題目：一條斜率為1的直線與離心率為的雙曲線交于

1、注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力在課堂教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生解題能力的嘗試惠陽中山中學(xué)伍澤文21 世紀(jì)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)中認(rèn)為：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要目的在于問題解決。因而，學(xué)習(xí)怎樣解決問題就成為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的根本原因。問題解決是一個(gè)發(fā)展的過程、探索的過程、創(chuàng)新的過程。數(shù)學(xué)教師的根本任務(wù)就是要重視學(xué)生問題解決能力的培養(yǎng)、發(fā)展學(xué)生解決問題的能力，讓學(xué)生學(xué)習(xí)生存的本領(lǐng)。所以，數(shù)學(xué)教學(xué)不僅為學(xué)生提供一個(gè)發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)新的環(huán)境與機(jī)會(huì)，也為教師提供了一條培養(yǎng)學(xué)生解題能力、自控能力和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)能力的有效途徑。本文通過課堂教學(xué)實(shí)例，結(jié)合波利亞的怎樣解題闡述了如何在課堂教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的解題能力的方法。本例的最大特點(diǎn)與優(yōu)點(diǎn)就是：教師將質(zhì)疑問難的能力

2、教給了學(xué)生，將發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的機(jī)會(huì)讓給了學(xué)生。本例的師生活動(dòng)過程中，教師沒有直接教學(xué)生怎樣去做，而是通過有效的、不露痕跡的、自然的提問幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)怎樣去做。題目： 一條斜率為 1 的直線 l 與離心率為3 的雙曲線 x2y21(a0, b0) 交于a2b2uuuv uuuvuuuvuuuvP、 Q 兩點(diǎn)，直線 l 與 y 軸交于 R 點(diǎn)，且 OP OQ3, PQ4RQ ，求直線與雙曲線的方程。下面是師生活動(dòng)的過程。師：“已知數(shù)據(jù)是什么？”生：“直線 l 的斜率為 1；雙曲線 x2y2 1(a0, b 0) 的離心率 e3 ；直線 l 與a2b2uuuvuuuv3uuuvuuuv雙曲線交于

3、P、 Q 兩點(diǎn)，直線與 y 軸交于 R 點(diǎn)； OP OQ”； PQ4RQ ”師：“很正確，此題是一道解析幾何題，我們不能馬上得出解答，我們可以畫出一張簡圖來幫助我們弄清、理解好題意。 ”圖示：y師：“現(xiàn)在未知量是什么？”生：“直線和雙曲線的方程。 ” 師：“只是這些未知量嗎？”生：“ P、 Q 、 R 三點(diǎn)也是未知量?！眔QxRp圖（ 1）1師：“很好，我們要明確的知道：一共有五個(gè)未知量，其中要我們求的是前面兩個(gè)，你會(huì)怎樣處理？”生：“都求出來或者將未知量減少。 ”師：“你會(huì)采取哪種策略？”生：“減少未知量?！睅煟骸昂?，要減少未知量，我們以前是怎樣做的？”生：“正確的假設(shè)未知量。 ”師：“很好

4、，那你會(huì)怎樣假設(shè)呢？”生：“設(shè) P、 Q、 R 三點(diǎn)坐標(biāo)分別為 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ),(0, m) ，則 l 的方程為 yxm ”師：“很好，結(jié)合雙曲線的方程，現(xiàn)在我們將所有的未知量都假設(shè)出來了，下面我們來看條件與未知量的聯(lián)系，它們有哪些聯(lián)系？條件有可能滿足嗎？”生：“從離心率 e 3 可知 c 3 。”a師：“很好， c 是半焦距，它又與我們的哪個(gè)未知量有聯(lián)系呢？”生：“ 因?yàn)?c2a2b2 ， 所以 b22a2 。”師：“很好，原來 a 與 b 是滿足 b22a2 的，你會(huì)怎樣處理呢？”生：“用 a 來表示 b 可減少一個(gè)未知量。 ”師：“很好，那你可得出什么關(guān)系

5、？”生：“雙曲線方程寫成 x2y21”a22a2師：“很好，你用到所有的已知數(shù)據(jù)了嗎？”uuuv uuuv3 得： x1x2y1 y23生：“由 OP OQ ”師：“很好，你已經(jīng)將向量轉(zhuǎn)化為代數(shù)式了，但此式有一個(gè)很大的缺點(diǎn)，你能發(fā)現(xiàn)是什么嗎？”生：“未知數(shù)字太多了”師：“對(duì)，那你該怎么做？”生：“減少未知數(shù)字，將y1x1m, y2x2m 代入消去 y1 , y2 ”師：“非常好，請(qǐng)同學(xué)們演算一下。 ”得出結(jié)果： 2x1x2 m( x1 x2 ) m23 0 （ 2）2師：“很好，觀察（ 2）大家有沒有見過與此式有關(guān)的問題？”（很多學(xué)生已經(jīng)說出韋達(dá)定理來了）生：“上式出現(xiàn)韋達(dá)定理的形式。 ”師：

6、“同學(xué)們真聰明！那我們現(xiàn)在該怎樣為此做準(zhǔn)備？”生：“要得出關(guān)于 x 的一個(gè)一元二次方程來。 ”師：“很好，那你會(huì)怎樣實(shí)現(xiàn)你的愿望呢？”yxm生：“聯(lián)立方程組x2y2，消去 y .”a22a2 1師：“很好，請(qǐng)大家演算一下。 ”得出結(jié)果： x22mx m22a2x1 x22m （3）0，此時(shí)就有m22a2x1 x2師：“很好，請(qǐng)繼續(xù)實(shí)現(xiàn)你的愿望。 ”生：“將（ 3）代入（ 2）得： m24a230 （ 4）”師：“干得好，（ 4）為關(guān)于未知量m和 a 的一個(gè)等量關(guān)系式，我們的目標(biāo)是求什么？”生：“求未知量 m和a ”師：“對(duì)，根據(jù)以前的經(jīng)驗(yàn)，你會(huì)怎么做？”生：“再找多一個(gè)關(guān)于未知量m和a 的等量

7、關(guān)系式?！睅煟骸皩?duì)，請(qǐng)大家試找一下。 ”生：“只能找到一個(gè)?！睅煟骸澳钦f明題目還解決不了，你用到全部的條件了嗎？你把題目中的關(guān)鍵概念都考慮到了嗎？”uuuvuuuv生：“沒有，還有 PQ4RQ ?！睅煟骸皩?duì)，那說明這個(gè)條件不是多余的，請(qǐng)大家動(dòng)手看看可得出什么結(jié)果?！眜uuvuuuvx2 x14x2x13x2由 PQ4RQ 得y14( y2 m)即 （ 5）y23y2y1 4m師：“很好，上面式子有什么用，怎么實(shí)現(xiàn)你的另一愿望： 得到 m和a 的又一等量關(guān)系式？”生：“ x13x2 可與（ 3）（4）聯(lián)立方程組，剛好是關(guān)于未知量x1、 x2、 a、 m 的四個(gè)方程可解出 m和a ”師：“同學(xué)們真

8、聰明，請(qǐng)?jiān)诓莞寮埳涎菟阋幌?。?最后可解得： m1,a212所以所求直線與雙曲線方程分別是：yx1,x2y12以上案例是本人在課堂教學(xué)中結(jié)合波利亞怎樣解題進(jìn)行操作的情況。課后，學(xué)生反映普遍良好。本課主要目的是想讓學(xué)生懂得： 學(xué)習(xí)任何東西的的最佳途徑，是靠自己去發(fā)現(xiàn) 。所以，作為一名數(shù)學(xué)教師，要設(shè)身處地為學(xué)生著想，不僅要教知識(shí)，而且要培養(yǎng)“才智”、合理的思維方式和有條不紊的學(xué)習(xí)習(xí)慣，作為一名數(shù)學(xué)教師也要注意授課的藝術(shù)，要建議，不要強(qiáng)迫人接受，話到嘴邊留半句，讓學(xué)生先想先猜，盡量讓他們自己找出來。波利亞解題表主要是以下四個(gè)步驟：弄清題意擬訂方案執(zhí)行方案回顧檢驗(yàn)。本例主要是對(duì)前兩個(gè)步驟的應(yīng)用。弄清題

9、意是解決一道題目的前提。 對(duì)于你所不熟悉或不理解的問題作出答復(fù)是一件非常愚蠢的事。為你所不希望的目標(biāo)工作是悲哀的。所以教師應(yīng)幫助學(xué)生弄清題意、理解題目。弄清題意可分為兩個(gè)層次：熟悉題目和深入理解題目。在熟悉題目的時(shí)候， 教師千萬不能錯(cuò)過這樣的一些問題： 已知數(shù)據(jù)是什么？條件是什么？未知量是什么？ 必要時(shí)可以作出一張簡圖并在圖上標(biāo)明未知量和已知數(shù)據(jù)， 如本例中圖 1。學(xué)生應(yīng)該專心地、反復(fù)地從各個(gè)方面來考慮題目的主要部分，當(dāng)學(xué)生對(duì)題目的敘述已經(jīng)很清楚，并在腦海里留下深刻的印象，以至于即使你有一會(huì)兒不去看它也不會(huì)把它忘掉時(shí)就說明他已經(jīng)熟悉題目了。接下來就要深入理解題目，你要仔細(xì)閱讀題目的各個(gè)主要部分

10、，一個(gè)接一個(gè)地依次對(duì)它們進(jìn)行考慮，將它們以不同的方式組合起來加以考慮，把每個(gè)細(xì)節(jié)同其它細(xì)節(jié)以及每個(gè)問題與整個(gè)題目聯(lián)系起來。此時(shí)少不了這樣的提問： 你以前見過它嗎？或者你見過類似的題目嗎？條件是否滿足？當(dāng)你已經(jīng)弄清題意時(shí)，接下來你就要擬訂解題方案。主要做法就是分離題目和重組題目。分離題目：將題目的主要部分分離出來。這些主要部分是指未知量、已知數(shù)據(jù)和條件。我們通常提問方式是： 你用到所有的已知數(shù)據(jù)了嗎？通過已知數(shù)據(jù)你能夠得到什么有用的東西？ 如果我們想研究一些更深入的細(xì)節(jié)，我們應(yīng)該研究每個(gè)數(shù)據(jù)，每個(gè)條件的本身，將條件的不同部分分開。如本例中，我們分離主要部分時(shí)由離心率e3 得到4b22a2，從而得

11、到“雙曲線方程寫成x2y21”；“由uuuv uuuva22a2OP OQ3 得 到x1x2y1 y23 ，從而得到2 x1 x2 m( x1x2 )23 0”；“由x1x2 2m2 得到mx1x222amm24a23uuuvuuuvx2 x14x2即x13x2”，這些都是分0 ”；“由 PQ4RQ 得y14( y23 y2y14my2m)離題目得到的結(jié)果。重組題目：分解題目以后，我們要嘗試用某種新的方式來重組它的元素，特別是試圖能轉(zhuǎn)化成為我們熟悉的問題（化歸思想）。如本例中由 2x1x2m(x1x2 )m230 想到“上式出現(xiàn)韋達(dá)定理的形式” ，從而想到“要得出關(guān)于x 的一個(gè)一元二次方程來”于是進(jìn)行聯(lián)立直線與雙曲線的方程組；本例中的一個(gè)重要的重組思想就是：盡可能地減少未知量，聯(lián)立方程組求出所求未知量。如：“設(shè)P、Q、R 三點(diǎn)坐標(biāo)分別為 ( x1 , y1),( x2 , y2 ),(0, m) ， 則 l 的 方 程 為 y x m ”； 又 如 ：“ 減 少 未 知 數(shù) 字 ， 將y1x1m, y2x2m 代入消去 y1 , y2”；再如：“ x13x2 可與（ 3）（ 4）聯(lián)立方程組，剛好是關(guān)于未知量x1、 x2、 a、 m 的四個(gè)方程可解出m和a ”等。對(duì)于那些簡單的題目來說，通過某些簡單的組合方式已經(jīng)足夠了，但對(duì)于一些相對(duì)困難