初中數(shù)學(xué)《相似三角形》教案.

1、相似三角形一、知識(shí)概述(一 )相似三角形1、對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形，叫做相似三角形溫馨提示：當(dāng)且僅當(dāng)一個(gè)三角形的三個(gè)角與另一個(gè) (或幾個(gè) )三角形的三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等， 且三條對(duì)應(yīng)邊的比相等時(shí)， 這兩個(gè) (或幾個(gè) )三角形叫做相似三角形， 即定義中的兩個(gè)條件， 缺一不可；相似三角形的特征：形狀一樣，但大小不一定相等；相似三角形的定義，可得相似三角形的基本性質(zhì)： 對(duì)應(yīng)角相等， 對(duì)應(yīng)邊成比例， 其應(yīng)用廣泛2、相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比溫馨提示：全等三角形一定是相似三角形，其相似比 k=1所以全等三角形是相似三角形的特例其區(qū)別在于全等要求對(duì)應(yīng)邊相等，而相似要求對(duì)應(yīng)邊成比例相似比具有順序

2、性例如 ABC AB的C對(duì)應(yīng)邊的比， 即相似比為k，則 ABC ABC 的相似比，當(dāng)且僅當(dāng)它們?nèi)葧r(shí)，才有k=k=1相似比是一個(gè)重要概念，后繼學(xué)習(xí)時(shí)出現(xiàn)的頻率較高，其實(shí)質(zhì)它是將一個(gè)圖形放大或縮小的倍數(shù)，這一點(diǎn)借助相似三角形可觀察得出3、如果兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，那么這兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形4、相似三角形的預(yù)備定理：如果一條直線平行于三角形的一條邊，且這條直線與原三角形的兩條邊 (或其延長(zhǎng)線 )分別相交，那么所構(gòu)成的三角形與原三角形相似溫馨提示：定理的基本圖形有三種情況，如圖其符號(hào)語(yǔ)言： DE BC ， ABC ADE ；這個(gè)定理是用相似三角形定義推導(dǎo)出來(lái)的三角形相似

3、的判定定理泛的應(yīng)用，同時(shí)也是證明下節(jié)相似三角形三個(gè)判定定理的基礎(chǔ)，故把它稱為它不但本身有著廣“預(yù)備定理 ”；有了預(yù)備定理后，在解題時(shí)不但要想到上一節(jié) “見平行，想比例 ”，還要想到 “見平行，想相似 ”(二 )相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理 (1) ：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似判定定理 (2) ：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似判定定理 (3) ：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似溫馨提示：有平行線時(shí)，用上節(jié)學(xué)習(xí)的預(yù)備定理；已有一對(duì)對(duì)應(yīng)角相等 (包括隱含的公共角或?qū)斀?)時(shí)，可考慮利用判定定理（ 1）或判定定理（ 2）；已有兩邊對(duì)應(yīng)成比例時(shí)，可考慮利用判定定理2 或判定定理3

4、但是，在選擇利用判定定理 2 時(shí)，一對(duì)對(duì)應(yīng)角相等必須是成比例兩邊的夾角對(duì)應(yīng)相等2、直角三角形相似的判定：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，兩直角三角形相似溫馨提示：由于直角三角形有一個(gè)角為直角，因此，在判定兩個(gè)直角三角形相似時(shí)，只需再找一對(duì)對(duì)應(yīng)角相等，用判定定理 1，或兩條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，用判定定理 2，一般不用判定定理 3 判定兩個(gè)直角三角形相似；如圖是一個(gè)十分重要的相似三角形的基本圖形，圖中的三角形，可稱為角形 ”，其應(yīng)用較為廣泛“母子相似三如圖，可簡(jiǎn)單記為：在Rt ABC 中， CDAB ，則 ABC CBD ACD (三)三角形的重心1、三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心2、三角形的重心

5、與頂點(diǎn)的距離等于它與對(duì)邊中點(diǎn)的距離的兩倍二、重點(diǎn)難點(diǎn)疑點(diǎn)突破1、尋找相似三角形對(duì)應(yīng)元素的方法與技巧正確尋找相似三角形的對(duì)應(yīng)元素是分析與解決相似三角形問(wèn)題的一項(xiàng)基本功下幾種方法：通常有以(1) 相似三角形有公共角或?qū)斀菚r(shí)，公共角或?qū)斀鞘亲蠲黠@的對(duì)應(yīng)角；相似三角形中最大的角 (或最小的角 ) 一定是對(duì)應(yīng)角；相似三角形中，一對(duì)相等的角是對(duì)應(yīng)角，對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角的夾邊是對(duì)應(yīng)邊；(2) 相似三角形中， 一對(duì)最長(zhǎng)的邊 (或最短的邊 )一定是對(duì)應(yīng)邊； 對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角；對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角2、常見的相似三角形的基本圖形：學(xué)習(xí)三角形相似的判定， 要與三角形全等的判定相比較， 把證明三

6、角形全等的思想方法遷移到相似三角形中來(lái)； 對(duì)一些出現(xiàn)頻率較高的圖形， 要善于歸納和記憶； 對(duì)相似三角形的判定思路要善于總結(jié)，形成一整套完整的判定方法如：(1) “平行線型 ”相似三角形， 基本圖形見上節(jié)圖“見平行， 想相似 ”是解這類題的基本思路；(2) “相交線型 ”相似三角形，如上圖其中各圖中都有一個(gè)公共角或?qū)斀墙?，找另一?duì)等角或夾等角的兩邊成比例 ”是解這類題的基本思路；“見一對(duì)等(3) “旋轉(zhuǎn)型 ”相似三角形，如圖若圖中 1= 2， B= D( 或 C= E)，則 ADE ABC ，該圖可看成把第一個(gè)圖中的ADE 繞點(diǎn) A 旋轉(zhuǎn)某一角度而形成的溫馨提示：從基本圖形入手能較順利地找到解

7、決問(wèn)題的思路和方法， 能幫助我們盡快地找到添加的輔助線以上 “平行線型 ”是常見的，這類相似三角形的對(duì)應(yīng)元素有較明顯的順序， “相交線型”識(shí)圖較困難，解題時(shí)要注意從復(fù)雜圖形中分解或添加輔助線構(gòu)造出基本圖形三、解題方法技巧點(diǎn)撥1、尋找相似三角形的個(gè)數(shù)例 1、 (吉林 )將兩塊完全相同的等腰直角三角形擺成如圖的樣子，假設(shè)圖形中所有點(diǎn)、線都在同一平面內(nèi)，回答下列問(wèn)題：(1) 圖中共有多少個(gè)三角形？把它們一一寫出來(lái)；(2) 圖中有相似 (不包括全等 )三角形嗎？如果有，就把它們一一寫出來(lái)分析：(1) 在 ABC 內(nèi)，有五個(gè)三角形，加上ABC 與 AFG ，共有七個(gè)三角形(2) 這是依據(jù)相似三角形判定定

8、理來(lái)解決的計(jì)數(shù)問(wèn)題由于個(gè)非直角三角形，考慮到題設(shè)中兩個(gè)三角形擺放的隨意性，“不包括全等 ”，圖中還剩五1 不一定等于2，而 B=C=45°， 3、 4 都為鈍角，又排除 ABD 與 ACE 相似，還剩三個(gè)三角形，這三個(gè)三角形相似解：(1)共有七個(gè)三角形，它們是ABD 、 ABE 、 ADE 、 ADC 、 AEC 、 ABC 與AFG (2) 有相似三角形，它們是 ABE DAE ， DAE DCA ， ABE DCA( 或 ABE DAE DCA) 點(diǎn)撥： 解決這類計(jì)數(shù)問(wèn)題， 一定要依據(jù)圖形與定理， 全面、 周密思考， 做到不重不漏，這類題有利于發(fā)散思維的培養(yǎng)和創(chuàng)新意識(shí)的形成；有興

9、趣的同學(xué)可繼續(xù)探索一下本題中BD 、 DE 、EC 三條線段有何關(guān)系？2、畫符合要求的相似三角形例 2、 (上海 )在大小為 4×4 的正方形方格中，ABC 的頂點(diǎn) A 、 B、 C 在單位正方形的頂點(diǎn)上，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出一個(gè) A 1B1C1，使得 A 1B1C1 ABC( 相似比不為1)，且點(diǎn) A 1、 B1 、C1 都在單位正方形的頂點(diǎn)上（1）（2）分析：設(shè)單位正方形的邊長(zhǎng)為1，則 ABC 的三邊為，從而根據(jù)相似三角形判定定理2或 3可畫A 1B 1C1，易得點(diǎn)撥： 在 4×4 的正方形方格中，滿足題設(shè)的 A 1B 1C1 只能畫出以上三個(gè)，若正方形方格數(shù)不加限制，則和 A

10、BC 相似且不全等的三角形可以畫無(wú)數(shù)個(gè)3、相似三角形的判定例 3、 (1) 如圖， O 是 ABC 內(nèi)任一點(diǎn)， D 、 E、 F 分別是 OA 、OB 、 OC 的中點(diǎn)，求證： DEF ABC ；(2) 如圖，正方形 ABCD 中， E 是 BC 的中點(diǎn)， DF=3CF ，寫出圖中所有相似三角形，并證明分析：(1) 根據(jù)題設(shè)， 觀察圖形易見， DE 、EF、FD 分別是 AOB 、BOC 、 COA 的中位線，利用三角形的中位線性質(zhì)可證 DEF 與 ABC 的三邊對(duì)應(yīng)成比例；(2) 由于正方形的四條邊相等，且 BE=CE ， DF=3CF ，設(shè)出正方形邊長(zhǎng)后，圖中所有線段都能求出，故可從三邊是

11、否成比例判定哪些三角形相似點(diǎn)撥： 第 (1) 題，若點(diǎn)O 在 ABC 外，其他條件不變，結(jié)論仍成立；第 (2)題也可用判定定理 2，先證 ABE ECF，得出 AEF=90° 后，再證其中任意三角形與 AEF 相似，顯然，以上證法較簡(jiǎn)便4、直角三角形相似的判定例 4、求證：若一個(gè)直角三角形的一條直角邊和斜邊上的高與另一個(gè)直角三角形的一條直角邊和斜邊上的高成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似已知：如圖， Rt ABC 和 Rt AB中C， C= C=90°， CD、CD分別是兩個(gè)三角形斜邊上的高，且 CDCD=AC AC求證： ABC ABC分析：判定直角三角形相似的方法除使用一

12、般三角形的判定方法外，還可使用“斜邊和一直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩直角三角形相似 ”這一定理證明 ABC AB，C只要再證一銳角對(duì)應(yīng)相等即可證明： CD、CD分別是 ABC 、 AB的C高， ACD 、 AC是D直角三角形5、三角形重心問(wèn)題例 5、已知 ABC 的重心 G 到 BC 邊上的距離為5，那么 BC 邊上的高為 ()A5B12C 10D 15解析：因?yàn)?G 為 ABC 的重心，所以 DG DA=1 3，因?yàn)?GE BC ， AF BC ，所以 GE AF ，所以 GE AF=DG DA=1 3，因?yàn)?GE=5，所以 AF=15 6、相似三角形的綜合運(yùn)用例 6、如圖， CD 是 Rt ABC

13、 斜邊 AB 上的中線，過(guò)點(diǎn)D 垂直于 AB 的直線交 BC 于 E，交AC 延長(zhǎng)線于F求證： (1)ADF EDB ； (2)CD 2=DE·DF 分析：(1) ADF 與 EDB 都是直角三角形，要證它們相似，只要再找一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等即可；(2) 注意到 CD 是斜邊 AB 的中線， AD=BD=CD ，由結(jié)論 (1) 不難得出結(jié)論 (2)證明：(1) DF AB ， ADF= BDE=90° ，又 F A= B A， F= B ，ADF EDB (2) 由(1) 得， AD·BD=DE· DF又 CD 是 Rt ABC 斜邊上的中線，AD=BD=CD

14、 故 CD 2=DE·DF 點(diǎn)撥：本題綜合考查了直角三角形的性質(zhì)與相似三角形的判定等 這是一道階梯型問(wèn)題，第(2) 題根據(jù) (1) 得出有關(guān)比例式，然后使用 “等線代換 ”使問(wèn)題簡(jiǎn)捷獲證其實(shí)第 (2)題也可這樣思考： 把它轉(zhuǎn)化為比例式， 證明這三條線段所在的 CDE FDC請(qǐng)同學(xué)們完成這一證明例 7、如圖， AD 是 ABC 的角平分線， BE AD 于 E， CF AD 于 F求證：分析：待證式中的四條線段不是在兩個(gè)三角形中， 無(wú)法直接根據(jù)兩個(gè)三角形相似得出， 需要插入一個(gè) “中間比 ”，由題設(shè)易證 ABE ACF ， BDE CDF ，從中不難找到這個(gè)中間比證明： AD 是 AB

15、C 的角平分線， 1= 2 BE AD ，CF AD ， 3= 4=90°， ABE ACF ，點(diǎn)撥： 當(dāng)無(wú)法直接由兩個(gè)三角形相似得出結(jié)論中的比例式時(shí)，一般可尋找“中間比 ”幫忙；例 8、如圖，在正方形ABCD 中， M 、N 分別是 AB 、 BC 上的點(diǎn)， BM=BN ， BP MC 于點(diǎn)P求證： (1)PBN PCD； (2)PN PD分析：要證 PN PD，即證 DPN=90° ，由已知 BPC=90° ，而 BPC 與 DPN 有公共部分 CPN，因此只要證明 4= 5 即可這就必須先證明出結(jié)論 (1)在 PBN 與 PCD 中，易證 1= 3，以下只要

16、證明夾 1、 3 的兩邊對(duì)應(yīng)成比例證明：(1) 在正方形 ABCD 中， AB CD ， ABC=90° BP MC ， PBM PCB點(diǎn)撥：要注意觀察出圖中存在的 “母子相似三角形 ”基本圖形， 從而充分利用它得出 1= 2 及 PBM PCB 等重要結(jié)論一、本章的兩套定理第一套（比例的有關(guān)性質(zhì)） ：bdacacadbcdc 或 abbdbacd（比例基本定理）合比性質(zhì)： abcdbdacm (dn0)等比性質(zhì) : acmabdbbdnbn涉及概念：第四比例項(xiàng)比例中項(xiàng)比的前項(xiàng)、后項(xiàng)，比的內(nèi)項(xiàng)、外項(xiàng)黃金分割等。二、有關(guān)知識(shí)點(diǎn)：1.相似三角形定義：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形，叫做

17、相似三角形。2.相似三角形的表示方法：用符號(hào)“”表示，讀作“相似于”。3.相似三角形的相似比：相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比。4.相似三角形的預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交，所截成的三角形與原三角形相似。5.相似三角形的判定定理：(1)三角形相似的判定方法與全等的判定方法的聯(lián)系列表如下：類型 斜三角形 直角三角形全等三角形的判定SASSSSAAS（ASA）HL相似三角形兩邊對(duì)應(yīng)三邊對(duì)應(yīng)兩角對(duì)應(yīng)一條直角邊成比例夾與斜邊對(duì)應(yīng)的判定成比例相等角相等成比例從表中可以看出只要將全等三角形判定定理中的“對(duì)應(yīng)邊相等”的條件改為“對(duì)應(yīng)邊成比例”就可得到相似三角形的判定定理，

18、這就是我們數(shù)學(xué)中的用類比的方法，在舊知識(shí)的基礎(chǔ)上找出新知識(shí)并從中探究新知識(shí)掌握的方法。6.直角三角形相似：(1)直角三角形被斜邊上的高分成兩個(gè)直角三角形和原三角形相似。(2)如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似。7.相似三角形的性質(zhì)定理：(1)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等。(2)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例。(3)相似三角形的對(duì)應(yīng)高線的比， 對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比。(4)相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比。(5)相似三角形的面積比等于相似比的平方。8.相似三角形的傳遞性如果 ABC A1B1C1， A1B1C1 A2B2C2，那么 ABCA2B2C2三、注意1、相似三角形的基本定理，它是相似三角形的一個(gè)判定定理，也是后面學(xué)習(xí)的相似三角形的判定定理的基礎(chǔ)，這個(gè)定理確定了相似三角形的兩個(gè)基本圖形“A”型和“8”型。在利用定理證明時(shí)要注意A 型圖的比例 ADDEAE