第三章+微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1、微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題 A一、選擇題1、在區(qū)間- 1,1）；上滿足羅爾定理?xiàng)l件的函數(shù)是（122( A) f ( x) =x2( B) f (x) = x(C)f ( x) =1 - x(D) f ( x) = x - 2 x - 12、函數(shù) f ( x) = x2 - 2x在 0, 4 上滿足拉格朗日定理?xiàng)l件的= （）；A(B)C(D)5( )2( )3123、設(shè)函數(shù) f( )在, 上連續(xù)，在(,)）；xa ba b 內(nèi)可導(dǎo)，則（( A) 至少存在一點(diǎn) (a,b ) ，使得 f () =0(B) 當(dāng) (a, b) 時(shí)，必有 f () = 0f (b) - f ( a)(C )至少存在一點(diǎn)

2、 (a,b ) ，使得 f () =b - af (b) - f (a)(D )當(dāng) (a, b)時(shí)，必有 f () =b - a4、在區(qū)間- 1,1）；上，下列函數(shù)中不滿足羅爾定理的是（()x221Af ( x) = e- 1( B) f ( x) = ln(1+ x )( C) f ( x) =x+1( D) f( x) =21 + x5、對(duì)任意 x 下列不等式正確的是（）；(-1- x-x(D-A e x( B)e x 1+ x(C) e x 1-e x 1+ x)f(x)- f( )6、設(shè)lima= - 2，則在 x = a處 fx（）；2( )x a(x - a)( A)f= - 2(

3、B )(C )(D )可導(dǎo)且不可導(dǎo)取得極小值取得極大值7、函數(shù)()= a cosx - 1 cos2x 在 x = 處取得極值，則a =（）；f x(B)1223(A)0(C )1(D )2608、函數(shù) y = x4 + 12x - 8 在定義域內(nèi)（）；( A) 單調(diào)增加(B)單調(diào)減少(C )圖形凹(D)圖形凸9、若在a b內(nèi)，則在a b內(nèi)（）；( , )f(x) 0, f(x) 0( , )f (x)( A) 單調(diào)增加且圖形凹(B)單調(diào)增加且圖形凹(C )單調(diào)減少且圖形凸(D )單調(diào)減少且圖形凸10、設(shè)點(diǎn) (1,3) 是曲線 y = ax3+ bx2 +1的拐點(diǎn)，則 a,b 分別為（）；A

4、a1b=-1(BabCa1b= 1(D)ab( )= ,)=1, =-3()= - ,=-1, =33311、下列曲線中既有水平漸近線，又有垂直漸近線的是（）；sin 2x2eA f x =x + 3C f x = ln ?3 -?- x3B f x =D f x = xe()()()()()()?()()2x + xx - 1x?12、 f (x ) =x2的單調(diào)增區(qū)間是（）；1+ x( A)(0,+)()?3?3 ?(B) 1, 3(C)?,+?(D )?0,? 3?3 ?13、曲線 f (x) =sin 2x的垂直漸近線為（）。x(2x + 1)( A) x = 0, x = - 1(B

5、) x = - 1(C )y = 0, y = - 1(D ) y = - 12222二、填空題1、設(shè) f(x) =()的極值點(diǎn)為；xex ，則 f x2、設(shè)點(diǎn) (1,2)是曲線 y = ( x - a)3+ b的拐點(diǎn)，則 a + b =；3、設(shè)f (x) a, b(a, b)f(x) 0f (x) a, b在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)且，則在上的最大值為；4、函數(shù) f()= ln x 2 -x 的單調(diào)增區(qū)間是；x5、函數(shù) fx)=x3x2+ 9x- 4在區(qū)間0,4上的最大值為；(- 66、曲線 x3 + y3 - xy = 7上點(diǎn)()處的法線方程為；1,2617、曲線 y = x3 - 3x2 - 9

6、 x + 9 上拐點(diǎn)是；三、計(jì)算題ln(1 +1)cos1x)1、 limxx ；2、 limln(1+ sin 2；arcx2x+cotx 0x+x)arcsin(3、 limx - arctanx；4、 limx3+ 3x2+ 2x；32x 0ln(1+x)x - 2x-x - 65、若 limf ( x) 存在且fsin x+ 2limf (x) ，求 limf ( x) ；( x) =x x -xx6、 lim3x - sin 3x；7、 limtan x-x；x0(1- cosx)ln(1 + 2x)x0x - sinxtan x -x9、 lim etan2 x-1 ；8、 lim

7、；22x0x sinxx0sinxx + sin xsin3 x- 110、 lim；11、 lime)；x x - sin xx 0 x 1 - cosx(12、 lim(x2x；13、 limx - sin x；)2xxx + 1x 0x (e- 1)1114、 lim (cot x)ln x ；x0+x?2?1?16、 lim ?sin ?+ cos?；x? x ? x ?15、 lim? ax+ bx + cx ?x；?3?x 0?17、 limx x - 1；x 0+x ln x18、 lim+xsin x - 1。x0tan x ln x四、解答題1、試問(wèn) a為何值時(shí)，f ( x)

8、 = a sin x + 1sin3 x 在 x = 處取得極值？332、已知圓半徑為R ，求內(nèi)接于半圓的矩形的邊長(zhǎng)，使該矩形的周長(zhǎng)為最大。3、求點(diǎn) A(0,1) 到曲線 x2 - y2 =1的最短距離。4、求曲線y = x3 - 6 x ln x 的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)。32()()5、試確定曲線y axbxcxd 中的 a b c d ，使點(diǎn)為極值點(diǎn)， 點(diǎn)為=+ +, , ,- 2,441,-1062拐點(diǎn)。五、證明題1、設(shè) f (x) 存在，求證f(xhf(x+hfx 。lim+2)-2) +( )h2= f ( x)h 0322- 3 0，則函數(shù)無(wú)極值。2、試證：如果 y = ax+ bx +

9、 cx + d 滿足bac3、設(shè) f (x) 在 a, b 上連續(xù)，在 (a, b) 內(nèi)可導(dǎo)。證明：在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn) ，使得bf (b) - af (a)b - a= f () + f ()。4、已知在 0,1上， 0 f (x) 0 時(shí)， 1+ x ln( x +1+ x 2 ) 1+ x 2 。6、設(shè)f (x)二階可導(dǎo)，證明：f(x + ? x) + f ( x - ? x) - 2 f (x)。fx= lim2()?x 0(?x)63習(xí)題 B一、選擇題：1、設(shè)f (x)在 - 1,1(- 1,1)f (0) = 0, f(x) M，則在 - 1,1上連續(xù)， 在內(nèi)可導(dǎo)且有必有（）

10、；( A) f (x) M(B) f (x ) M(C ) f (x ) M(D ) f (x ) M2、若f x在a b上連續(xù)，在a b內(nèi)可導(dǎo)，但f (a) f (b)，則（）；( ) , ( , )( A) 一定不存在 (a, b) ，使 f () = 0(B) 至少存在一點(diǎn) (a,b ) ，使 f () = 0(C )最多存在一點(diǎn) (a,b ) ，使 f () = 0(D )可能存在一點(diǎn) (a, b)，使 f () = 03、 y =f ( x)在 x = x0 處取得極大值，則必有（）；A f xB f x(C)f xf x) 0(D)f x或( ) (0)=0( )(0)0(0)=0

11、,(0(0)=0不存在f (x0 )f (x)f(x)= - f ( - x )x (0,+)ff4、若二階可導(dǎo)且，又當(dāng)時(shí)，且，則在 (- ,0 )內(nèi)曲線 f (x) （）；( A) 單調(diào)增加且凸(B ) 單調(diào)減少且凸(C )單調(diào)增加且凹(D )單調(diào)減少且凹5、設(shè) f()x0為f (x)拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)且f(x0 ) = 0，則在x0的兩側(cè)（）；x二階可導(dǎo)，()()一階導(dǎo)數(shù)同號(hào)(C)二階導(dǎo)數(shù)異號(hào)(D)一階導(dǎo)數(shù)異號(hào)A二階導(dǎo)數(shù)同號(hào)B6、曲線 y = (x -1) e- x 的拐點(diǎn)是（）；( A)(2,e- 2 )(B )(3,2e- 3 )(C )(- 1,- 2e- 2 )(D)( 0,- 1)7、

12、已知 M 1( - 1,0), M 2 (1,2) 是曲線 y = x2+ x 上的兩點(diǎn)且曲線在點(diǎn)M 處的切線與M 1 和M 2 兩點(diǎn)的連線平行，則點(diǎn)M 的坐標(biāo)為（）；()()()( )()()(D)()A1,1B1,2C- 1,00,064( )( , )xf( x) - f( x) 0(a ,b)8、 fx在 a b 內(nèi)二階可導(dǎo)且，則在內(nèi) f(x) 是（） ；x( A) 單調(diào)增加(B)單調(diào)減少(C )有增有減(D )有界函數(shù)f(x) +3( f2x) = 0x09、設(shè)函數(shù) f (x)二階可導(dǎo)且處處滿足方程( x) + 2e f (x。若是函數(shù)的一個(gè)駐點(diǎn)且 f(x0 ) 0) 有幾個(gè)實(shí)根。3

13、、作 y = 2x - 1的圖形。(x - 1)24、試決定 y = k (x2- 3)2中 k 的值，使曲線在拐點(diǎn)處的法線通過(guò)原點(diǎn)。665、求點(diǎn) (0,1)到曲線 y = x2 - x 的最短距離。五、證明題1、設(shè)f (x)在 a, b上連續(xù)，在(a, b)內(nèi)可導(dǎo)且f (a) = f (b) =1；試證： ?,(a, b) ，使得： e- f () + f () =1。2、設(shè) f( )0,1(0,1)內(nèi)可導(dǎo)且 f(0)=0( )時(shí)， f( )0x在上連續(xù)， 在，當(dāng)0,1x 。求證：nf f 對(duì)一切自然數(shù)n，在(0,1)內(nèi)必有一點(diǎn)( )=(1-)。，使得f ()f (1-)3、設(shè) 0 a e

14、x。x0 x 0, f()F (x ) =(x)在(-, 0)(0,+ )5、若在-,+內(nèi)有x0 0。試證：f和 上x單調(diào)增加。67習(xí)題 A答案一、選擇題（1）C （2）B （3）C （4）C （5）C （6）D （7）C （8）C （ 9）B （10）D（11）C （12）D （13）B二、填空題（1）-3 （2）1+2（3）()（4）()（5）（6）11x - y - 9 = 0（7）( )fa0, 201,-2三、計(jì)算題(1)1(2)2(3)1(4)-235sin x(5)提示：設(shè) limf()f ( x) = lim+ 2k? k = 1?lim f ( x) = 1x = klimx

15、 xx x - x （6） 9（7）2（8） 1（9）1（10）1（11）2（12） e- 223（13） 1（14） e- 11（ 16） e2（15） (abc) 36x- 1 = limln xxx ln x- 1 = limxln x = 1（17） limxe- 1= limex0+ x ln xx0+xln xx 0+xln xx 0+ xln xx- 1 = lim+x ln x(ln x +1) = lim+或 lim+xeexln x = 1x 0xln xx 0ln x +1x0ln x1(18)lim+sin x ln x = lim+= lim+x= - lim+ si

16、n x = 0x 0x01x 0- cosxx 0sin xsin2 x lim+xsin x - 1= lim+esinxlnx - 1 = lim+sin x ln x = 1x0tan x ln xx0x ln xx0x lnx四、解答題（1）當(dāng) a= 2時(shí)， f( )在x=處取得極值并且是極大值。x3（2）當(dāng) x =R， 2 y =4R5為邊長(zhǎng)時(shí)，周長(zhǎng)最大。5（3）點(diǎn) A(0,1)到曲線 x2 -y2 =1的最短距離為62（4）凹區(qū)間（ 1， + ），凸區(qū)間（ 0，1），拐點(diǎn)（ 1，1）68（ 5） a = 1,b = - 3,c = - 24,d =16 。五、證明題f ( x + 2 h) - 2