第13講解題方法訓(xùn)練

1、第13講：解題方法訓(xùn)練 構(gòu)造法在解題時(shí)，我們常常會(huì)采用這樣的方法，通過(guò)對(duì)條件和結(jié)論的分析，構(gòu)造輔助元素，它可以是一個(gè)圖形、一個(gè)方程 （組）、一個(gè)等式、一個(gè)函數(shù)、一個(gè)等價(jià)命題等，架起一座連接條件和結(jié)論的橋梁，從而使問(wèn)題得以解決，這種解題的數(shù)學(xué)方法，我們稱為構(gòu)造法運(yùn)用構(gòu)造法解題，可以使代數(shù)、三角、幾何等各種數(shù)學(xué)知識(shí)互相滲透，有利于問(wèn)題的解決構(gòu)造法就是根據(jù)題設(shè)條件或結(jié)論所具有的特征和性質(zhì)，構(gòu)造滿足條件或結(jié)論的數(shù)學(xué)對(duì)象，并借助該對(duì)象來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想方法.構(gòu)造法是一種富有創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)思想方法運(yùn)用構(gòu)造法解決問(wèn)題，關(guān)鍵在于構(gòu)造什么和怎么構(gòu)造充分地挖掘題設(shè)與結(jié)論的內(nèi)在聯(lián)系，把問(wèn)題與某個(gè)熟知的概念、公式、定

2、理、圖形聯(lián)系起來(lái)，進(jìn)行構(gòu)造，往往能促使問(wèn)題轉(zhuǎn)化，使 問(wèn)題中原來(lái)蘊(yùn)涵不清的關(guān)系和性質(zhì)清晰地展現(xiàn)出來(lái)，從而恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而謀求解決題目的途徑一、自主建構(gòu)1.m,n 為實(shí)數(shù)，且 2m n -1 、m -2 n -8 =0,則（m - n）2012 的值為 .2如果單項(xiàng)式xa1y求這兩種貨車(chē)各用多少輛？ 如果安排9輛貨車(chē)前往甲地，其余貨車(chē)前往乙地，設(shè)前往甲地的大貨車(chē)為a輛，前往甲、乙兩地的總運(yùn)費(fèi)為 w元，求出w與a的函數(shù)關(guān)系式（寫(xiě)出自變量的取值范圍）； 在（2）的條件下，若運(yùn)往甲地的物資不少于120噸，請(qǐng)你設(shè)計(jì)出使總運(yùn)費(fèi)最少的貨與2x3yb是同類(lèi)項(xiàng)，那么ab = .3如果 Jx +1 +|y

3、-2 =0，那么 xy=.4. 原國(guó)務(wù)院總理溫家寶 2011年11月16日主持召開(kāi)國(guó)務(wù)院常務(wù)會(huì)議，會(huì)議決定建立青海三 江源國(guó)家生態(tài)保護(hù)綜合實(shí)驗(yàn)區(qū)現(xiàn)要把228噸物資從某地運(yùn)往青海甲、乙兩地，用大、小兩種貨車(chē)共18輛，恰好能一次性運(yùn)完這批物資已知這兩種貨車(chē)的載重量分別為16噸/輛和10噸/輛，運(yùn)往甲、乙兩地的運(yùn)費(fèi)如表：運(yùn)往地車(chē)型甲地（元丿輛）乙地f元/輛）大貨車(chē)720SOO小貨車(chē)500650車(chē)調(diào)配方案，并求出最少總運(yùn)費(fèi).二、應(yīng)用舉例1 某些題目根據(jù)條件、仔細(xì)觀察其特點(diǎn)，構(gòu)造一個(gè)方程”求解，從而獲得問(wèn)題解決例1如果關(guān)于x的方程ax+b=2 （2x+7）+1有無(wú)數(shù)多個(gè)解，那么 a、b的值分別是多少?2

4、. 構(gòu)建幾何圖形對(duì)于條件和結(jié)論之間聯(lián)系較隱蔽問(wèn)題，要善于發(fā)掘題設(shè)條件中的幾何意義，可以通過(guò)構(gòu)造適當(dāng)?shù)膱D形把其兩者聯(lián)系起來(lái)，從而構(gòu)造出幾何圖形，把代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題來(lái)解決增強(qiáng)問(wèn)題的直觀性，使問(wèn)題的解答事半功倍例2.已知|x-l + |x-5 =4,，貝y x的取值范圍是（）A.1 w 53. 構(gòu)造函數(shù)模型，解數(shù)學(xué)實(shí)際問(wèn)題在解答數(shù)學(xué)實(shí)際問(wèn)題時(shí)，引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，根據(jù)已知和未知之間的關(guān)系，將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言，建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系式（考慮自變量的取值范圍）.再利用有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)，解決函數(shù)問(wèn)題.這樣既可深入函數(shù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，也有利于增強(qiáng)學(xué)生的思維能力和解題實(shí)踐能 力.例3某工廠現(xiàn)有甲種原料 360千

5、克，乙種原料290千克，計(jì)劃利用這兩種原料生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，共50件已知生產(chǎn)一件 A種產(chǎn)品，需用甲種原料 9千克、乙種原料3千克，可獲利 潤(rùn)700元；生產(chǎn)一件 B種產(chǎn)品，需用甲種原料 4千克、乙種原料10千克，可獲利潤(rùn)1200 元（1）按要求安排 A、B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)件數(shù)，有哪幾種方案？請(qǐng)你設(shè)計(jì)出來(lái)；（2） 設(shè)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品獲總利潤(rùn)為 y （元），生產(chǎn)A種產(chǎn)品X件，試寫(xiě)出y與X之間的函數(shù)關(guān)系式，并利用函數(shù)的性質(zhì)說(shuō)明（1）中哪種生產(chǎn)方案獲總利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？三、形成經(jīng)驗(yàn)1. 構(gòu)造方程解題（1）若代數(shù)式m2 + 3與4m + 1互為相反數(shù)，則 m 2等于（）1A. 4B. - 4C.

6、D.-4X2 -1（2）當(dāng)x =時(shí)，分式 無(wú)意義；當(dāng)x =時(shí)，此分式的值為零x2 - 7x -8（3）已知x、y是正整數(shù)，并且 xy + x + y = 23，x2y + xy2 = 120，求x2 + y2的值2 構(gòu)造幾何圖形解題（1）如圖1,過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)C作任意一條直線與 AB、AD的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn) E、F.求證：AE AF_4AB .注：應(yīng)用構(gòu)造一元二次方程的方法解決一些幾何中的不等式問(wèn)題，的確讓我們有耳目一新的感覺(jué)，有益于訓(xùn)練大家思維的發(fā)散性、創(chuàng)新性3.構(gòu)建函數(shù)解決問(wèn)題（1）某市政府大力扶持大學(xué)生創(chuàng)業(yè)李明在政府的扶持下投資銷(xiāo)售一種進(jìn)價(jià)為每件20元的護(hù)眼臺(tái)燈銷(xiāo)售過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，每

7、月銷(xiāo)售量y （件）與銷(xiāo)售單價(jià) x （元）之間的關(guān)系可近似的看作一次函數(shù)：y =-10x - 500 .（1）設(shè)李明每月獲得利潤(rùn)為w （元）當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)定為多少元時(shí)，每月可獲得最大利潤(rùn)？（2）如果李明想要每月獲得 2000元的利潤(rùn)，那么銷(xiāo)售單價(jià)應(yīng)定為多少元？（3） 根據(jù)物價(jià)部門(mén)規(guī)定， 這種護(hù)眼臺(tái)燈的銷(xiāo)售單價(jià)不得高于32元，如果李明想要每月獲 得的利潤(rùn)不低于 2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？（成本=進(jìn)價(jià)x銷(xiāo)售量）四、基礎(chǔ)演練1. 已知關(guān)于x的方程2x2 mx 6=0的一個(gè)根2,貝y m=，另一個(gè)根為 2 1 12. 若方程x2 -X-1 = 0的兩實(shí)數(shù)根為a,b,求 的值.a b3. 使

8、式子 x，1亠一.2-x有意義的x的取值范圍是()A. x 1 B. 1 2C. xw 2D 1v xv 24. 若最簡(jiǎn)二次根式5a -3與 a2 3是同類(lèi)二次根式，則 a的值為()A. 2 或 3B. 2 或 3C. 3D. 25. 已知實(shí)數(shù)x、y滿足9x2 + 12x + 4+. y-2=0,求代數(shù)式2xy的值.6. 若(m2)xm J +3x = 5 m是關(guān)于x的一元二次方程，則m =.12b + c7. 已知一(b c) = (a b)(c a)且 a 工 0 貝U=.4a8. 某校為開(kāi)展好大課間活動(dòng)，欲購(gòu)買(mǎi)單價(jià)為20元的排球和單價(jià)為 80元的籃球共100個(gè).(1 )設(shè)購(gòu)買(mǎi)排球數(shù)為 x

9、 (個(gè))，購(gòu)買(mǎi)兩種球的總費(fèi)用為 y (元)，請(qǐng)你寫(xiě)出y與x的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫(xiě)出自變量的取值范圍)；(2)如果購(gòu)買(mǎi)兩種球的總費(fèi)用不超過(guò)6620元，并且籃球數(shù)不少于排球數(shù)的3倍，那么有哪幾種購(gòu)買(mǎi)方案？(3 )從節(jié)約開(kāi)支的角度來(lái)看，你認(rèn)為采用哪種方案更合算？9如圖，已知四邊形 ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)0,若S ab =4,S=9 .求證：S四邊形ABCD - 25 五、直擊中考1. （2013四川） 低碳生活，綠色出行”，自行車(chē)正逐漸成為人們喜愛(ài)的交通工具。某運(yùn)動(dòng)商城的自行車(chē)銷(xiāo)售量自 2013年起逐月增加，據(jù)統(tǒng)計(jì)，該商城1月份銷(xiāo)售自行車(chē)64輛，3月份銷(xiāo)售了 100輛。（1） 若該商城前

10、4個(gè)月的自行車(chē)銷(xiāo)量的月平均增長(zhǎng)率相同，問(wèn)該商城4月份賣(mài)出多少輛 自行車(chē)？（2） 考慮到自行車(chē)需求不斷增加，該商城準(zhǔn)備投入3萬(wàn)元再購(gòu)進(jìn)一批兩種規(guī)格的自行車(chē)， 已知A型車(chē)的進(jìn)價(jià)為500元/輛，售價(jià)為700元/輛，B型車(chē)進(jìn)價(jià)為1000元/輛，售價(jià)為1300 元/輛。根據(jù)銷(xiāo)售經(jīng)驗(yàn)，A型車(chē)不少于B型車(chē)的2倍，但不超過(guò) B型車(chē)的2.8倍。假設(shè)所進(jìn) 車(chē)輛全部售完，為使利潤(rùn)最大，該商城應(yīng)如何進(jìn)貨？2. (2013四川)已知關(guān)于x的一元二次方程錯(cuò)誤！未找到引用源。(1 )求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)若厶ABC的兩邊AB、AC的長(zhǎng)是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，第三邊 BC的長(zhǎng)為5。當(dāng) ABC是等腰三角形時(shí)，求 k的值。2 3.(2013山東)如圖，拋物線y = ax bx c關(guān)于直線x =1對(duì)稱，與坐標(biāo)軸交于A、B、C一(3y三點(diǎn)，且AB =4，點(diǎn)D 2,在拋物線上，直線是一次函數(shù) 2丿y二kx -2 k = 0的圖象，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn).(1) 求拋物線的解析式；(2) 若直線平分四邊形 OBDC的面積，求k的值.(3) 把拋物線向左平移1個(gè)單位，再向下平移 2個(gè)單位，所得拋物線與直線交于M、N兩點(diǎn)，問(wèn)在y軸正半軸上是否存在一定點(diǎn) P ,使得不論k取何值，直線P