比例及平行線分線段成比例定理

1、111213一、比例1、比例的基本性質(zhì):a c1）ad bc,這一性質(zhì)稱為比例的基本性質(zhì)，由它可推出許多比例形式b d2)a -(反比定理); b d a ca3)bcdacb(或dc-）（更比定理）;adbacabcd4)（合比定理）;bdbdacabcd5)（分比定理）;bdbdacabcd6)（合分比定理）;bdabcdacma cm a “亠7)-(bdn °)（等比定理）bdnb dn b2、比例中項(xiàng):若a :b b :c則b叫做a,c的比例中項(xiàng)3、如圖，設(shè)三條平行線h / J / I3，則些 DE 此定理BC EF稱為平行線分線段成比例定理，它的逆定理仍然成立二、平行線分

2、線段成比例定理及其推論1.平行線分線段成比例定理如下圖，如果11 / 12 / 13 ，則BCACEF ABDF， ACDE ABDF， DEACDF2.平行線分線段成比例定理的推論：如圖，在三角形中，如果DE / BC，則ADAE111 21 3AB AC BCAAD AE DE3.平行的判定定理：如上圖，如果有 AD 竺，那么DE / BC 。AB AC BC的“畦重、難點(diǎn)重點(diǎn)：掌握比例的基本性質(zhì)，同時(shí)掌握比例的幾種變形；掌握平行線分線段成比例定理的內(nèi)容 難點(diǎn)：掌握定理的內(nèi)容和推論及其初步運(yùn)用 關(guān)鍵：掌握好與相似的過(guò)渡gUdlki板塊一、比例的基本性質(zhì)【例1】已知：- ，求證：ab cd是

3、a2 c2和b2 d2的比例中項(xiàng)。b d【例2】已知：xyz 亠x。求y3z2343xy【例3】設(shè)-ce1a則cebdf則4bdf板塊二、平行線分線段成比例定理及其推論基本應(yīng)用【例4】如圖，DE / BC，且DB AE,若AB 5, AC 10,求AE的長(zhǎng)。A【例5】如圖，在梯形 ABCD中，AB / CD , AB 12, CD 9，過(guò)對(duì)角線交點(diǎn) O作EF / CD交AD , BC于E , F，求EF的長(zhǎng)。【例6】如圖，在梯形 ABCD中，AD / BC , AD a, BC b , E , F分別是AD , BC的中點(diǎn)， AF交BE于P , CE交DF于Q，求PQ的長(zhǎng)。C板塊三、定理及推論

4、與中點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題【例7】（2007年北師大附中期末試題）（1）如圖（1），在 ABC中，M是AC的中點(diǎn),E是AB上一點(diǎn)，且 AE1 AB，連接EM并延長(zhǎng)，交BC的延4長(zhǎng)線于D，則BCCDAF的值為（）D.2（2）如圖（2），已知 ABC 中，AE : EB 1:3，BD : DC 2:1，AD 與 CE 相交于 F，則蘭FC5A.B.1 C.2【例8】（2001年河北省中考試題）如圖，在ABC中，D為BC邊的中點(diǎn)，E為AC邊上的任意一點(diǎn)，BE交AD于點(diǎn)O (1)當(dāng)AE AC1時(shí)，求A0的值；2AD(2)當(dāng)AE1 1養(yǎng) 、一時(shí)，求A0的值；AC3 4AD(3)試猜想AE1一時(shí)A°的值，

5、并證明你的猜想AC n 1 AD【例9】（2003年湖北恩施中考題）如圖，AD是 ABC的中線，點(diǎn)E在AD上，F(xiàn)是BE延長(zhǎng)線與AC的交占八、-（1） 如果E是AD的中點(diǎn)，求證：匚-；FC 2AF 1 AE（2） 由（1）知，當(dāng)E是AD中點(diǎn)時(shí)，成立，若E是AD上任意一點(diǎn)（E與A、D不重合），上述FC 2 ED結(jié)論是否仍然成立，若成立請(qǐng)寫出證明，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由【例10】如圖，已知 ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上的一點(diǎn)，且 BE AC，延長(zhǎng)BE交AC于F。 求證：AF EF 。A【例11】（寧德市中考題）如圖，ABC中，D為BC邊的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AD至E，延長(zhǎng)AB交CE的延長(zhǎng)線于P。若

6、 AD 2DE，求證：AP 3AB。AE_ _ 一 一 1【例12】（濟(jì)南市中考題；安徽省中考題）如圖，ABC中，BC a ,若D, , E,分別是AB , AC的中點(diǎn)_a ；21 a 3右D2、E2分別是Di B、E1C的中點(diǎn)，貝U D2E2 22 a 4 a ；1 37若D3、E3分別是D2B、E2C的中點(diǎn)，貝y D3E3a a a ；2 48若Q、En分別是Dn_1B耳C的中點(diǎn)，貝U.板塊四、利用平行線轉(zhuǎn)化比例111 【例 13】如圖，已知 AB/EF/CD，若 AB a , CD b , EF c,求證：一 一 .cab【例14】（黃岡市中考題）如上圖，AB BD , CDBD ,垂足

7、分別為 B、D , AC和BD相交于點(diǎn)E , EFBD ,垂足為F .證明:1AB1CD1EF【例15】如圖，找出S abd、S BED、S BCD之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論【例16】如圖，在四邊形 ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)0，直線I平行于BD，且與AB、DC、BC、AD及AC的延長(zhǎng)線分別相交于點(diǎn) M、N、R、S和P.求證：PM PN PR PS【例17】已知，如圖，四邊形ABCD ,兩組對(duì)邊延長(zhǎng)后交于 證：EG GF.E、F ,對(duì)角線BD II EF , AC的延長(zhǎng)線交 EF于G 求【例18】 已知：P為 ABC的中位線MN上任意一點(diǎn),求證：AD AB iDC EBBP、CP的延長(zhǎng)線分

8、別交對(duì)邊 AC、AB于D、E ,【例19】在 ABC中，底邊BC上的兩點(diǎn)E、F把BC三等分,BM是AC上的中線， AE、AF分別交BM于G、H 兩點(diǎn)，求證： BG:GH : HM 5:3: 2【例20】 如圖，M、N為ABC邊BC上的兩點(diǎn)，且滿足BM MN NC，一條平行于AC的直線分別交 AB、AM和AN的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D、E和F .求證：EF 3DE .ADMF【例21】 已知：如圖，在梯形 ABCD中，AB/CD , M是AB的中點(diǎn)，分別連接 AC、BD、MD、MC，且 AC與MD交于點(diǎn)E , DB與MC交于F .(1) 求證：EF /CD(2) 若 AB a , CD b，求 EF 的長(zhǎng).

9、DE，連接0E交BC于點(diǎn)F，若【例22】如圖，在梯形 ABCD中，AD / BC ,AD 3 , BC 9, AB 6 , CD 4，若EF / BC，且梯形 AEFD與梯形EBCF的周長(zhǎng)相等，求 EF的長(zhǎng)。【例23】 如圖，YABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn) 0,在AB的延長(zhǎng)線上任取一點(diǎn)AB a , AD c, BE b ,求 BF 的值?！纠?4】已知等腰直角 ABC中，E、D分別為直角邊BC、AC上的點(diǎn)，且CE CD，過(guò)E、D分別作AE的垂線，交斜邊 AB于L , K .求證：BL LK .【例25】如已知DE / AB , 0A2OC OE，求證:AD / BC .C【例26】在 ABC中，BD CE , DE的延長(zhǎng)線交 BC的延長(zhǎng)線于 P，求證：AD BP AE CP.【例27】 如圖，