實(shí)數(shù)完備性基本定理的相互證明

1、實(shí)數(shù)完備性基本定理的相互證明（30個(gè)）一.確界原理 1.確界原理證明單調(diào)有界定理 證 不妨設(shè)為有上界的單調(diào)遞增數(shù)列.由確界原理，數(shù)列有上確界，令，下面證明：.對(duì)任意的，由上確界的定義，存在數(shù)列中某一項(xiàng),使得：.由于單調(diào)遞增,故對(duì)任意的，有：.另一方面,由于是的一個(gè)上界,故對(duì)任意的正整數(shù)都有：.所以任意的，有：，即：.由極限的定義，.同理可證單調(diào)遞減有下界的數(shù)列必有極限，且其極限即為它的下確界. 2.確界原理證明區(qū)間套定理 證明：設(shè)是一個(gè)閉區(qū)間套. 令數(shù)集.由于任一都是數(shù)列的上界，由確界原理，數(shù)集有上確界，設(shè).下證屬于每個(gè)閉區(qū)間顯然，故只需證明對(duì)任意正整數(shù)，都有.事實(shí)上，對(duì)任意正整數(shù)，都是的上界

2、，而上確界是最小上界，故必有. 所以存在實(shí)數(shù)，使得下證唯一性，假設(shè)還有另外一點(diǎn)，也滿足.則，故有:.唯一性得證. 3.確界原理證明有限覆蓋定理 證明：欲證閉區(qū)間的任一開覆蓋都有有限的子覆蓋.令顯然有上界.又覆蓋閉區(qū)間，所以，存在一個(gè)開區(qū)間，覆蓋住了.取，則顯然能被中有限個(gè)開區(qū)間覆蓋（1個(gè)），從而 非空.由確界原理，令. 先證明.用反證法，若，則.由覆蓋閉區(qū)間，一定存在開區(qū)間，覆蓋住了.取，使： ，則能被中有限個(gè)開區(qū)間覆蓋，把加進(jìn)去，就得到也能被中有限個(gè)開區(qū)間覆蓋，即，這與矛盾，故.最后證明.設(shè)開區(qū)間，覆蓋住了.由，故存在使得：且.則能被中有限個(gè)開區(qū)間覆蓋，把加進(jìn)去，就得到也能被中有限個(gè)開區(qū)間覆

3、蓋.4.確界原理證明聚點(diǎn)定理 證明：設(shè)有界無限點(diǎn)集，則由確界原理令.若是的一個(gè)聚點(diǎn)，則命題已經(jīng)成立，下面設(shè)不是的聚點(diǎn).令 .因?yàn)椴皇堑木埸c(diǎn)，所以存在，使得只包含中有限個(gè)數(shù)，故，從而非空.又有界，所以的所有上界就是的上界，故有上確界，令.下面證明是的一個(gè)聚點(diǎn).對(duì)任意的，故包含中無窮多個(gè)元素.由上確界的定義，存在，使得，故中只包含中有限多個(gè)元素.從而我們得知中包含了中無窮多個(gè)元素，由聚點(diǎn)的定義，是的一個(gè)聚點(diǎn).5.確界原理證明Cauchy收斂準(zhǔn)則 證明：必要性：若，則對(duì)任意的，存在正整數(shù)，對(duì)一切，有.于是對(duì)一切，有.充分性：現(xiàn)假設(shè)滿足對(duì)任意的，存在，對(duì)一切正整數(shù)，有.令數(shù)集，明顯數(shù)列的下界都屬于，并

4、且的上界就是的上界.由確界存在定理，令.對(duì)條件給定的和，故包含中無窮多項(xiàng).由上確界的定義，存在，使得，故中只包含中有限多個(gè)元素.從而我們得知中包含了中無窮多個(gè)元素，設(shè)則對(duì)任意正整數(shù)，總存在某個(gè)，故有：.從而.二.單調(diào)有界定理 6單調(diào)有界定理證明確界定理 證明：我們不妨證明非空有上界的數(shù)集必有上確界.設(shè).明顯是一個(gè)可數(shù)集，所以假設(shè)：.令.則得單調(diào)遞減有下界的數(shù)列，由單調(diào)有界定理得，令 先證是上界.任取，有，由極限的保序性，.其次對(duì)于任意的，取一個(gè)有理數(shù)，它明顯不是的上界，否則產(chǎn)生矛盾！故存在，使得，我們證明了是數(shù)集 上確界.7.單調(diào)有界定理證明區(qū)間套定理 若是一個(gè)區(qū)間套,則為單調(diào)遞增有上界的數(shù)列

5、,由單調(diào)有界定理, 令，并且容易得到.同理,單調(diào)遞減有下界的數(shù)列也有極限,并按區(qū)間套的條件有：，并且容易得到.所以下證唯一性，假設(shè)還有另外一點(diǎn)，也滿足.則，故有:.唯一性得證. 8.單調(diào)有界定理證明有限覆蓋定理設(shè).容易得到中包含無窮多個(gè)元素，并且是一個(gè)可數(shù)集，所以假設(shè)：.令.則得單調(diào)遞增有上界的數(shù)列，由單調(diào)有界定理得，令.先證明.用反證法，若，則.由覆蓋閉區(qū)間，一定存在開區(qū)間，覆蓋住了.取，使： ，則能被中有限個(gè)開區(qū)間覆蓋，把加進(jìn)去，就得到也能被中有限個(gè)開區(qū)間覆蓋，即，這與矛盾，故.最后證明.設(shè)開區(qū)間，覆蓋住了.由，故存在使得：.則能被中有限個(gè)開區(qū)間覆蓋，把加進(jìn)去，就得到也能被中有限個(gè)開區(qū)間覆

6、蓋.9.單調(diào)有界定理證明聚點(diǎn)定理 證明：設(shè)是一有界無限點(diǎn)集，在中選取一個(gè)單調(diào)，下證數(shù)列有聚點(diǎn).（1）如果在的任意一項(xiàng)之后，總存在最大的項(xiàng),設(shè)后的最大項(xiàng)是， 后的最大項(xiàng)是，且顯然； 一般地，將后的最大項(xiàng)記為，則有：.這樣，就得到了的一個(gè)單調(diào)遞減子列.（2）如果（1）不成立 則從某一項(xiàng)開始，任何一項(xiàng)都不是最大的，不妨設(shè)從第一項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不是最大項(xiàng).于是，取，因不是最大項(xiàng)，所以必存在另一項(xiàng)又因?yàn)橐膊皇亲畲箜?xiàng)，所以又有： ，這樣一直做下去，就得到了的一個(gè)單調(diào)遞增子列.綜上所述，總可以在中可以選取一個(gè)單調(diào)數(shù)列，利用單調(diào)有界定理，收斂，極限就是的一個(gè)聚點(diǎn).10.單調(diào)有界定理證明Cauchy收斂準(zhǔn)則 證明

7、：必要性：若，則對(duì)任意的，存在正整數(shù)，對(duì)一切，有.于是對(duì)一切，有.充分性：現(xiàn)假設(shè)滿足對(duì)任意的，存在，對(duì)一切正整數(shù)，有.先證明柯西數(shù)列是有界的.取，故存在某個(gè)正整數(shù)，對(duì)一切，有，即.故有界.參考9的做法，可知數(shù)列有一個(gè)單調(diào)子列，由單調(diào)有界定理，收斂，令.則對(duì)任意正整數(shù)，總存在某個(gè)，使得，故有：.從而.三區(qū)間套定理 11.區(qū)間套定理證明確界原理 證明：僅證明非空有上界的數(shù)集 必有上確界 取一個(gè)閉區(qū)間，使得包含中的元素，并且為的上界.將閉區(qū)間等分為兩個(gè)閉區(qū)間與.若為數(shù)集的上界，則取，否則取.再將閉區(qū)間等分為兩個(gè)閉區(qū)間與.若為數(shù)集的上界，則取，否則取.不斷進(jìn)行下去，這樣得到了一個(gè)閉區(qū)間套.由區(qū)間套定理

8、的得存在屬于所有的閉區(qū)間并且每個(gè)閉區(qū)間都包含中的元素，并且右端點(diǎn)為的上界.由于對(duì)任意，有，所有由極限的保序性，從而是數(shù)集的上界.最后，對(duì)于任意，存在，使得.由閉區(qū)間套的選取，包含了中某個(gè)元素，從而有.故是數(shù)集的上確界.12. 區(qū)間套定理證明單調(diào)有界定理 設(shè)是單調(diào)有界數(shù)列，不妨設(shè)其為單調(diào)遞增且有上界取一個(gè)閉區(qū)間，使得包含中的項(xiàng)，并且為的上界.將閉區(qū)間等分為兩個(gè)閉區(qū)間與.若為的上界，則取，否則取.再將閉區(qū)間等分為兩個(gè)閉區(qū)間與.若為的上界，則取，否則取.不斷進(jìn)行下去，這樣得到了一個(gè)閉區(qū)間套.由區(qū)間套定理的得存在屬于所有的閉區(qū)間并且每個(gè)閉區(qū)間都包含中的項(xiàng)，并且右端點(diǎn)為的上界.下面證明.對(duì)任意的，存在，

9、使得.由閉區(qū)間套的選取，包含了中某一項(xiàng)，從而有.由于單調(diào)遞增,故對(duì)任意的，有：.又，故有，即.13. 區(qū)間套定理證明有限覆蓋定理 若閉區(qū)間可以被中的開區(qū)間無限開覆蓋.下面證明閉區(qū)間可以被有限開覆蓋.用反證法，若閉區(qū)間不能被有限開覆蓋.將閉區(qū)間等分為兩個(gè)閉區(qū)間與.其中必有一個(gè)區(qū)間不能被有限開覆蓋，設(shè)它為；再將閉區(qū)間等分為兩個(gè)閉區(qū)間與.其中必有一個(gè)區(qū)間不能被有限開覆蓋，設(shè)它為.不斷進(jìn)行下去，這樣得到了一個(gè)閉區(qū)間套.由區(qū)間套定理的得存在屬于所有的閉區(qū)間.顯然，考慮中覆蓋的開區(qū)間，取.由于，所以存在，對(duì)一切正整數(shù)，有，故此時(shí).從而可以被中的一個(gè)開區(qū)間覆蓋，產(chǎn)生矛盾！故假設(shè)不成立，即閉區(qū)間可以被有限開覆

10、蓋.14. 區(qū)間套定理證明聚點(diǎn)定理 證明:已知點(diǎn)集是有界無限點(diǎn)集.設(shè).將閉區(qū)間等分為兩個(gè)閉區(qū)間與.其中必有一個(gè)區(qū)間包含了點(diǎn)集中無窮多個(gè)元素，設(shè)它為；再將閉區(qū)間等分為兩個(gè)閉區(qū)間與.其中必有一個(gè)區(qū)間包含了點(diǎn)集中無窮多個(gè)元素，設(shè)它為.不斷進(jìn)行下去，這樣得到了一個(gè)閉區(qū)間套，每個(gè)閉區(qū)間包含了點(diǎn)集中無窮多個(gè)元素.由區(qū)間套定理的得存在屬于所有的閉區(qū)間.下證是點(diǎn)集的一個(gè)聚點(diǎn).因?yàn)?，故?duì)任意的，必定存在一個(gè)，對(duì)一切正整數(shù)，有，從而.又每個(gè)閉區(qū)間包含了點(diǎn)集中無窮多個(gè)元素,故包含了點(diǎn)集中無窮多個(gè)元素.由聚點(diǎn)的定義，是點(diǎn)集的一個(gè)聚點(diǎn).15. 區(qū)間套定理證明Cauchy收斂準(zhǔn)則必要性：若，則對(duì)任意的，存在正整數(shù)，對(duì)一切

11、，有.于是對(duì)一切，有.充分性：現(xiàn)假設(shè)滿足對(duì)任意的，存在，對(duì)一切正整數(shù)，有.先證明柯西數(shù)列是有界的.取，故存在某個(gè)正整數(shù)，對(duì)一切，有，即.故有界.取一個(gè)閉區(qū)間，使得包含所有中的項(xiàng).將閉區(qū)間等分為兩個(gè)閉區(qū)間與.其中必有一個(gè)區(qū)間包含了中無窮多項(xiàng)，設(shè)它為；再將閉區(qū)間等分為兩個(gè)閉區(qū)間與.其中必有一個(gè)區(qū)間包含了中無窮多項(xiàng)，設(shè)它為.不斷進(jìn)行下去，這樣得到了一個(gè)閉區(qū)間套，并且每個(gè)閉區(qū)間都包含中無窮多項(xiàng).由區(qū)間套定理的得存在屬于所有的閉區(qū)間現(xiàn)在取一個(gè)子列，滿足.因?yàn)楹蛫A逼定理，.則對(duì)任意正整數(shù)，總存在某個(gè)，使得，故有：.從而.四.有限覆蓋定理 16.有限覆蓋定理證明確界原理 證明：不妨設(shè)為非空有上界的數(shù)集，我們

12、證明有上確界.設(shè)為的一個(gè)上界，下面用反證法來證明一定存在上確界.假設(shè)不存在上確界，取.對(duì)任一，依下述方法確定一個(gè)相應(yīng)的鄰域（開區(qū)間）. （1）若不是的上界，則至少存在一點(diǎn)，使，這時(shí)取.（2）若是的上界，由假設(shè)不存在上確界，故有，使得 中不包含中的點(diǎn).此時(shí)取，可知它也不包含中的點(diǎn).于是我們得到了的一個(gè)開覆蓋：根據(jù)有限覆蓋定理，可以被中有限個(gè)開區(qū)間覆蓋. 很明顯（1）的開區(qū)間右端點(diǎn)屬于，（2）的開區(qū)間中不包含中的點(diǎn).顯然所屬的開區(qū)間是屬于（1）的，所屬的開區(qū)間是屬于（2）的，所以至少有一個(gè)（1）中的開區(qū)間與某個(gè)（2）中的開區(qū)間相交，這是不可能的. 17.有限覆蓋定理證明單調(diào)有界定理 證明：設(shè)是單調(diào)

13、有界數(shù)列，不妨設(shè)其為單調(diào)遞增且有上界.任取為的一個(gè)上界以及中某項(xiàng)，構(gòu)造出閉區(qū)間，對(duì)任意的，依下述方法確定一個(gè)相應(yīng)的鄰域（開區(qū)間）. （1） 若不是的上界，則中至少存在一項(xiàng)，使，這時(shí)取.（2） 若是的上界，由假設(shè)發(fā)散，故不會(huì)收斂到.即有存在某個(gè)，對(duì)任何正整數(shù)，存在，使得.由于遞增，有上界，所以中的所有項(xiàng)均不落在中.此時(shí)取.于是我們得到了的一個(gè)開覆蓋：.根據(jù)有限覆蓋定理，可以被中有限個(gè)開區(qū)間覆蓋. 很明顯（1）的開區(qū)間右端點(diǎn)屬于，（2）的開區(qū)間中不包含中的項(xiàng).顯然所屬的開區(qū)間是屬于（1）的，所屬的開區(qū)間是屬于（2）的，所以至少有一個(gè)（1）中的開區(qū)間與某個(gè)（2）中的開區(qū)間相交，這是不可能的. 18.

14、 有限覆蓋定理證明區(qū)間套定理 證明:用反證法.假設(shè)沒有公共點(diǎn)，則對(duì)任意一點(diǎn)，它都不會(huì)是的公共點(diǎn)，從而存在正整數(shù)，使得.故總存在一個(gè)開區(qū)間，使得：，于是我們得到了的一個(gè)開覆蓋：.根據(jù)有限覆蓋定理，可以被中有限個(gè)開區(qū)間覆蓋. 注意到閉區(qū)間套之間的包含關(guān)系，則所有一定和某個(gè)最小的閉區(qū)間無交.從而：.產(chǎn)生矛盾！19. 有限覆蓋定理證明聚點(diǎn)定理 證明:設(shè)點(diǎn)集是有界無限點(diǎn)集.設(shè).用反證法，假設(shè)沒有聚點(diǎn).利用聚點(diǎn)定義，對(duì)任意的，存在一個(gè)領(lǐng)域，使得中只包含點(diǎn)集中有限個(gè)點(diǎn).這樣得到了的一個(gè)開覆蓋：.根據(jù)有限覆蓋定理，可以被中有限個(gè)開區(qū)間覆蓋. 由于每個(gè)中只包含點(diǎn)集中有限個(gè)點(diǎn)，所以也只包含了中有限個(gè)點(diǎn)，這與是無限

15、點(diǎn)集相矛盾！故假設(shè)不成立，即有聚點(diǎn).20. 有限覆蓋定理證明Cauchy收斂準(zhǔn)則 證明：必要性：若，則對(duì)任意的，存在正整數(shù)，對(duì)一切，有.于是對(duì)一切，有.充分性：（使用反證法）現(xiàn)假設(shè)滿足對(duì)任意的，存在，對(duì)一切正整數(shù)，有.先證明柯西數(shù)列是有界的.取，故存在某個(gè)正整數(shù)，對(duì)一切，有，即.故有界.假設(shè).若發(fā)散，則對(duì)任意的，可以找到一個(gè)，使得中只有有限項(xiàng)落在中.否則對(duì)任何，中均包含中無限項(xiàng)，則可以證明收斂.這樣得到了的一個(gè)開覆蓋：.根據(jù)有限覆蓋定理，可以被中有限個(gè)開區(qū)間覆蓋. 所以也只包含了中的有限項(xiàng)，矛盾！故假設(shè)不成立，收斂.五聚點(diǎn)定理21.聚點(diǎn)定理證明確界原理 證明：僅證明非空有上界的數(shù)集必有上確界.

16、 取一個(gè)閉區(qū)間，使得包含中的元素，并且為的上界.將閉區(qū)間等分為兩個(gè)閉區(qū)間與.若為數(shù)集的上界，則取，否則取.再將閉區(qū)間等分為兩個(gè)閉區(qū)間與.若為數(shù)集的上界，則取，否則取.不斷進(jìn)行下去，這樣得到了一個(gè)閉區(qū)間套.由于明顯有界，所有它有聚點(diǎn).對(duì)任意，設(shè)，則.由的任意性，故是的一個(gè)上界.其次，對(duì)任意，取，設(shè)包含于閉區(qū)間，則.從而我們證明了是的一個(gè)上確界.22.聚點(diǎn)定理證明單調(diào)有界定理 證明：設(shè)是單調(diào)有界數(shù)列，則它一定存在聚點(diǎn).下證：.對(duì)任意的，由聚點(diǎn)的定義，中包含中的無窮多項(xiàng)，設(shè).則取，對(duì)一切正整數(shù)，假設(shè).利用是單調(diào)的，介于與之間，所以由，可知，從而由極限的定義，23.聚點(diǎn)定理證明區(qū)間套定理 證明：設(shè)，則

17、是有界無限點(diǎn)集 由聚點(diǎn)定理得數(shù)集聚點(diǎn).若存在一個(gè)某個(gè)正整數(shù)，使得，不妨假設(shè).取，則對(duì)一切，有.于是中只包含中有限個(gè)點(diǎn)，這與是數(shù)集的聚點(diǎn)矛盾！故下證唯一性，假設(shè)還有另外一點(diǎn)，也滿足.則，故有:.唯一性得證. 24.聚點(diǎn)定理證明有限覆蓋定理 證明：若閉區(qū)間可以被中的開區(qū)間無限開覆蓋.下面證明閉區(qū)間可以被有限開覆蓋.用反證法，若閉區(qū)間不能被有限開覆蓋.將閉區(qū)間等分為兩個(gè)閉區(qū)間與.其中必有一個(gè)區(qū)間不能被有限開覆蓋，設(shè)它為；再將閉區(qū)間等分為兩個(gè)閉區(qū)間與.其中必有一個(gè)區(qū)間不能被有限開覆蓋，設(shè)它為.不斷進(jìn)行下去，這樣得到了一個(gè)閉區(qū)間套，并且均不能被有限開覆蓋顯然，是有界的，故它存在聚點(diǎn).明顯.考慮覆蓋中覆蓋

18、住的開區(qū)間.取，則在中包含了中的無窮多項(xiàng)，設(shè).又于是存在某個(gè)，使得故；.故.這與均不能被有限開覆蓋矛盾！故假設(shè)不成立，即閉區(qū)間可以被有限開覆蓋.25.聚點(diǎn)定理證明Cauchy收斂準(zhǔn)則 證明：必要性：若，則對(duì)任意的，存在正整數(shù)，對(duì)一切，有.于是對(duì)一切，有.充分性：現(xiàn)假設(shè)滿足對(duì)任意的，存在，對(duì)一切正整數(shù)，有. 先證明柯西數(shù)列是有界的.取，故存在某個(gè)正整數(shù)，對(duì)一切，有，即.故有界.故它存在聚點(diǎn)，設(shè)為.對(duì)條件中的，由聚點(diǎn)的定義，假設(shè)則對(duì)任意正整數(shù)，總存在某個(gè)，使得，故有：.從而.六.Cauchy收斂準(zhǔn)則 26. Cauchy收斂準(zhǔn)則證明確界原理 證明: 設(shè)為非空有上界數(shù)集.由實(shí)數(shù)的阿基米德性,對(duì)任何正

19、數(shù),存在整數(shù) ,使得為S 的上界,而不是的上界, 即存在使得分別取，則對(duì)每一個(gè)正整數(shù),存在相應(yīng)的,使得為的上界，而不是的上界,故存在,使得 又對(duì)正整數(shù) ,是的上界，故有.所以，即有.同理有，于是得到.于是,對(duì)任意的，存在正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)有.由柯西收斂準(zhǔn)則,數(shù)列收斂.記現(xiàn)在證明就是的上確界.首先,對(duì)任何和正整數(shù)，有，有極限的保序性，故是的上界其次,對(duì)于任意的,存在充分的的正整數(shù)，使得并且.由于不是的上界，所以存在，并且.于是.故就是的上確界.27. Cauchy收斂準(zhǔn)則證明單調(diào)有界定理 證明：設(shè)是單調(diào)有界數(shù)列，不妨假設(shè)單調(diào)遞增有上界.若發(fā)散，則又柯西收斂準(zhǔn)則，存在，對(duì)一切正整數(shù)，存在，使得.于是容易得到的子列，使得.進(jìn)而故，這與是有界數(shù)列矛盾！所有假設(shè)不成立，即收斂.28. Cauchy收斂準(zhǔn)則證明區(qū)間套定理 證明：設(shè)為閉區(qū)間套.因?yàn)?，所以?duì)任意的，存在正整數(shù)，對(duì)一切，有從而對(duì)任意的，；，由柯西收斂準(zhǔn)則，均收