自然對(duì)數(shù)底數(shù)e的由來(共7頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上自然對(duì)數(shù)底數(shù)e的由來 自然對(duì)數(shù)底數(shù)e的由來 2012-10-19 15:25 758人閱讀 評(píng)論(0) 收藏 舉報(bào)文檔語言工具Word文檔在這里公元前500年，古希臘畢達(dá)哥拉斯(Pythagoras)學(xué)派的弟子希勃索斯(Hippasus)發(fā)現(xiàn)了一個(gè)驚人的事實(shí)，一個(gè)正方形的對(duì)角線與其一邊的長(zhǎng)度是不可公度的(若正方形邊長(zhǎng)是1，則對(duì)角線的長(zhǎng)不是一個(gè)有理數(shù))這一不可公度性與畢氏學(xué)派“萬物皆為數(shù)”(指有理數(shù))的哲理大相徑庭。這一發(fā)現(xiàn)使該學(xué)派領(lǐng)導(dǎo)人惶恐、惱怒，認(rèn)為這將動(dòng)搖他們?cè)趯W(xué)術(shù)界的統(tǒng)治地位。希勃索斯因此被囚禁，受到百般折磨，最后競(jìng)遭到沉舟身亡的懲處。畢氏弟子的發(fā)現(xiàn)，第一次向人

2、們揭示了有理數(shù)系的缺陷，證明它不能同連續(xù)的無限直線同等看待，有理數(shù)并沒有布滿數(shù)軸上的點(diǎn)，在數(shù)軸上存在著不能用有理數(shù)表示的“孔隙”。而這種“孔隙”經(jīng)后人證明簡(jiǎn)直多得“不可勝數(shù)”。于是，古希臘人把有理數(shù)視為連續(xù)銜接的那種算術(shù)連續(xù)統(tǒng)的設(shè)想徹底地破滅了。不可公度量的發(fā)現(xiàn)連同著名的? 這就要從古早時(shí)候說起了。至少在微積分發(fā)明之前半個(gè)世紀(jì)，就有人提到這個(gè)數(shù)，所以雖然它在微積分里常常出現(xiàn)，卻不是隨著微積分誕生的。那么是在怎樣的狀況下導(dǎo)致它出現(xiàn)的呢？一個(gè)很可能的解釋是，這個(gè)數(shù)和計(jì)算利息有關(guān)。 我們都知道復(fù)利計(jì)息是怎么回事，就是利息也可以并進(jìn)本金再生利息。但是本利和的多寡，要看計(jì)息周期而定，以一年來說，可以一年

3、只計(jì)息一次，也可以每半年計(jì)息一次，或者一季一次，一月一次，甚至一天一次；當(dāng)然計(jì)息周期愈短，本利和就會(huì)愈高。有人因此而好奇，如果計(jì)息周期無限制地縮短，比如說每分鐘計(jì)息一次，甚至每秒，或者每一瞬間（理論上來說），會(huì)發(fā)生什么狀況？本利和會(huì)無限制地加大嗎？答案是不會(huì)，它的值會(huì)穩(wěn)定下來，趨近於一極限值，而e這個(gè)數(shù)就現(xiàn)身在該極限值當(dāng)中（當(dāng)然那時(shí)候還沒給這個(gè)數(shù)取名字叫e）。所以用現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語言來說，e可以定義成一個(gè)極限值，但是在那時(shí)候，根本還沒有極限的觀念，因此e的值應(yīng)該是觀察出來的，而不是用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明得到的。 包羅萬象的e 讀者恐怕已經(jīng)在想，光是計(jì)算利息，應(yīng)該不至於能講一整本書吧？當(dāng)然不，利息只是極小的一

4、部分。令人驚訝的是，這個(gè)與計(jì)算復(fù)利關(guān)系密切的數(shù)，居然和數(shù)學(xué)領(lǐng)域不同分支中的許多問題都有關(guān)聯(lián)。在討論e的源起時(shí)，除了復(fù)利計(jì)算以外，事實(shí)上還有許多其他的可能。問題雖然都不一樣，答案卻都殊途同歸地指向e這個(gè)數(shù)。比如其中一個(gè)有名的問題，就是求雙曲線y=1/x底下的面積。雙曲線和計(jì)算復(fù)利會(huì)有什么關(guān)系，不管橫看、豎看、坐著想、躺著想，都想不出一個(gè)所以然對(duì)不對(duì)？可是這個(gè)面積算出來，卻和e有很密切的關(guān)聯(lián)。我才舉了一個(gè)例子而已，這本書里提到得更多。 如果整本書光是在講數(shù)學(xué)，還說成是說故事，就未免太不好意思了。事實(shí)上是，作者在探討數(shù)學(xué)的同時(shí)，穿插了許多有趣的相關(guān)故事。比如說你知道第一個(gè)對(duì)數(shù)表是誰發(fā)明的嗎？是納皮爾

5、（John Napier）。沒有聽說過？這很正常，我也是讀到這本書才認(rèn)識(shí)他的。重要的是要下一個(gè)問題。你知道納皮爾花了多少時(shí)間來建構(gòu)整個(gè)對(duì)數(shù)表嗎？請(qǐng)注意這是發(fā)生在十六世紀(jì)末、十七世紀(jì)初的事情，別說電腦和計(jì)算機(jī)了，根本是什么計(jì)算工具也沒有，所有的計(jì)算，只能利用紙筆一項(xiàng)一項(xiàng)慢慢地算，而又還不能利用對(duì)數(shù)來化乘除為加減，好簡(jiǎn)化計(jì)算。因此納皮爾整整花了二十年的時(shí)間建立他的對(duì)數(shù)表，簡(jiǎn)直是匪夷所思吧！試著想像一下二十年之間，每天都在重復(fù)做同類型的繁瑣計(jì)算，這種乏味的日子絕不是一般人能忍受的。但納皮爾熬過來了，而他的辛苦也得到了報(bào)償對(duì)數(shù)受到了熱切的歡迎，許多歐洲甚至中國(guó)的科學(xué)家都迅速采用，連納皮爾也得到了來自世

6、界各地的贊譽(yù)。最早使用對(duì)數(shù)的人當(dāng)中，包括了大名鼎鼎的天文學(xué)家刻卜勒，他利用對(duì)數(shù)，簡(jiǎn)化了行星軌道的繁復(fù)計(jì)算。 在毛起來說e中，還有許多我們?cè)谝话銛?shù)學(xué)課本里讀不到的有趣事實(shí)。比如第一本微積分教科書是誰寫的呢？（假如你曾受微積分課程之苦，也會(huì)想知道誰是始作俑者吧？）是羅必達(dá)先生。對(duì)啦，就是羅必達(dá)法則（L'Hospital's Rule）的那位羅必達(dá)。但是羅必達(dá)法則反倒是約翰伯努利先發(fā)現(xiàn)的。不過這無關(guān)乎剽竊的問題，他們之間是有協(xié)議的。 說到伯努利可就有故事說了，這個(gè)家族實(shí)在不得了，別的家族出一位天才就可以偷笑了，而他們家族的天才是用量產(chǎn)形容。伯努利們前前后后在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中活躍了一百年，他

7、們的諸多成就（不僅止於數(shù)學(xué)領(lǐng)域），就算隨便列一列，也有一本書這么厚。不過這個(gè)家族另外擅長(zhǎng)的一件事就不太敢恭維了，那就是吵架。自家人吵不夠，也跟外面的人吵（可說是表里如一）。連爸爸與兒子合得一個(gè)大獎(jiǎng)，爸爸還非常不滿意，覺得應(yīng)該由自己獨(dú)得，居然氣得把兒子趕出家門；和現(xiàn)代的許多孝子們比起來，這位爸爸真該感到慚愧。 e的影響力其實(shí)還不限於數(shù)學(xué)領(lǐng)域。大自然中太陽花的種子排列、鸚鵡螺殼上的花紋都呈現(xiàn)螺線的形狀，而螺線的方程式，是要用e來定義的。建構(gòu)音階也要用到e，而如果把一條鏈子兩端固定，松松垂下，它呈現(xiàn)的形狀若用數(shù)學(xué)式子表示的話，也需要用到e。這些與計(jì)算利率或者雙曲線面積八竿子打不著的問題，居然統(tǒng)統(tǒng)和e

8、有關(guān)，豈不奇妙？ 數(shù)學(xué)其實(shí)沒那么難！ 我們每個(gè)人的成長(zhǎng)過程中都讀過不少數(shù)學(xué)，但是在很多人心目中，數(shù)學(xué)似乎是門無趣甚至可怕的科目。尤其到了大學(xué)的微積分，到處都是定義、定理、公式，令人望之生畏。我們會(huì)害怕一個(gè)學(xué)科的原因之一，是有距離感，那些微積分里的東西，好像不知是從哪兒冒出來的，對(duì)它毫無感覺，也覺得和我毫無關(guān)系。如果我們知道微積分是怎么演變、由誰發(fā)明的，而發(fā)明之時(shí)還發(fā)生了些什么事（微積分是誰發(fā)明的這件事，爭(zhēng)論了許多年，對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)生重大的影響），發(fā)明者又是什么樣的人等等，這種距離感就應(yīng)該會(huì)減少甚至消失，微積分就不再是陌生人了。這是小數(shù)點(diǎn)后面兩千位： e= 2.71828 18284 59045

9、23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 64274 27466 39193 20030 59921 81741 35966 29043 57290 03342 95260 59563 07381 32328 62794 34907 63233 82988 07531 95251 01901 15738 34187 93070 21540 89149 93488 41675 09244 76146 06680 82264 80016 84774

10、11853 74234 54424 37107 53907 77449 92069 55170 27618 38606 26133 13845 83000 75204 49338 26560 29760 67371 13200 70932 87091 27443 74704 72306 96977 20931 01416 92836 81902 55151 08657 46377 21112 52389 78442 50569 53696 77078 54499 69967 94686 44549 05987 93163 68892 30098 79312 77361 78215 42499

11、92295 76351 48220 82698 95193 66803 31825 28869 39849 64651 05820 93923 98294 88793 32036 25094 43117 30123 81970 68416 14039 70198 37679 32068 32823 76464 80429 53118 02328 78250 98194 55815 30175 67173 61332 06981 12509 96181 88159 30416 90351 59888 85193 45807 27386 67385 89422 87922 84998 92086

12、80582 57492 79610 48419 84443 63463 24496 84875 60233 62482 70419 78623 20900 21609 90235 30436 99418 49146 31409 34317 38143 64054 62531 52096 18369 08887 07016 76839 64243 78140 59271 45635 49061 30310 72085 10383 75051 01157 47704 17189 86106 87396 96552 12671 54688 95703 50354 02123 40784 98193

13、34321 06817 01210 05627 88023 51930 33224 74501 58539 04730 41995 77770 93503 66041 69973 29725 08868 76966 40355 57071 62268 44716 25607 98826 51787 13419 51246 65201 03059 21236 67719 43252 78675 39855 89448 96970 96409 75459 18569 56380 23637 01621 12047 74272 28364 89613 42251 64450 78182 44235

14、29486 36372 14174 02388 93441 24796 35743 70263 75529 44483 37998 01612 54922 78509 25778 25620 92622 64832 62779 33386 56648 16277 25164 01910 59004 91644 99828 93150 56604 72580 27786 31864 15519 56532 44258 69829 46959 30801 91529 87211 72556 34754 63964 47910 14590 40905 86298 49679 12874 06870

15、50489 58586 71747 98546 67757 57320 56812 88459 20541 33405 39220 00113 78630 09455 60688 16674 00169 84205 58040 33637 95376 45203 04024 32256 61352 78369 51177 88386 38744 39662 53224 98506 54995 88623 42818 99707 73327 61717 83928 03494 65014 34558 89707 19425 86398 77275 47109 62953 74152 11151 36835 06275 26023 26484 72870 39207 64310 05958 41