初二數(shù)學(xué)平行線分線段成比例定理講義及練習(xí).

1、平行線分線段成比例定理一、主要知識點1平行線分線段成比例定理，三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例。2三角形一邊平行線的性質(zhì)定理（即平行線分線段成比例定理的推論）：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應(yīng)線段成比例。3三角形一邊的平行線的判定定理：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊。4三角形一邊的平行線的性質(zhì)定理2（即課本例6）：平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對應(yīng)成比例。二、重點剖析1平行線分線段成比例定理，是研究相似的最重和最基本的理

2、論，同時， 它也是直接證明線段成比例的最重要方法之一。定理的基本圖形ADL 1DAL 1A (D)L 1DAL 1BEL2EBL 2BEL 2B(E)L 2CFL 3CFL 3CFL 3CFL 3圖1- （1）圖1- （2）圖1- （3）圖1- （4）ABDEABDEBCEF l1 l2 l 3 EFACDFACDFBC對應(yīng)線段是指一條直線被兩條平行直線截得的線段與另一條直線被這兩條平行直線截得的線段對應(yīng)。為了強調(diào)對應(yīng)和記憶，可以使用一些簡單形象化語言記憶上面所列三組比例式：ABDE，可以說成“上比下等于上比下”BCEFABDE，可以說成“上比全等于上比全”ACDFBCEF，可以說成“下比全等

3、于下比全”等ACDF2三角形一邊平行線的性質(zhì)定理1（即平行線分線段比例定理的推論）基本圖形AEDAABCDEBCBC DE圖 2-(1)圖 2-(2)圖 2-(3) DE BC ADAEADAEDBCEDBECABACABAC圖 2（ 1），圖 2（ 3）稱為“ A ”型，圖2（ 2）稱為“ X ”型推論中“或兩邊的延長線”是指三角形兩邊在第三邊同一側(cè)的延長線3三角形一邊平行線的判定定理是平行線分線段成比例的推論的逆命題。（ 1）這個定理可以用來判定兩條直線平行。（ 2）使用時，一定要注意這個定理的前提：截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得對應(yīng)線段成比例。A4平行線分線段成比例定理的逆命題：三

4、條直線截兩條直Dl 1線，截得的對應(yīng)線段成比例，那么這三條直線平行。它是一個假命題，如圖3，其中 AB=BC ，BEl 2ABDE1，但 L1、L 2、L3 不平行。Fl 3DE=EF ，則EFCBC5、三角形一邊的平行線的性質(zhì)定理2（即課本例 6），這個圖3 A定理也叫做相似三角形預(yù)備定理ADDEAE DE BCBCACABDE這時，成比例的線段已經(jīng)不一定分布在兩條直線上。CB當(dāng)平行于三角形一邊的直線截兩邊的延長線時，這個定圖4理也成立。圖 4 是最基本的“ A ”型，課本例 6 中有“ A”型時常A作平行線， 把所要研究的線段中， 與其它線段關(guān)系不明顯的線段平移到關(guān)系明顯的線段上去。GE典

5、型例題 F例 1、如圖 5，在 ABC 中， D 是 BC 上的點，E 是 AC 上的點， AD 與 BE 交于點 F，若 AE:EC=3:4 ，BD圖5CBD:DC=2:3 ，求 BF:EF 的值。分析：求兩條線段的比值，可通過平行線截得比例線段定理和已知線段的比發(fā)生聯(lián)系，而圖形本身并沒有平行線，故需添加輔助線平行線去構(gòu)造比例線段，進而求出比值。解：過 E 作 EG BC 交 AD 于 G，則在 ADC 中，GEAEDCACAE3AE3EG3又477ECACDC極 EG=3X ， DC=7X （ X>0 ），則 BD2 DB=2 DC27x14 xDC3333BD14 x1433x9E

6、G又 EGBC， BFBD14FEEG9例 2、如圖 6，DE AB ， EF BC ，AF=5cm, FB=3cm, CD=2cm, 求 BD 。分析 根據(jù)條件可知 BDEF 為平行四邊形， 由 EF BC ，應(yīng)用相似三角形的預(yù)備定理，得AFEFAB再應(yīng)用比例性ABC質(zhì)，即可求出EF 即 BD。解：DE AB ， EFBC 四邊形 BDEF 為平行四邊形， BD=EFFEAFEFBC又 EF BC， BCDAB圖 6AFBD5BDBD DCBD 2AF BF5 3解之，得 BD=10 （ cm）3例 3、如圖 7， A 、 C、 E 和 B 、 F、 D 分別是 O 的兩邊上的點，且求證：

7、AF/CD分析 要證明 AF/CD ，應(yīng)推導(dǎo)出能使AF/CD 的比例線段，由題中圖形可知，應(yīng)證明OAOF ，而由 AB/ED ，OCODBC/FE ，容易得到此關(guān)系。AB ED 、 BC FE。ECA證明： AB/ED OAOB OBOCOB FDBC/FE圖7OEODOFOE由得 OA ODOB OE由得 OC OFOB OEOA ODOC OF則 OA OFAF/CDOC OD點評：本題是采用的是“公比過渡”的方法來解決問題的，“公比”是指兩個或兩個以上的比例式中均有一個公共比， A 有時公比是采用乘積式的形式。例 4 如圖 8 梯形 ABCD 中， AB/CD ， M 為 AB 的中點，

8、分別連結(jié) AB 、BD 、MD 、MC，且 AC 與 MD 交于E， DB 與 MC 交于 F，求證 EF/CD分析：要證EF/CD ，可根據(jù)三角形一邊平行線的判定定理證明，首先觀察 EF、 CD 截哪個三角形，然后證明它截得兩邊上的對應(yīng)線段成比例即可。MBEFD圖8C證明： AB/CD CDDEAMEM， CDCF又 AM=BMDECF EF/CDMBFMEMFM點評利用三角形一邊平行線的判定定理證明兩直線平行的一般步驟為：（ 1）首先觀察欲證平行線截哪個三角形（2）再觀察它們截這個三角形的哪兩邊（ 3）最后只須證明這兩條邊上對應(yīng)線段成比例即可當(dāng)已知中有相等線段時，常利用它們和同一條線段（或

9、其它相等線段）的比作為中間比例5如圖9，A,B ,C , 分別在 ABC 的三邊 BC、AC、AB 上或其延長線上，且AA / BB / CCA求證：111AABBCCCB分析 所證結(jié)論中出現(xiàn)的三條線段的倒數(shù)，解決此類問題，AB一般情況下，要將其轉(zhuǎn)化為線段比的形式。圖9 C證明： CC/ AA CCBC CC/ BB CCACAABABBAB CCC CBCACBCAC1 111AABBBAABABAABBCC點評 對于線段倒數(shù)和的證明，常見的方法是化倒數(shù)形式為線段的比的形式，再利用平行線或相似三角形有關(guān)性質(zhì)進行求解，如本題中， 要證111，只需證 CCCC1，即將倒數(shù)和的形式化AABBCCA

10、ABB為線段比的形式。例 6 如圖 10 四邊形 ABCD中， BAD 的平分線交 BD 于 E，AEF/CD 交 BC 于 F，求證： BCAD1BFABBED分析 結(jié)論是兩個線段比的差，可分別求出每一組線段的比，再進行減法運算。F證明： AE 平分 BAD ADDEC圖10ABBE在 BCD 中 EF/CD DBCBBEBF得BCADDBDE1 BCAD1BFABBEBEBFAB例 7 如圖 11， AD 為 ABC 的角平線， BF AD 的延長線于 F， AM AD 于 AAEB DMF N C圖11交 BC 的延長線于 M ， FC 的延長線交 AM 于 E，求證： AE=EM分析

11、要證 AE=EM ，可利用比例緞來證明，而由BF AF，可延長 BF 交 AC 延于 N，構(gòu)造等腰三角形，利用等腰三角形性質(zhì)有BF=FN ，再由 BN/AM ，得比例線段，即可得出結(jié)論。證明：延長 BF 交 AC 的延長線于 N AF BF BFA= NFA=90 0又 BAF= NAF ，AF=AF ABF ANF BF=NF BF AF AM AF BF/AM BFFC ，ENFCEMECAECE BFFN又 BF=FN EM=AEEMAE點評（ 1）有和角平分線垂直線段時常把它延長，構(gòu)造等腰三角形，利用等腰三角形性質(zhì)證題（ 2）利用比例證明線段相等主要有以下形式 a1a b acacbb

12、bacac bda c bdbd3a2a DMEbdac例 8 如圖 12 把線段 AB 分成 2：3 兩部分分析 利用平行線分線段成比例定理作圖作法； 1. 以點 A 為端點，作射線 AM2. 在 AM 上順次截 AD=2a ， DE=3a （ a 為任意長）ABC圖123. 連結(jié) BE，過點 D 作 DC/BE 交 AB 于 C，則點 C 即為所求練習(xí)與測試 1 如圖 ABC 中， D 、E、 F 分別在 AB 、 AC 、BC 上，且 DE/BC ， EF/AB ，AD=9 ， EF=6，CF=5 ，則 BF=2 直線 DE 分別交 ABC 的邊 AB 、 AC 于點 D 、 E，且 A

13、D=4cm ， AE=6cm 、 AB=12cm ，AC=那么 DE/BC3 如圖 DE/BCAD2 ，DB3B那么 AC=DEECBCD4如圖在ABCD 中， E 在 AD 上，AADEDEBFCBC( 第1題)( 第3題)AEDFE( 第4題)CADCO且 4AE=5DE ，CE 交 BD 于 F，則 BF DF5 如圖，梯形ABCD 中， AD/BC ，對角線AC 、 BD 相交于 O， CE/AB 交 BD 的延長線于若 OB=6 ，OD=3 ，則 DE=6 如圖，已知DC/EF/GH/AB ，AB=30 ，CD=6 ，且 DE：EG： GA=1 ：2： 3，則 EF=GH=7如圖，在

14、ABCD 中，O1、 O2、 O3 分別為對角線BD 上三點，且 BO 1=O 1O2=O 2O3=O 3D，連結(jié) AO1 ，并延長交連結(jié) EO3，并延長交 AD 于點 F，則 AD ： FD=EFGHE，AB( 第6題)G Al 1FEl 2B C D( 第8題)BC于E，AB( 第5題)CAFDO2O3O1BEC( 第7題)ADEB (第9題) CAD8 圖， l1 / l 2 , AF2，GEGB ， BC=4CD5B若 AE=k EC ，則 k=D9 如圖， CD 是 ABC 的角平分線，( 第10題)CEFMNBC( 第13題（1）)點E在AC上， ADAE2 ，AC=10 ，求 D

15、EABAC510 如圖， CD 是 ABC 中， E 為 AC 的中點，ADADENMFEFD 為 BC 上的點，且 BD=AB ，求證： BCAGABGD11 已知， C 是線段 AB 上一點，分別以 AC 、 BC為邊，在 AB 的同側(cè)作兩個等邊三角形ACD 和 BCE ，AE 交 CD 于 F， BD 交 CG 于 G，求證 FG/AB12 已知， BD 為 ABC 的角平分線， DE/BC ，交 AB 于 E，求證：111ABBCDE（N）MBCBC（第13題（2）（第13題（2）NEFMAD13已知，如圖（ 1），梯形 ABCD 中， AD/BC ， E、 F 分別在 AB 、 CD 上，且 EF/BC ，EF 分別交 BD 、AC 于 M、N。求證 ME=NF當(dāng) EF 向上平移圖（ 2）各個位置其他條件不變時，的結(jié)論是否成立，請證明你的判斷。BC（第13題（2）練習(xí)與測試參考解答或提示1 15 ； 2 18cm；3 5, 2；4 9：4；59；610， 18；7 9： 1；8 2； 96235AGAEBCEC10提示，過 D 作 DH/AC 交 BG 于 H 點，則DH，又 AE=EC ，BD=A