線性代數(shù)教案-三峽大學(xué)

1、；.線性代數(shù)目錄理論部分第1章 行列式 2第2章 行列式 32第3章 矩陣的初等變換與線性方程組 54第4章 向量組的線性相關(guān)性 66第5章 矩陣的特征值和特征向量 97實(shí)驗(yàn)部分 128附錄A MATLAB簡介 135三峽大學(xué)理學(xué)院工程數(shù)學(xué)學(xué)科組 2012-8-18第一章 行列式行列式的理論是人們從解線性方程組的需要中建立和發(fā)展起來的，它在線性代數(shù)以及其他數(shù)學(xué)分支上都有著廣泛的應(yīng)用在本章里我們主要討論下面幾個問題：(1) 行列式的定義；(2) 行列式的基本性質(zhì)及計算方法；(3) 利用行列式求解線性方程組(克萊姆法則)本章的重點(diǎn)是行列式的計算，要求在理解n階行列式的概念，掌握行列式性質(zhì)的基礎(chǔ)上，

2、熟練正確地計算三階、四階及簡單的n階行列式計算行列式的基本思路是：按行(列)展開公式，通過降階來計算但在展開之前往往先利用行列式性質(zhì)通過對行列式的恒等變形，使行列式中出現(xiàn)較多的零和公因式，從而簡化計算常用的行列式計算方法和技巧有：直接利用定義法，化三角形法，降階法，遞推法，數(shù)學(xué)歸納法，利用已知行列式法行列式在本章的應(yīng)用是求解線性方程組(克萊姆法則)要掌握克萊姆法則并注意克萊姆法則應(yīng)用的條件。本章的重點(diǎn)：行列式性質(zhì)；行列式的計算。本章的難點(diǎn)：行列式性質(zhì)；高階行列式的計算；克萊姆法則。1.1 二階與三階行列式行列式的概念起源于解線性方程組，它是從二元與三元線性方程組的解的公式引出來的因此我們首先討

3、論解方程組的問題設(shè)有二元線性方程組 (1)用加減消元法容易求出未知量x1，x2的值，當(dāng)a11a22 a12a210 時，有 (2)這就是一般二元線性方程組的公式解但這個公式很不好記憶，應(yīng)用時不方便，因此，我們引進(jìn)新的符號來表示(2)這個結(jié)果，這就是行列式的起源我們稱4個數(shù)組成的符號為二階行列式它含有兩行，兩列橫的叫行，縱的叫列行列式中的數(shù)叫做行列式的元素從上式知，二階行列式是這樣兩項的代數(shù)和：一個是從左上角到右下角的對角線(又叫行列式的主對角線)上兩個元素的乘積，取正號；另一個是從右上角到左下角的對角線(又叫次對角線)上兩個元素的乘積，取負(fù)號根據(jù)定義，容易得知(2) 中的兩個分子可分別寫成，如

4、果記，則當(dāng)D0時，方程組(1) 的解(2)可以表示成， ， (3)象這樣用行列式來表示解，形式簡便整齊，便于記憶首先(3) 中分母的行列式是從(1) 式中的系數(shù)按其原有的相對位置而排成的分子中的行列式，x1的分子是把系數(shù)行列式中的第1列換成(1)的常數(shù)項得到的，而x2的分子則是把系數(shù)行列式的第2列換成常數(shù)項而得到的例1 用二階行列式解線性方程組解：這時 ， ，因此，方程組的解是 ，對于三元一次線性方程組 (4)作類似的討論，我們引入三階行列式的概念我們稱符號 (5)為三階行列式，它有三行三列，是六項的代數(shù)和這六項的和也可用對角線法則來記憶：從左上角到右下角三個元素的乘積取正號，從右上角到左下角

5、三個元素的乘積取負(fù)號例2 令 ，當(dāng) D0時，(4)的解可簡單地表示成， (6)它的結(jié)構(gòu)與前面二元一次方程組的解類似例3 解線性方程組解：， ， 所以，例4 已知，問a，b應(yīng)滿足什么條件？(其中a，b均為實(shí)數(shù))解：，若要a2+b2=0，則a與b須同時等于零因此，當(dāng)a=0且b=0時給定行列式等于零為了得到更為一般的線性方程組的求解公式，我們需要引入n階行列式的概念，為此，先介紹排列的有關(guān)知識1.2 排列與對換在n階行列式的定義中，要用到排列的某些知識，為此先介紹排列的一些基本知識定義1由數(shù)碼1，2，n組成一個有序數(shù)組稱為一個n級排列例如，1234是一個4級排列，3412也是一個4級排列，而5234

6、1是一個5級排列由數(shù)碼1，2，3組成的所有3級排列為：123，132，213，231，312，321共有3!=6個數(shù)字由小到大的n級排列1234n 稱為標(biāo)準(zhǔn)次序排列定義2在一個n級排列i1i2in中，如果有較大的數(shù) it 排在較小的數(shù) is 的前面(isit)， 則稱it與is構(gòu)成一個逆序，一個n級排列中逆序的總數(shù)，稱為這個排列的逆序數(shù)，記作N (i1i2in)例如， 在4 級排列3412中， 31，32，41，42，各構(gòu)成一個逆序數(shù)，所以，排列3412的逆序數(shù)為N(3412)=4同樣可計算排列52341的逆序數(shù)為N(52341)=7容易看出， 標(biāo)準(zhǔn)次序排列的逆序數(shù)為0定義3 如果排列i1i2

7、in 的逆序數(shù)N(i1i2in )是奇數(shù)，則稱此排列為奇排列，逆序數(shù)是偶數(shù)的排列則稱為偶排列例如，排列3412是偶排列排列52341是奇排列 自然排列123n是偶排列定義4 在一個n級排列i1isitin中， 如果其中某兩個數(shù)is與it對調(diào)位置，其余各數(shù)位置不變，就得到另一個新的n級排列i1itisin，這樣的變換稱為一個對換，記作(is，it)如在排列3412中，將4與2對換， 得到新的排列3214 并且我們看到：偶排列3412經(jīng)過4與2的對換后，變成了奇排列3214 反之，也可以說奇排列3214經(jīng)過2與4的對換后，變成了偶排列3412一般地，有以下定理：定理1 任一排列經(jīng)過一次對換后，其奇

8、偶性改變證明：首先討論對換相鄰兩個數(shù)的情況，該排列為：a1a2al i j b1b2bmc1c2cn將相鄰兩個數(shù)i與j作一次對換，則排列變?yōu)閍1a2al j i b1 b2bmc1c2cn顯然對數(shù)a1，a2，al，b1，b2，bm和c1c2cn來說，并不改變它們的逆序數(shù)但當(dāng)ij時，經(jīng)過i與j的對換后，排列的逆序數(shù)減少1個所以對換相鄰兩數(shù)后，排列改變了奇偶性再討論一般情況，設(shè)排列為a1a2al i b1b2bmjc1c2cn將i與j作一次對換，則排列變?yōu)閍1a2al j b1b2bmi c1 c2cn這就是對換不相鄰的兩個數(shù)的情況但它可以看成是先將i與b1對換，再與b2對換，最后與bm的對換，即

9、i與它后面的數(shù)作m次相鄰兩數(shù)的對換變成排列a1a2alb1b2bmi j c1cn然后將數(shù)j與它前面的數(shù)i，bm，b1作m+1次相鄰兩數(shù)的對換而成而對換不相鄰的數(shù)i與j(中間有m個數(shù))，相當(dāng)于作2m+1次相鄰兩數(shù)的對換由前面的證明知，排列的奇偶性改變了2m+1次，而2m+1為奇數(shù)，因此，不相鄰的兩數(shù)i，j經(jīng)過對換后的排列與原排列的奇偶性不同定理2 任一n級排列i1i2in都可通過一系列對換與n級自然序排列12n互變，且所作對換的次數(shù)與這個n級排列有相同的奇偶性證明：對排列的級數(shù)用數(shù)學(xué)歸納法證之對于2級排列，結(jié)論顯然成立假設(shè)對n1級排列，結(jié)論成立，現(xiàn)在證明對于n級排列，結(jié)論也成立若in=n，則根

10、據(jù)歸納假設(shè)i1i2in1是n1級排列，可經(jīng)過一系列對換變成12(n1)，于是這一系列對換就把i1i2in變成12n若inn，則先施行in與n的對換，使之變成i1i2in1n，這就歸結(jié)成上面的情形相仿地，12n也可經(jīng)過一系列對換變成i1i2in，因此結(jié)論成立因?yàn)?2n是偶排列，由定理1可知，當(dāng)i1i2in是奇(偶)排列時，必須施行奇(偶)數(shù)次對換方能變成偶排列，所以，所施行對換的次數(shù)與排列i1i2in具有相同的奇偶性1.3 n階行列式本節(jié)我們從觀察二階、三階行列式的特征入手引出n階行列式的定義已知二階與三階行列式分別為其中元素aij的第一個下標(biāo)i表示這個元素位于第i行，稱為行標(biāo)，第二個下標(biāo)j表示

11、此元素位于第j列，稱為列標(biāo)我們可以從中發(fā)現(xiàn)以下規(guī)律：(1) 二階行列式是2！項的代數(shù)和，三階行列式是3！項的代數(shù)和；(2) 二階行列式中每一項是兩個元素的乘積，它們分別取自不同的行和不同的列，三階行列式中的每一項是三個元素的乘積，它們也是取自不同的行和不同的列；(3) 每一項的符號是：當(dāng)這一項中元素的行標(biāo)是按自然序排列時，如果元素的列標(biāo)為偶排列，則取正號；為奇排列，則取負(fù)號作為二、三階行列式的推廣我們給出n階行列式的定義定義1 由排成n行n列的n2個元素aij (i，j=1，2，n)組成的稱為n階行列式它是n!項的代數(shù)和，每一項是取自不同行和不同列的n個元素的乘積，各項的符號是：每一項中各元素

12、的行標(biāo)排成自然序排列，如果列標(biāo)的排列為偶排列時，則取正號；為奇排列，則取負(fù)號于是得 (1)其中表示對所有的n級排列j1j2jn求和當(dāng)n=2、3時，這樣定義的二階、三階行列式與上面1.1中用對角線法則定義的是一致的當(dāng)n=1時，一階行列為|a11|= a11但對角線法則對高階行列式不適用如當(dāng)n=4時，4階行列式表示4！=24項的代數(shù)和，因?yàn)槿∽圆煌?、不同?個元素的乘積恰為4！項根據(jù)n階行列式的定義，4階行列式為例如a14a23a31a42行標(biāo)排列為1234，元素取自不同的行；列標(biāo)排列為4312，元素取自不同的列，因?yàn)镹(4312)=5，所以該項取負(fù)號，即a14a23a31a42是上述行列式中的

13、一項為了熟悉n階行列式的定義，我們來看下面幾個問題例1 在5階行列式中，a12a23a35a41a54這一項應(yīng)取什么符號？解：這一項各元素的行標(biāo)是按自然順序排列的，而列標(biāo)的排列為23514因 N(23514)=4故這一項應(yīng)取正號例2 寫出4階行列式中，帶負(fù)號且包含因子a11a23的項解：包含因子a11a23項的一般形式為按定義，j3可取2或4，j4可取4或2，因此包含因子a11a23的項只能是a11a23a32a44或a11a23a34a42但因 N(1324)=1為奇數(shù)N(1342)=2為偶數(shù)所以此項只能是 a11a23a32a44例3 計算行列式解 這是一個四階行列式，按行列式的定義，它應(yīng)

14、有4!=24項但只有以下四項adeh，adfg，bceh，bcfg不為零與這四項相對應(yīng)得列標(biāo)的4級排列分別為1234，1243，2134和2143，而N(1234)=0，N(1243)=1，N(2134)=1和N(2143)=2，所以第一項和第四項應(yīng)取正號，第二項和第三項應(yīng)取負(fù)號，即= adehadfgbceh+bcfg例4 計算上三角形行列式其中aii (i=1， 2， n)解：由n階行列式的定義，應(yīng)有n!項，其一般項為但由于D中有許多元素為零，只需求出上述一切項中不為零的項即可在D中，第n行元素除ann外，其余均為所以jn=n；在第n1行中，除an1n1和an1n外，其余元素都是零，因而j

15、n1只取n1、n這兩個可能，又由于ann、an1n位于同一列，而jn=n所以只有jn1 = n1這樣逐步往上推，不難看出，在展開式中只有a11a22ann一項不等于零而這項的列標(biāo)所組成的排列的逆序數(shù)是N(12n)=0故取正號因此，由行列式的定義有=a11a22ann即上三角形行列式的值等于主對角線上各元素的乘積同理可求得下三角形行列式=a11a22ann特別地，對角形行列式=a11a22ann上(下)三角形行列式及對角形行列式的值，均等于主對角線上元素的乘積例5 計算行列式解 這個行列式除了a1na2n1an1這一項外，其余項均為零，現(xiàn)在來看這一項的符號，列標(biāo)的n級排列為n(n1)21，N(n

16、(n1)21)= (n1)+ (n2)+2+1=，所以=同理可計算出=由行列式的定義，行列式中的每一項都是取自不同的行不同的列的n個元素的乘積，所以可得出：如果行列式有一行(列)的元素全為0，則該行列式等于0在n階行列式中，為了決定每一項的正負(fù)號，我們把n個元素的行標(biāo)排成自然序排列，即事實(shí)上，數(shù)的乘法是滿足交換律的，因而這n個元素的次序是可以任意寫的，一般地，n階行列式的項可以寫成 (2)其中i1i2in，j1 j2jn是兩個n階排列，它的符號由下面的定理來決定定理1 n階行列式的一般項可以寫成 (3)其中i1i2in，j1j2jn都是n級排列證明：若根據(jù)n階行列式的定義來決定(2)的符號，就

17、要把這n個元素重新排一下，使得它們的行標(biāo)成自然順序，也就是排成 (4)于是它的符號是現(xiàn)在來證明(1)與(3)是一致的我們知道從(2)變到(4)可經(jīng)過一系列元素的對換來實(shí)現(xiàn)每作一次對換，元素的行標(biāo)與列標(biāo)所組成的排列i1i2in，j1j2jn就同時作一次對換，也就是N(i1i2in)與N(j1j2jn)同時改變奇偶性，因而它的和N(i1i2in)+N(j1j2jn)的奇偶性不改變這就是說，對(2)作一次元素的對換不改變(3)的值，因此在一系列對換之后有這就證明了(1)與(3)是一致的例如，a21a32a14a43是4階行列式中一項，它和符號應(yīng)為(1)N(2314)+N(1243)= (1)2+1=

18、 1如按行標(biāo)排成自然順序，就是a14a21a32a43，因而它的符號是(1)N(4123)=(1)3= 1同樣，由數(shù)的乘法的交換律，我們也可以把行列式的一般項中元素的列標(biāo)排成自然順序123n，而此時相應(yīng)的行標(biāo)的n級排列為i1i2in，則行列式定義又可敘述為1.4 行列式的性質(zhì)當(dāng)行列式的階數(shù)較高時，直接根據(jù)定義計算n階行列式的值是困難的，本節(jié)將介紹行列式的性質(zhì)，以便用這些性質(zhì)把復(fù)雜的行列式轉(zhuǎn)化為較簡單的行列式(如上三角形行列式等)來計算將行列式D的行列互換后得到的行列式稱為行列式D的轉(zhuǎn)置行列式，記作DT，即若， 則反之，行列式D也是行列式DT的轉(zhuǎn)置行列式，即行列式D與行列式DT互為轉(zhuǎn)置行列式性質(zhì)

19、 行列式D與它的轉(zhuǎn)置行列式DT的值相等證：行列式D中的元素aij(i， j=1， 2， ，n)在DT中位于第j行第i列上，也就是說它的行標(biāo)是j， 列標(biāo)是i，因此，將行列式DT按列自然序排列展開，得這正是行列式D按行自然序排列的展開式所以D=DT這一性質(zhì)表明，行列式中的行、列的地位是對稱的，即對于“行”成立的性質(zhì)，對“列”也同樣成立，反之亦然性質(zhì) 交換行列式的兩行(列)，行列式變號證：設(shè)行列式將第i行與第s行(1isn)互換后，得到行列式顯然，乘積在行列式D和D1中，都是取自不同行、不同列的n個元素的乘積，根據(jù)3 定理，對于行列式D，這一項的符號由決定；而對行列式D1，這一項的符號由決定而排列1

20、isn與排列1sin的奇偶性相反，所以= 即D1中的每一項都是D中的對應(yīng)項的相反數(shù)，所以D= D1例 計算行列式解：將第一、二行互換，第三、五行互換，得將第一、五列互換，得推論 若行列式有兩行(列)的對應(yīng)元素相同，則此行列式的值等于零證：將行列式D 中對應(yīng)元素相同的兩行互換，結(jié)果仍是D，但由性質(zhì)有D= D， 所以D=0性質(zhì) 行列式某一行(列)所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面即證：由行列式的定義有左端右端此性質(zhì)也可表述為：用數(shù)k乘行列式的某一行(列)的所有元素，等于用數(shù)k乘此行列式推論：如果行列式中有兩行(列)的對應(yīng)元素成比例，則此行列式的值等于零證：由性質(zhì)和性質(zhì)的推論即可得到性質(zhì) 如果

21、行列式的某一行 (列)的各元素都是兩個數(shù)的和，則此行列式等于兩個相應(yīng)的行列式的和，即證：左端右端性質(zhì)5 把行列式的某一行 (列)的所有元素乘以數(shù)k加到另一行(列)的相應(yīng)元素上，行列式的值不變即 i行k加 到第s行 證：由性質(zhì)右端=+=k+=左端作為行列式性質(zhì)的應(yīng)用，我們來看下面幾個例子例2 計算行列式解：這個行列式的特點(diǎn)是各行個數(shù)的和都是，我們把第、各列同時加到第列，把公因子提出，然后把第行(1)加到第、行上就成為三角形行列式具體計算如下：例3 計算行列式解：例4 試證明：證：把、列同時加到第列上去，則得例5 計算n+1階行列式解：將D的第列、第列、第n+1列全加到第列上，然后從第列提取公因子

22、得 = =例6 解方程解法一：所以方程的解為x1=0， x2=1， ， xn2=n3， xn1=n2解法二：根據(jù)性質(zhì)的推論，若行列式有兩行的元素相同，行列式等于零而所給行列式的第行的元素全是，第行，第行，第n行的元素只有對角線上的元素不是，其余均為因此令對角線上的某個元素為，則行列式必等于零于是得到1x=12x=1(n2)x=1(n1)x=1有一成立時原行列式的值為零所以方程的解為x1=0， x2，=1， xn2=n3， xn1=n2例7 計算n階行列式解：將第1行乘以(1)分別加到第、n行上得從第一列提出xa1，從第二提出xa2，從第n列提出xan，便得到由并把第、第、第n列都加于第1列，有

23、 例8 試證明奇數(shù)階反對稱行列式證：D的轉(zhuǎn)置行列式為從DT中每一行提出一個公因子(1)，于是有，但由性質(zhì)1知道DT=D D=(1)nD又由n為奇數(shù)，所以有D= D， 即 2D=0， 因此 D=01.5 行列式按一行(列)展開本節(jié)我們要研究如何把較高階的行列式轉(zhuǎn)化為較低階行列式的問題，從而得到計算行列式的另一種基本方法降階法為此，先介紹代數(shù)余子式的概念定義 在n階行列式中，劃去元素aij所在的第i行和第j列后，余下的元素按原來的位置構(gòu)成一個n1階行列式，稱為元素aij的余子式，記作ij元素aij的余子式ij前面添上符號(1)i+j稱為元素aij的代數(shù)余子式，記作Aij即Aij(1)i+jMij例

24、如：在四階行列式中a23的余子式是M23=而 A23=(1)2+3M23= 是a23的代數(shù)余子式定理 n階行列式D等于它的任意一行(列)的元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和，即D=ai1Ai1+ai2Ai2+ainAin (i=1，2，n)或 D=a1jA1j+a2jA2j+anjAnj (j=1，2，n)證明：只需證明按行展開的情形，按列展開的情形同理可證1先證按第一行展開的情形根據(jù)性質(zhì)有 按行列式的定義 同理 所以 D=a11A11+a12A12+a1nA1n2再證按第i行展開的情形將第i行分別與第i1行、第i2行、第行進(jìn)行交換，把第i行換到第行，然后再按的情形，即有定理 n階行列式D中某

25、一行(列)的各元素與另一行(列)對應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘積之和等于零，即：ai1As1+ai2As2+ainAsn=0 (is)或 a1jA1t+a2jA2t+anjAnt =0 (jt)證：只證行的情形，列的情形同理可證考慮輔助行列式這個行列式的第i行與第s列的對應(yīng)元素相同，它的值應(yīng)等于零，由定理1將D1按第s行展開，有D1= ai1As1+ai2As2+ainAsn=0 (is)定理和定理可以合并寫成 ai1As1+ai2As2+ainAsn= 或 a1jA1t+a2jA2t+ajnAnt = 定理1表明，n階行列式可以用n1階行列式來表示，因此該定理又稱行列式的降階展開定理利用它并結(jié)合行

26、列式的性質(zhì)，可以大大簡化行列式的計算計算行列式時，一般利用性質(zhì)將某一行(列)化簡為僅有一個非零元素，再按定理1展開，變?yōu)榈鸵浑A行列式，如此繼續(xù)下去，直到將行列式化為三階或二階這在行列式的計算中是一種常用的方法例 計算行列式 解：D的第四行已有一個元素是零，利用性質(zhì)，有例 計算n階行列式解：按第一列展開得例 計算，其中 xy解：根據(jù)定理1，把行列式適當(dāng)?shù)丶右恍幸涣?，然后利用性質(zhì)，有加到各行第2列提出因子x，第3列提出x，第4列提出y，第5列提出y，得例 試證 (1)式中左端叫范德蒙行列式結(jié)論說明，n階范德蒙行列式之值等于a1， a2， ， an，這n個數(shù)的所有可能的差aiaj(1jin)的乘積證

27、明：用數(shù)學(xué)歸納法1當(dāng)n=2時，計算階范德蒙行列式的值：可見n=2時，結(jié)論成立2假設(shè)對于n1階范德蒙行列式結(jié)論成立，來看n階范德蒙行列式：把第n1行的(a1)倍加到第n行，再把第n2行的(a1)倍加到第n1行，如此繼續(xù)作，最后把第1行的(a1)倍加到第2行，得到 后面這個行列式是n1階范德蒙行列式，由歸納假設(shè)得于是上述n階范德蒙行列式等于根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理，對一切n2，(1)式成立例 計算n階行列式解：把第一行乘以x加到第二行，然后把所得到的第二行乘以x加到第三行，這樣繼續(xù)進(jìn)行下去，直到第n行，便得到=例6 證明證 將上面等式左端的行列式按第一行展開，得本例題的結(jié)論對一般情況也是成立的，即1.6

28、 克萊姆法則前面我們已經(jīng)介紹了n階行列式的定義和計算方法，作為行列式的應(yīng)用，本節(jié)介紹用行列式解n元線性方程組的方法克萊姆法則它是中二、三元線性方程組求解公式的推廣設(shè)含有n 個未知量n個方程的線性方程組為 (1)它的系數(shù)aij構(gòu)成的行列式稱為方程組(1)的系數(shù)行列式定理 (克萊姆法則) 如果線性方程組(1)的系數(shù)行列式D，則方程組(1)有唯一解： (2)其中Dj (j=1，2，n，)是D中第j列換成常數(shù)項b1，b2，bn，其余各列不變而得到的行列式這個法則包含著兩個結(jié)論：方程組(1)有解，解唯一下面分兩步來證明第一步：在D的條件下，方程組(1)有解，我們將驗(yàn)證由(2)式給出的數(shù)組確實(shí)是方程組(1

29、)的解第二步：若方程組有解，必由(2)式給出，從而解是唯一的證：首先將代入(1)的第i個方程有： (3)把D1按第列展開，D2 按第2列展開，Dn按第n列展開，然后代入(3)式有：左端 右端這樣證明了是(1)的解其次，證明方程組若有解，其解必由(2)式給出，即解是唯一的即 假設(shè)x1=k1， x2=k2，xn=kn是方程組(1)的一個解，證明必有下式因x1=k1， x2=k2， ， xn=kn是(1)的解，把它代入(1)有 (1)將系數(shù)行列式D的j列的代數(shù)余子式A1j， A2j， ， Anj乘等式兩邊，得a11A1jk1+ a1jA1jkj+ a1nA1jkn=b1A1ja21A2jk1+ a2

30、jA2jkj+ a2nA2jkn=b2A2j an1Anjk1+ anjAnjkj+ annAnjkn=bnAnj把這n個等式相加，并利用行列式按一列展開定理，得即 因?yàn)?D，所以由于在上述證明過程中j可取遍1，2，n，于是有所以方程組的解是唯一的例 解線性方程組解：因?yàn)樗苑匠探M有唯一解，又即得唯一解：注意：用克萊姆法則解線性方程組時，必須滿足兩個條件：一是方程的個數(shù)與未知量的個數(shù)相等；二是系數(shù)行列式D當(dāng)方程組(1)中的常數(shù)項都等于時，稱為齊次線性方程組即稱為齊次線性方程組顯然，齊次線性方程組(3)總是有解的，因?yàn)閤1=0， x2=0， xn=0必定滿足(3)，這組解稱為零解，也就是說：齊次

31、線性方程組必有零解在解x1=k1， x2=k2， xn=kn不全為零時，稱這組解為方程組(3)的非零解定理2 如果齊次線性方程組(3)的系數(shù)行列式D，則它只有零解證：由于D，故方程組(3)有唯一解，又因?yàn)?3)已有零解，所以(3)只有零解定理的逆否命題如下：推論 如果齊次線性方程組(3)有非零解，那么它的系數(shù)行列式D例2 若方程組：只有零解，則a、b應(yīng)取何值？解：由定理知，當(dāng)系數(shù)行列式D時，方程組只有零解，所以，當(dāng)a1且b時，方程組只有零解例3 設(shè)f(x)=c0+c1x+cnxn，用克萊姆法則證明：若f(x)有n+1個不同的根，則f(x)是一個零多項式 證明：設(shè)a1，a2，an，an+1是f(

32、x)的n+1個不同的根，即這是以c0，c1，c2，cn為未知數(shù)的齊次線性方程組，其系數(shù)行列式為此行列式是范德蒙行列式，由于aiaj(ij)，所以，根據(jù)定理知，方程組只有唯一零解即c0= c1= c2= cn=0故f (x)是一個零多項式第二章 矩陣說明與要求:在討論線性方程組時，我們已經(jīng)看到矩陣所起的作用線性方程組的一些重要性質(zhì)都反映在它的系數(shù)矩陣和增廣矩陣上，所以我們可以通過矩陣來求解線性方程組，通過矩陣來判斷解的情況等但是矩陣的應(yīng)用不僅限于線性方程組，而是多方面的因此矩陣在線性代數(shù)中是一個重要而且應(yīng)用廣泛的概念矩陣是一個表格，作為表格的運(yùn)算與數(shù)的運(yùn)算既有聯(lián)系又有區(qū)別要熟練掌握矩陣的加法、乘

33、法與數(shù)量乘法的運(yùn)算規(guī)則，并熟練掌握矩陣行列式的有關(guān)性質(zhì)正確理解逆矩陣的概念，掌握逆矩陣的性質(zhì)及矩陣可逆的充要條件會用伴隨矩陣求矩陣的逆熟練掌握用初等變換求逆矩陣的方法了解矩陣的分塊原則，掌握分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)則注意分塊矩陣在矩陣乘法及求逆、齊次線性方程組的解、向量的線性表出、線性相關(guān)及矩陣秩等方面的應(yīng)用對于幾種特殊矩陣，應(yīng)掌握其定義和它們的性質(zhì)。本章重點(diǎn)：矩陣的運(yùn)算及性質(zhì)；初等矩陣；矩陣可逆的判定及求法；分塊矩陣。本章難點(diǎn)：初等矩陣的性質(zhì)；求矩陣的逆；分塊矩陣2.1 矩陣的概念在上一章2.1中已給出了矩陣的定義，即由數(shù)域P中的mn個數(shù)aij(i=1，2，m；j=1，2，n)排成一個m行，n列的表

34、稱為數(shù)域P上的一個mn矩陣aij 稱為第i行，第j列的元素矩陣是從許多實(shí)際問題中抽象出來的一個數(shù)學(xué)概念除了我們所熟知的線性方程組的系數(shù)及常數(shù)項可用矩陣來表示外，在一些經(jīng)濟(jì)活動中，也常常用到矩陣?yán)?某種物資有三個產(chǎn)地、四個銷地，調(diào)配方案如下表：調(diào)運(yùn)量表(單位：千噸) 銷 產(chǎn) 地 地甲乙丙丁則表中的數(shù)據(jù)可構(gòu)成一個三行四列的矩陣矩陣中每一個數(shù)據(jù)(元素)都表示從某個產(chǎn)地運(yùn)往某個銷地的物資的噸數(shù)以后我們用字母A、B、C等表示矩陣，有時為了表明A的行數(shù)和列數(shù)，可記為Amn 或( aij) mn，為了表明A中的元素，可簡記為A=( aij)當(dāng)m=n時，矩陣A=(aij)nn稱為n階矩陣或n階方陣當(dāng)m=1時，

35、矩陣A=(aij)1n(a11 a11 a1n)稱為行矩陣當(dāng)n=1時，矩陣A=(aij)m1稱為列矩陣當(dāng)矩陣中 所有元素都是零時，稱該矩陣為零矩陣，記作O或Omn即O=當(dāng)n階矩陣的主對角線上的元素都是1，而其它元素都是零時，則稱此n階矩陣為單位矩陣，記為E或En即E=對于矩陣A=(aij) mn，稱(aij) mn為A 的負(fù)矩陣，記為 A，即：A=注意：矩陣和行列式雖然在形式上有些類似，但他們是兩個完全不同的概念，一方面行列式的值是一個數(shù)，而矩陣只是一個數(shù)表另一方面行列式的行數(shù)與列數(shù)必須相等，而矩陣的行數(shù)與列數(shù)可以不等定義 A=( aij)，B=( bij)都是mn矩陣，若它們的對應(yīng)元素相等，

36、即aijbij，(i=1，2， ，m，j=1，2，n)則稱矩陣A與B 相等，記為A=B如，由 立即可得x=5， y=6， z= 12.2 矩陣的運(yùn)算矩陣的運(yùn)算可以認(rèn)為是矩陣之間最基本的關(guān)系下面介紹矩陣的加法、乘法、矩陣與數(shù)的乘法和矩陣的轉(zhuǎn)置一. 矩陣的加法定義 設(shè)A=， B=是兩個mn 矩陣，則矩陣C=稱為A與B 的和，記為 C=A+B注意：相加的兩個矩陣必須具有相同的行數(shù)和列數(shù)例 某種物資(單位：千噸)從兩個產(chǎn)地運(yùn)往三個銷地，兩次調(diào)運(yùn)方案分別用矩陣A和矩陣B表示：則從各產(chǎn)地運(yùn)往各銷地兩次的物資調(diào)運(yùn)總量為：由于矩陣的加法歸結(jié)為對應(yīng)元素相加，也就是數(shù)的加法，因此容易驗(yàn)證，矩陣的加法具有以下性質(zhì)：

37、設(shè) A，B，C 均為mn矩陣，則有(1) A+B=B+A(2) (A+B)+C=A+(B+C)；(3) A+0=A；(4) A+(A)=0；由矩陣的加法和負(fù)矩陣的定義，可以定義矩陣的減法：AB=A+(B)二. 矩陣的數(shù)量乘法定義2 設(shè)有矩陣，k是數(shù)域P中任一個數(shù)，矩陣稱為數(shù)k與矩陣A=(aij) mn的數(shù)量乘積記為k A注意：用數(shù)乘一個矩陣，就是把矩陣的每個元素都乘上k，而不是用k乘矩陣的某一行（列）不難驗(yàn)證，矩陣的數(shù)量乘法具有以下性質(zhì)：設(shè)A，B都是mn矩陣，k、l為數(shù)域P中的任意數(shù)則有(1)k(A+B)= kA+kB；(2) (k+l)A= kA+lB；(3) (kl)A= k(lA)= l

38、(kA)；(4) 1A=A； 0A=0例3 求矩陣X使2A+3X=2B，其中解：由2A+3X=2B得3X=2B2A=2(BA)于是 X=即 X=三. 矩陣的乘法矩陣乘法的定義最初是在研究線性變換時提出來的，為了更好地理解這個定義，我們先看一個例子例3 設(shè)y1， y2和x1， x2， x3是兩組變量，它們之間的關(guān)系是 (1)又t1，t2是第三組變量，它們與x1， x2， x3的關(guān)系是 (2)我們想用t1， t2線性地表示出y1， y2，即： (3)則要求出這組系數(shù)c11， c12， c21， c22事實(shí)上：將(2) 代入 (1)式，有y1= a11 ( b11t1 +b12t2 )+ a12 (

39、 b21t1 +b22t2 )+ a13 ( b31t1 +b32t2 ) =( a11b11 +a12b21+ a13b31)t1+ ( a11b12 +a12b22+ a13b32)t2y2= a21 ( b11t1 +b12t2 )+ a22 ( b21t1 +b22t2 )+ a23 ( b31t1 +b32t2 ) =( a21b11 +a22b21+ a23b31)t1+ ( a21b12 +a22b22+ a23b32)t2與(3) 對照，得：c11= a11b11 +a12b21+ a13b31 c12= a11b12 +a12b22+ a13b32c21= a21b11 +a

40、22b21+ a23b31 c22= a21b12 +a22b22+ a23b32如果用矩陣 A，B，C分別表示關(guān)系式 (1)，(2)，(3) 的系數(shù)矩陣，即我們稱C是A與B的乘積，即A23 B32 =C22=(cij) 22，其中元素cij等于A中的第i行的元素與B中第j列的對應(yīng)元素乘積之和例4 某地區(qū)有四個工廠、，生產(chǎn)甲、乙、丙三種產(chǎn)品，矩陣A表示一年內(nèi)各工廠生產(chǎn)各種產(chǎn)品的數(shù)量，矩陣B表示各種產(chǎn)品的單位價格(元)及單位利潤(元)，矩陣C表示各工廠的總收入及總利潤：其中 aik (i=1，2，3，4； k=1，2，3) 是第 i個工廠生產(chǎn)第k種產(chǎn)品的數(shù)量，bk1， bk2分別表示第k 種產(chǎn)品

41、的單位價格及單位利潤，ci1及ci2 (i=1，2，3，4) 分別是第i 工廠生產(chǎn)三種產(chǎn)品的總收入及總利潤如果稱矩陣C是A，B的乘積，從經(jīng)濟(jì)意義上講是極為自然的，并且有關(guān)系：其中矩陣C的元素cij等于A的第i行的元素與B的第j 列的元素的乘積之和于是引進(jìn)矩陣乘積的定義定義3 設(shè)矩陣A= (aik)ms，B= (bkj)sn ，則由元素cij =ai1b1j+ai2b2j+aisbsj (i=1，2，m； j=1，2，n)構(gòu)成的mn矩陣C=(cij)mn稱為矩陣A與B的乘積，記為C=AB從這個定義，我們可看出，應(yīng)注意矩陣乘法有以下三個特點(diǎn)：(1)左矩陣A的列數(shù)必須等于右矩陣B的行數(shù)，矩陣A與B才

42、可以相乘，即AB才有意義；否則AB沒有意義(2)矩陣A與B的乘積C的第i行、第j列的元素等于左矩陣A 的第i 行與右矩陣B的第j列的對應(yīng)元素的乘積之和(i=1，2，m； j=1，2，n)(3)在上述條件下，矩陣Ams與B sm相乘所得的矩陣C的行數(shù)等于左矩陣A的行數(shù)m，列數(shù)等于右矩陣B的列數(shù)n，即 AmS B Sn = Cmn例5 設(shè)，求AB解： 因?yàn)锳的列數(shù)與B的行數(shù)均為 3 ，所以AB有意義，且AB為23 矩陣如果將矩陣B 作為左矩陣， A作為右矩陣相乘，則沒有意義，即BA沒意義，因?yàn)锽 的列數(shù)為3 ，而 A 的行數(shù)為2 此例說明： AB 有意義，但 BA 不一定有意義例 設(shè)A，求AB 和

43、BA解：注：在運(yùn)算結(jié)果中，我們可以將一級矩陣看成一個數(shù)此例說明，即使AB 和BA 都有意義，AB和BA的行數(shù)及列數(shù)也不一定相同例7 設(shè)A=， B=，求AB 和BA解：AB=，BA=此例說明，即使AB和BA都有意義且它們的行列數(shù)相同，AB與BA也不相等另外此例還說明兩個非零矩陣的乘積可以是零矩陣?yán)? 設(shè) A=， B=， C= ，求AC 和BC解：AC=；BC=此例說明，由AC=BC ，C0，一般不能推出A=B以上幾個例子說明了數(shù)的乘法的運(yùn)算律不一定都適合矩陣的乘法對矩陣乘法請注意下述問題：(1) 矩陣乘法不滿足交換律，一般來講 ABBA(2) 矩陣乘法不滿足消去律一般來說，當(dāng)AB=AC或BA=C

44、A且A0時，不一定有B=C(3) 兩個非零矩陣的乘積，可能是零矩陣因此，一般不能由AB=0推出 A=0 或B=0若矩陣A與B 滿足AB=BA，則稱A與B可交換根據(jù)矩陣乘法定義，還可以直接驗(yàn)證下列性質(zhì)（假定這些矩陣可以進(jìn)行有關(guān)運(yùn)算）：(1) 結(jié)合律：(AB)C=A(BC)；(2) 分配律：A(B+C)=AB+BC， (A+B)C=AC+BC；(3) 對任意數(shù)k，有k (AB)= (k A)B=A(k B)；(4) Em、En 為單位矩陣，對任意矩陣Amn有EmAmnAmn，AmnEnAmn 特別地，若A是n階矩陣，則有EA=AE=A， 即單位矩陣E在矩陣乘法中起的作用類似于數(shù)1在數(shù)的乘法中的作用

45、利用矩陣的乘法運(yùn)算，可以使許多問題表達(dá)簡明例9 若記線性方程組的系數(shù)矩陣為 A=并記未知量和常數(shù)項矩陣分別為，B則有AX=所以上面的方程組可以簡記為矩陣形式AX=B有了矩陣的乘法，可以定義n階方陣的冪定義4 設(shè)A 是n 階方陣，規(guī)定A0 =E， Ak+1=AkA (k為非負(fù)整數(shù))因?yàn)榫仃嚨某朔M足結(jié)合律，所以方陣的冪滿足AkAl=Ak+l， (Ak)l=Akl其中k、l為非負(fù)整數(shù)，又因?yàn)榫仃嚨某朔ㄒ话悴粷M足交換律，所以對于兩個n階方陣A與B一般來說，(AB)kAkBk此外，若Ak=0，也不一定有A0例如A=，但A2=例10 設(shè)A，B 均為n 階方陣，計算(A+B)2解：(A+B)2 =(A+B

46、)(A+B)= (A+B)A+(A+B)B=A2+BA+AB+B2四. 矩陣的轉(zhuǎn)置定義 5 設(shè) mn 矩陣 A=將A的行變成列所得的nm矩陣稱為矩陣A 的轉(zhuǎn)置矩陣，記為AT例如 A=，則 AT=矩陣的轉(zhuǎn)置滿足以下規(guī)律：(1) (AT)T=A(2) (A+B)T=AT+BT(3) (kA)T=kAT (k為常數(shù))(4) (AB)T=BTAT 我們只證明(4) 設(shè) A=，B=首先容易看出， (AB)T和BTAT 都是nm矩陣其次，位于(AB)T 的第 i 行第 j 列的元素就是位于AB的第 j 行第 i 列的元素，且等于aj1b1i + aj2b2i+ajsbsi=而位于BTAT 的第i行第j列的

47、元素位于BT的第i行與AT的第j列對應(yīng)元素的乘積之和，因而等于 B 的第i 列的元素與 A 的第 j 行對應(yīng)元素的乘積之和：b1iaj1+ b2iaj2+ bsiajs=上面兩個式子顯然相等，所以(AB)T=BTAT例11 設(shè)A=， B=， 求(AB)T 和ATBT解：因?yàn)?AT=， BT=所以 (AB)T=BTAT=ATBT=注意：一般情況下 (AB)TATBT顯然，(2)和(4)可以推廣到n個矩陣的情形即：(A1+A2+An)T=AT1+ AT2+ ATn(A1A2An1An)T= ATn ATn1 AT2 AT1五. 方陣的行列式定義6 由n階方陣A=(aij) 的元素按原來位置所構(gòu)成的

48、行列式，稱為n 階方陣A的行列式，記為|A|設(shè) A，B是n階方陣，k是常數(shù)，則n階方陣的行列式具有如下性質(zhì)：(1) |AT|=|A|；(2) |kA| =kn|A|；(3) |AB|=|A|.|B|性質(zhì)(1)，(2)可由行列式的性質(zhì)直接得到，性質(zhì)(3)的證明較冗長，此處略去把性質(zhì)(3)推廣到m個n階方陣相乘的情形，有|A1A2Am|=|A1|A2|Am|例12 設(shè)A=，B=驗(yàn)證 |A|B|=|AB|=|BA|證：顯然有|A|B|= 2，因?yàn)?AB=|AB|= 2而BA=，|BA|= 2因此|A|B|=|AB|=|BA|定義7 設(shè) A 是n階方陣，當(dāng)|A|0時，稱A為非奇異的(或非退化的)；當(dāng)|A|=0時，稱A為奇異的(或退化的)由性質(zhì)(3)可以得到定理：設(shè)A， B為n階方陣，則 AB 為非奇異的充分必要條件是A與B都是非奇異的例13 已知A 為 n 階方陣，且 AAT 是非奇異的，證明A是非奇異的證：因?yàn)锳AT非奇異的，所以|AAT|0，即|AAT|=|A| |AT|=|A|20從而|A|0，