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文檔簡介

1、線性回歸分析的數(shù)學(xué)模型 摘  要  在實際問題中常常遇到簡單的變量之間的關(guān)系,我們會遇到多個變量同處于一個過程之中,它們之間互相聯(lián)系、互相制約這些問題中最簡單的是線性回歸線性回歸分析是對客觀事物數(shù)量關(guān)系的分析,是一種重要的統(tǒng)計分析方法,被廣泛的應(yīng)用于社會經(jīng)濟現(xiàn)象變量之間的影響因素和關(guān)聯(lián)的研究由于客觀事物的聯(lián)系錯綜復(fù)雜經(jīng)濟現(xiàn)象的變化往往用一個變量無法描述,故本篇論文在深入分析一元線性回歸及數(shù)學(xué)模型的情況下,又詳細地介紹了多元線性回歸方程的參數(shù)估計和其顯著性檢驗等全面揭示了這種復(fù)雜的依存關(guān)系,準確測定現(xiàn)象之間的數(shù)量變動以提高預(yù)測和控制的準確度 本文中詳細的闡述了線性回歸的定義及

2、其線性模型的簡單分析并應(yīng)用了最小二乘法原理具體介紹了線性回歸分析方程參數(shù)估計辦法和其顯著性檢驗并充分利用回歸方程進行點預(yù)測和區(qū)間預(yù)測 但復(fù)雜的計算給分析方法推廣帶來了困難,需要相應(yīng)的操作軟件來計算回歸分析求解操作過程中的數(shù)據(jù)以提高預(yù)測和控制的準確度從而為工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)及研究起到強有力的推動作用  關(guān)鍵詞:線性回歸;最小二乘法;數(shù)學(xué)模型        目     錄  第一章  前言1 第二章  線性模型2 第一節(jié)  一元線性模型2 第二節(jié)&

3、#160; 多元線性模型4 第三章 參數(shù)估計 5 第一節(jié)  一元線性回歸方程中的未知參數(shù)的估計5 第二節(jié)  多元線性回歸模型的參數(shù)估計8 第四章 顯著性檢驗13 第一節(jié)  一元線性回歸方程的顯著性檢驗 13 第二節(jié)  多元線性回歸方程的顯著性檢驗 20 第五章 利用回歸方程進行點預(yù)測和區(qū)間預(yù)測21 第六章 總結(jié)26 致謝 27 參考文獻     第一章  前  言  回歸分析是對客觀事物數(shù)量依存關(guān)系的分析是數(shù)理統(tǒng)計中的一個常用的方法是處理多個變量之間相互關(guān)系的一種數(shù)學(xué)方法 在現(xiàn)實世界中

4、,我們常與各種變量打交道,在解決實際問題過程中,我們常常會遇到多個變量同處于一個過程之中,它們之間互相聯(lián)系、互相制約常見的關(guān)系有兩種:一類為“確定的關(guān)系”即變量間有確定性關(guān)系,其關(guān)系可用函數(shù)表達式表示例如:路程s,時間t,與速度v之間有關(guān)系式:s=vt 在圓體給與半徑r之間有關(guān)系式v= 另外還有一些變量他們之間也有一定的關(guān)系,然而這種關(guān)系并不完全確定,不能用函數(shù)的形式來表達,在這種關(guān)系中至少有一個變量是隨機的例如:人的身高與體重有一定的關(guān)系,一般來講身高高的人體重相對大一些但是它們之間不能用一個確定的表達式表示出來這次變量(或至少其中有一個是隨機變量)之間的關(guān)系我們稱之為相關(guān)關(guān)系又如環(huán)境因素與

5、農(nóng)作物的產(chǎn)量也有相關(guān)關(guān)系,因為在相同環(huán)境條件下 農(nóng)作物的產(chǎn)量也有區(qū)別,這也就是說農(nóng)作物的產(chǎn)量是一個隨機變量回歸分析就是研究相關(guān)關(guān)系的一種數(shù)學(xué)方法,是尋找不完全確定的變量間的數(shù)學(xué)關(guān)系式并進行統(tǒng)計推斷的一種方法它能幫助我們從一個變量取得的值去估計另一個變量的值在這種關(guān)系中最簡單的是線性回歸 線性回歸分析是對客觀事物數(shù)量關(guān)系的分析,是一種重要的統(tǒng)計分析方法,被廣泛的應(yīng)用于社會經(jīng)濟現(xiàn)象變量之間的影響因素和關(guān)聯(lián)的研究由于客觀事物的聯(lián)系錯綜復(fù)雜經(jīng)濟現(xiàn)象的變化往往用一個變量無法描述, 故本篇論文在深入分析一元線性回歸及數(shù)學(xué)模型的情況下,又詳細地介紹了多元線性回歸方程的參數(shù)估計和其顯著性檢驗等全面揭示了這種復(fù)

6、雜的依存關(guān)系,準確測定現(xiàn)象之間的數(shù)量變動以提高預(yù)測和控制的準確度                   第二章 線性模型 第一節(jié) 一元線性模型 在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)及科研中最常遇到的配直線問題,就是回歸分析的統(tǒng)計推斷方法來求經(jīng)驗公式(線性回歸)的問題如: 例1  今有某種大豆脂肪含量x(%)與蛋白質(zhì)含量y(%)的測定結(jié)果如下表所示:試求它們之間的關(guān)系(檢驗公式) x 165 175 185 195 205 215 2

7、25 y 435 426 426 406 403 387 372  首先將這組數(shù)據(jù)在直角坐標系上描成點,如下圖:            一般的,按此方法描點所得的圖成為散點圖 從圖上可以看出:這些數(shù)據(jù)描出的點分布在一條直線附近于是推出他們大致可以表示為線性關(guān)系 這里再y上加“ ”是為了區(qū)別于他的實際值y,因為y與x一般不具有確定的函數(shù)關(guān)系,這樣,在散點圖的啟發(fā)下,我們選定了回歸方程是線性的然后根據(jù)統(tǒng)計推斷方法來估計出未知數(shù) 和 從而確定所求的經(jīng)驗公式一般的,設(shè)隨機變量y與x之

8、間的相關(guān)關(guān)系可以用線性模型                         ,  N(0, )                     (1) 來表示這里x是試驗或觀察中

9、可以控制或精確觀測的變量即非隨機變量,y是可觀測的隨機變量  是不可觀測的隨機變量(它表示模型誤差,是除去x對Y的先行影響之外的且不能測出的其它各個隨機因素對Y的影響的總和)  通過實驗觀測可得到關(guān)于變量x和Y的一組數(shù)據(jù)( , ),( , ),( , )因為對于任意一個 (i=1,2,n),在 的觀測值在取定前不能精確預(yù)言它一定能取什么值,故把 看作是隨機變量Y的觀測值而相互獨立的隨機變量 , , 為Y的樣本我們知道,樣本與樣本觀測值之間的區(qū)別是:前者是隨機變量,后者為取定的數(shù)值,但為了敘述方便,今后把樣本觀察值也成為樣本在符號上均用 , , 來表示具體表示的意義也可由上下

10、文分析清楚,設(shè)觀測值 與樣本 之間滿足關(guān)系式:   =      (i=1,2,n)              (2) 其中    (i=1,2,n)且相互獨立     如果兩個變量間的關(guān)系用上述線性模型描述,則它們之間存在線性相關(guān)關(guān)系由(1)有:    E(Y)=   我們希望根據(jù)觀測的數(shù)據(jù) ,求出 , 的估計量 , 

11、0; 這樣就可以利用方程                               (3) 去估計隨機變量Y的數(shù)學(xué)期望E(Y)也就是說,將 , 代入方程 (1)并略去誤差 ,就得到了隨機變量Y和變量x的線性關(guān)系式(3)方程(3)通常稱為Y對x的線性回歸方程或回歸方程,其圖形稱為回歸直線 對于(1)

12、和(2)所確定的線性模型,所考慮的統(tǒng)計推斷主要問題是:未知參數(shù) 和 的估計:檢驗x和Y之間的關(guān)系是否可確信是線性關(guān)系,即對假設(shè)(1)進行檢驗,對Y進行預(yù)測等     第二節(jié) 多元線性模型  一般來講,影響結(jié)果Y的因素往往不止一個設(shè)有 , 共p個元素這時要用圖來確定它們的關(guān)系是困難的??筛鶕?jù)經(jīng)驗做出假設(shè)其中最簡單的是假設(shè)它們之間有線性關(guān)系:                   &

13、#160;        (4) 式中 , 都是可精確測量或可控制的一般變量,Y是可觀測的隨機變量, , , 都是未知參數(shù), 是服從 分布的不可觀測的隨機誤差我們對(4)獲得了n組相互獨立的觀測值(樣本) ( ; , , )  (i=1,2,n)               (5) 于是由(4)式可知 具有數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)式:     i=1,2,n

14、60;                   (6) 其中各個 ( i=1,2,n)相互獨立,且均服從 這就是p元線性回歸模型 對于(4)所確定的模型統(tǒng)計推斷的主要問題是:根據(jù)樣本去估計未知參數(shù) , , 、 ,從而建立Y與 , 間的數(shù)量關(guān)系式和對比得到的數(shù)量關(guān)系式的可信度進行統(tǒng)計檢驗;檢驗各變量 , 分別對指標是否有顯著影響2 第二章   參數(shù)的估計  第一節(jié) 一元線性回歸方程參數(shù)的估計

15、 有多種確定回歸方程也就是確定未知參數(shù) , 的估計量 , ,的方法其中最常用的是“最小二乘法”     我們將采用“最小二乘法原理”來求出 , 也就是求,使誤差 ( i=1,2,n)的平方和 Q= =                           (7) 為最小的 , 值作為參數(shù) , 的估計量 由(7)

16、知Q是 , 的二元函數(shù)即Q=Q( , )按二元函數(shù)求極值的方法可得聯(lián)立方程組:                             (8) 這個方程組稱為正規(guī)方程組 即:              

17、0;                       (9) 解此方程組由(9)的第一式得 因此 的估計量為:                       

18、;            (10) 其中 , 將(10)式代入(9)中的第二式可解得 的估計量為                        (11) 這樣:利用(10)和(11)確定的 , 使平方和Q達到最小,從而求出回歸方程   &#

19、160;           這里 , 分別表示由(10)和(11)確定的 , 的值并稱 為經(jīng)驗截距; 為經(jīng)驗回歸系數(shù),簡稱為回歸系數(shù),而 是 的無偏估計量 由(10)可得回歸方程的另一種形式:                           &

20、#160;    (12) 由此可知,回歸直線通過點( , ),即通過由館測值的平均值組成的點,并且回歸方程由回歸系數(shù) 完全確定一般的,把由回歸方程確定的x的對應(yīng)值 稱為回歸值 根據(jù)觀測數(shù)據(jù),利用 (10)和(11)來求回歸直線時,常把(11)中的分子和分母分別記為 和 ,且按下面的公式計算: 所以(10)和 (11)兩式可記作:                    

21、;           (13)                                  (14) 又有公式:     = =  

22、                         (15) 然而,對總體中的未知參數(shù)進行估計,其主要目的還是建立一元線性回歸方程雖然有一個正規(guī)方程組存在實際上并不研究它以下是建立一元線性回歸方程的具體步驟: (1)    計算 , , , , ; (2)    計算   , ,

23、(在回歸方程作顯著性檢驗時用); (3)    計算 和 寫出一元線性回歸方程3 序號 1 165 435 27225 189225 71775 2 175 426 30625 181476 74550 3 185 426 34225 181476 78810 4 195 406 38025 164836 79170 5 205 403 42025 162409 82615 6 215 387 46225 149769 83205 7 225 372 50625 138384 83700 8 235 360 55225 129600 84600 9 245 340

24、 60025 115600 83300 1845 3555 384225 1412775 721725 從而可求得 =205, =395, =60, =-705, -1175, = - =63588 所求回歸方程為 63588-1175x 例2  設(shè)兩個變量x與Y由某種相關(guān)關(guān)系,測得它的一組數(shù)據(jù)如下表所示,試求其回歸方程 x 492 500 493 490 490 495 498 499 502 502 Y 167 170 168 166 167 168 168 170 170 171 解:根據(jù)計算得        

25、0; =4961, =1685, =2461351, =835994 =03293, = - =05129 所以回歸方程為 05129+03293x  第二節(jié) 多元線性回歸模型的參數(shù)估計  設(shè) , ,Y有一組觀測值(樣本);( , , )(i=1,2,n)我們希望由估計 , , 所決定出的回歸方程能使一切 與 之間的偏差達到最小根據(jù)最小二乘法的原理 即:要求  = 所以只要求偏離平方和 達到最小的 為書寫方便以下把“ ”書寫成“ ” 根據(jù)微積分中值原理和最小二乘法估計   是下列方程組的解     ( j=1,2,

26、,n)      (16) 經(jīng)整理即得關(guān)于 的一個線性方程組                                    (17) 此方程組(17)稱為正規(guī)方程組借此方程組就可求得參數(shù) 的回歸值 為了

27、求解方便我們將(17)是寫成矩陣的形式,令     1                                        X=     1   &#

28、160;           ,Y=        , B=                                     

29、60;              1                                         &

30、#160;  記(17)式的系數(shù)矩陣為A,常數(shù)項矩陣為B,則A恰為 ,B恰為   即:                     1    1        1        1     &#

31、160;    =                     1                                 &

32、#160;                                   1               n         

33、;        =                     =A                            

34、;                     1     1        1                      

35、 =                            =        =B                     

36、60;                                                   因此用矩陣的形式可表式為   &

37、#160; =  在回歸分析中通常 存在這時最小二乘估計 可表式為: =                            (18) 當我們求出了 的最小二乘估計 后,就可以建立多元回歸方程5 例 3 某地區(qū)所產(chǎn)原棉的纖維能力Y與纖維的公制支數(shù) ,纖維的成熟度 有關(guān),現(xiàn)實測得28組數(shù)據(jù)(見下表)試建立Y關(guān)于 , 的

38、二元線性回歸方程  i      i    1 5415 158 403 15 6208 170 381 2 5700 138 401 16 5798 159 400 3 5674 157 400 17 5551 161 419 4 5698 155 409 18 6059 157 381 5 6165 152 373 19 6060 153 396 6 5929 160 409 20 6059 155 393 7 7505 114 295 21 6370 145 372 8 5920 150 390 22 6102 149 384

39、9 7646 118 289 23 6245 150 388 10 6556 127 348 24 6644 145 338 11 6475 150 360 25 6191 158 376 12 5907 150 377 26 6352 150 379 13 5697 154 394 27 5999 159 379 14 6618 12 366 28 5815 17 409 解:先求出方程組的系數(shù)矩陣及常數(shù)向量,再求 =172388             

40、0;       =61567143 =4184                      =14943 =10609                 

41、0;    =37889 =1068433202                 =708953972  =630632                    =05423 =25608704 

42、60;              =-15098857 =64911128                 =-40545386 =1594481             

43、0;    =09193 =4045287 求 , 的正規(guī)方程組為 708953972 -15098857 =-40545386                      -15098857 +05423 =09193 解得 =-00005181 , =02527 , = =66011 所以 Y的關(guān)于 , 的二元線性回歸方程為 =66011-00005181 +025

44、27                              第四章 顯著性檢驗  第一節(jié)   一元線性回歸方程的顯著性檢驗  由上面的討論知,對于任何的兩個變量x和Y的一組觀測數(shù)據(jù)( )(i=1,2,n)按公式(10)和(11)都可以確定一個回歸方程   然而事前并

45、不知道Y和x之間是否存在線性關(guān)系,如果兩個變量Y和x之間并不存在顯著的線性相關(guān)關(guān)系,那么這樣確定的回歸方程顯然是毫無實際意義的因此,我們首先要判斷Y和x是否線性相關(guān),也就是要來檢驗線性假設(shè)    是否可信,顯然,如果Y和x之間無線性關(guān)系,則線性模型的一次項系數(shù) =0;否則 0所以檢驗兩個變量之間是否存在線性相關(guān)關(guān)系,歸根到底是要檢驗假設(shè)  根據(jù)現(xiàn)行假設(shè)對數(shù)據(jù)所提的要求可知,觀察值 , , 之間的差異,是有兩個方面的原因引起的:(1)自變量x的值不相同;(2)其它因素的影響,檢驗 是否成立的問題,也就是檢驗這兩方面的影響哪一個是主要的問題因此,就必須把他們引起的差異

46、從Y的總的差異中分解出來也就是說,為了選擇適當?shù)臋z驗統(tǒng)計量,先導(dǎo)出離差平方和的分解因式6  一、離差平方和的分解公式 觀察值  (i=1,2,n),與其平均值 的離差平方和,稱為總的離差平方和,記作  因為                    =  其中: =2 =2 =2 =2 所以 = 由于   中的 , 為(10)和(11)所確定即它們滿足正規(guī)方程組

47、(9)的解因此定義項                            = 于是得到了總離差平方和的分解公式:                    其中   

48、60;                               (19)                   

49、60;          是回歸直線 上橫坐標為 的點的縱坐標,并且  的平均值為 , 是 這n個數(shù)的偏差平方和,它描述了 的離散程度,還說明它是來源于 的分散性,并且是通過x對于Y的線性影響而反映出來的,所以, 稱為回歸平方和 而      = 它正是前面討論的 的最小值,在假設(shè)(1)式的條件下它是由不可觀察的隨機變量 引起的,也就是說,它是由其它未控制的因素及試驗誤差引起的,它的大小反映了其它因素以及試驗誤差對實驗結(jié)果得影響我們稱 為剩余平方和或殘差平

50、方和7 二、 、 的性質(zhì)及其分布 由以上分析可知,要解決判斷Y和x之間是否存在線性相關(guān)關(guān)系的問題,需要通過比較回歸平方和和剩余平方和來實現(xiàn)為了更清楚地說明這一點,并尋求出檢驗統(tǒng)計量,考察估計量 , 的性質(zhì)及其分布 (一) 的分布  由(14)式可知 = 在 相互獨立且服從同一分布 的假定下由(2)知 , , 是P個相互獨立的隨機變量,且      (i=1,2,,n)所以他們的平均值 的數(shù)學(xué)期望為: 因為 是 的線性函數(shù),且有: 這說明 是 的無偏估計量且 的方差為 所以 即:     

51、;            同樣可證,對于任意給定的 其對應(yīng)的回歸值 (它是 的點估計)適合 ( , (二) 方差 的估計及分布 因為            = = = 由 、 及 可得 = 又由于  及E(L),E(U)得 =E(L)+E(U) =(n-2) 從而,說明了 = = 是 的無偏估計量,由此可見,不論假設(shè) 成立與否, 是 的一個無偏估計量,而 僅當假設(shè)成立時,才是 的一個無偏

52、估計量,否則它的期望值大于 說明比值                                                

53、;           (20) 在假設(shè)成立時有偏大傾向,也就是說,如果F取得值相當大,則沒有理由認為x和Y之間有線性相關(guān)關(guān)系,也就是下面我們將采用F作為檢驗統(tǒng)計量的原因另外,由于 , 是 的最小二乘估計,由(8)式可知 =0    ,     =0 這表明 中的n個變量 , 之間有兩個獨立的線性約束條件,故 的自由度為n-2因此   8 三、F檢驗 由以上討論可知,當 成立時 ; 且二者相互獨立,由此可得

54、  因此可用這個統(tǒng)計量F作為檢驗假設(shè) 的檢驗統(tǒng)計量 對給定的顯著性水平 ,查自由度為(1,n-2)的F分布的臨值表,得臨界值 ,如果由實際觀察值計算所得的F> 則否定假設(shè) ,即認為x,Y之間線性相關(guān)關(guān)系顯著否則不能否定 ,而認為線性相關(guān)關(guān)系不顯著     這種采用F檢驗法來對回歸方程來進行顯著性檢驗的方法稱為方差分析     在F檢驗中, , 的計算公式如下 = =              

55、;                         (21) 其中       = 例4 對例1進行線性關(guān)系顯著性檢驗 解:n=9          =-1175×(-705)=8284   

56、;       = =8550-8184=266 具體檢驗在如下的方差分析表上進行 方差來源 平方和 自由度 平均平方和 F值 回歸 8284 1 8284 21800 剩余 266 7 038 總和 8548 8   查下表對 =001 ,    今 說明線性關(guān)系極顯著,即回歸方程是有意義的9 例5 某種物質(zhì)在不同的溫度下可以吸附另一種物質(zhì),如果溫度x(單位:)與吸附重量Y(單位:mg)的觀測值如下表所示: 溫度 15 18 24 30 35 39 44 48 50 重量 48 57

57、 70 83 109 124 131 136 153 試求其回歸方程并作顯著性檢驗 解:根據(jù)上述觀測值得到  n=9 =303          =9111 =11511      =34509      =103665 =13100         =38387    

58、0;    =114516 =3367           =10122          = =29303 =02569 所求線性回歸方程為 =02569+29303x 因為 =114516  =112485  所以 =  =2031 由n-2=7   =122      &#

59、160;    =38769      F>122 所以回歸方程極顯著 第二節(jié)  多元線性回歸方程的相關(guān)性檢驗  由于 的無偏估計量為 將總的離差平方和 進行分解可 得到 + 其中      , 這里 叫做殘差平方和,其自由度為n, 叫做回歸平方和,自由度為n-p-1 檢驗假設(shè) 是否成立    在 成立時  因此可利用F檢驗法檢驗線性相關(guān)關(guān)系的顯著性 如果F ,則可認為 與 , 之間的線性相關(guān)關(guān)系顯著

60、;如果 則可以認為 與 , 之間的線性相關(guān)關(guān)系特別顯著否則可認為 與 , 之間不存在線性相關(guān)關(guān)系,所建立的線性回歸方程是不顯著的 例6 對例1 的回歸方程進行顯著性檢驗 解:經(jīng)過計算得 =23510 , = =47346           =248284 (2,10)=756 所以所求二元線性回歸方程線性極其顯著10  第五章 利用回歸方程進行點預(yù)測和區(qū)間預(yù)測  若線性回歸方程作顯著性檢驗的結(jié)果是拒絕 ,也就是拒絕回歸系數(shù) =0的假設(shè),便可以利用回歸方程進行點預(yù)測和區(qū)間預(yù)測這是人們關(guān)

61、注線性回歸的主要原因之一 (1)當x=  時用 預(yù)測 的觀測值 稱為點預(yù)測,根據(jù)                  得 的觀測值 的點預(yù)測是無偏的 (2)當x=  時用適合不等式  的統(tǒng)計量G 和H所確定的隨機區(qū)間 預(yù)測 的取值范圍稱為區(qū)間預(yù)測,而 稱為 的 預(yù)測區(qū)間 若 與樣本的各 相互獨立,則根據(jù) 服從正態(tài)分布    ,   ,Z與Q 相互獨立可以導(dǎo)出 因此 的 預(yù)測區(qū)間為 與一元線

62、性回歸一樣,當給定 時,可求出相應(yīng)的 的點估計 亦可求出區(qū)間估計,還可以給出相應(yīng)的 的預(yù)測 區(qū)間11 影響預(yù)測精度的主要因素有: (1) ,但  是不可改變的一般的, 越小精度越高 (2) n,n越大精度越高因此,要盡量擴大樣本容量 (3)自變量取值 不要太集中;預(yù)測點 離 越近精度越高 例7 一些夏季害蟲的盛發(fā)期與春季溫度有關(guān),現(xiàn)有1956-1964年間3月下旬至4月中旬平均溫度的累計數(shù)x和一代三螟蛾盛發(fā)期Y(以5月10日為0)的觀測值如下:  溫度 355 341 317 403 368 402 317 392 442 盛發(fā)期 12 16 9 2 7 3 13 9 -1 試求線性回歸方程并進行F檢驗;若 =40 ,求 的095預(yù)測區(qū)間 解:根據(jù)上述觀測值得到的  n=9 =3337           =70 =1251749      =24364 

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