔

評(píng)論

0/150

提交評(píng)論