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1、22、定積分221曲邊梯形的面積與定積分【知識(shí)網(wǎng)絡(luò) 】1 了解定積分的實(shí)際背景。2 初步了解定積分的概念,并能根據(jù)定積分的意義計(jì)算簡(jiǎn)單的定積分?!镜湫屠} 】 例 1( 1)已知和式1p2 p3pn p ( p0) 當(dāng) n +時(shí),無限趨近于一個(gè)常數(shù)A ,nP1則 A 可用定積分表示為()11dx1p1( 1 ) p dx1( x) p dxABxdxDxCxn0000( 2)下列定積分為1 是()1xdxB11)dx11dx1 1A ( xCD dx0000 2( 3)求由 y ex , x2, y1圍成的曲邊梯形的面積時(shí),若選擇為積分變量,則積分區(qū)間為()A 0,B 0, 2C 1, 2D

2、0,1( 4)由 y=cosx 及 x 軸圍成的介于0 與 2 之間的平面圖形的面積,利用定積分應(yīng)表達(dá)為1( 5)計(jì)算1 x2 dx =。0 例 2 利用定積分的幾何意義,判斷下列定積分的值是正是負(fù)?3012( 1)4x( 3)0 sin xdx ;(2) 1 e dx ;1 ln xdx 3利用定積分的幾何意義,比較下列定積分的大小112dx ,13dx 。xdx ,xx000 例 3 計(jì)算下列定積分:11;(1)( x 1)dx2 32(3) cos xdx ;0 例 4 利用定積分表示圖中四個(gè)圖形的面積:(2)4(x 3)dx ;1(4)2x3dx 。2yy【課內(nèi)練習(xí) 】yy=(x-1)

3、2 - 1y21 的是y = x2y = xy = 1()1 下列定積分值為1111 1AtdtB。( x 1)dx。dxD。dx00C00 2Oa x1 O2 x1O2xaObx(1)(2)(3)(4)1tan xx2 sin x)dx =2( x3()1A 0B。 21tan xx2 sin x)dx( x30C 20tan x x 2 sin x) dxD。 21tan xx2 sin x | dx( x3| x3103 設(shè)連續(xù)函數(shù) f(x) 0,則當(dāng) a b 時(shí),定積分bf ( x)d x 的符號(hào)()aA 一定是正的 B當(dāng) 0<a<b 時(shí)為正,當(dāng) a<b<0 時(shí)

4、為負(fù)C一定是負(fù)的 D當(dāng) 0<a<b 時(shí)為負(fù),當(dāng) a<b<0 時(shí)為正4 由直線 yx, yx 1 ,及軸所圍成平面圖形的面積為()A C1012011 y y dyB。 2x 1 x dx01 y y dy1x 1 dxD。 x05 和式111 當(dāng) n+時(shí), 無限趨近于一個(gè)常數(shù)A ,則 A 用定積分可表n1 n22n示為。6 曲線 yx 2 , x0, y1 ,所圍成的圖形的面積可用定積分表示為7 計(jì)算曲邊三角形的面積的過程大致為:分割;以直代曲;作和;逼近。試用該方法計(jì)算由直線x=0 ,x=1, y=0 和曲線 y=x 2 所圍成的曲邊三角形的面積。(下列公式可供使用:

5、 12+22+ +n2=1n(n1)(2n 1))68 求由曲線 y x 1 與 x1, x 3, y0 所圍的圖形的面積 .9 計(jì)算22 x,0x1,f ( x)dx ,其中 , f (x)05,1x2.10彈簧在拉伸過程中,力與伸長(zhǎng)量成正比,即力F(x)=kx ( k 是正的常數(shù), x 是伸長(zhǎng)量),求彈簧從平衡位置拉長(zhǎng)b 所做的功。22、定積分221曲邊梯形的面積與定積分A 組1 若 f ( x) 是 a, a 上的連續(xù)偶函數(shù),則af ( x)dx()a00af ( x)dxA f (x)dx B 0C 2f ( x)d x Daa02 變速直線運(yùn)動(dòng)的物體的速度為v(t) ,初始t=0 時(shí)

6、所在位置為,則當(dāng)秒末它所在的位置為()t1B s0t1t1t1A v(t )dt0v(t)dt C v(t)dt s0 D s0v(t)dt0003 由直線 y x, yx 1 ,及軸所圍成平面圖形的面積為()A C1012011yy dyB2x1x dx01 y y dy1x 1 dxD x0h( x)0axb,且b( ), c( )dx B,給出下列結(jié)論:4 設(shè) f ( x)ah x dx Abg xg ( x)0,bxc. A 0;B0;cAB ; f ( x)dxac | f ( x) | dx A B 。a其中所有正確的結(jié)論有。5 設(shè)函數(shù) f (x) 的圖象與直線x =a, x =b

7、 及 x 軸所圍成圖形的面積稱為函數(shù)f(x) 在 a,b上的面積。已知函數(shù)y sinnx 在 0,n ( n N * )上的面積為 2 。n y sin3x 在 0,2上的面積為;3 y sin( 3x ) 1 在, 4上的面積為。336 求由曲線 y1 x 與 x 0, x3, y 0所圍的圖形的面積。7 試根據(jù)定積分的定義說明下列兩個(gè)事實(shí):b( )b()cfcf;x dxax dxab()()b( )b)。 (fdxfdx(axg xaxgx dxa8 物體按規(guī)律x 4t 2 ( m)作直線運(yùn)動(dòng),設(shè)介質(zhì)的阻力與速度成正比,且速度等于10( m/s)時(shí)阻力為2(N ),求物體從 x=0 到

8、x=2 阻力所做的功的積分表達(dá)式22、定積分221曲邊梯形的面積與定積分B 組1 如果 1kg 力能拉長(zhǎng)彈簧1cm,為了將彈簧拉長(zhǎng)6cm,則力所作的功為()A 0.18kg ·mB 0.26kg ·mC 0.12kg· mD 0.28kg· mb,b, |b2b af ( x)dx|f(x) |dxfxdx |() 已知 ,下列值:aa( )的大小關(guān)系為aA |bf ( x) dx |bba| f ( x) | dx f ( x)dxaaB 。bbbf ( x)dxa| f ( x) | dx |f ( x)dx |aaCbbf ( x) dx |=bf

9、 ( x) dxa| f ( x) | dx = |aabbf ( x) dx |bD a| f ( x) | dx = |f ( x)dxaa3 若 f ( x) 與 g (x) 是 a,b 上的兩條光滑曲線,則由這兩條曲線及直線x=a,x=b 所圍圖形的面積()A bg ( x) dx Bb( f ( x)g ( x)d xf ( x)aaCbf ( x)d x Dbg (x)d x(g (x)( f (x)aa4 給出下列命題:b若f ( x) dx 0, b a,則 f(x) 0;af(x)0babx)dx0若f,則( ;ab若f ( x) dx =0, b a,則 f(x)=0 ;a

10、若 f(x)=0 , b a,則bf ( x) dx =0;ab若|f(x) |dx =0, ,則f(x)=0。aba其中所有正確命題的序號(hào)為。5 給出下列定積分:2 sin xdx 0sin xdx0222x3 dxxdx31其中為負(fù)值的有。6 求由曲線 y2x 3,y1, y2,x 0 所圍圖形的面積。7 計(jì)算:24x2 dx 。28 試問下面的結(jié)論是否成立?若函數(shù) f(x) 在區(qū)間 a, b上是單調(diào)增函數(shù),則f (a)(b a)bf ( x)dx f (b)(b a) 。a若成立,請(qǐng)證明之;若不成立,請(qǐng)說明理由。參考答案221曲邊梯形的面積與定積分【典型例題 】例 1(1)B( 2) C

11、3 B。2 ( 4)| cosx |dx 或 42 cosxdx 。00( 5) 。提示:這是求單位圓落在第一象限內(nèi)部分的面積。4例 2(1)正(2) 正 (3)負(fù)。111 xdx x2 dx x3dx 。000例 3(1)5; (2)45 ; (3)0; (4)0。22 例 4(1)Sa2 dx ;(2)22 dx ; (3) S02 1 dx22 1dx ;xSx( x 1)( x 1)0110(4) Sbdx a【課內(nèi)練習(xí) 】1 C。2 A 。提示:被積函數(shù)為奇函數(shù),且積分區(qū)間又關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,利用定積分的幾何意義知,面積的代數(shù)和為 0。3 A。4 C。115dx 。0 1 x12 )dx 。6(1 x071 。提示:請(qǐng)參看教材 P4244。38 6。9 6。b2kb 。10可用“分割;以直代曲;作和;逼近”求得:Wkxdx02221曲邊梯形的面積與定積分A 組1 C。2 B。3 C。4 。5 4; 2。3363 。27 定積分的定義實(shí)質(zhì)反映了計(jì)算的過程,也就是:分割;以直代曲;作和;逼近??蓢L試用這四步進(jìn)行說明或證明。8 變力作功公式中,F(xiàn)(x) 是用 x 表示的,而此題中只有x 對(duì) t 的

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