初中數(shù)學(xué)動點相似三角形練習(xí)題(答案)

1、經(jīng)典相似三角形1 / 4相似三角形（附答案）5已知：如圖所示，在 ABC 和 ADE中， AB=AC， AD=AE， BAC=DAE，且點 B， A， D 在一條直線上，連接BE， CD， M， N 分別為 BE， CD的中點（ 1）求證： BE=CD； AMN 是等腰三角形；（ 2）在圖的基礎(chǔ)上，將 ADE 繞點 A 按順時針方向旋轉(zhuǎn) 180°，其他條件不變，得到圖所示的圖形請直接寫出（ 1）中的兩個結(jié)論是否仍然成立；（ 3）在（ 2）的條件下，請你在圖中延長ED交線段 BC于點 P求證： PBD AMN分析：（ 1）因為 BAC=DAE，所以 BAE=CAD，又因為AB=AC，A

2、D=AE，利用 SAS可證出 BAE CAD，可知BE、 CD是對應(yīng)邊，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊上的中線相等，可證AMN是等腰三角形（ 2）利用（ 1）中的證明方法仍然可以得出（1）中的結(jié)論，思路不變（ 3）先證出 ABM ACN（ SAS），可得出 CAN=BAM，所以 BAC=MAN（等角加等角和相等） ，又 BAC=DAE，所以 MAN=DAE=BAC，所以 AMN， ADE和 ABC都是頂角相等的等腰三角形，所以PBD=AMN，所以PBD AMN（兩個角對應(yīng)相等，兩三角形相似）（ 1）證明： BAC=DAE， BAE=CAD， AB=AC，AD=AE， ABE ACD， BE=CD由 AB

3、E ACD，得 ABE=ACD，BE=CD， M、 N 分別是 BE， CD的中點， BM=CN又 AB=AC， ABM ACN AM=AN，即 AMN為等腰三角形（ 2）解：（1）中的兩個結(jié)論仍然成立（ 3）證明：在圖中正確畫出線段 PD，由（ 1）同理可證 ABM ACN， CAN=BAM BAC=MAN又 BAC=DAE， MAN=DAE=BAC AMN， ADE 和 ABC都是頂角相等的等腰三角形 PBD和 AMN都為頂角相等的等腰三角形， PBD=AMN， PDB=ANM， PBD AMN10附加題：如圖 ABC 中， D為 AC上一點， CD=2DA， BAC=45°，

4、BDC=60°， CEBD于 E，連接 AE（ 1）寫出圖中所有相等的線段，并加以證明；（ 2）圖中有無相似三角形？若有，請寫出一對；若沒有，請說明理由；（ 3）求 BEC 與 BEA的面積之比分析：（ 1）根據(jù)直角三角形中30 度角所對的直角邊是斜邊的一半，可知CD=2ED，則可寫出相等的線段；（ 2）兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似則可判斷ADE AEC；（ 3）要求 BEC 與 BEA的面積之比， 從圖中可看出兩三角形有一公共邊可作為底邊，若求得高之比可知面積之比，由此需作 BEA 的邊 BE邊上的高即可求解解：（ 1） AD=DE， AE=CE=EB CEBD， BDC=60&#

5、176;，在RtCED中， ECD=30° CD=2EDCD=2DA， AD=DE， DAE=DEA=30°=ECD AE=CE（ 2）圖中有三角形相似， ADE AEC； CAE=CAE， ADE=AEC， ADE AEC；（ 3）作 AFBD 的延長線于F，設(shè) AD=DE=x，在 RtCED中，可得CE=，故 AE= ECD=30°在 RtAEF 中， AE=， AED=DAE=30°， sin AEF=， AF=AE?sin AEF=.13如圖，已知梯形ABCD中， ADBC， AD=2，AB=BC=8，CD=10（ 1）求梯形 ABCD的面積 S

6、；（ 2）動點 P 從點 B出發(fā)，以 1cm/s 的速度，沿 B? A? D? C方向，向點 C運動；動點 Q從點 C出發(fā)，以 1cm/s的速度，沿C? D? A 方向，向點A 運動，過點Q作 QEBC 于點 E若 P、 Q兩點同時出發(fā)，當(dāng)其中一點到達目的地時整個運動隨之結(jié)束，設(shè)運動時間為t 秒問：當(dāng)點 P 在 B? A 上運動時，是否存在這樣的t ，使得直線PQ將梯形 ABCD的周長平分？若存在，請求出t 的值；若不存在，請說明理由；在運動過程中，是否存在這樣的t ，使得以P、A、 D 為頂點的三角形與CQE相似？若存在，請求出所有符合條件的t 的值；若不存在，請說明理由；在運動過程中，是否

7、存在這樣的t ，使得以P、D、 Q為頂點的三角形恰好是以DQ為一腰的等腰三角形？若存在，請求出所有符合條件的t 的值；若不存在，請說明理由解答：S ABCD=（ AD+BC） AB= ×（ 2+8）× 8=40（ 2） BP=CQ=t， AP=8 t ， DQ=10 t ， AP+AD+DQ=PB+BC+CQ，8 t+2+10 t=t+8+t t=3 8當(dāng) t=3 秒時， PQ將梯形 ABCD周長平分第一種情況： 0t 8若 PAD QEC 則 ADP=C tan ADP=tanC= = = ，t=若 PAD CEQ 則 APD=C tan APD=tanC= = ，=t=

8、第二種情況：8t 10， P、A、 D 三點不能組成三角形；第三種情況：10t 12ADP 為鈍角三角形與 RtCQE不相似；t=或 t=時， PAD 與 CQE相似第一種情況：當(dāng) 0t 8時過 Q點作 QEBC，QHAB，垂足為E、 HAP=8 t ， AD=2， PD= CE= t ， QE= t ， QH=BE=8t ， BH=QE= t PH=t t=t PQ=， DQ=10t ： DQ=DP， 10 t=，解得 t=8秒： DQ=PQ， 10 t=，化簡得： 3t 2 52t+180=0 解得： t=， t= 8（不合題意舍去）第二種情況： 8t 10 時 DP=DQ=10 t 當(dāng)

9、8t 10 時，以 DQ為腰的等腰 DPQ 恒成立第三種情況：10t 12 時 DP=DQ=t 10當(dāng) 10t 12 時，以 DQ為腰的等腰 DPQ 恒成立綜上所述， t=或 8t 10 或 10t 12 時，以 DQ為腰的等腰 DPQ 成立14已知矩形 ABCD，長 BC=12cm，寬 AB=8cm，P、Q分別是 AB、BC上運動的兩點若 P 自點 A 出發(fā)，以 1cm/s 的速度沿 AB方向運動，同時， Q自點 B 出發(fā)以 2cm/s 的速度沿 BC方向運動，問經(jīng)過幾秒，以 P、 B、 Q為頂點的三角形與 BDC 相似？分析：要使以 P、B、Q為頂點的三角形與 BDC 相似，則要分兩兩種情

10、況進行分析 分別是 PBQ BDC 或 QBP BDC，從而解得所需的時間解：設(shè)經(jīng) x 秒后， PBQ BCD，由于 PBQ=BCD=90°，（ 1）當(dāng) 1=2 時，有：，即；（ 2）當(dāng) 1=3 時，有：，即，經(jīng)過秒或 2 秒， PBQ BCD;.15如圖，在 ABC 中， AB=10cm， BC=20cm，點 P 從點 A 開始沿 AB邊向 B 點以 2cm/s 的速度移動，點 Q從點 B 開始沿 BC邊向點 C以 4cm/s 的速度移動， 如果 P、Q分別從 A、B 同時出發(fā)， 問經(jīng)過幾秒鐘， PBQ與 ABC相似分析：設(shè)經(jīng)過t 秒后， PBQ與 ABC相似，根據(jù)路程公式可得AP

11、=2t， BQ=4t， BP=10 2t ，然后利用相似三角形的性質(zhì)對應(yīng)邊的比相等列出方程求解即可解：設(shè)經(jīng)過秒后t 秒后， PBQ與 ABC相似，則有 AP=2t ，BQ=4t，BP=10 2t ，當(dāng) PBQ ABC 時，有 BP：AB=BQ： BC，即（ 10 2t ）： 10=4t ： 20，解得 t=2.5 （s）（ 6 分）當(dāng) QBP ABC 時，有 BQ：AB=BP： BC，即 4t ： 10=（ 10 2t ）： 20，解得 t=1 所以，經(jīng)過 2.5s 或 1s 時， PBQ與 ABC相似（ 10 分）解法二：設(shè) ts后， PBQ與 ABC相似，則有， AP=2t ，BQ=4t，

12、 BP=10 2t分兩種情況：（ 1）當(dāng) BP與 AB對應(yīng)時，有=，即=，解得 t=2.5s（ 2）當(dāng) BP與 BC對應(yīng)時，有=，即=，解得 t=1s所以經(jīng)過 1s 或 2.5s時，以 P、B、 Q三點為頂點的三角形與 ABC 相似16如圖， ACB=ADC=90°， AC=， AD=2問當(dāng) AB的長為多少時，這兩個直角三角形相似解： AC= ， AD=2，CD=要使這兩個直角三角形相似，有兩種情況：（ 1）當(dāng) RtABCRtACD 時，有=， AB=3；（ 2）當(dāng) RtACBRtCDA 時，有=， AB=3 故當(dāng) AB 的長為 3 或 3 時，這兩個直角三角形相似19如圖所示，梯形

13、ABCD中， ADBC， A=90°， AB=7，AD=2，BC=3，試在腰 AB上確定點P 的位置，使得以P，A， D 為頂點的三角形與以P， B， C 為頂點的三角形相似解：（ 1）若點 A， P， D 分別與點B， C， P 對應(yīng)，即 APD BCP，=，=， AP2 7AP+6=0， AP=1 或 AP=6，檢測：當(dāng)AP=1時，由 BC=3，AD=2， BP=6，=，又 A=B=90°， APD BCP當(dāng) AP=6 時，由 BC=3， AD=2，BP=1，又 A=B=90°， APD BCP（ 2）若點 A， P， D分別與點 B， P， C對應(yīng)，即 AP

14、D BPC = ，= ，AP= 檢驗：當(dāng)AP=時，由 BP=， AD=2，BC=3，=，又 A=B=90°， APD BPC因此，點P的位置有三處，即在線段AB距離點 A 的 1、 6 處;.20 ABC和 DEF是兩個等腰直角三角形， A=D=90°， DEF 的頂點 E 位于邊 BC的中點上（ 1）如圖 1，設(shè) DE與 AB交于點 M，EF與 AC交于點 N，求證：BEM CNE；（ 2）如圖 2，將 DEF 繞點 E 旋轉(zhuǎn)，使得 DE與 BA的延長線交于點 M， EF 與 AC交于點 N，于是，除（ 1）中的一對相似三角形外，能否再找出一對相似三角形并證明你的結(jié)論分析

15、：因為此題是特殊的三角形，所以首先要分析等腰直角三角形的性質(zhì)：可得銳角為45°，根據(jù)角之間的關(guān)系，利用如果兩個三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個三角形相似可判定三角形相似；再根據(jù)性質(zhì)得到比例線段，有夾角相等證得ECN MEN證明：（ 1） ABC是等腰直角三角形，MBE=45°， BME+MEB=135°又 DEF 是等腰直角三角形， DEF=45° NEC+MEB=135° BEM=NEC，而 MBE=ECN=45°， BEM CNE（ 2）與（ 1）同理 BEM CNE，又 BE=EC，則 ECN與 MEN中有，又 ECN=M

16、EN=45°， ECN MEN21如圖，在矩形 ABCD中， AB=15cm，BC=10cm，點 P 沿 AB邊從點A 開始向 B 以 2cm/s 的速度移動；點Q沿 DA邊從點 D 開始向點 A 以 1cm/s 的速度移動如果 P、 Q同時出發(fā)，用t （秒）表示移動的時間，那么當(dāng)t 為何值時，以點 Q、 A、 P 為頂點的三角形與 ABC 相似分析：若以點 Q、 A、 P 為頂點的三角形與 ABC 相似，有四種情況： APQ BAC，此時得AQ： BC=AP：AB； APQ BCA，此時得AQ： AB=AP：BC；可根據(jù)上述四種情況所得到的不同的對應(yīng)成比例線段求出t 的值解：以點

17、Q、 A、 P 為頂點的三角形與 ABC 相似，所以 ABC PAQ 或 ABC QAP，當(dāng) ABC PAQ 時，所以，解得： t=6 ；當(dāng) ABC QAP 時，所以，解得： t= ；故當(dāng) t=6 或 t= 時，以點 Q、 A、 P 為頂點的三角形與ABC相似27如圖，分別以直角三角形ABC三邊為直徑向外作三個半圓， 其面積分別用 S ，S ，S 表示，則不難證明 S =S +S 123123（ 1）如圖，分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個正方形，其面積分別用S1， S2，S3 表示，那么 S1， S2，S 之間有什么關(guān)系； （不必證明）3（ 2）如圖，分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個正三角形，其面積分別用S1、S2、 S3 表示，請你確定S ，S ， S 之間的關(guān)系并加以證明；123（ 3）若分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個一般三角形，其面積分別用S1， S2， S3 表示，為使 S1， S2， S3之間仍具有與（ 2）相同的關(guān)系，所作三角形應(yīng)