李賢平《概率論基礎(chǔ)》第三版課后答案

1、卅第一章事件與概率1、解：(1) P 只訂購 A 的 =PA(B U C) =P(A)-P(AB)+P(AC)-P(ABC)=0.45-0.1 .-0.08+0.03=0.30.(2) P 只訂購 A 及 8的 =PAB-C =P(AB)-P(ABC)=0.10-0.03=0.07P 只訂購人的 =030,P 只訂購 8的 -PB-(AUC)-0.35-(0.10+0.05-0.03)»0.23.P 只訂購 <7的 =PC-(AUB)=0.30-(0.05+0.08-0.03尸0.20.P (只訂購一種報(bào)紙的=P只訂購A + P只訂購B+P只訂購C=0.30+0.23+0.20

2、=0.73.(4) P正好訂購兩種報(bào)紙的= P(AB-C) U (AC-B) U (BC-A) =P (AB-ABC) +P (AC-ABC) +P (BC-ABC)= (0. 1-0. 03) + (0. 08-0. 03)+. (0. 050. 03)=0. 07+0. 05+0. 02=0. 14.(5) P 至少訂購一種報(bào)紙的 =P 只訂一種的 +P 恰訂兩種的 +P 恰訂三種的-0.73+0.14+0.03-0.90.(6) P 不訂任何報(bào)紙的 =1-0.90=0.102、解：(1) ABC = A =>BCA(ABCcA顯然)且若 a 發(fā)生，則 B 與C必同時(shí)發(fā)生。(2) A

3、UBUC = AnBUCu A 二>3u A 且 CuA，B 發(fā)生或 C 發(fā)生，均導(dǎo)致 A發(fā)生。(3) ABuC=>A與B同時(shí)發(fā)生必導(dǎo)致C發(fā)生。(4) 4cBC=>Ac=UC, A發(fā)生，則B與C至少有一不發(fā)生。3、解：& U 血 U U 人“ =A + (A2 一 Aj + + (& - &(或)=& + 人 A】4 AnAiAi -An-i.4、解：(1) ABC-抽到的足男同學(xué)，又不愛唱歌，又不是運(yùn)動(dòng)員：ABC=抽到的是男同學(xué)，乂愛唱歌，乂是運(yùn)動(dòng)員。(2) ABC=A=>BCA,當(dāng)男同學(xué)都不愛唱歌且是運(yùn)動(dòng)員時(shí)成立。(3) 當(dāng)不是運(yùn)動(dòng)員

4、的學(xué)生必是不愛唱歌的時(shí)，luB成立。(4) A=B及瓜= C=>4 = B = W,當(dāng)男學(xué)生的全體也就是不愛唱歌的學(xué)生全體，也 就不是運(yùn)動(dòng)員的學(xué)生全體時(shí)成龍。也可表述為：當(dāng)男學(xué)牛不愛唱歌H.不愛唱歌的一定是男學(xué) 生，并且男學(xué)生不是運(yùn)動(dòng)員且不是運(yùn)動(dòng)員的是男學(xué)生時(shí)成立。5、解：設(shè)袋中有三個(gè)球，編號為1, 2, 3,每次摸一個(gè)球。樣本空間共有3個(gè)樣本點(diǎn)(1),(2) , (3)。設(shè) A = 1,2,8 = 1,3,(7 = 3,則;？ = 3, AUB = 1,2,3, AC|B = 1, A B = 2,A + C = L2,3o6、解：(1) 至少發(fā)生一個(gè)嚴(yán)AUBUCUD.(2) 恰發(fā)生兩

5、個(gè)尸ABCD + ACBD + ADBC + BCAD + CDAB + BDAC.(3) A, B都發(fā)生ifu c，D都不發(fā)生= ABCD.(4) 都不發(fā)生=Tbcd = aJbUcjd.(5) 至多發(fā)生一個(gè)= ABCD + ABCD4-BACD + CABD + DABC= ABJACJADJBCJBDJCD.£1EE,2E、E、E& =機(jī) Eq = Q7、解：分析一卜工之間的關(guān)系。先依次設(shè)樣本點(diǎn)coeE,再分析此e是否屬F EjUihEjEJWkwi)等。(1)民為不可能爭件。若功申，則e言£0 = 1,2,3,4),即 爲(wèi)目=,。(3) 若® w

6、疋4，則 coe E21 a)e Ez o(4) 若<ye E3,則必co e E2或。丘£之一發(fā)生，但 ©WE上 2。由此得 EjEj JE3E2 =£j , EEE、=Q。(5) ia)eE2 ,則必冇oeEl或ewEs之一發(fā)生，由此得UE：E、= 6 ©(6) d中還有這樣的點(diǎn)e： 12345,它僅屬J：d，而不再屬其它&(心10)。諸間的 關(guān)系用文圖表示(如圖)。8、解：(1)因?yàn)?l + x)”=l + C：x + C：F +C；x”，兩邊對X求導(dǎo)得( += C + 2C>+ - + nC；>n-*,在其中令 x=l

7、即得所欲證°(2) 在上式中令x-1即得所欲證。(3) 要原式有意義，必須OSrSa。由佇;，C：=W ,此題即等J：耍證±C嚴(yán)Cf =C霊,0<r<aM用帚級數(shù)乘法可證明此式。因?yàn)?0(X + (X +1/ =(X +，比較等式兩邊的系數(shù)即得證。9、解：P = 4；他/&：=春= 0.15 10、解：(1第-卷出現(xiàn)在旁邊，可能出現(xiàn)在左邊或右邊，剩卜四卷可在剩卜四個(gè)位置上任 意排，所以 p = 2x4!/5!=2/5（2）町能令第一卷出現(xiàn)在左邊而第五卷出現(xiàn)右邊.或者第一卷出現(xiàn)在右邊而第五 卷出現(xiàn)在左邊，剩卜三卷可在中間三人上位置上任意排，所以p = 2x

8、3!/5!=l/10（3）p=P第一卷出現(xiàn)在旁邊+P第五卷出現(xiàn)旁邊卜P第一卷及第伍卷出現(xiàn)在旁3（4）這里事件是（3）中事件的對立事件,所以P二1-7/10 = 3/10（5）第三卷居中,其余四卷在剩卜四個(gè)位置上可任意排,所以P = lx4!/5!=l/51K解：末位數(shù)吸可能是2或4。當(dāng)末位數(shù)是2 （或4）時(shí).前兩位數(shù)字從剩卜四個(gè)數(shù)字中 選排，所以 P = 2xA;/Al=2/512解：p=c；W/3c;13、解：P兩球顏色相同P兩球均Cl+P兩球均!K+P兩球均紅310=xk25 2576159x + x = 25 25 25 25207625= 033.14解:若取出的號碼是按嚴(yán)格上升次序排

9、列,則n個(gè)號碼必然全不相同,n<N. N個(gè)不 同號碼可產(chǎn)牛！種不同的排列其中只佇一個(gè)是按嚴(yán)格上升次序的排列，也就是說.一種 組介対應(yīng)-種嚴(yán)格上升排列，所以共仃C：,種按嚴(yán)格上升次序的排列。總可能場介數(shù)為Nn, 故題中欲求的概率為P = CJN”.15、解法一：先引入重復(fù)組介的概念。從n個(gè)不同的尤素里，每次取出m個(gè)元素，元素可 以幣;復(fù)選取，不管怎樣的順序并成一組，叫做從n個(gè)尤素里每次取m個(gè)尤素的匝復(fù)組介， 其組合種數(shù)記為C："這個(gè)公式的證明思路是，把n個(gè)不同的元索編號為1,2,再把匝復(fù)組介的每一組中數(shù)從小到大排列，每個(gè)數(shù)依次加上0.1,7-1,則這一組數(shù)就變成了從1,2,+一

10、1共力+加一 1個(gè)數(shù)中,取出m個(gè)數(shù)的不重復(fù)組合中的一組,這種運(yùn)算構(gòu) 成兩者-之間 對應(yīng)。若取出n個(gè)號碼按上升（不一定嚴(yán)格）次序排列，與上題同理可得，一個(gè)車復(fù)組合對 應(yīng)一種按上升次序的排列，所以共有C：種按上升次序的排列，總可能場合數(shù)為N”，從而P = C；N”=y'解法二 現(xiàn)按另一思路求解。収出的n個(gè)數(shù)屮間町設(shè)ml個(gè)間壁。當(dāng)取出的11個(gè)數(shù)全部 4相同時(shí)，可以看成中間沒們UJ壁，故間壁勺C二種取法；這時(shí)只需取一個(gè)數(shù)字，&C.種取 法：這種場合的種數(shù)冇C；tC；,種。當(dāng)n個(gè)數(shù)由小人兩個(gè)數(shù)填上，而間壁的位置有C：t種取 法;數(shù)字有C：種取法;這種場合的種數(shù)有W種。當(dāng)n個(gè)數(shù)由三樣數(shù)構(gòu)成

11、時(shí),可得場 介種數(shù)為 W 種，等等。最后，當(dāng)n個(gè)數(shù)均為不同數(shù)字時(shí)，有ml個(gè)間壁，有C；：種取 法：數(shù)字有C：種取法；這種場介種數(shù)的C：；C；種。所以共仃仃利場合數(shù)為：“ =eg + W + Cg + + C：C；, = C；“ 此式證明見本章第8題（3）。總可能場合數(shù)為q = N",故所還應(yīng)的概率為16、解：因?yàn)椴环呕兀詎個(gè)數(shù)不覓復(fù)。從1,2,M -1屮取出m-1個(gè)數(shù)，從M +1,N屮取出n-m個(gè)數(shù)，數(shù)M定取出，把這n個(gè)數(shù)按人小次序重新排列，則必有兀” =M。 故 P = C；：C；CUIC；。當(dāng)或 N-Mv”一加時(shí)，概率 P = 0.17、解：從1,2,N中有放回地取n個(gè)數(shù),這

12、n個(gè)數(shù)有三類:M, =M, M°如果我們固 定/次是取到M的數(shù)，*2次是取到M的數(shù)，當(dāng)然苴余一定是取到M的。當(dāng)次數(shù)固定后，M的右（M-1）人種可能的取比（因?yàn)槊?次都町以從M-1個(gè)數(shù)中取 一個(gè)），M的有（N - M盧種可能的取法，而=M的只有一種取法（即全是M）,所以可能 的取法有（M-Z （N-M屮種。對丁確定的匕來說,在n次取數(shù)中，固定哪«次取到 M的數(shù)，哪人次取到M的數(shù)，這共有Cx仕種不同的固定方式，因此/次取到M的 數(shù)，人次取到卜1的數(shù)的可能取法仃（M-1戶（N-M盧種。設(shè)B表示事件“把取出的n個(gè)數(shù)從小到大重新排列后第m個(gè)數(shù)等J'- M “,則B出現(xiàn)就 是匕

13、次取到VM的數(shù),&次取到M的數(shù)的數(shù),0 5人57-1,0 5人7 ?，因此8包含 m-1 /Im的所有可能的取法有工 工C C伍（M-1戶（N M）4種。所以人0醫(yī)0i m-1 rr-mP(B) = £ £ E c,篤 x(M-l)壯N-M 盧.N =0 *:=o18、解：有利場合是,先從6雙中取雙，其兩只全取出;再從剩下的5雙中取出兩雙, 從其每雙中取出一只。所以欲求的概率為P = C；C；C；C；C； /C： = = 0.48 19、解：（1）勺利場合是，先從n雙屮取出2t雙，再從每雙屮取出一只。P = C：（C；）2/C；：, （2r/0（2）有利場合是，先從

14、n雙中取出一雙，其兩只全取出，再從剩卜的”一1雙中取 出2r-2雙，從鞭每雙中取出一只。p = c：Uc；F（c；）g /C；： fp*： (3)P = 2SQC；：. p = c;(c；y/c；; = c：/c；;.20、解：（1P任意収出兩球，號碼為1, 2=1/C；.（2）任取3個(gè)球無號碼1,有利場介是從除去1號球外的”-1個(gè)球中任取3個(gè)球 的組合數(shù)，故P任取3球，無號碼1 = C；./C；（3）P任取5球，號碼1,2,3中至少出現(xiàn)1個(gè)=1 一 P 任取5球，號碼1,2,3不出現(xiàn) = 1 一 C仁/ C；其中任取5球無號碼1,2,3,有利場合是從除去12,3號球外的n-3個(gè)球中任取5個(gè)球

15、的組 合數(shù)。21、解：（1）有利場合是,前次從N-1個(gè)號中（除1號外）抽了,第k次取到1號球,P = （N-l）w 1/= （N _ l）w / Nk（2）考虎前k次拠球的情況，P =1/N°22、解法一：設(shè)A=甲擲出正面數(shù)乙擲出正面數(shù), B=甲擲出反面數(shù)乙擲出反面數(shù)?？?慮刁叫叫甲擲出正面數(shù)M乙擲出正面數(shù)卜設(shè)刁發(fā)生，若乙擲出u次正面,則甲至多擲出H 次正而，也就是說乙擲出0次反而，甲至少擲出1次反而，從而甲擲出反面數(shù)乙擲出反而 數(shù)。若乙擲出畀-1次正面，則甲至多擲出一1次正面，也就是說乙擲出1次反面，甲至少 擲出2次反面，從而也何甲擲出反面數(shù)乙擲出反面數(shù)，等等。由此可得刁=甲擲出正

16、面數(shù) 乙擲出正面數(shù)=仰擲出反而數(shù)乙擲出反而數(shù) = 3.P(A) + P(B) = P(A) + P(A) = 1 顯然A與B是等町能的，因?yàn)槊咳烁鱢l擲出正面與反而的可能性相同，所以P（A） = P（B）, 從而 P（A） = *。解法二 甲擲出 +1個(gè)碩幣共何2“匕個(gè)等可能場合，其中個(gè)出現(xiàn)0次正面，有Ch個(gè)出現(xiàn)1次正面，C；：；個(gè)出現(xiàn)+ 1次正面。乙擲n個(gè)鎖幣共有2"個(gè)等可能 場合，其屮有C：個(gè)出現(xiàn)0次正面，C,：個(gè)出現(xiàn)1次正而，C：個(gè)出現(xiàn)11次正面。若甲擲 畀+ 1個(gè)硬幣，乙擲n個(gè)喚幣，則共有耳=2噸2”=2"t種等可能場介，其中甲擲出正面 比乙擲出1E面多的有和場合數(shù)

17、有廠 C；+Q + 略（C： + C：） + C：/C： +C：） + =C 加（C： + C： + +CT） + C：；（C： + C： + +C；）利用公式c：“ = c： + C7及c：； = c：得“ =（C： + c； ）C： + （C： + C： ）（C： + C：）+（C； + C： ）（C： + c； + C：）+（CT + c;）（c + c： + +CT）+c：（c： + c； + +c；）=（C：）2 + CC： + （C： ）2 + g + C： £ C： + （C： ）2 + c：c： + c遼 c： +.i<2L»<3-c）y 工 c

18、： +Kn+ + （C：苛+ cc； + c：工 c； +Kn-li<n£（C；），+2 工i=0niy>r>0 i=0/所以欲求的概率為 P = m./n.=22a/22nl=2應(yīng)注意，甲擲出0丄/ +1個(gè)正面的 + 2個(gè)場介不是等可能的。23、解：事件“一顆投4次至少得到一個(gè)六點(diǎn)”的對立事件為“一顆投4次沒有一個(gè)八點(diǎn)”, 后者仃仃利場介為，除去久點(diǎn)外的剩卜五個(gè)點(diǎn)允許重復(fù)地排在四個(gè)位置上和排列數(shù)，故，P顆投4次至少得到一個(gè)六點(diǎn)尸1 - 一顆投4次沒有一個(gè)六點(diǎn)尸1 - 54/64 = 0.5177 投兩顆骰子共有36種町能結(jié)果，除雙六（6, 6）點(diǎn)外，還仃35種結(jié)果

19、，故P兩顆投24次至少得到一個(gè)雙六=1 一 兩顆投24次沒有一個(gè)雙六=1 - 35/36" = 0.4914 .比較知,前者機(jī)會(huì)較大。24. 解：P = C：、C：C：、C：/C； = 0.012925、解:ClC4C9 CnC13C13 4x C9 p =宀65j = o 0106廠13廠13廠口廠13廠13v.VAW .5239261352或解為，4張A集中在特定一個(gè)手中的概率為C：C：/C；,所以4張A集屮在一個(gè)人手中 的概率為 P = 4xC：/C； =0.0106.26、解；（1） P = 4/Cg =0.0000015.這里設(shè)A只打人頭，若認(rèn)為可打兩頭AKQJ10及A23

20、45,則答案有變，卜同。（2）取出的一張可民由K, Q,，6八個(gè)數(shù)屮Z打頭，所以P = C：C； f Cl. =0.0000123.（3）取出的四張同點(diǎn)牌為13個(gè)點(diǎn)中的某一點(diǎn)，再從剩卜48張牌中取出1張，所 以 P = CC：/C； = 0.00024.（4）取出的3張同點(diǎn)占有13個(gè)點(diǎn)中一個(gè)點(diǎn)，接著取出的兩張同點(diǎn)占冇氏余12個(gè)點(diǎn)屮的一個(gè)點(diǎn)，所以P = C：QC：Q/C； = 0.00144.（5）5張同花可以是四種花中任種，在同一種花中，5張牌占冇13個(gè)點(diǎn)中5個(gè)點(diǎn)， 所以 P = C；G； /C；2 = 0.00198.（6）異花順次五張牌=順次五張牌一同屁順次五張牌。順次五張牌分別以A, K

21、,，6九個(gè)數(shù)中之一打頭，每張可以冇四種不同的花：而同花順次屮花色只能是四種花 中一種。所以p =戸順次五張牌一同花順次五張牌=c；（C：r-C：C； /C： =0.0000294.（7）三張同點(diǎn)牌占有13個(gè)點(diǎn)中一個(gè)占有剩下12個(gè)點(diǎn)中兩個(gè)點(diǎn)，所以P = C；,C：C 訳=0.0211.（8）Pli張中仃兩對尸P五張中兩對不同點(diǎn)円五張屮兩對同點(diǎn)=dcjc；c /C： + C；、C：C；C/C； = 0.0475.（9）p = C；3C;C（C）3 /Cl2 = 0.423.（10 ）若記（1）事件為A,則人u人,久u人,人u人u人而事件人,，人兩兩不相容,=1-工卩(4)= 050627、解：設(shè)x

22、, V分別為此二船到達(dá)碼頭的時(shí)間，則 0<x<24, 0<y <24.兩船到達(dá)碼頭的時(shí)間與由上述 條件決定的正方形內(nèi)的點(diǎn)是一一對應(yīng)的（如圖）設(shè)A表事件“一船耍等待空出碼頭”，則A發(fā)生意味 著同時(shí)滿足下列兩不等式x-y <3,y-x <4宙幾何概率得，事件A的概率，等正方形CDEF中直線x-y<3Ry-x<4 Z間的部分而積，與正方形CDEF的而積之比，即1 1 、"=2牟_（產(chǎn)2。：+產(chǎn)2引/24：= 311/1152 = 0.2728、解：設(shè)x, y分別為此二人到達(dá)時(shí)間，則1 <x< & 7 < y <

23、 8。顯然，此二人到達(dá)時(shí)間（x, y）與市上述條件決定的正方形CDEF內(nèi)和點(diǎn)是一一對應(yīng)的（如圖）。設(shè)A表事件“其中一人必須等另外一人的 時(shí)間1/2小時(shí)以上“,則A發(fā)生意味著滿足如F 不等式 x-y>丄或y-x>丄。由兒何概率得, 2 ' 2爭件A的概率等J -AGDH及"MN的血枳Z和與止方形CDEF的面枳Z比，所以p(A)4(rrrl)/(lxl)429、解：StAB = a.AXl =xAX2 = x2 則0 <<a. 0 <x: <a 9（兀,£ ）與由上述條件決定的正方形EFGH內(nèi)的點(diǎn)是對應(yīng)的（如圖）。仃）設(shè)x2 >

24、 AXx = x2 -xly2X、B = a_x“則三線段構(gòu)成三角形的充要條件是xl + (x2-xl)>a-x2 => x2 > a2< xL + (a-x2) > (x2 -xL)二> X +x2這決定三角形區(qū)域 Io(x, 一 兀)+ (a xj£ 二> X < 丄a,(II)設(shè)“>兀。X.Xx.-x., X2B = a-x2,則三線段構(gòu)成三角1xl+(xl-x2)> a-x2 => Xi > a2形的充要條件是這決定區(qū)域m« (Xi -x2) + (a-x2)> xL => x2 &

25、lt;a2X +(67-x2) > xk-x2 => a > 0,(in)當(dāng)“二兀時(shí)，不能構(gòu)成三角形。由兒何概率知,P三線段構(gòu)成三角形=(/)面積+矩形()而枳正方形MGH而積12#30、解：設(shè)0到三點(diǎn)的三線段長分別為x,y,乙即相應(yīng)的 右端點(diǎn)坐標(biāo)為x,y,乙 顯然0 W x,y,z<l這三條線O段構(gòu)成三角形的充耍條件是：兀+y>乙y + z>xo在線段0, 1上任意投三點(diǎn)x,y,z。與立方體OWxSl, OSySl, 0<z< 1 中的點(diǎn)(x,y,z)一一對應(yīng),可見所求“構(gòu)成三角形”的概率,等價(jià)于在 邊長為1的立方體T中均勻地?cái)S點(diǎn)，而點(diǎn)落在 x

26、+y>Z,x+Z>”y+Z>X區(qū)域中的概率：這也就是落在圖中由AADC, AADB> ABDC.A AOC , A AOB , A BOC所I科成的區(qū)域G中的概率。由J： V(T) = 1,V(Q = P-3xlxlxP.z； = v(G)/v(r)=l由此得，能與不能構(gòu)成三角形兩事件的概率一樣人。#31、解：設(shè)方格邊長為當(dāng)硬幣関心落圖屮陰影部分 才與邊界不相交（圖中只取一個(gè)方格）。宙幾何概率得P硬幣與線不相交=陰影部分而積方格面積13#=（«-1）2/a2.令 （d-l）'/宀 0.01因?yàn)楫?dāng)時(shí)，破幣必與線相交（必然事件），故只需考慮a>l.當(dāng)

27、止式得 一1）/° = 0丄線不相交的概率小r i%o-斗即半方格邊長。諾時(shí)，才能儆更幣與32、解：從（0, 1）中取出的兩數(shù)分別為x.y,貝ij（x,y）與 正力形ABCD內(nèi)的點(diǎn)一一對應(yīng)。（1）直線x+y = l.2與BC交點(diǎn)坐標(biāo)為（1, 0.2）,與DC點(diǎn)坐標(biāo)為（0.2, 1）,所以由兒何概率可得P兩數(shù)之和小于1.2= 嘰lx貲）”積一丄x0.8x0.8»l = 0.68止方形向積V 2）（2）雙曲線巧=扌與BC交點(diǎn)坐標(biāo)為卜扌）與DC交點(diǎn)坐標(biāo)為,所以山幾何概率得卩兩數(shù)z積小丁扌陰影區(qū)域（）面積止方形而積=冷=0.6(3)直線x+y = 1.2與曲線巧二丄的交點(diǎn)坐標(biāo)為(如

28、圖)4k = 0.6 + 0.1VT1 = 0.932(x2 = 0.268y, = 0.6 -O.1J1T = 0.26&y2 = 0.932 *p兩數(shù)之和小r 1.2,兩數(shù)之積小陰影區(qū)域（/）面枳 -正方形而積-0.932 :r 0.263f 0.932 1r 1=0.2x 1 + J。,(_x +1.2皿 + fo：68-dx + fo932(7 + l.2)dx0268+ lll.V 0240 932+0 268一丄 x2 + 1.2x20932=0.2 + 0.0657 + 0.3116+ 0.0160 = 0.59333、證：當(dāng)n = 2時(shí)，AUA： = AU(比一 AAJ

29、,人與A2 - A,A2兩者不相容，所以P(A,UA2) = P(A2 -A/2)= P( A J + P( A J A J.此即當(dāng)n=2時(shí)原式成立。設(shè)対“-1原式成立，現(xiàn)證対原式也成立。p( A U-U A.-1 U A”)= P A U U At U An=P( A U-U 人一 J + P( A,) - P人 U U At U An=P(A U-U A”. J + P(£) - P人 A, UAAU-U A”. A對前后兩項(xiàng)分別應(yīng)用"j納假設(shè)得mu-uAuAj= <Ep(A)- E P(AA)+(-i)"P(A a”t) + p(a”)n-li j&g

30、t;iilJ-p(A&)_ X p(A44&)+(-1 嚴(yán)pSAS/jW”)>= $p(4)- E P(&£) + (l)ip(AA A)il至此，原式得證。34、解：設(shè)人=第j個(gè)戰(zhàn)七拿到自己的槍,心1、2,N。&Z間相容，現(xiàn)用上題公式解。P(&)=(N_1)!x1/N!=1/N,P(&4)= (N-2)!xlxl/N!=l/N!=l/A：，(心；),P(£兒 如)=1/N!.由公式得P至少有一個(gè)戰(zhàn)士拿到自己的槍 = P(人U £ UU A”)15=工卩(人)- E p(aa)+(-i)gpw血)r=lN>

31、;j>i>l=c+(_1)弋12V»N16#注：由此可求得,事件“至少有一個(gè)戰(zhàn)士拿到自己的槍”的對立事件的概率為y(-l/NPN個(gè)戰(zhàn)士沒白一個(gè)戰(zhàn)七拿到自己的槍 = 1 -工*-135、解：某k個(gè)指定的戰(zhàn)士京到自己的槍的概率是1 = 1 /。利用上題注（視這里N_k個(gè)戰(zhàn)土都沒右京到門己槍的概率為p2 =g J Mk個(gè)戰(zhàn)士京到自己的槍，則這k個(gè)戰(zhàn)士可以是N個(gè)戰(zhàn)士中任意的k個(gè)戰(zhàn)士，從N個(gè)戰(zhàn)士中選出一組k個(gè)戰(zhàn)士共有C*種選法，所以事件“恰有k個(gè)戰(zhàn)士拿到自己槍“的概率,是事件”某k個(gè)指定戰(zhàn)士拿到自己的槍,且其余N-k個(gè)戰(zhàn)士沒有拿到自己的槍“概率的C：倍，可得P恰有k個(gè)戰(zhàn)士京到己槍

32、= C：-1 導(dǎo)(一1)丿 _ 1 導(dǎo)(-1/ 忒召J! k'2 H36、解：設(shè)考簽編號為1,2,N,記事件& =第.1號考簽未被抽到,則P(A) = (N 1)"/N”，P(4A)= (N-2)”/N”(心刀,P(AlA2-AN) = (N-N)n/N"=Oi諸4相容，利用第33題公式計(jì)算得p=至少有一張考簽未被抽到 = pg u人2 UU知N=工尸(A ) - 工 P(A,街)+ + (-1)JV_1 尸內(nèi) A2-An)i=lN> j>i>l=C -d 1+ (-1嚴(yán)七曠厶+0N"N“Nn(N-Nn=工(-1皿1=1N737、

33、解：這些比賽的可能結(jié)果.可以用卜面方法表示：aa> acct acbb> acbaa, acbacc» acbacbb, bb, bcc, bcaat bcabb> bcabcc, bcabcaa, 其中a表甲勝，b表乙勝，c表丙勝.在這些結(jié)果中，恰乃包含k個(gè)字母的那件發(fā)生的概率應(yīng)為亠，如aa發(fā)生的概率為1/4,2kacbb發(fā)生的概率為1/16等等。則+2x+2x + 23 26 29p(c) = Pacc) + P(bcc)+ p(acbacc) + P(bcabcc)+ =2x由J：甲，乙兩人所處的地位是對稱的，所以卩二恥），得125P（a）= P（） = yU

34、-y） = 38、證：設(shè)父勝子的概率為幾，子勝父的概率為處，父勝母，母勝父，母勝子，子勝母的 概率分別是rum 則諸幾間有關(guān)系：円+ &"，幾<幾。仿上題，設(shè)首局為父對 母，比賽的 口】能結(jié)果為： aal>aiC2C6,aic2b5b4,a3c2b5ai ,b4b5, b4c6c2,加6叱,訃6&上4 ,a表父勝，但父勝母與父勝了的概率不同，為明確起見，比賽結(jié)果屮字母附加卜標(biāo)，卜標(biāo)中 i對應(yīng)槪率刃,故Pi（«）= P（a w J + Pazc2h5az ） + 尸（"“5溝）=p、幾 + p、p2 p5 p、+ p4 p6 p、P3類似

35、地，第一局若父對子，則可得P：（«）=尸（<：方5“3"） = PlPz + P1P4P6P1 十 PlPsPiPl第一局若子對母，則P3（«）=他6叱,）+ 尸（“5 叱 1）= P6PlPi + PsPjPl = PlPi（P6 + P5）= PlP、易見 3（"）<必（4）。-< P5 t 所以 PlP4P6Pl <P4P6PlPi P-P5P3P1 < P5P2P5PZ » 因此 Pi （a） < Pi M。從iftf Pl （«） >p5（«） 這說明父的決策最優(yōu)。39、解

36、:P(AB)= P(AjB)-PB) = r-qP(AB) = P(AjB) = l-P(AjB) = l-r.40、證：設(shè) BC = C1,C(A-B) = C2.hC O AB 可得，Cu4U，/ C = Q JC2 ciCcz=(/>(1)又Ct>AB / ACt = A(BC) = AB 再由P(B)ng)得F(ACJ = P(AB) = P(A)P(B) > F(4)P(CJ( 2 )(3)由q u A并利用r(A) < 1得P(AC2) = P(C2) > P(A)P(C2)由(1), (2), (3)可得PAC) = PACl UC2)= P(ACl

37、 UAC2)=尸(AC) + F(4q ) n 尸(4)尸(CJ + P(A)F(C2)=(A)p(CJ+P(C2)= P(A)P(C)41. 證：(1)一由單調(diào)性及尸(AUAJSl得P(A) > P(Ak A2)=尸(人)+ 尸(生)-P(Ak U A2)2FG4J+F(去)一 1.(2) 4二人生仏，兩次利用(1)的結(jié)果得P(A) > P(AXA2)Az) > P(AS) + P(A1 生)-12 F(A3)-1 + 尸(AJ + P(A2)-1 = P + P(A2) + P(A5)一242、解：設(shè)N階彳J：列式屮尤索勺，行列式展開式的毎一項(xiàng)為不同行不同列尤索的乘枳。對

38、 于每一項(xiàng)中的各個(gè)元素,從第一列中取一個(gè)元素有N科收法,當(dāng)從第一列中取的元素取定 后,再從第二列中取一個(gè)元素有N-1種取法，接著從第三列中取一個(gè)元素有N-2種取法， 等等。毎種取法教都是等可能的，共有N!種取法。設(shè)久衣事件N階行列式的項(xiàng)含£加, "12,N,則Fd(N-l)! 4；=N !1 118#) = -2)!-1- = N AnA2 人川)=至少含一個(gè)匸対角線元索的項(xiàng)的概率為N>尸4 kA=l>N二工F(AJ- 工 尸(舛血)+(-1)"7尸(人去人、,)1=1N> j>i>l+(_1產(chǎn)匕：$A"N !"+

39、(-1 嚴(yán)1 麗由此得包倉主對角線元索的項(xiàng)數(shù)為N1nW呂 k-l注：不含主対角線元索項(xiàng)的概率為pjV=i-4|Ja,| = (-i/ ±,黒你斗 1=1)k=043、證：設(shè)袋中有A個(gè)球貳中a個(gè)是口球，不還原隨機(jī)取出，第k次才首次取得白球的概率為伙=1、2,/! 一“ + 1).必-；人：a(4-a)(4-d-l)(4一幺-人 + 2)lr =.='4：A(4_1)(A_2)(A_& + 1)內(nèi)為袋屮何a個(gè)H球，As個(gè)黑球.若一開始總是取到黑球.耗到把黑球取完為【匕 則至 遲到第A-d + 1次一定會(huì)取到白球：也就是說.第一次或第二次或至遲到第4-° + 1次

40、取得白球事件是必然事件，其概率為1。所以1 =幾+處+心-卄1a a(A-a)a(A-“)2 1+十.+A 4(4-1)A(4-l) (« + !)«等式兩邊同乘以得aAa (A “)(A a 1)(4 a)21A1 + +=.A-l(人一1)(人一 2)(人一1)(a + l)a a44、解：有明顯療效的頻率為368/512=71.9%,所以,某胃潰瘍病人若服此藥,約有71.9% 的可能有明顯療效。45、解：此er-域首先包括0,04諸尤索，然后通過求逆，并交運(yùn)算逐步產(chǎn)生新的元索， 得共包倉16個(gè)元素：證一：現(xiàn)證明它是包含A, E的最小CT-域。苗先它包含A, B；宙丁所

41、仃集均111 A, B 產(chǎn)生，故最小。集是有限個(gè)，故只需證它為代數(shù)，即按如卜兩條驗(yàn)證集系封閉即可： 若CeF，則CeF： ZfCDeF,則CUDeF。能動(dòng)驗(yàn)證知確為代數(shù)。證二：由圖知，兩個(gè)集至多可產(chǎn)生四個(gè)部分，可稱之為產(chǎn)生集的最小部分，從這四個(gè)部分中任取0, 1, 2. 3,4個(gè)求并集，共同構(gòu)成cf+C:+U+U+U =16個(gè)集。故若能找到16個(gè)由A, E產(chǎn)生的不同的集，則它們一定是由A, B產(chǎn)生的ex-域，為此只須驗(yàn)證如上16個(gè)集兩兩不同就夠了。也可在-開始就根據(jù)這16個(gè)集的構(gòu)成法依次構(gòu)造出來，即得欲求的<7-代 數(shù)，而不需耍再證明。46、證：記FQ的一切子集(I) Q是Q的子集，所以

42、QeFo(II) Vi AeF ,則A是Q的子集，Q-A也是Q的子集，所以A = Q-AeF .(iii) A& = h2,)eF ,當(dāng)然有Qz>=。任一血丘|£。必有某一 4，使ia) e A,，所以ca eQ ,從而Q n即U'A也是。的一個(gè)子集，故U丘F。iiiAF是CT 一域。47、證：Ff(/eT)是ex-域，記 F 二ter(1) Qw 每 一 F所以 OeQr,即 QeF ier(li) AeF .則Aw每一 F由片是o-域得Ae每一 F所以A ejFt9從而AeF . tCT(iii) Agl,2,)wF,則諸勺必屬于每一巧,由于巧是<7域

43、,所以|Ja, 每一殲,即IJa, en7 心I f是域。48、證：一維波雷爾O-域B =加仏乃)是由左閉右開區(qū)間灶產(chǎn)生的C7-域，B = A/(-x,.v)是 由形如(-00, X)區(qū)間類產(chǎn)生的CT 域。因?yàn)椤?") = (一oc,方)一 (-co, a)等式左邊是丘屮兩個(gè)集的差，由此知&包含一切形如的集，而B是由一切形如S")的 集類產(chǎn)生的<7-域，所以2b°X又由 J (一8,x) = U x-n.x-n + 1),n»l等式右邊是B屮集的可列并，由此知B包倉一切形如(-x,a)的集，與上段同理得BB. B = B 49、解：算術(shù)中的

44、計(jì)數(shù)：以$(£)表集合E包含的尤索的個(gè)數(shù)。(1) 5(£) 負(fù)。(2)對/ = 1,2,若任意兩個(gè)£；與Ejd)都不包含相同的尤素，則s |Je, =fs(d), k /-I 丿 /-I即和集中包含元索的個(gè)數(shù)等r每個(gè)集所包含元索個(gè)數(shù)z和，集函數(shù)$(£)幾仃仃限可加性。(3) 若E = ©是空集，它不包含任何元素，則有5()= 0.兒何度帚:屮的長度：以2)表區(qū)間的長度。(1)t(e)非負(fù)。(2)対區(qū)間=，擰任兩個(gè)厶與Ej都不相交，則m(E) H有町列町加性。(3)空集0的長度加(0)=0 o當(dāng)區(qū)間改成區(qū)域，長度改成面積或體枳時(shí)，如上結(jié)論也成立。

45、把算數(shù)中計(jì)數(shù)、幾何度量中的共同性質(zhì)非負(fù)，可列可加性，空集對應(yīng)值為抽 象出來,并加以適當(dāng)?shù)赝茝V,就得到測度的概念。以一維L-測度為例，Ha,b) = b-at區(qū)間 訕的L-測度就是區(qū)間的長度：利川仃限可加性定義由集系a.b).a.beR1產(chǎn)生的環(huán)上 的測度，再利用測度延拓就得到了波雷爾域B上的L測度。50、解：在概率論公理化結(jié)構(gòu)中，定義在事件域F上的集介P直數(shù)，若滿足(1)非負(fù)性：P(A)>0,AeF；規(guī)范性：P(G) = 1： (3)可列可加性:若A, wF, 2人2,&列=0,心)則則稱P為F上的概率。rtl這三條性質(zhì)可推得尸(0) = 0。與上題比< /«1J

46、 >«1較可知，定義A F上的概率P實(shí)質(zhì)上就是定義在F上的觀范性測度。22概率的占典定義：0 = 叫,®；對AuQ定義具概率為陽）=篇:常陽,。P JV有非負(fù)性，冇限可加性，尸（0） = 0。這里的概率P相當(dāng)丁算術(shù)中的計(jì)數(shù)，所不同的是，P 還具有規(guī)范性，即P（Q）=1.這里P實(shí)質(zhì)上是定義在住Q的一切子集上具有規(guī)范性的測度兒何概率的定義：GuQ ,Q與G都是波雷爾可測集，對G定義其概率為 P（G）=L（G）/L（Q）,其中L（G）表示區(qū)域G的L-測度。顯然P貝仃菲負(fù)性。由L測度具冇可 列可加性得P也貝冇可列可加性。另外，尸0）=0, P（Q）=lo所以P是定義在F =

47、Qf!B上的 貝有規(guī)范性的測度。第二章條件概率與統(tǒng)計(jì)獨(dú)立性1、解：H左往右數(shù)，排第1個(gè)字母的事件為A，則2 ? 1 P(4J = m 卩(細(xì)£)=才'戶(九卜2人1)=亍 P(A4 A3A2A)= P(A5A4AiA2Al) = lo所以題中欲求的概率為p(AA2A3A4A5)= P(A)p2 肉 P血 £鞏兒 IAAA 鞏人a4a3a2a)2 2 11 1 I 5 4 3 2 302、解：總場合數(shù)為23=8o設(shè)A=三個(gè)孩子中有一女, B=三個(gè)孩子屮至少有一男, A的 有利場合數(shù)為7, AB的有利場合為6,所以題中欲求的概率P (B|A)為1 P(A) 7/87m-

48、l3、解：(1)M件產(chǎn)品屮有m件廢品，M -m件止品。設(shè)人=兩件有一件是廢品, B=兩 件都是廢品,顯然則 P(4) =(C；U+C：)/C； P(B) = C；/C：, 題中欲求的概率為P(B | A) = P(AB)/P(A) = P(B)/P(A) = ©局 ” +C；)/C：(2)設(shè)A=兩件中有一件不是廢品, B=兩件中恰有一件廢品,顯然BuA, 則 P(A) =(C寫” +)/ C； , P(B) = C：C；_m / C；題中欲求的概率為P(B I A) = P(AB)/P(A) = P(B)/P(A)=,。工”5_ = _(£+W/C： M+一 1(3)P取出

49、的兩件中至少有一件廢品=(以0二加+C；)/C：從煮打1) M(M -1)4、解：A=甲取出一球?yàn)榘浊? B=甲取出一球后，乙取出一球?yàn)榘浊? C=甲，乙各取出一球后，丙取出一球?yàn)榘浊?。則 P(A) =-甲取出的球可為白球或黑(d + b)球，利用全概率公式得_P(B) = P(A)P(B | A) + P(A)P(B | A)b b-l abb=1=a + h a + b- a + ha + h甲，乙取球的情況共有四種，由全概率公式得P(C) = P(AB)P(C | AB) + P(AB)P(C | AB)-P(AB)P(C AB) + P(AB)P(C AB)b(b -1)b 2b-lH

50、(a + b)(a + b-l) ci + b-2 (a + b)(a + b -1) a + b - 2 abb-la(a -1)b+ +(a + b)(a + /?-1) a + b-2 (a + b)(a + b-l) a + b-2 b(a + b- l)(a + b-2)_ b(a + b)(a + b- l)(a + b-2) a + b5、解：設(shè)B=兩數(shù)之和大T* 10, A円第一個(gè)數(shù)取到】,心0,1,9。則P(AJ =君， P(BAq) = P(BA) = Q9 P(B|AJ = (i-1)/9,心 2,3,5;P(B| 舛)= (j-2)/9, j = 6,7,8,9 o由全

51、概率公式得欲求的概率為9167)=為卩S)廠( |A ) = = 0 356.r=o6、解：設(shè)A】=從甲袋中収出2只口球, A汽從甲袋中取出一只白球一只黑球,人3=從 甲袋中取出2只黑球, B=從乙袋中取出2只白球。則由全概率公式得P(B) = P(B | AJP(AJ+ P(B I A2)P(A2)+P(fi | A3)P(A3)CA+BCa+fl+2 C；+C：+0+2C；+“C：+0+27、解:A】=從第一袋中取出一球是黑球,，A=從第一袋中取一球放入第二袋中，, 再從笫i-1袋中取一球放入第1袋中，址后從第i袋屮取一球是黑球, i = l,N。則a bP(A) =, P(A) =.i

52、17 a + bi 17 (a + b)a h一般設(shè)P(4)=，則P(Ak) =,得(a + b)(a + b)p(也)=% IKA)"(也 I)=為山數(shù)學(xué)!H納法得8、解：設(shè)機(jī)第一部分中兩彈, A2=飛機(jī)第二部分中兩彈, A3= E機(jī)第一部分 中一彈,他=其它情況,則AiAj =0 (i 工 y), A】+ A? + 血 + At = °P(AJ = 0.1 x 0.1 = 0.01, P(A?) = 0.2 x 0.2 = 0.04.A3=第一彈中第一部分且第二彈中第二部分，或第一彈中第一部分且第二彈中第 三部分，或第一彈中第二部分且第二彈中第一部分，或第一彈中第三部分

53、且第二彈中第 一部分，P(A3) = O.lx 0.2 + 0.lx0.7 + 0.2x0.1 + 0.7x 0.1 = 0.18 P(A4) = 1- P( A ) + P(A2) + P(A3) = 0.77.設(shè) B=飛機(jī)被擊落,則 P(B AJ = 1 (/= 1,2,3), P(B | A4) = 0. 由全概率公式得 P(B) = f P(B | 人)P(4) = 0.01 + 0.04 + 0.18 = 0.23.1-19、解：設(shè)A】=第1回出止面，記Pj = P(AJ,則由題意利用全概率公式得P(A+J = P(A+i I A)P(Aj) + P(A+i | A)P(&)

54、=PPi + (1 - “)(1 - “)= (2p - 1)A + (1 - P)。己知p” =c,依次令/ = n-l,/-2,-,1可得遞推關(guān)系式Pn =(2P- DPn-1 + (1 - Pl P-l = (2 - 1)幾2 +(1 - P)，P2 =(2卩一1”1 十(1一")= (2卩一1)(7十(1一卩) 解得Pt! =(1-P)1 + (2" -1) + (2 1尸 + + (2 "-1)心+ c(2" - 1)門， 當(dāng)p H 1時(shí)利用等比數(shù)列求和公式得 幾=(1 P) 1W + c(2p-l)n-l=-2p- 1嚴(yán) + C (2P-1)

55、心.(*)若 p = ,若 p = 0,若 c = f,2(1)則pn = C, limpn=c；一>oc(2)則當(dāng) n = 2k -1 IbJ, p” = c ；當(dāng) =2k 時(shí)，p” = 1 一 c。則卩”三2 “K2若ch丄1,則chI-c, liinpn不存在。2“Toe(3)若0 vp vl,則由(*)式可得liin Pn = lim| 1 -1(2/9 -1)-1 + c(2p -1)-1 =10、解：令A(yù)j,BjC分別表示第i次交換后，甲袋中有兩只白球，一白一黑，兩黑球的 事件，則由全概率公式得陽=P（FJ = P（Ajm,+1|AJ+ P（即P（A曲 | 氏）+ P（CJP（A/J+1 | CJn 1 n 1= 0p/t=-（7n,44力嚴(yán) Pg = P（A”）P（B曲 | 每）+ P（B”）P（B* | B“）+P（C“）P（B比 | Cn）1 . _ 1= lPn +q” +1幾=+尹” +乙，汕二尸（C；+J = P（A”）尸（c；+i I 兒）+p（d）p（c”j 6）+ p（c;）p（c“+ IC”）c1C1=°