一元二次方程根的分布測試及答案

1、精心整理一元二次方程根的分布元二次方程根的基本分布一一零分布所謂一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相對于零的關(guān)系。比如二次方程有一正根，有一負根，其實就是指這個二次方程一個根比零大，一個根比零小,或者說，這兩個根分布在零的兩側(cè)。精心整理設(shè)一元二次方程ax2bxc0a0）的兩個實根為,X2,且XiX2【定理UXi0,X20（兩個正根）b24ac0推論：X10,x20a0或f（0）c0b0上述推論結(jié)合二次函數(shù)圖象不難得到?！纠?】若一i元二次方程（m1）x22（m.2b4ac0b，XiX2-0acX1X20ab24ac0a0f(0)c0b01)xm0有兩個正根，求m的取值范圍分析：依題意有24

2、(m1)4m(m1)02(m1)00Vm<1。m1【定理2】x10,m1b24ac0X20XX-01)X1X20/a推論：XiL0,X2c-X1X2-0a,22_b4ac0、b4ac00a0或a0f(0)c0f(0)c0b0b0由二次函數(shù)圖象易知它的正確性。【例2】若一元二次方程kx23kxk30的兩根都是負數(shù)，求k的取值范圍。（k絲或k>3）5【定理3】x10x2c0精心整理【例3】k在何范圍內(nèi)取值，一元二次方程kx23kxk30有一個正根和一個負根？分析：依題意有幺f<0=>0<k<3k【定理4】xi0,X20c0且B0；ab一x10,x20c0且一0。

3、a【例4】若一元二次方程kx2(2k1)xk30有一根為零，則另一根是正根還是負分析：由已知k3=0,.k=3,代入原方程得3x2+5x=0,另一根為負。.一元二次方程的非零分布k分布設(shè)一元二次方程ax2bxc0(a0)的兩實根為x1，x2,且xx2。k為常數(shù)。.2b 4ac 0【定理1】k x1x2則一元二次方程根的k分布(即x1，x2相對于k的位置)有以下若干定理。af(k)0bk2a【定理2 x1x2 kb2 4ac 0af(k) 0b2a【定理3 x1 k x2af (k) 0。推論 1 x1 0 x2ac 0 o推論 2x1 1 x2a(a b c) 0?！径ɡ?】有且僅有k1 x1

4、 (或x2)k2f(k1)f(k2) 0【定理51 k1x1k25X2 P2a 0a 0f(k1)0f (k1)0f(k2)0 或f(k2)0f(g0f(g0f(P2)0f(P2)0此定理可直接由定理4推出，請讀者自證【定理6】k1x1x2k2b2 4ac 0 b2 4ac 0a 0a 0f(k1) 0 或 f(k1) 0f(k2) 0f(k2) 0k1b2ak2k1b2ak2精心整理三、例題與練習(xí)精心整理【例5】已知方程x2(129 12 m )4(2)若一元二次方程11x2 mxm 2 0的兩實根都大于1 ,(m 1)x 3 0的兩個實根都大于求m的取值范圍。-1 ,求m的取值范圍。(3)

5、若一元二次方程(m 1或m 52【例6】已知方程x22 mx2注)(m 1)x 3 0的兩實根都小于2,求m的取值范圍。圍。(2)(3)2已知方程(1m2已知方程2x2)3x2 (m2mx 2m2 3 0有一*根大于二)22)x 2m 1 0有一實根在2,另一根比2小，求m的取值范0和1之間，求m的取值范圍。(m 2)x 2m 10的較大實根在0和1之間，求實數(shù)m的取值范圍。變./式：改為較小實根(不可能；1m2)2(4)若方程x2(k2)xk0的兩實根均在區(qū)間(1、1)內(nèi)，求k的取值范圍。(42V3k-)2(5)若方程x2(k2)x2k10的兩根中，一根在0和1之間，另一根在1和2之間，求k

6、的取值范圍。(1k2)23(6)已知關(guān)于x的方程(m1)x22mxm2m60的兩根為、且滿足01,求m的取值范圍。(3m"或2mV7)【例7】已知關(guān)于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.(1)若方程有兩根，其中一根在區(qū)間(一1,0)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1,2)內(nèi)，求m的范圍.(2)若方程兩根均在區(qū)間(0,1)內(nèi)，求m的范圍.本題重點考查方程的根的分布問題，解答本題的閃光點是熟知方程的根對于二次函數(shù)性質(zhì)所具有的意義.技巧與方法：設(shè)出二次方程對應(yīng)的函數(shù)，可畫出相應(yīng)的示意圖，然后用函數(shù)性質(zhì)加以限制.解：(1)條件說明拋物線f(x)=x2+2mx+2m+1與x軸的交點分別在區(qū)間(一1,0)

7、和(1,2)內(nèi)，畫出示意圖，得f(0)2m10,2mR，f(1)20,Af(1)4m20,m12f(2)6m505m61m(2)據(jù)拋物線與X軸交點落在區(qū)間f (0) 0，(0，1)內(nèi)，列不等式組f(1)0 0，0 m 11.提示:2.范圍。提示:12,12 ,1 一 2或 mm 0.若方程4x(這里0<n<1是因為對稱軸x=m應(yīng)在區(qū)間(0，1)內(nèi)通過)v2,(m 3)?2x m 0有兩個不相同的實根，求m的取值范圍令2x=t轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次方程有兩個不同的正實根。答案:若關(guān)于x的方程lg(x2 20x)lg(8x 6a3)0有唯一的實根，求實數(shù)o0<m <1a的取

8、值原方程等價于x2 20xx 20x08x即6a 3令 f(X) =x2 + 12x+6a+311 (1)若拋物線y=f(x)與x軸相切，=144 4(6a+3)=0即a=。將a =U代入式有x=6不滿足式，2(2)若拋物線y=f(x)與x軸相交，注意到稱軸為x=6,故交點的橫坐標(biāo)有且一個滿足式的充要條件是2.11.a f o2其對僅有f( 20) 0f(0)當(dāng)0163a6:時原方程有唯一解。另法:原方程等價于 x2+20x=8x6 a 3(x<20 或 x>0)問題轉(zhuǎn)化為：求實數(shù)a的取值范圍，使直線y =8 x 6a3 與拋物線 y= x2+20 x(x< 20 或 只有一個公共點。雖然兩個函數(shù)圖像都明確，但在什么條精心整理16寸3x >0)有且件下它們有且只有一個公共點卻不明顯，可將變形為x2+12x+3=6a(x<20或x>0),再在同一坐標(biāo)系中分別也作出拋物線y=x2+12x+3和直線y=6a,如圖，顯然當(dāng)3<6aWl63即唾a1時直線y=6a與拋物線有且只有一個公共點。623. 已知f(x)=(xa)(xb)2(a<b),并且，是方程f(x)=0的兩根(<),則實數(shù)a,b,、的大小關(guān)系是()A、<a<b<B、a<<<bC、a<<b<D、&l