自然數(shù)平方和公式的推導與證明

1、自然數(shù)平方和公式的推導與證明一. 自然數(shù)平方和推導與證明2 2 2 212+22+32+n2=n(n+1)(2n+1)/6在高中數(shù)學中是用數(shù)學歸納法證明的一個命題，沒有給出其直接的推導過 程。其實，該求和公式的直接推導并不復雜，也沒有超出初中數(shù)學內(nèi)容。設：S=12+22 +32+n2另設：Si=1+2+3 +(n+1) ?+(n+2) ?+(n+3) $ (n+n) j 此步設題是解題的關鍵！(通常不容易這么去設想)2 2 2 2 2 2 2有了此步設題，第一：S1=1+2+3+n+(n+1) +(n+2) +(n+3) +(n+n)2 2 2 2 2 2 2 2中的 12+22+32+n2=

2、S，(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+(n+n) 2可以展開為(n 2+2n+12)+( n 2+2X 2n+F)+( n 2+2X 3n+32)+( n 2+2X nn+n2)=n3+2n(1+2+3+n)+ 1 2+22+32+n2,即S=2S+r?+2n(1+2+3+n) (1)第二：S=12+22+32+n2+(n+1) 2+(n+2) 2+(n+3) 2+(n+n)2可以寫為:Si=1 2+32+52+ (2n -1) 2 +2 2+42+62+(2n) 2,其中：2 2 2 2 2 2 2 2 22 +4 +6 +(2n) =2(1 +2+3+n )=4S 2+32+H +

3、(2 n-1) 2=(2 X1-1) 2+(2 X2-1) 2+(2 X3-1) 2+ (2n -1)=(2 = n(2n 2+3n+1)X 12-2X 2X 1+1) +(2 2X22-2X 2X 2+1)2+(22 X 32-2X 2X 3+1)2+ (22Xn2-2X 2X n+1)2=22X12+2 X 2 2+22 X 32+22Xn2-2X 2X1-2X 2X2-2X 2X3 -2X 2X n+n2 2 2 2 2=2 X (1 +2+3+n)- 2X 2 (1+2+3+ - +n)+n=4S-4(1+2+3+n)+n (3)由(2)+ (3) 得：S=8S-4(1+2+3 n)+

4、n (4)由(1) 與(4) 得：32S+ n +2n( 1+2+3+ +n) =8S -4(1+2+3+n)+n即：6S= n= n(n+1)(2n+1)S= n(n+1)(2n+1)/ 6亦即：S=f+22+32+n2= n(n+1)(2n+1)/6 (5)以上可得各自然數(shù)平方和公式為n(n+1)(2n+1)/6，其中n為最后一位自然數(shù)。由(5) 代入(2) 得自然數(shù)偶數(shù)平方和公式為2n(n+1)(2n+1)/3 ，其中 2n 為最后一位自然數(shù)。+2n(1+2+3+n)+ 4(1+2+3+ +n) -n2= nn +n(1+n)+2(1+n)-1由(5) 代入(3) 得自然數(shù)奇數(shù)平方和公式

5、為 n(2n-1)(2n+1)/3 ， 其中 2n-1 為最后一位自然數(shù)。. 自然數(shù)平方和推導與證明可以由自然數(shù)平方和公式推導自然數(shù)立方和公式設 S=1即 2S=(n+1)2(1 2+22+32+n2)-n-2(n-1)-3(n-2)-n(n-n+1)+23 +33+n3 3333有 S=n+(n-1) +(n-2) + +1 (2)由(1)+ (2) 得：2S=n3+lj+(n-1) 3+23+(n-2) 3+33 +-+n3+lj=(n+1)(n 2-n+1)+(n+1)(n-1)2-2(n-1)+2 2)+(n+1)(n-2)2-3(n-2)+3 2)+22(3)(n+1)(1 -n(n

6、-n+1)(n-n+1+ n )由 12+22+32+n2=n(n+1)(2n+1)/ 6代入 得：2S=(n+1)2n(n+ 1)(2n+1)/6-n-2n-3n-nn+2X 1+3X 2+n(n -1)(n+1)2n(n+1)(2n+1)/6-n(1+2+3+n)+(1+1) x 1+(2+1) x 2+(n-1+1)(n-1)(n+1)2n(n+1)(2n+1)/6-n2 2 2 2(1+ n)/2+1 +1+2+2+(n-1) + (n-1)(n+1)2n(n+1)(2n+1)/6-n2(1+ n)/2+1 2+22+(n-1) 2+1 +2+(n-1) (4)由 i2+22+(n-1

7、) 2= n(n+1)(2n+1)/6-n2, 1+2+(n-1)=n(n-1)/2代入 得:2S=(n+1)3n(n+1)(2n+1)/6-n2+n(n-1)/222=n2(n+1)2/2即 S=13+23+33+n3= n 2(n+1) 74結論：自然數(shù)的立方和公式為n2(n+1) 74，其中n為自然數(shù)。自然數(shù)偶數(shù)立方和公式推導 設 S=2+43+63+(2n)有 S=2(1 3+23+33+n3)=8n2(n+1) 2/4=2n2(n+1) 2結論：自然數(shù)偶數(shù)的立方和公式為 2n2( n+1)2，其中2n為最后一位自然偶數(shù)自然數(shù)奇數(shù)立方和公式推導 設 S=13+23+33+(2n) 3由自然數(shù)的立方和公式為n2(n+1) 74，其中n為自然數(shù)代入左邊3+13+33+53 +(2 n-1)有 n2(2n+1) 2=23+43+63+(2n)=2n 2(n+1) 2+13