考點(diǎn)透析08數(shù)列(陳飛林)doc

1、考點(diǎn)透析8數(shù)列數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。高考對(duì)本章的考查比較全面，等差數(shù)列，等比數(shù)列的考查每年都不會(huì)遺漏。有關(guān)數(shù)列的試題經(jīng)常是綜合題，經(jīng)常把數(shù)列知識(shí)和指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和不等式的知識(shí)綜合起來(lái)，試題也常把等差數(shù)列、等比數(shù)列，求極限和數(shù)學(xué)歸納法綜合在一起。探索性問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)，常在數(shù)列解答題中出現(xiàn)。本章中還蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想，在主觀題中著重考查函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論等重要思想，以及配方法、換元法、待定系數(shù)法等基本數(shù)學(xué)方法。近幾年來(lái)，高考關(guān)于數(shù)列方面的命題主要有以下三個(gè)方面；（ 1）數(shù)列本身的有關(guān)知識(shí)，其中有等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式及求和公式。（

2、 2）數(shù)列與其它知識(shí)的結(jié)合，其中有數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式、三角、幾何的結(jié)合。（3）數(shù)列的應(yīng)用問(wèn)題，其中主要是以增長(zhǎng)率問(wèn)題為主。試題的難度有三個(gè)層次，小題大都以基礎(chǔ)題為主，解答題大都以基礎(chǔ)題和中檔題為主，只有個(gè)別地方用數(shù)列與幾何的綜合與函數(shù)、不等式的綜合作為最后一題難度較大。（文科考查以基礎(chǔ)為主，有可能是壓軸題）一、知識(shí)整合1在掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前n 項(xiàng)和公式的基礎(chǔ)上，系統(tǒng)掌握解等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合題的規(guī)律，深化數(shù)學(xué)思想方法在解題實(shí)踐中的指導(dǎo)作用，靈活地運(yùn)用數(shù)列知識(shí)和方法解決數(shù)學(xué)和實(shí)際生活中的有關(guān)問(wèn)題；2在解決綜合題和探索性問(wèn)題實(shí)踐中加深對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本

3、數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)，溝通各類知識(shí)的聯(lián)系，形成更完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生閱讀理解和創(chuàng)新能力，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力3培養(yǎng)學(xué)生善于分析題意，富于聯(lián)想，以適應(yīng)新的背景，新的設(shè)問(wèn)方式，提高學(xué)生用函數(shù)的思想、方程的思想研究數(shù)列問(wèn)題的自覺(jué)性、培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探索的精神和科學(xué)理性的思維方法二、方法技巧1判斷和證明數(shù)列是等差（等比）數(shù)列常有三種方法：(1) 定義法：對(duì)于n2的任意自然數(shù), 驗(yàn)證 anan 1(an / an 1 ) 為同一常數(shù)。(2) 通項(xiàng)公式法：若=+（ n-1 ） d=+（ n-k ） d ，則 a為等差數(shù)列；n若，則 an為等比數(shù)列。

4、(3) 中項(xiàng)公式法：驗(yàn)證中項(xiàng)公式成立。2. 在等差數(shù)列 an 中 , 有關(guān) Sn 的最值問(wèn)題常用鄰項(xiàng)變號(hào)法求解：(1)當(dāng) a1 >0,d<0am0時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù) m使得 Sm 取最大值 .am 10(2)當(dāng) a1 <0,d>0am0取最小值。時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù) m使得am 10在解含絕對(duì)值的數(shù)列最值問(wèn)題時(shí), 注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。3. 數(shù)列求和的常用方法：公式法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法等。三、注意事項(xiàng)1證明數(shù)列 an 是等差或等比數(shù)列常用定義，即通過(guò)證明an 1 an an an 1 或 an 1an而得。anan12在解決等差數(shù)列或等比數(shù)列的相關(guān)問(wèn)題時(shí)，“基本量

5、法”是常用的方法，但有時(shí)靈活地運(yùn)用性質(zhì)，可使運(yùn)算簡(jiǎn)便，而一般數(shù)列的問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求解。S1 0n1n(ak ak 1 ) 3注意 sn 與 an 之間關(guān)系的轉(zhuǎn)化。如： an =n， an = a1Sn Sn 1 02k 24數(shù)列極限的綜合題形式多樣，解題思路靈活，但萬(wàn)變不離其宗，就是離不開(kāi)數(shù)列極限的概念和性質(zhì)，離不開(kāi)數(shù)學(xué)思想方法，只要能把握這兩方面，就會(huì)迅速打通解題思路5解綜合題的成敗在于審清題目，弄懂來(lái)龍去脈，透過(guò)給定信息的表象，抓住問(wèn)題的本質(zhì)，揭示問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)系和隱含條件，明確解題方向，形成解題策略四典型考例【問(wèn)題 1】等差、等比數(shù)列的項(xiàng)與和特征問(wèn)題P49 例13。P50 例

6、2P56例 1P59T 6【注 1】文中所列例題如末給題目原文均為廣州市二輪復(fù)習(xí)資料上例題例（四川卷） 數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和記為 Sn ,a11, an12Sn 1 n1 （）求an的通項(xiàng)公式； （）等差數(shù)列 bn的各項(xiàng)為正，其前n 項(xiàng)和為 Tn ，且 T315 ，又 a1 b1 , a2b2 , a3b3 成等比數(shù)列，求 Tn本小題主要考察等差數(shù)列、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)，以及推理能力與運(yùn)算能力。滿分12 分。解：（）由 an 12Sn1 可得 an2Sn 11 n2，兩式相減得an 1an2an , an 13ann 2又 a22S113 a2 3a1故 an 是首項(xiàng)為 1，公比為3 得等比

7、數(shù)列 an3n1（）設(shè)bn的公比為d由 T315 得，可得 b1b2b3 15 ，可得 b25故可設(shè) b15d ,b35d又 a11,a23, a395d1 5d952解得 d12, d210由題意可得3等差數(shù)列bn的各項(xiàng)為正，d 0 d2 Tn3nnn12n22n21.設(shè)等差數(shù)列 an 的首項(xiàng) a1 及公差 d 都為整數(shù)，前 n 項(xiàng)和為 Sn.( )若 a11=0,S14=98,求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式；( )若 a16， a11 0，S14 77，求所有可能的數(shù)列an的通項(xiàng)公式2 ( 上海卷 ) 設(shè)數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn ，且對(duì)任意正整數(shù)n ， anSn4096。（ 1）求數(shù)列

8、an 的通項(xiàng)公式？（ 2）設(shè)數(shù)列 log 2an 的前 n 項(xiàng)和為 Tn , 對(duì)數(shù)列n，從第幾項(xiàng)起 Tn509 ？T.解 (1) an + Sn=4096, a1+ S1=4096, a1 =2048.an11當(dāng) n 2 時(shí) , an= SnSn 1=(409 6 an) (4096 an1)= an 1 an=an=2048(an 122)n1.1(2) log2 an=log 22048(2n 1T n=12) =12 n,2( n +23n).由 Tn< 509, 解得 n> 234601 , 而 n 是正整數(shù) , 于是 ,n 46.從第 46 項(xiàng)起 Tn< 509.2

9、3. (全國(guó)卷 )設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列 an的首項(xiàng) a11 ，前 n 項(xiàng)和為 Sn ，且2210 S30( 2101)S20S100 。（）求 an的通項(xiàng)；（）求 nSn的前 n 項(xiàng)和 Tn 。解：（）由210 S30(2101)S20S100得210 (S30S20 )S20S10 ,即 210 (a21a22a30 )a11a12a20 ,可得 210 q10 (a11a12a20 )a11a12a20 .因?yàn)?an0 ，所以 210 q101,解得 q1，因而 ana1 qn 11n, n1,2, .121 的等比數(shù)列，故2（）因?yàn)?an 是首項(xiàng) a1、公比 q11222 (12 n )1nS

10、n1112n, nSnn2n .212n則數(shù)列 nS 的前 n 項(xiàng)和Tn(12n)(2n ),n222Tn112n 1n).2(1 2n) (2232n2n 12Tn2前兩式相減，得1111n22(1 2n)( 2 222 n )2n 111n( n 1)2 (12n )n即Tnn(n1)1n2.412n 122n 12n12【問(wèn)題2】等差、等比數(shù)列的判定問(wèn)題P53T 7例 P54T 9例 P54T 9(上海卷 ) 已知有窮數(shù)列 an 共有 2k 項(xiàng)（整數(shù) k 2），首項(xiàng) a1 2設(shè)該數(shù)列的前 n 項(xiàng)和為 Sn ，且 an1 (a1)Sn 2（ n 1， 2， 2k 1），其中常數(shù) a 121

11、（ 1）求證：數(shù)列 an 是等比數(shù)列；（ 2）若 a 2 2 k1 ，數(shù)列 bn 滿足 bn an ) （ n 1，log 2 (a1a22， 2 k ），求數(shù)列 bn 的通項(xiàng)公式；n（ 3）若（ 2）中的數(shù)列bn滿足不等式|b13| b23|b2k 13|b2k 3k的值 ，求|2|4222a2=a；(1) 證明 當(dāng) n=1 時(shí) ,a2=2a,則a12 n 2k1 時(shí) , an+1 =(a 1) Sn+2, an=(a1) Sn 1+2,an+1 an=(a 1) an, an1 =a, 數(shù)列 a n 是等比數(shù)列 .an解：由 (1) 得 an=2a n1 , a1 a2 an=2 n a1

12、2( n 1) =2 n an (n1)nn ( n1)(2)2=22 k1 ,bn=1 nn( n1)n11(n=1,2,2k).n2k12k1313；（ 3）設(shè) bn ,解得 n k+ ,又 n 是正整數(shù) ,于是當(dāng) nk時(shí) , bn<2322當(dāng) n k+1時(shí), bn> .2原式 =(3 b1)+(3 b2 )+ +(3 bk)+(b k+1 3)+ +(b2k 3)22222=(b k+1 + +b2k ) (b1+ +bk)12k1) k1k1)kk 2(k(0= 22k1k 22k1k =.2k1當(dāng)k 224 23 k4+2 3 ,又 k2, 4,得 k 8k+40,2k

13、1當(dāng) k=2,3,4,5,6,7 時(shí) ,原不等式成立 .4例，已知數(shù)列an中 ， Sn是 其 前 n 項(xiàng) 和 ，并 且 Sn14an2( n1,2,), a1 1 ， 設(shè) 數(shù) 列bnan1 2an (n1,2,) ，求證：數(shù)列bn是等比數(shù)列；設(shè)數(shù)列cnann , (n1,2,) ，求證：n 項(xiàng)和。2數(shù)列 cn是等差數(shù)列；求數(shù)列an的通項(xiàng)公式及前分析：由于 b n 和 c n 中的項(xiàng)都和 a n 中的項(xiàng)有關(guān)， a n 中又有 S n1=4a n +2，可由 Sn 2 -S n1作切入點(diǎn)探索解題的途徑【注 2】本題立意與 2007年高考題文科20 題結(jié)構(gòu)相似 .解： (1) 由 S n 1 =4a

14、 n 2 ， S n 2=4a n 1 +2，兩式相減，得S n 2 -S n1 =4(a n 1 -a n )，即 a n2 =4a n 1 -4a n (根據(jù)b n 的構(gòu)造，如何把該式表示成b n 1 與 b n 的關(guān)系是證明的關(guān)鍵，注意加強(qiáng)恒等變形能力的訓(xùn)練)a n2 -2a n1=2(a n 1-2a n ) ，又 b n =a n1 -2a n ，所以 b n 1 =2b n已知 S 2 =4a 1 +2， a 1 =1 ， a1 +a 2=4a 1 +2，解得 a 2=5， b 1 =a 2 -2a1 =3由和得，數(shù)列b n 是首項(xiàng)為3，公比為2 的等比數(shù)列，故b n =3

15、3; 2 n 1 n 1當(dāng) n 2 時(shí)， S n =4a n 1 +2=2 (3n-4)+2 ；當(dāng) n=1 時(shí)， S1 =a 1 =1 也適合上式綜上可知，所求的求和公式為Sn =2 n 1 (3n-4)+2 n 項(xiàng)說(shuō)明： 1本例主要復(fù)習(xí)用等差、等比數(shù)列的定義證明一個(gè)數(shù)列為等差，等比數(shù)列，求數(shù)列通項(xiàng)與前和。解決本題的關(guān)鍵在于由條件Sn 1 4an 2得出遞推公式。2解綜合題要總攬全局，尤其要注意上一問(wèn)的結(jié)論可作為下面論證的已知條件，在后面求解的過(guò)程中適時(shí)應(yīng)用【問(wèn)題 3】函數(shù)與數(shù)列的綜合題P51例 3數(shù)列是一特殊的函數(shù)，其定義域?yàn)檎麛?shù)集，且是自變量從小到大變化時(shí)函數(shù)值的序列。注意深刻理解函數(shù)性

16、質(zhì)對(duì)數(shù)列的影響，分析題目特征，探尋解題切入點(diǎn).P51例 3（ 2006 湖北卷） 已知二次函數(shù)y =f ( x) 的圖像經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為f ' ( x) = 6x - 2 ，數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn，點(diǎn) (n, S )( n?N *) 均在函數(shù)y = f (x)的圖像上。（）、求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公n式；（）、設(shè) bn =1， Tn 是數(shù)列 bn 的前 n 項(xiàng)和，求使得 Tn < m 對(duì)所有 n ? N * 都成立的最小正整an an+ 120數(shù) m；點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)、等差數(shù)列、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)和基本的運(yùn)算技能，考查分析問(wèn)題的能力和推理能力。解：（ ）

17、設(shè)這二次函數(shù) f(x)ax2+bx (a 0) ,則 f(x)=2ax+b,由于 f(x)=6x 2,得a=3 , b= 2, 所以f(x) 3x22x.又因?yàn)辄c(diǎn) (n, S )(nN ) 均在函數(shù)yf ( x)的圖像上，所以Sn3n22n.n當(dāng) n2 時(shí)， a S S （ 3n22n） 31) 22(n1) 6n 5.nnn 1（ n當(dāng) n1 時(shí)， a1 S1 3×12 2 6×1 5，所以， an 6n 5 （ nN ）（）由（）得知bn331) 1 (11) ，an an1 (6n 5) 6( n526n5 6n1nbi 1(11 )( 11 ).(11) 11故 T

18、 n5（ 1） .i1277136n6n126n1因此，要使 111）<m（ nN）成立的1m ，即 m10，所以2（ 20m,必須且僅須滿足206n12滿足要求的最小正整數(shù)m 為 10.5設(shè) f1 (x)2，定義 f n1 ( x)f1 f n ( x), anf n (0)1，其中 n N*.1xfn (0)2（ 1）求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式； （ 2）若 T2 na12a23a32na 2n , ，解：（ 1） f1 (0) 2， a1211(0)f1 f n ( 0)222， fn 11fn (0)，421f n 1 (0)11f n (0)1f n ( 0)1f n (0)11

19、an 12242 f n (0)2f n (0)2anf n 1 (0)221fn (0)an 111，公比為1的等比數(shù)列，an11n 1，數(shù)列 an上首項(xiàng)為42()an242（ 2） T2 na12a23a32na 2n ,1T2n(1) a1 (1) 2a2(1)3a3(1)2na2n ,2222231 1( 1)2n 1 113n 1兩式相減得：42)2 n 1,2T2 n1n4 (2T2n9 (122n )126（湖北卷） 設(shè)數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn ，點(diǎn) ( n, Sn )(n N) 均在函數(shù) y 3x 2 的圖像上。（）求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；（）設(shè) bn3， Tn 是

20、數(shù)列 bn 的前 n項(xiàng)和，求使得 Tnman an 1對(duì)所20有 n N 都成立的最小正整數(shù) m。本小題主要是考查等差數(shù)列、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)和基本的運(yùn)算技能，考查分析問(wèn)題能力和推理能力。Sn3n2, 即 Sn2解：（ I ）依題意得，n3n2n 。時(shí)， a ansnsn(3n22當(dāng) n 212n)3n12( n1)6n5 ;當(dāng) n=1 時(shí)， a1s13× 12-2 × 1-1-6 × 1-5所以 an6n5(nN ) 。（ II ）由（ I ）得 bn31111，anan 1(6 n5) 6(n1)52 6 n56 n1n輊驏驏1驏1 鼢111?11?瓏

21、1?-=+-+-故T犏-=。b鼢.1n1?瓏鼢犏瓏桫?1= 12桫7桫5 6n + 1 26n 1臌7 136n -因此，使得 111 m n N成立的 m必須滿足 1 m26n 120220為 10。，即 m10, 故滿足要求的最小整數(shù)m【問(wèn)題 4】數(shù)列與解析幾何數(shù)列與解析幾何綜合題，是今后高考命題的重點(diǎn)內(nèi)容之一，求解時(shí)要充分利用數(shù)列、解析幾何的概念、性質(zhì)，并結(jié)合圖形求解 .例 3在直角坐標(biāo)平面上有一點(diǎn)列P1 (x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) , Pn ( xn , yn )，對(duì)一切正整數(shù)n ，點(diǎn) Pn 位于函數(shù) y3x13的圖象上，且Pn 的橫坐標(biāo)構(gòu)成以5為首項(xiàng)，1為公

22、差的等差數(shù)列xn .42x 軸，第 n 條拋物線 cn求點(diǎn) Pn 的坐標(biāo)；子設(shè)拋物線列c1 ,c2 ,c3 ,cn ,中的每一條的對(duì)稱軸都垂直于的頂點(diǎn)為n， 且 過(guò) 點(diǎn) D n (0, n21) ， 記 與 拋 物 線 n相 切 于Dn 的 直 線 的 斜 率 為kn ， 求 ：Pc111.k1k2k2 k3kn 1 kn解：（ 1） xn5( 1)n3( n 1)22yn3 xn133n5 , Pn( n3 , 3n5 )44242n312n 5（ 2）cn 的對(duì)稱軸垂直于x 軸，且頂點(diǎn)為 Pn .設(shè) cn 的方程為： ya( x) 2,24把 D n (0,n 21) 代入上式，得a1，c

23、n 的方程為： yx2(2n3)xn 21。kny' |x 02n 3 ，111 (11)kn 1 kn(2n 1)(2n 3) 2 2n 1 2n 311111111(11)k1k2k2 k3kn 1 k n()()2 5 77 92n 1 2n 3111)11=(2n104n6253點(diǎn)評(píng)： 本例為數(shù)列與解析幾何的綜合題，難度較大。（ 1）、（2）兩問(wèn)運(yùn)用幾何知識(shí)算出 kn .7 已知拋物線 x24 y ，過(guò)原點(diǎn)作斜率1 的直線交拋物線于第一象限內(nèi)一點(diǎn)P1 ，又過(guò)點(diǎn) P1 作斜率為1 的1 的直線交拋物線于點(diǎn)2直線交拋物線于點(diǎn)P2 ，再過(guò) P2 作斜率為P3，如此繼續(xù)，一般地，過(guò)點(diǎn)P

24、n 作14斜率為的直線交拋物線于點(diǎn)Pn 1 ，設(shè)點(diǎn) Pn ( xn , yn ) 2n bn 的前 n 項(xiàng)和為 Sn（）令 bnx2n1x2 n 1 ，求證：數(shù)列 bn 是等比數(shù)列并求數(shù)列解：（ 1）因?yàn)?Pn ( xn , yn ) 、Pn 1 ( xn 1 , yn 1 ) 在拋物線上， 故 xn24 yn , xn124 yn 1 ，又因?yàn)橹本€ Pn Pn 1的斜率為1yn1yn1，代入可得2n，即xn1xn21 x2n 1x2n1xn 1xn1bnx2n 1x2 n 1(x2n 1x2 n ) ( x2nx2n 1 )4 xn 1xn2n2n 2111，故 bn 11bn 是以 122

25、n 222n 322n 2bn44開(kāi)始為公比的等比數(shù)列；Sn4(113Sn11，34n )44n輸入 n【問(wèn)題5】數(shù)列與算法2n=1否8. 數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn =n +2n-1, 試用程序框圖表示數(shù)列通項(xiàng)an 的過(guò)程 , 并寫(xiě)出數(shù)列的前5 項(xiàng)和通項(xiàng)公式 an .是1f (n)f (n1) 2( n1)11f ( n)2( n1)39.根據(jù)流程圖 ,(1)求 a3 ;(2) 若 an,求 n.34015【問(wèn)題6】數(shù)列創(chuàng)新題10.（安徽卷） 數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn ，已知 a1 =1, Sn= n2 an -n(n -開(kāi)始1), n = 1,2,鬃?2（）寫(xiě)出 Sn 與

26、 Sn- 1的遞推關(guān)系式 (n 32)，并求 Sn 關(guān)于 n 的表達(dá)式；（）設(shè) fn (x) =Snxn + 1 , bn=f n/ ( p)( p ? R) ，求數(shù)列 bn 的前 n 項(xiàng)和 Tn 。n解：由 Sn = n2 an - n(n - 1) (n 3 2)得： Sn = n2 (Sn - Sn- 1 ) - n(n - 1)，即xn+ 1(n2 - 1)Sn - n2Sn- 1 = n(n - 1)，所以 n + 1 Sn -nSn- 1 = 1 ，對(duì) n 3 2 成立。nn -1由 n + 1 Sn -n Sn- 1= 1，nSn- 1 -n - 1 Sn- 2= 1， ，3S2-2 S1 = 1