初二數(shù)學(xué)因式分解分組分解法

1、初二數(shù)學(xué)因式分解分組分解法一、分組分解法分解因式的意義 我們把被分解的多項式分成若干組，分別按“基本方法”即提取公因式法和運用公式法進行分解，然后，綜合起來，再從總體上按“基本方法”繼續(xù)進行分解，直到分解出最后結(jié)果。這種分解因式的方法叫做分組分解法。 二、學(xué)習(xí)指導(dǎo)：如果一個多項式適當(dāng)分組，使分組后各組之間有公因式或可應(yīng)用公式，那么這個多項式就可以用分組的方法分解因式。 分組分解法適用于不能直接使用提取公因式法，公式法和十字相乘法的多項式。 分組分解法并不是一種獨立的因式分解的方法。通過對多項式進行適當(dāng)?shù)姆纸M，把多項式轉(zhuǎn)化為可以應(yīng)用基本方法分解的結(jié)構(gòu)形式，使之具有公因式，或者符合公式的特點等，從

2、而達到可以利用基本方法進行分解因式的目的。 我們有目的地將多項式的某些項組成一組，從局部考慮，使每組能夠分解，從而達到整個多項式因式分解的目的，至于如何恰當(dāng)?shù)胤纸M，需要具體問題具體分析，但分組時要有預(yù)見性，要統(tǒng)籌思考，減少盲目性，分組的好壞直接影響到因式分解能否順利進行。通過適當(dāng)?shù)木毩?xí)，不斷總結(jié)規(guī)律，便能掌握分組的技巧。三、例題分析 例1、分解因式：（1）2x2+2xy-3x-3y（2）a2-b2+4a-4b （3）4x2-9y2-24yz-16z2（4）x3-x2-x+1分析（1）：解，首先注意到前兩項的公因式（2x）和后兩項的公因式（-3），分別把它們提出來，剩下的是相同因式（x+y），可

3、以繼續(xù)用提公因式法分解。解，此題也可以考慮含有y的項分在一組。如下面解2的解法。解： 2x2+2xy-3x-3y =(2x2+2xy)-(3x+3y) =2x(x+y)-3(x+y) =(x+y)(2x-3) 解： 2x2+2xy-3x-3y =(2x2-3x)+(2xy-3y) =x(2x-3)+y(2x-3) =(2x-3)(x+y)說明：解和解雖然是不同的分組方式，但卻有著相同的內(nèi)在聯(lián)系，即兩組中的對應(yīng)項系數(shù)成比例，分別為1:1和2:（-3）。這也是分組中必須遵循的規(guī)律之一。 分析（2）：若將此題按上題中解的方法分組將含有a的項分在一組即a2+4a=a(a+4)，含有b的項一組即-b2-

4、4b=-b(b+4)，那a(a+4)與-b(b+4)再沒有公因式可提，不可再分解下去?？上葘2-b2一組應(yīng)用平方差公式，再提出因式。 解： a2-b2+4a-4b =(a2-b2)+(4a-4b) =(a+b)(a-b)+4(a-b) =(a-b)(a+b+4) 分析（3）：若應(yīng)用解的方法分組將4x2-9y2一組應(yīng)用平方差公式，或者將4x2-16z2一組應(yīng)用平方差公式后再沒有公因式可提，則分組失敗。觀察（3）題中的特點，后三項符合完全平方公式，將此題4x2和-9y2-24yz-16z2分組，先用完全平方公式，再用平方差公式完成分解。 解： 4x2-9y2-24yz-16z2 =4x2-(9y

5、2+24yz+16z2) =(2x)2-(3y+4z)2 =(2x+3y+4z)(2x-3y-4z)分析（4）：（4）題按照系數(shù)比可以分為1或者為-1，可以有不同的分組方法。解： x3-x2-x+1 =(x3-x2)-(x-1) =x2(x-1)-(x-1) =(x-1)(x2-1) =(x-1)(x+1)(x-1) =(x+1)(x-1)2 解：原式=(x3-x)-(x2-1) =x(x2-1)-(x2-1) =(x2-1)(x-1) =(x+1)(x-1)(x-1) =(x+1)(x-1)2 說明：分組時，不僅要注意各項的系數(shù)，還要注意到各項系數(shù)間的關(guān)系，這樣可以啟示我們對下一步分解的預(yù)測

6、，如下一步是提公因式還是應(yīng)用公式等?？偨Y(jié)：一般對于四項式的多項式的分解，若分組后可直接提取公因式，一般將四項式兩項兩項分成兩組，并在各組提公因式后，它們的另一個因式恰好相同，在組與組之間仍有公因式可提，如（1）題的兩種解法。兩項兩項分組后也可各自用平方差公式，再提取組之間的公因式，如（2）題、（4）題。若分組后可應(yīng)用公式還可將四項式中進行三項和一項分組先用完全平方公式再應(yīng)用平方差公式，如（3）題。例2、分解因式： m2+n2-2mn+n-m 分析：此題是一個五項式，其中m2-2mn+n2是完全平方公式，且與-m+n=-(m-n)之間有公因式可提取，因而可采用前三項、后二項分組。 解： m2+n

7、2-2mn+n-m =(m2-2mn+n2)-(m-n) =(m-n)2-(m-n) =(m-n)(m-n-1)例3分解因式（1） x2-y2-z2-2yz+1-2x （2） x2-6xy+9y2-10x+30y+25 （3） a2-a2b+ab2-a+b-b2 分析（1）：此題是一個六項式，經(jīng)過分析可采用三項、三項分組，x2-2x+1一組，-y2-2yz-z2一組，分別用完全平方公式后再用平方差公式分解。解： x2-y2-z2-2yz+1-2x =(x2-2x+1)-(y2+2yz+z2) =(x-1)2-(y+z)2 =(x-1+y+z)(x-1-y-z)分析（2）：此題也是六項式，前三項

8、是(x-3y)2，而最后一項是52，中間兩項恰巧能分解成-2·5(x-3y)，所以可以用完全平方公式來分解。解： x2-6xy+9y2-10x+30y+25 =(x2-6xy+9y2)-10x+30y+52 =(x-3y)2-2·(x-3y)·5+52 =(x-3y-5)2 分析（3）：此題還是六項式，但都不具備上述兩題的特征，可將這六項式二項、二項、二項分成三組，各自提取公因式，再提取三組間的公因式。 解： a2-a2b+ab2-a+b-b2 =(a2-b2)-(a2b-ab2)-(a-b) =(a+b)(a-b)-ab(a-b)-(a-b) =(a-b)(a+

9、b-ab-1) =(a-b)(b-1)-a(b-1) =(a-b)(b-1)(1-a) 說明：此題分解到(a-b)(a+b-ab-1)時要用觀察提取公因式的剩余因式(a+b-ab-1)是否能再分解因式。因為它又是四項式，不能應(yīng)用公式和提取公因式可再考慮分組分解法采用二項二項分組法再提取公因式。例4分解因式：（1） 3x3+6x2y-3x2z-6xyz （2） ab(c2+d2)+cd(a2+b2) （3） (ax+by)2+(bx-ay)2（4） a2-4ab+3b2+2bc-c2分析（1）：此題是四項式，這四項中有公因式3x應(yīng)先提取公因式再將剩余因式進行二、二分組。 解： 3x3+6x2y-

10、3x2z-6xyz =3x(x2+2xy-xz-2yz) =3x(x2+2xy)-(xz+2yz) =3xx(x+2y)-z(x+2y) =3x(x+2y) (x-z) =3x(x+2y)(x-z) 分析（2）：多項式帶有括號，不便于直接分組，先將括號去掉，整理后再分組分解。 解： ab(c2+d2)+cd(a2+b2) =abc2+abd2+a2cd+b2cd =(abc2+a2cd)+(abd2+b2cd) =ac(bc+ad)+bd(ad+bc) =(bc+ad)(ac+bd) 分析（3）：先將括號部分分別用完全平方公式打開再分組分解。 解： (ax+by)2+(bx-ay)2 =a2x

11、2+2abxy+b2y2+b2x2-2abxy+a2y2 =a2x2+b2y2+b2x2+a2y2 =(a2x2+b2x2)+(b2y2+a2y2) =x2(a2+b2)+y2(a2+b2) =(a2+b2)(x2+y2) 分析（4）：將3b2變形為4b2-b2再分組進行。 解： a2-4ab+3b2+2bc-c2 =a2-4ab+4b2-b2+2bc-c2 =(a2-4ab+4b2)-(b2-2bc+c2) =(a-2b)2-(b-c)2 =(a-2b+b-c)(a-2b-b+c) =(a-b-c)(a-3b+c) 說明：（4）題在分組前先采用了拆項后再重新分組，達到提取公因式的目的。 四注意問題提示：分組分解法主要應(yīng)用于四項以上的多項式的因式分解。分析題時仍應(yīng)首先考慮公因式的提取，公式法的應(yīng)用，其次才考慮分組。分組方法的不同，僅僅是因為分解的手段不同，各種手段的目的都是把原多項式進行因式分解。對于四項式的兩兩分組，盡管方法不唯一，但是并不是任何兩項結(jié)組都可達到目的，分組要注意合理性，四項式中的另一種三項，一