平新喬課后習(xí)題詳解第16講--一般均衡與福利經(jīng)濟(jì)學(xué)的兩個(gè)基本定理

1、平新喬微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)十八講第16講一般均衡與福利經(jīng)濟(jì)學(xué)的兩個(gè)基本定理1.考慮一種兩個(gè)消費(fèi)者、兩種物品的交易經(jīng)濟(jì)，消費(fèi)者的效用函數(shù)與稟賦如下1e1=718,422ux,X2=lnx2lnX2e=3,6(1)描繪出帕累托有效集的特征(寫出該集的特征函數(shù)式)；(2)發(fā)現(xiàn)瓦爾拉斯均衡。解：(1)由消費(fèi)者1的效用函數(shù)u1(x,x2)=(/x2j,可得 MU1=2x1x22,MU2=2x；x2,1_21MU12x1x2_x2MU2-2x12x2-x1在帕累托有效集上的任一點(diǎn)，每個(gè)消費(fèi)者消費(fèi)兩種物品的邊際替代率都相同，即:12MRS12=MRS12從而有:12x2x22x12x1又因?yàn)?x2=10-x2,x2=

2、21-x1,把這兩個(gè)式子代入式中，就得到了帕累托有效集的特征函數(shù):x1210-x；x；一42一2乂(2)由于瓦爾拉斯均衡點(diǎn)必然位于契約曲線上，所以在均衡點(diǎn)式一定成立。此外在均衡點(diǎn)處，預(yù)算線和無差異曲線相切(如圖16-1所示)，這就意味著邊際替代率等于預(yù)算線的斜率，即:聯(lián)立、兩式，解得：x；=58/4,x2=58/11。故消費(fèi)者1的邊際替代率為MRS112同理可得消費(fèi)者2的邊際替代率為 MRS2二工一2月2x1=MRS112x1P4x2P2x；-18進(jìn)而有 x；=21-父=26/4,x2=10-x1=52/11。2 .證明：一個(gè)有n種商品的經(jīng)濟(jì)，如果(n_1)個(gè)商品市場上已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了均衡，則第n個(gè)

3、市場必定出清。證明：假設(shè)第k種商品的價(jià)格為pk,kwl,2,，n。系統(tǒng)內(nèi)存在I(I為正整數(shù))個(gè)消費(fèi)者，第i個(gè)消費(fèi)者擁有第 k 種物品的初始稟賦為 ek,而第i個(gè)消費(fèi)者對(duì)第 k 種商品的消費(fèi)量為 xk,根據(jù)瓦爾拉斯定律可知系統(tǒng)中的超額的市場價(jià)值為零，即:nPkrixk-xek=0k土i.ii.i當(dāng)前n-1個(gè)商品市場已經(jīng)實(shí)現(xiàn)均衡，即前n-1個(gè)商品市場的超額需求為零，這時(shí)有:n_1PkXxk-xek-Pnxk-vek=0k1i三IidI閆PnXxk-xek=0i-Ii-I、xk=0,有：ED3tP=4tP2-2tp3-2=4P2-2P3-2=ED3PtP1tP1P1P1所以 ED2和 ED3關(guān)于 P

4、1、P2與 P3是零次齊次的。(2)根據(jù)瓦爾拉斯法則可知，均衡時(shí)每種商品的超額需求的價(jià)值之和為零，即：ED1+ED2+ED3=0如果 ED2=ED3=0 由可知 ED1=0,把 ED?和 ED3的表達(dá)式代入式中，可以解得：當(dāng)市場達(dá)到均衡時(shí)，必有 ED2=ED3=0,即：3 旦-2=-1P1P14 貶-2-P3=2P1P1解得:P2Q二 3P1m2Pi10P2i=1,2Pi30Pi20P2Pi-P22P2-20=01的馬歇爾需求函數(shù)為:5P1P1-P2消費(fèi)者2的馬歇爾需求函數(shù)為:肛喏喏 I 喈23P1-1=ED2PED1=3比一2公P1P1-1-4反-2-2=3P1PP1(3)于是pl=曳且=5

5、P2P2Pl35 .考慮一種兩人、兩物品的純粹交易經(jīng)濟(jì)。消費(fèi)者的效用函數(shù)與稟賦如下22ux,x2=xx28x9x2e=10,10求：(1)對(duì)兩種物品的超額需求函數(shù)。(2)為該經(jīng)濟(jì)決定均衡價(jià)格比率。解：(1)由題設(shè)所給的效用函數(shù)可以得出每個(gè)消費(fèi)者的馬歇爾需求函數(shù)為：15p2111plx1p,P2=-21x2P1,P292P12P221P2219Plx1IP1，P2=-9x2I：P1，P2=12P12P2所以兩種商品的超額需求函數(shù)為：ED1=x；+x：8-10=5+21旦+1+9匹-18=30史-152pl2P1P1ED2=x；+x2-10-30=口父包+91P十140=15&-302P2

6、2P2P2(2)當(dāng)經(jīng)濟(jì)達(dá)到均衡時(shí)，每個(gè)市場的超額需求為零，即：P2P13015=15-30=0P2解得：艮=2。P26 .判斷下列命題，并給出理由：(1)如果知道了契約線，則我們就知道了任何交易的結(jié)果。(2)如果已達(dá)到了帕累托有效，則就無法使任何人的狀況再得以改善。答：(1)錯(cuò)誤。理由如下：契約線是埃奇沃斯方框圖中所有帕累托有效的分配點(diǎn)的集合，但是對(duì)于一個(gè)具體的交易而言，其最終結(jié)果還依賴于每個(gè)消費(fèi)者的初始稟賦，如圖16-2所示，其中A和B是初始稟賦點(diǎn)，可見不同的初始稟賦導(dǎo)致不同的均衡結(jié)果。1ux,x2=x&12x13x21e=8,30圖16-2不同的初始稟賦導(dǎo)致不同的均衡(2)錯(cuò)誤。理

7、由如下：帕累托有效是指在不損害其他任何人的利益的條件下，不能使經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中某些人的境況變得更好。但是如果允許損害某些人的利益，那么對(duì)帕累托有效的配置而言，就有可能使某些人的境況變得更好。比如在一個(gè)包括兩個(gè)消費(fèi)者和一種商品的經(jīng)濟(jì)中，其中一個(gè)人擁有全部的商品，而另一個(gè)人一無所有，這是一個(gè)帕累托有效的配置；但是現(xiàn)在讓情況反過來，使得原來一無所有的人擁有全部商品，那么這個(gè)人的境況就得到了改善。7 .請證明：在兩物品、兩個(gè)消費(fèi)者的純粹交易經(jīng)濟(jì)里，帕累托有效的一個(gè)必要條件是.u1;X；u2:X這里，上標(biāo)表本人，下標(biāo)表木物。證明：根據(jù)定義，帕累托有效的資源配置可以通過以下最大化問題得到:1111max2ux1

8、,x2x1，x1，x2，x2，、F222st.uxi,x2=u12xi+x=ei=1,2構(gòu)造這個(gè)問題的拉格朗日函數(shù):效用最大化的一階條件為:11二X2”22-2.r,Z.Z.二x1I2,Lu從而可得到:8 .在一個(gè)島上，有200磅糧食要在兩個(gè)孤立無援的水手之間分配。第一個(gè)水手的效用函數(shù)為u=戶，其中E是由第一個(gè)水手消費(fèi)的數(shù)量。對(duì)于第二個(gè)水手，其糧食消費(fèi)的效用函數(shù)為七=1F202(1)如果糧食在兩個(gè)人之間平均分配，他們各自的效用是多少？(2)如果他們的效用相等，糧食應(yīng)如何分配？(3)要使兩個(gè)人的效用之和最大，應(yīng)如何分配糧食？(4)假設(shè)第二個(gè)水手的能夠求生的效用水平是5,如果想要在第二個(gè)水手得到最

9、低效用水平的前提下使效用之和最大化，應(yīng)如何分配糧食？.u1?x2：u2灰L(,x2,x2,x|心1(x；,x2u-u2(X12,x2，H(x；+x；-01)-(x2+x|-e2)-i：Xi-1.xn1;u-2=0(5)假定兩個(gè)水手都贊成的社會(huì)福利函數(shù)為W=u11/2u21/2。那么，在兩個(gè)水手之間應(yīng)怎樣分配糧食才能使社會(huì)福利最大化？解：(1)如果糧食在兩個(gè)人之間平均分配，即 F1=F2=100。他們各自的效用分別是:u1三 9,耳=100=10(2)如果使兩個(gè)水手的效用相等，即，可、廬時(shí)，解得 F1=0.25F2。又因?yàn)?F1+F2=200,從而解得 F1=40,F2=160。故他們的效用相等

10、，則第一個(gè)水手消費(fèi)40磅糧食，第二個(gè)水手消費(fèi)160磅糧食。(3)兩個(gè)人的效用和最大化問題為：mcJX.F10.5.F2s.tF1+F2=200從約束條件中解出 F2,并把它代入目標(biāo)函數(shù)式中，就有:050.5omaxoF1u.50.5200-F1從一階條件解得：F1=160,F2=40。要使兩人效用之和最大，第一個(gè)水手和第二個(gè)水手分別消費(fèi)糧食160磅、40磅。(4)這相當(dāng)于求解如下最優(yōu)化問題：maxF10.5,F2s.tR+F2=200F2.100從式 F1+F2=200 中解出 F2,并把它代入目標(biāo)函數(shù)式中，就有:25嘴樂戶+0.520由于目標(biāo)函數(shù)式在 E=160 時(shí)，取得惟一的最大值。所以，

11、當(dāng) F1E160 時(shí)，目標(biāo)函數(shù)式的值隨著匕的增加而增加，又因?yàn)?F2A100。所以滿足題目條件的解為 F1=100,從而 F2=100。故如果想要在第二個(gè)水手得到最低效用水平的前提下使效用之和最大化，兩個(gè)水手各消費(fèi)100磅糧食。(5)將兩個(gè)水手的效用函數(shù)代入社會(huì)福利函數(shù)中，可得：WF1,F2=-22E14F24又 F+F2=200,則W(F1,F2尸 W(F1)=-yF1114(200-F1J/4,社會(huì)福利最大化的一階條件為：解得：F=100,因此 F2=200-F=100。故要使社會(huì)福利最大化，兩個(gè)水手各消費(fèi)100磅糧食。9.甲有6瓶汽水，1塊面包；乙有1瓶汽水，4塊面包。兩人對(duì)汽水與面包的

12、效用函U21=2,F2H5.100=5dW.2dF18-yF114200-F134=0數(shù)一樣，都為u=xy,x為汽水瓶數(shù)，y為面包塊數(shù)?，F(xiàn)在相互交換汽水與面包，但只能整瓶與整塊地?fù)Q。甲先提議：“我要用A瓶汽水換你B塊面包”。問；(1)A與B各為多少時(shí)，交換才可能成功，且對(duì)甲最有利？(2)如果u=(1/a(lnx+lnyA與B又將是多少？解：(1)甲的起始效用是6,乙的起始效用是4。如果甲用A瓶汽水換B個(gè)面包，則交換后，甲的凈增效用為：6-A1B；-6=6B-A-AB乙的凈增效用為：1A4-B-4=4A-B-AB下面對(duì)A和B所有可能的值進(jìn)行枚舉，得到表16-1,特別地，表中只列出了兩個(gè)人的凈增效

13、用都大于零的組合(每一方格中的第一個(gè)數(shù)字是甲的凈增效用，第二個(gè)數(shù)字是乙的凈增效用)。表16-1交換帶給每個(gè)人的凈增效用1 12 234 451 14,24,22,52,50,80,82 29,09,06,26,23,43,40,60,63 3觀察上表可知，對(duì)甲最有利的交換是：甲用1瓶汽水交換乙的2塊面包。(2)由于ur=-lnu,每個(gè)人的新的效用函數(shù)只是原來效用函數(shù)的單調(diào)變換，根據(jù)單調(diào)a變換的性質(zhì)可知新的效用函數(shù)表示的每個(gè)人的偏好并沒有變化。因此對(duì)甲最有利的交換仍然是：甲用1瓶汽水交換乙的2塊面包。10.設(shè)有兩種產(chǎn)品，魚6噸和肉9噸，分給甲、乙兩人。甲分到A噸魚，B噸肉；乙分到C噸魚，D噸肉。

14、甲、乙的效用函數(shù)分別為11u甲=A2B311u乙=C2D4(1)請推導(dǎo)：當(dāng)分配方案達(dá)到帕累托最優(yōu)時(shí)，A、B所滿足的關(guān)系式。(注：表示成A=f(B)的形式。)(2)如果有三種產(chǎn)品，魚6噸、肉9噸和蛋12噸，分給甲、乙兩人。甲分到A噸魚,B噸肉，C噸蛋；乙分到D噸魚，E噸肉，F(xiàn)噸蛋。甲、乙的效用函數(shù)分別為111u?=AB3C；111ui=DE；F當(dāng)分配方案達(dá)到帕累托最優(yōu)時(shí)，兩個(gè)人的邊際替代率相等，即:3B2E2A一D2c3F請推導(dǎo)：當(dāng)分配方案達(dá)到帕累托最優(yōu)時(shí),A、B、C所滿足的關(guān)系式。（注：表示成A=f（B）,A=g（C）的形式。）11解：（1）由甲的效用函數(shù)由 uAB3可得,AMU甲D11JMU=A2B3。故甲關(guān)于3A魚和肉的邊際替代率為：MRSAB=嗎MU甲1111A?B3212底細(xì)年33BO2