中考專題母子型三角形問題蘇科版,包含答案

1、中考專題：例談“母子”型三角形問題中考中常出現(xiàn)兩個(gè)全等或相似的三角形組合問題，因圖形相似，可形象地稱它們?yōu)椤澳缸印比切?求解這類問題時(shí)，關(guān)鍵是要抓住全等或相似的判定與性質(zhì)下面以 2018 年中考試題為例說明.例 1(2018 淄博)(1)操作發(fā)現(xiàn)：如圖 1,小明畫了一個(gè)等腰三角形 ABC,其中 ABAC,在 ABC 的外側(cè)分別以AB，AC為腰作了兩個(gè)等腰直角三角形ABD,ACE,分別取BD，CE，BC的中點(diǎn) M,N,G,連結(jié) GM,GN.小明發(fā)現(xiàn)了：線段 GM 與 GN 的數(shù)量關(guān)系是；位置關(guān)系是圖1圖2(2)類比思考：如圖 2,小明在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了深入思考.把等腰三角形 ABC 換為一般的銳

2、角三角形，其中 ABAC,其它條件不變，小明發(fā)現(xiàn)的上述結(jié)論還成立嗎？請說明理由.(3)深入研究：如圖 3,小明在(2)的基礎(chǔ)上，又作了進(jìn)一步的探究.向 ABC 的內(nèi)側(cè)分別作等腰直角三角形 ABD,ACE,其它條件不變，試判斷GMN的形狀，并給與證明.H圖3解析(1)連結(jié)BE,CD相交于 H.因?yàn)?ABD 和 ACE 都是等腰直角三角形,可得 CADBAE,ACDABE?CDBE,ADCABE.BHCDBHBDCABDABEBDCABDADCBDCABDADB90CDBE因?yàn)辄c(diǎn)M，G分別是BD，BC的中點(diǎn),-1-MG/-CD2-1NG/BE 同理=2從而得 MGNG,MGNG(2)連結(jié)CD，BE

3、相交于點(diǎn) H,同(1)的方法，易得 MGNG,MG連結(jié)EB，DC,延長線相交于H,同(1)的方法，易得 MGNGAEBACDNGCEHECHAEBAEC180ACDACEACD45180ACD4590DHE90,即 MGNG.所以 MGN 是等腰直角三角形.點(diǎn)評本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線定理本題是等腰直角三角形的“母子”圖，(1)問是根據(jù) SAS 證出ACDAEB,從而封斷 CD 與 BE 既相等也垂直，最后利用三角形中位線定理和平行線的性質(zhì)得出 MG 與 NG 既相等也垂直；(2)(3)兩問與(1)問的方法相同，圖形雖變，但解法不變.例 2(遼陽

4、)在 ABC 和 ADE 中，BABC,DADE,且ABCADE,點(diǎn) E 在 ABC 的內(nèi)部，連接EC,EB 和 BD,并且 ACEABE90如圖 4,當(dāng) 60 時(shí)，線段 BD 與 CE 的數(shù)量關(guān)系為,線段EAEB，EC的數(shù)量關(guān)系為(2)如圖 5,當(dāng)90時(shí)，請寫出線段EA,EB,EC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；在(2)的條件下，當(dāng)點(diǎn) E 在線段 CD 上時(shí)，若BC2指，請直接寫出 BDE的面積.D解析VBABC,DADE,ABCADE60所以 ABC,ADE 都是等邊三角形.ADAE,ABACDAEBAC60*?從而得 DABEAC,DABEAC可得 BDCE,ABDACE.ACEABE90ABD

5、ABEDBE90.、222由勾股定理，得DEBDBE,而 DEAE,1 EA2BE2EC2.BABC,DADE,ABCADE90所以 ABC,ADE 都是等腰直角三角形,可得 DAEBAC45從而得 DABEAC.ADAEcosDAE2AB2ACcosBAC. DE2BD2BE2.DE-2EADB-2-EC易得 2,而 2,1EA21EC2BE2.22,即 EA2EC22BE2.如圖 6,因?yàn)楫?dāng)點(diǎn) E 在線段 CD 上時(shí)，即D，E，C共線，AED45,所以 AEC135.由知 ADB:AEC,.EC.2BDADBAEC1352 ADE90,.BDE45由知 DBE90,可得 BDEBED45,

6、BDBE,2DB-EC由知2,ADDEEC在 RtABC 中，ABBC2后,易得AC2io.ADABAEAC,DAB:EAC?DBAB.2可得 ECAC2,ABDACE.ACEABE90ABDABEDBE90設(shè) ADDEECx,222在 RtADC 中，ADDCAC,22即 x4x40,解得 x2 衣或 2 衣（負(fù)根舍去），ADDE22,.本題(1)問是等邊三角形的“母子”圖，利用三角形全等知識即可解決;(2)問是等腰直角三角形的的“母子”圖，根據(jù)(l)的經(jīng)驗(yàn)，不難想到利用相似知識解答；(3)問是(2)的特殊情形，利用三角形相似和勾股定理知識順利解決例 3(河南)(1)問題發(fā)現(xiàn)如圖6，在 0A

7、B 和 0CD 中，0A0B,0C0D,AOBCOD40,AC易得 BDSBDE點(diǎn)評連結(jié)AC，BD交于點(diǎn) M.填空：BD 的值為AMB 的度數(shù)為如圖 7,在 0AB和0CD 中，A0BC0D90OABOCD30AC連接 AC 交 BD 的延長線于點(diǎn) M.請判斷 BD 的值以及AMB 的度數(shù)，并說明理由;(3)拓展延伸在(2)的條件下，將 0CD 繞點(diǎn) 0 在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn),AC，BD所在直線交于點(diǎn)M,若0D1,0B用,請直接寫出當(dāng)點(diǎn) C 與點(diǎn) M 重合時(shí) AC 的長.解析(1)A0BC0D40，(2)類比探究M0AC0AD0B,又 0A0B,0C0DCOADOB,ACBD,巴1 即 BD.COAD

8、OB,CAODBO設(shè) AO 與 MB 交于點(diǎn) G,AMBAOB40DCO30,DOC90OB3tan30同理，得 OA3,ODOBOCOA.AOBCOD90AOCBODAOC:BOD同(1)問中的第問的方法，易得AMBAOB90由(2),知 AMB90,設(shè) BDx,貝(JAC出 xAGBAMBCAOAOBDBOODOCtan30ACOC. BDODCAODBO在 RtCOD 中,OCD30,可得 CD2OD2;在 RtAOB 中，OAB30,可得 OB7,AB2OB27當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn) M 重合時(shí)（如圖 8）匕B圖7圖8貝（JBCBDCDx2在 RtAMB 中，由勾股定理，得222AC2BC2AB2即（、.3x）2（x2）2（2,7）2,解得x2,或x3（舍去），AC23.當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn) M 重合時(shí)（如圖 9）則有 BCBDCDx2.在 RtAMB 中，由勾股定理，得222AC2BC2AB2即（百 x）2（x2）2（2 月2,解得x3,或x2（舍去），AC3.3綜上知，AC 的長為 23 或 3 遍.點(diǎn)評本題(1)問是等腰三角形的“母子”圖，利用三角形全等和三角形外角關(guān)系即可解答；(2)問是