2數(shù)學(xué)歸納法-簡(jiǎn)單難度-講義

1、數(shù)學(xué)歸納法齒？知識(shí)講解一、數(shù)學(xué)歸納法的定義定義：對(duì)于某些與自然數(shù)n有關(guān)的命題常常采用下面的方法來(lái)證明它的正確性：先證明當(dāng)n一，一 ，一 . 一 一. * . -取第一個(gè)值no時(shí)命題成立；然后假設(shè)當(dāng)n k(k N ,k>n0)時(shí)命題成立，證明當(dāng)n k 1命題也成立.這種證明方法就叫做數(shù)學(xué)歸納法.二、數(shù)學(xué)歸納法的基本思想基本思想：數(shù)學(xué)歸納法是完全歸納法的一種.它是一種歸納一一演繹的推理方法.數(shù)學(xué)歸納法的理論依據(jù)是 自然數(shù)歸納原理”：設(shè)A(n)表示關(guān)于自然數(shù)n的一命題，如果滿足條件：(i)A(1)正確；(ii)假設(shè)A(k)成立，推斷A(k+1)也成立、那么A(n)對(duì)一切自然數(shù)n都成立.其中第(

2、i)是驗(yàn)證，它是證明的基礎(chǔ)；第(ii)是以假設(shè)A(k)成立，通過(guò)演繹推理，推證出 A(k+1)也正確.即先驗(yàn)證使結(jié)論有意義的最小的正整數(shù)n0,如果當(dāng)n no時(shí)，命題成立，再假設(shè)當(dāng)n k*(k N , k>n°)時(shí)，命題成立.(這時(shí)命題是否成立不是確定的 )，根據(jù)這個(gè)假設(shè)，如能推出當(dāng)n k 1時(shí)，命題也成立，那么就可以遞推出對(duì)所有不小于小的正整數(shù)no 1,no 2 ,，命題都成立.三、用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題的步驟：1.證明：當(dāng)n取第一個(gè)值no結(jié)論正確；2.假設(shè)： 假設(shè)當(dāng) n k（k Nk nn0）時(shí)結(jié)論正確，證明當(dāng) n k 1時(shí)結(jié)論也正確3.得出結(jié)論：由1,2可知

3、，命題對(duì)于從n0開始的所有正整數(shù)n都正確.<注意點(diǎn) > 遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉.用數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí)，兩步缺一不可； （ 2）證題時(shí)要注意兩湊：一湊歸納假設(shè)，二湊目標(biāo) .<重點(diǎn) > 數(shù)學(xué)歸納法大致可分為兩個(gè)步驟，第一步，驗(yàn)證可題對(duì)某個(gè)自然數(shù)n= n0 成立， （ nCN）, 一般取n0 =1,第二步假設(shè)n=k （kC N, kM0）的時(shí)候，命題成立，證明當(dāng) n=k+1時(shí)命題也成立.至此就可以得到結(jié)論，命題對(duì)于n0和比n0大的所有自然數(shù)都成立.如果將證明數(shù)學(xué)可題用建筑高樓來(lái)比喻， 這兩步中， 第一部可以看作是奠基部分， 第二步可以看作是建設(shè)部分， 整

4、個(gè)可題的基礎(chǔ)就在第一步， 如果忽略第一步， 或者是第一步錯(cuò)誤的話，那么不管第二步的證明有多巧妙和精彩， 都如大廈建在沙子上一樣， 是不穩(wěn)固的； 而整個(gè)可題的遞推過(guò)程在于第二步，如果遞推過(guò)程出現(xiàn)了問(wèn)題或者瑕疵，那么就如同建筑中的 “爛尾樓”一般，得不到一個(gè)圓滿的結(jié)局.由此可見，這兩步都非常重要，缺一不可.注： 數(shù)學(xué)歸納法是證明有遞推性或可轉(zhuǎn)化為遞推性可題的有效手段， 它的思路明晰， 形式優(yōu)美，但也要看到它的局限性，那就是并不具有普遍性，在無(wú)法轉(zhuǎn)化為遞推形式的可題中，數(shù)學(xué)歸納法一般是沒(méi)有用武之地的 .四、數(shù)學(xué)歸納法證明可題步驟1 .歸納奠基（或遞推基礎(chǔ)）2 .歸納遞推（或歸納假設(shè)）五、數(shù)學(xué)歸納法可

5、以證明的可題恒等式、不等式、數(shù)列通項(xiàng)公式、整除性問(wèn)題、幾何問(wèn)題等標(biāo)>典型例題一.選擇題(共14小題)1. (2018?玉溪模擬)已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明1 -1+1-:+? + 2(/及+ 募 + ? +如時(shí)，若已假設(shè)n=k (k>2)為偶數(shù))時(shí)命題為真，則還需要用歸納假設(shè)再證n=()時(shí)等式成立.A. n=k+1B, n=k+2C. n=2H-2D. n=2 (k+2)【解答】解：由數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟可知，假設(shè) n=k (k>2)為偶數(shù))時(shí)命題為真，則還需要用歸納假設(shè)再證n=k+2,不是n=k+1,因?yàn)閚是偶數(shù)，k+1是奇數(shù)，故選：B.1 ?2?+22. (2017

6、秋？普蘭店市校級(jí)期末)用數(shù)學(xué)歸納法證明a+a2+*-+a2n+1-,1-?(a*1) "，在驗(yàn)證n=1時(shí)，左端計(jì)算所得項(xiàng)為()A. 1 +a+a2+a3+aB. 1+aC. 1+a+a2D. 1+aa2+a31 ?2?+2【解答】解：二.等式“+a+a2+ +a2n+i-；, (a*1) ”左端和式中a的次數(shù)由0次依次遞增，當(dāng)n=k時(shí)，最高次數(shù)為(2k+1)次，1 ?2?+2用數(shù)學(xué)歸納法證明rt+a+a2+-+a2n1-, (a*1) "，在驗(yàn)證n=1時(shí)，左端_?計(jì)算所得項(xiàng)為1+a+a2+a3, 故選：D._ ，13. （2018春？鶴壁期末）用數(shù)學(xué)歸納法證明某命題時(shí)，左式

7、為g+cos/cos3廿+cos（2n - 1） a （ a* k % k C Z, n C N*）在驗(yàn)證n=1時(shí)，左邊所得的代數(shù)式為（）A. 1B.1+cosa221 1C. -+cos o+cos3 aD. -+cos o+cos3 廿cos5 a2 2，1【解答】 解：由于左式為2+cos o+cos3 +- +cos （2n 1） a （儀豐k兀,k Z, n N*）,1因此在驗(yàn)證n=1時(shí)，左邊所得的代數(shù)式為：2+ ?故選：B.?+?夕4. （2018春？撫順期末）用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+3+? + ?= ?+?, nN?”，則當(dāng)n=k+1時(shí)，應(yīng)當(dāng)在n=k時(shí)對(duì)應(yīng)的等式的兩邊加上（）A.

8、 (k3+1) + (k3+2) + (k+1) 3 B, k3+1C. (k+1) 3D (?|1)6+(?+1)3【解答】解：當(dāng)n=k時(shí)，等式左端=1+2»+k3, 當(dāng) n=k+1 時(shí)，等式左端=1+2+- +k3+ (k3+1) + (k3+2) + (k3+3) + (k+1) 3,增加了 2k+1項(xiàng).故選：A.5. （2018春？福州期中）用反證法證明命題 若a2+b2=0 （a, b R）,則a, b全為0"，其反設(shè)正確的是（A. a, b全為0B. a, b中只有一個(gè)為0C. a, b至少有一個(gè)為0D. a, b至少有一個(gè)不為 0【解答】解：由于 b全為0 (

9、a、bC R) ”的否定為：“& b至少有一個(gè)不為0”， 故選：D.6. (2018春？嘉峪關(guān)校級(jí)期中)用數(shù)學(xué)歸納法證明“5-2n能被3整除”的第二步中，n=k+1時(shí)，為了使用假設(shè)，應(yīng)將5k+1-2k+1變形為()A. 5 (5k-2k) +3X2kB. (5k-2k) +4X5k-2kC. (5-2) (5k2k)D. 2 (5k-2k) - 3X 5k【解答】解：假設(shè)n=k時(shí)命題成立，即：5k - 2k被3整除.當(dāng)n=k+1時(shí)，5k+1-2k+1=5X5k-2X2k=5 (5k-2k) +5X2k- 2X2k=5 (5k-2k) +3X2k故選：A.一，,1 17. (2018?天

10、心區(qū)校級(jí)模擬)已知 n為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明12+3 1+- +-=2( + + j 時(shí)，若已假設(shè)n=k(k>2為偶數(shù))時(shí)命題為真，4?-1?+2 ?+42?則還需要用歸納假設(shè)再證()A. n=k+1時(shí)等式成立B. n=k+2時(shí)等式成立C. n=2k+2時(shí)等式成立D. n=2 (k+2)時(shí)等式成立【解答】解：若已假設(shè)n=k (k>2, k為偶數(shù))時(shí)命題為真，因?yàn)閚只能取偶數(shù)，所以還需要證明n=k+2成立.故選： B8. （ 2018 春 ?湖州期末）用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng) n 為正奇數(shù)時(shí)，xn+yn 能被x+y 整除 ” ，在第二步時(shí)，正確的證法是（）A.假設(shè)n=k （kC N*

11、）,證明n=k+1命題成立B.假設(shè)n=k （k為正奇數(shù)），證明n=k+1命題成立C.假設(shè)n=2k+1 （kC N*）,證明n=k+1命題成立D.假設(shè)n=k （k為正奇數(shù)），證明n=k+2命題成立【解答】 解： 由于相鄰的兩個(gè)奇數(shù)相差 2 ， 根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)命題的步驟，在第二步時(shí)，假設(shè)n=k（ k 為正奇數(shù)）時(shí)，xn+yn能被x+y整除，證明n=k+2時(shí)，xn+yn也能被x+y整除，故選： D 9. （2018春?商丘期末）某個(gè)命題與正整數(shù)有關(guān)，若當(dāng)n=k （k N*）時(shí)該命題成立，那么推得n=k+1 時(shí)該命題成立，現(xiàn)已知當(dāng) n=8 時(shí)，該命題不成立，那么可推得（ ）A.當(dāng)n=7時(shí)，該命

12、題成立B.當(dāng)n=7時(shí)，該命題不成立C.當(dāng)n=9時(shí)，該命題成立D.當(dāng)n=9時(shí)，該命題不成立【解答】 解：由題意可知，原命題成立則逆否命題成立，P （n）對(duì)n=8不成立，P （n）對(duì)n=7也不成立，否則n=7時(shí)命題成立，由已知必推得 n=8也成立.與當(dāng) n=8 時(shí)該命題不成立矛盾故選：Bn=k時(shí)成10. （2018春?龍鳳區(qū)校級(jí)期末）在數(shù)學(xué)歸納法的遞推性證明中由假設(shè)1 11立推導(dǎo)n=k+1時(shí)成立時(shí)f （n）=丘?*,.+2?彳增加的項(xiàng)數(shù)是（）A. 1B. 2k+1D. 2kC. 2k-11 11【解答】解：假設(shè)n=k時(shí)成立，即f （k） =1+2%+一+2可，/+. +12?2?42?1，1 11

13、則口=卜+1 成立時(shí)，有 f (k+1) =1+2+3+?左邊增加的項(xiàng)數(shù)是（2k+2k-1） - （2k-1） =2k.故選：D.一 一,1 1111. （2018春?石家莊期末）利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1+3+3+喬彳<f）（n>2, nCN*）的過(guò)程中，由n=k變到n=k+1時(shí)，左邊增加了（）A. 1項(xiàng)B. k項(xiàng)C. 2k一1 項(xiàng)D. 2k 項(xiàng)1 11*【解答】解：用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1+5+3+*T<f）（n12, nCN*）的過(guò)程中，_1 11假設(shè)n=k時(shí)不等式成立，左邊 斗弱+工?，.，111111貝U當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊二什+喬于后+7 111由n=k遞推至I n

14、=k+1時(shí)不等式左邊增加了 ： 喬石福!+尹彳丁，共（2k+1 - 1） - 2k+1=2k 項(xiàng)， 故選：D. .1 11?12. （2018春？羅莊區(qū)期中）用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1+2+3+ 乖1 >（門1A A 2?c 1,1,1C 2?-1 +1 +2?-1 +2 +2?【解答】解：用數(shù)學(xué)歸納法證明等式N*）,第二步由k到k+1時(shí)不等式左邊需增加（）c 1, 1B- 2?-1 +1 +2?111D- 2?-1 +1 +2?-1 +2 + 42?1 11* 一1+- +? <f (n) (n>2, nCN) 的過(guò)程中，I 11假設(shè)n=k時(shí)不等式成立，左邊 =1+5+3+

15、+2?-1 ,II 111則當(dāng) n=k+1 時(shí)，左邊=1+2+3+. +2?-1+2?-1 +1 i+2(?+1)-1，由 n=k 遞推到 n=k+1 時(shí)不等式左邊增加了-+- -+ =+- +工2?-1 +1 + +2(?+1)-1 2?-1 +1 + +2?故選：D.13. （2018春？杏花嶺區(qū)校級(jí)期中）等式A. n為任何正整數(shù)都成立C.當(dāng)n=4時(shí)成立，n=5時(shí)不成立1c12+22+32+-+n2=2 (5n2-7n+4)()B.僅當(dāng)n=1, 2, 3時(shí)成立D.僅當(dāng)n=4時(shí)不成立【解答】解：當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1,右邊=1,成立；當(dāng)n=2時(shí)，左邊=1+4=5,右邊=5,成立；當(dāng)n=3時(shí)，左

16、邊=1+4+9=14,右邊=14,成立；當(dāng)n=4時(shí)，左邊=1+4+9+16=40,右邊=28,不成立；當(dāng)n=5時(shí)，左邊=1+4+9+16+25=65,右邊=94,不成立;故選：B.4+? +2?-1 - 2?= ?+1+ ?+2+14. （2018春？屯溪區(qū)校級(jí)期中）1- 1+ 123? + 2?（nC N*） "，在用數(shù)學(xué)歸納法證明上述恒等式的過(guò)程中，由 n=k （k N*,k>1）推導(dǎo)到n=k+1時(shí)，等式的右邊增加的式子是（111A，2(?+1)B 2?+1 + 2?+2c 11-111C 2(?+1) - ?+1D，2?+1 + 2(?+1) - ?+1【解答】 解：n=k 時(shí)，右邊=+ 匚+ + , n=k+1 時(shí)，左邊 ?+1?+22?111, 111111?+2+ +2?2?+1+2?+2(?+1 +?+22?2?+1 2?+2':從n=k至I n=k+1時(shí)，左邊要增加的表達(dá)式為11111?+2+ +2?J =2?+1 + 2(?+1) - ?+1故選：D.二.解答題（共1小題）15. （2018春？禪城區(qū)校級(jí)期末）設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，滿足Sn=2an-2 （n N*）（D求a1，a2, as, a4的值，并由此猜想數(shù)列an的通項(xiàng)公式an；（D用數(shù)學(xué)歸納法證明（I）中的猜想.【解答】解：（I）當(dāng) n=1 時(shí)，a1=Si=2a1=2