平新喬課后習題詳解第16講--一般均衡與福利經(jīng)濟學的兩個基本定理

1、平新喬微觀經(jīng)濟學十八講第16講一般均衡與福利經(jīng)濟學的兩個基本定理1.考慮一種兩個消費者、兩種物品的交易經(jīng)濟，消費者的效用函數(shù)與稟賦如下1e1=718,422ux,X2=lnx2lnX2e=3,6(1)描繪出帕累托有效集的特征(寫出該集的特征函數(shù)式)；(2)發(fā)現(xiàn)瓦爾拉斯均衡。解：(1)由消費者1的效用函數(shù)u1(x,x2)=(/x2j,可得 MU1=2x1x22,MU2=2x；x2,1_21MU12x1x2_x2MU2-2x12x2-x1在帕累托有效集上的任一點，每個消費者消費兩種物品的邊際替代率都相同，即:12MRS12=MRS12從而有:12x2x22x12x1又因為 x2=10-x2,x2=

2、21-x1,把這兩個式子代入式中，就得到了帕累托有效集的特征函數(shù):x1210-x；x；一42一2乂(2)由于瓦爾拉斯均衡點必然位于契約曲線上，所以在均衡點式一定成立。此外在均衡點處，預算線和無差異曲線相切(如圖16-1所示)，這就意味著邊際替代率等于預算線的斜率，即:聯(lián)立、兩式，解得：x；=58/4,x2=58/11。故消費者1的邊際替代率為MRS112同理可得消費者2的邊際替代率為 MRS2二工一2月2x1=MRS112x1P4x2P2x；-18進而有 x；=21-父=26/4,x2=10-x1=52/11。2 .證明：一個有n種商品的經(jīng)濟，如果(n_1)個商品市場上已經(jīng)實現(xiàn)了均衡，則第n個

3、市場必定出清。證明：假設第k種商品的價格為pk,kwl,2,，n。系統(tǒng)內(nèi)存在I(I為正整數(shù))個消費者，第i個消費者擁有第 k 種物品的初始稟賦為 ek,而第i個消費者對第 k 種商品的消費量為 xk,根據(jù)瓦爾拉斯定律可知系統(tǒng)中的超額的市場價值為零，即:nPkrixk-xek=0k土i.ii.i當前n-1個商品市場已經(jīng)實現(xiàn)均衡，即前n-1個商品市場的超額需求為零，這時有:n_1PkXxk-xek-Pnxk-vek=0k1i三IidI閆PnXxk-xek=0i-Ii-I、xk=0,有：ED3tP=4tP2-2tp3-2=4P2-2P3-2=ED3PtP1tP1P1P1所以 ED2和 ED3關(guān)于 P

4、1、P2與 P3是零次齊次的。(2)根據(jù)瓦爾拉斯法則可知，均衡時每種商品的超額需求的價值之和為零，即：ED1+ED2+ED3=0如果 ED2=ED3=0 由可知 ED1=0,把 ED?和 ED3的表達式代入式中，可以解得：當市場達到均衡時，必有 ED2=ED3=0,即：3 旦-2=-1P1P14 貶-2-P3=2P1P1解得:P2Q二 3P1m2Pi10P2i=1,2Pi30Pi20P2Pi-P22P2-20=01的馬歇爾需求函數(shù)為:5P1P1-P2消費者2的馬歇爾需求函數(shù)為:肛喏喏 I 喈23P1-1=ED2PED1=3比一2公P1P1-1-4反-2-2=3P1PP1(3)于是pl=曳且=5

5、P2P2Pl35 .考慮一種兩人、兩物品的純粹交易經(jīng)濟。消費者的效用函數(shù)與稟賦如下22ux,x2=xx28x9x2e=10,10求：(1)對兩種物品的超額需求函數(shù)。(2)為該經(jīng)濟決定均衡價格比率。解：(1)由題設所給的效用函數(shù)可以得出每個消費者的馬歇爾需求函數(shù)為：15p2111plx1p,P2=-21x2P1,P292P12P221P2219Plx1IP1，P2=-9x2I：P1，P2=12P12P2所以兩種商品的超額需求函數(shù)為：ED1=x；+x：8-10=5+21旦+1+9匹-18=30史-152pl2P1P1ED2=x；+x2-10-30=口父包+91P十140=15&-302P2

6、2P2P2(2)當經(jīng)濟達到均衡時，每個市場的超額需求為零，即：P2P13015=15-30=0P2解得：艮=2。P26 .判斷下列命題，并給出理由：(1)如果知道了契約線，則我們就知道了任何交易的結(jié)果。(2)如果已達到了帕累托有效，則就無法使任何人的狀況再得以改善。答：(1)錯誤。理由如下：契約線是埃奇沃斯方框圖中所有帕累托有效的分配點的集合，但是對于一個具體的交易而言，其最終結(jié)果還依賴于每個消費者的初始稟賦，如圖16-2所示，其中A和B是初始稟賦點，可見不同的初始稟賦導致不同的均衡結(jié)果。1ux,x2=x&12x13x21e=8,30圖16-2不同的初始稟賦導致不同的均衡(2)錯誤。理

7、由如下：帕累托有效是指在不損害其他任何人的利益的條件下，不能使經(jīng)濟系統(tǒng)中某些人的境況變得更好。但是如果允許損害某些人的利益，那么對帕累托有效的配置而言，就有可能使某些人的境況變得更好。比如在一個包括兩個消費者和一種商品的經(jīng)濟中，其中一個人擁有全部的商品，而另一個人一無所有，這是一個帕累托有效的配置；但是現(xiàn)在讓情況反過來，使得原來一無所有的人擁有全部商品，那么這個人的境況就得到了改善。7 .請證明：在兩物品、兩個消費者的純粹交易經(jīng)濟里，帕累托有效的一個必要條件是.u1;X；u2:X這里，上標表本人，下標表木物。證明：根據(jù)定義，帕累托有效的資源配置可以通過以下最大化問題得到:1111max2ux1

8、,x2x1，x1，x2，x2，、F222st.uxi,x2=u12xi+x=ei=1,2構(gòu)造這個問題的拉格朗日函數(shù):效用最大化的一階條件為:11二X2”22-2.r,Z.Z.二x1I2,Lu從而可得到:8 .在一個島上，有200磅糧食要在兩個孤立無援的水手之間分配。第一個水手的效用函數(shù)為u=戶，其中E是由第一個水手消費的數(shù)量。對于第二個水手，其糧食消費的效用函數(shù)為七=1F202(1)如果糧食在兩個人之間平均分配，他們各自的效用是多少？(2)如果他們的效用相等，糧食應如何分配？(3)要使兩個人的效用之和最大，應如何分配糧食？(4)假設第二個水手的能夠求生的效用水平是5,如果想要在第二個水手得到最

9、低效用水平的前提下使效用之和最大化，應如何分配糧食？.u1?x2：u2灰L(,x2,x2,x|心1(x；,x2u-u2(X12,x2，H(x；+x；-01)-(x2+x|-e2)-i：Xi-1.xn1;u-2=0(5)假定兩個水手都贊成的社會福利函數(shù)為W=u11/2u21/2。那么，在兩個水手之間應怎樣分配糧食才能使社會福利最大化？解：(1)如果糧食在兩個人之間平均分配，即 F1=F2=100。他們各自的效用分別是:u1三 9,耳=100=10(2)如果使兩個水手的效用相等，即，可、廬時，解得 F1=0.25F2。又因為 F1+F2=200,從而解得 F1=40,F2=160。故他們的效用相等

10、，則第一個水手消費40磅糧食，第二個水手消費160磅糧食。(3)兩個人的效用和最大化問題為：mcJX.F10.5.F2s.tF1+F2=200從約束條件中解出 F2,并把它代入目標函數(shù)式中，就有:050.5omaxoF1u.50.5200-F1從一階條件解得：F1=160,F2=40。要使兩人效用之和最大，第一個水手和第二個水手分別消費糧食160磅、40磅。(4)這相當于求解如下最優(yōu)化問題：maxF10.5,F2s.tR+F2=200F2.100從式 F1+F2=200 中解出 F2,并把它代入目標函數(shù)式中，就有:25嘴樂戶+0.520由于目標函數(shù)式在 E=160 時，取得惟一的最大值。所以，

11、當 F1E160 時，目標函數(shù)式的值隨著匕的增加而增加，又因為 F2A100。所以滿足題目條件的解為 F1=100,從而 F2=100。故如果想要在第二個水手得到最低效用水平的前提下使效用之和最大化，兩個水手各消費100磅糧食。(5)將兩個水手的效用函數(shù)代入社會福利函數(shù)中，可得：WF1,F2=-22E14F24又 F+F2=200,則W(F1,F2尸 W(F1)=-yF1114(200-F1J/4,社會福利最大化的一階條件為：解得：F=100,因此 F2=200-F=100。故要使社會福利最大化，兩個水手各消費100磅糧食。9.甲有6瓶汽水，1塊面包；乙有1瓶汽水，4塊面包。兩人對汽水與面包的

12、效用函U21=2,F2H5.100=5dW.2dF18-yF114200-F134=0數(shù)一樣，都為u=xy,x為汽水瓶數(shù)，y為面包塊數(shù)?，F(xiàn)在相互交換汽水與面包，但只能整瓶與整塊地換。甲先提議：“我要用A瓶汽水換你B塊面包”。問；(1)A與B各為多少時，交換才可能成功，且對甲最有利？(2)如果u=(1/a(lnx+lnyA與B又將是多少？解：(1)甲的起始效用是6,乙的起始效用是4。如果甲用A瓶汽水換B個面包，則交換后，甲的凈增效用為：6-A1B；-6=6B-A-AB乙的凈增效用為：1A4-B-4=4A-B-AB下面對A和B所有可能的值進行枚舉，得到表16-1,特別地，表中只列出了兩個人的凈增效

13、用都大于零的組合(每一方格中的第一個數(shù)字是甲的凈增效用，第二個數(shù)字是乙的凈增效用)。表16-1交換帶給每個人的凈增效用1 12 234 451 14,24,22,52,50,80,82 29,09,06,26,23,43,40,60,63 3觀察上表可知，對甲最有利的交換是：甲用1瓶汽水交換乙的2塊面包。(2)由于ur=-lnu,每個人的新的效用函數(shù)只是原來效用函數(shù)的單調(diào)變換，根據(jù)單調(diào)a變換的性質(zhì)可知新的效用函數(shù)表示的每個人的偏好并沒有變化。因此對甲最有利的交換仍然是：甲用1瓶汽水交換乙的2塊面包。10.設有兩種產(chǎn)品，魚6噸和肉9噸，分給甲、乙兩人。甲分到A噸魚，B噸肉；乙分到C噸魚，D噸肉。

14、甲、乙的效用函數(shù)分別為11u甲=A2B311u乙=C2D4(1)請推導：當分配方案達到帕累托最優(yōu)時，A、B所滿足的關(guān)系式。(注：表示成A=f(B)的形式。)(2)如果有三種產(chǎn)品，魚6噸、肉9噸和蛋12噸，分給甲、乙兩人。甲分到A噸魚,B噸肉，C噸蛋；乙分到D噸魚，E噸肉，F(xiàn)噸蛋。甲、乙的效用函數(shù)分別為111u?=AB3C；111ui=DE；F當分配方案達到帕累托最優(yōu)時，兩個人的邊際替代率相等，即:3B2E2A一D2c3F請推導：當分配方案達到帕累托最優(yōu)時,A、B、C所滿足的關(guān)系式。（注：表示成A=f（B）,A=g（C）的形式。）11解：（1）由甲的效用函數(shù)由 uAB3可得,AMU甲D11JMU=A2B3。故甲關(guān)于3A魚和肉的邊際替代率為：MRSAB=嗎MU甲1111A?B3212底細年33BO2