正弦定理和余弦定理詳細(xì)講解

1、WORD格式高考風(fēng)向1. 考察正弦定理、余弦定理的推導(dǎo)；2. 利用正、余弦定理判斷三角形的形狀和解三角形；3. 在解答題中對(duì)正弦定理、余弦定理、面積公式以及三角函數(shù)中恒等變換、誘導(dǎo)公式等知識(shí)點(diǎn)進(jìn)展綜合考察學(xué)習(xí)要領(lǐng) 1. 理解正弦定理、余弦定理的意義和作用； 2. 通過正弦、余弦定理實(shí)現(xiàn)三角形中的邊角轉(zhuǎn)換，和三角函數(shù)性質(zhì)相結(jié)合根底知識(shí)梳理a b c 2R，其中 R 是三角形外接圓的半徑由正弦定理可以1正弦定理：sin Asin Bsin C變形： (1)a b c sin_Asin_B sin_C； (2)a 2Rsin_A， b 2Rsin_B，c 2Rsin_C；a，sin Bb， sin

2、Cc等形式，解決不同的三角形問題(3)sin A2R2R2R2余弦定理： a2 b2 c2 2bccos_A， b2 a2 c2 2accos_B， c2 a2 b2 2abcos_C余弦定理可以變形：cos Ab2 c2 a2a2 c2 b2a2 b2 c2， cos B， cos C2ab.2bc2ac1absin C11abc1(a bc) ·r(r 是三角形內(nèi)切圓的半徑)，并3 SABC2bcsin A acsin B224R2可由此計(jì)算 R、 r .4在 ABC 中， a、 b 和 A 時(shí)，解的情況如下：A 為銳角A 為鈍角或直角圖形關(guān)系式a bsin Absin A<

3、;a<baba>b解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解 難點(diǎn)正本疑點(diǎn)清源 1在三角形中，大角對(duì)大邊，大邊對(duì)大角；大角的正弦值也較大，正弦值較大的角也較大，即在ABC 中， A>B? a>b?sin A>sin B；tanA+tanB+tanC=tanAtanB ·tanC·；在銳角三角形中， cosA<sinB,cosA<sinC·2根據(jù)所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種途徑：(1)化邊為角； (2) 化角為邊，并常用正弦( 余弦 )定理實(shí)施邊、角轉(zhuǎn)換例 1在ABC 中， c 10 ，A45 ，C30 ，解三角形.思路點(diǎn)撥 : 先將

4、條件表示在示意圖形上如圖，可以確定先用正弦定理求出邊a ，然后用三角形內(nèi)角和求出角B ，最后用正弦定理求出邊b .解析：ac，sin Asin Cc sin A10 sin 4510 2， asin 30sin C專業(yè)資料整理WORD格式第1頁共13頁專業(yè)資料整理WORD格式 B180( AC) 105 ，又bc，sin Bsin Cc sin B10sin10562 b20sin 75 205652sin Csin 304總結(jié)升華：1. 正弦定理可以用于解決兩角和一邊求另兩邊和一角的問題；2. 數(shù)形結(jié)合將條件表示在示意圖形上，可以清楚地看出與求之間的關(guān)系，從而恰當(dāng)?shù)剡x擇解答方式 .舉一反三：

5、【變式 1】在ABC 中， A32.00， B81.80， a42.9cm ，解三角形?！敬鸢浮扛鶕?jù)三角形內(nèi)角和定理，C1800( A B) 1800(32.00 81.80) 66.20；根據(jù)正弦定理， basinB 42.9sin81.8080.1(cm) ；sin Asin32.00根據(jù)正弦定理， casinC 42.9sin66.2 074.1(cm).sin Asin32.0 0【變式 2】在ABC 中，B750， C600，c5，求 a 、A.【答案】 A1800(B C)1800(750600 )450，根據(jù)正弦定理a5， a56sin 45osin 60 o3.【變式 3】在A

6、BC 中，sin A :sin B :sin C1: 2:3 ，求 a : b : c【答案】根據(jù)正弦定理abc，得 a :b :csin A:sin :sinB 1:2:3C.sin Bsin Csin A例 2在ABC中， b3, B60 , c1，求： a 和A，C思路點(diǎn)撥 :先將條件表示在示意圖形上如圖，可以確定先用正弦定理求出角C ，然后用三角形內(nèi)角和求出角A ，最后用正弦定理求出邊a .解析：由正弦定理得：bcsin B，sin C sin Ccsin B1sin 601b3，2方法一 0C180 ， C30或 C150，當(dāng)C 150 時(shí)， BC210180 ，舍去；專業(yè)資料整理W

7、ORD格式第2頁共13頁專業(yè)資料整理WORD格式當(dāng) C30時(shí)，A90 ，ab2c22 方法二 bc ，B60 ， CB ， C60即 C 為銳角， C30，A 90 ab2c22 總結(jié)升華：1. 正弦定理也可用于解決兩邊及一邊的對(duì)角，求其他邊和角的問題。2.在利用正弦定理求角C 時(shí)，因?yàn)閟in Csin(1800C ) ，所以要依據(jù)題意準(zhǔn)確確定角 C 的X圍，再求出角 C .3. 一般依據(jù)大邊對(duì)大角或三角形內(nèi)角和進(jìn)展角的取舍.類型二：余弦定理的應(yīng)用：例 3ABC 中， AB3、BC37、AC4 ，求ABC 中的最大角。思路點(diǎn)撥 : 首先依據(jù)大邊對(duì)大角確定要求的角，然后用余弦定理求解.解析：三邊

8、中 BC37 最大，BC其所對(duì)角A最大，根據(jù)余弦定理：cos AAB 2AC 2BC 23242(37) 21 ，2AB AC2342 0A 180， A120故ABC 中的最大角是A120 .總結(jié)升華：1. ABC 中，假設(shè)知道三邊的長度或三邊的關(guān)系式，求角的大小，一般用余弦定理；2. 用余弦定理時(shí)，要注意公式中的邊角位置關(guān)系.舉一反三：【變式 1】ABC 中 a3 ,b5 , c7 ,求角 C.【答案】根據(jù)余弦定理： cosCa2b2c25232721 ，2ab23520 C 180，C120o【變式 2】在ABC 中，角A, B, C 所對(duì)的三邊長分別為a, b, c ，假設(shè)a : b

9、: c6 : 2:31，求ABC 的各角的大小專業(yè)資料整理WORD格式第3頁共13頁專業(yè)資料整理WORD格式【答案】設(shè) a6k ，b 2k， c31 k ，k 0631242 ，根據(jù)余弦定理得：cos B316220 B 180，B45 ；同理可得 A60 ； C180AB75【變式 3】在ABC 中，假設(shè)a2b2c2bc ，求角A.【答案】 b2c2a2bc ， cos Ab2c2a212bc2 0A 180， A120類型三：正、余弦定理的綜合應(yīng)用例 4在ABC 中，a 2 3，c 62 ， B 450，求b及A.思路點(diǎn)撥 :畫出示意圖，由其中的邊角位置關(guān)系可以先用余弦定理求邊b ，然后繼

10、續(xù)用余弦定理或正弦定理求角A .解析：由余弦定理得：b2 a2c22accosB= (23)2( 62) 22 23 ( 6 2)cos450=12( 62) 243( 31)= 8 b 2 2.求 A 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：法一：余弦定理 cosAb2 c2 a2(2 2)2(62 )2(2 3)21 ，2bc222 (62)2 A 600.法二：正弦定理專業(yè)資料整理WORD格式第4頁共13頁專業(yè)資料整理WORD格式 sin Aa sin B 23 sin45 03b222又 622.41.4 3.8 ， 23 2 1.8 3.6 a c ，即 00A 900 , A 600

11、.總結(jié)升華：畫出示意圖，數(shù)形結(jié)合，正確選用正弦、余弦定理，可以使解答更快、更好 .舉一反三：【變式1】在ABC中，b3 ,c4 ,A1350.求B和C.【答案】由余弦定理得： a 2324223 4 cos135o25 122 ， a251226.48由正弦定理得：sin Bb sin A3sin135 o0.327 ，aa因?yàn)?A1350為鈍角，那么B為銳角， B1907/.C1800( AB)25053/.【變式2】在ABC中，角A, B,C所對(duì)的三邊長分別為a,b, c ，假設(shè)a2 ，b2 2 ，c62，求角 A 和 sin C【答案】根據(jù)余弦定理可得：cos Ab2c2a2884343

12、2bc222622 0A 180，A30；由正弦定理得：c sin A62 sin 3062sin Ca24.其他應(yīng)用題詳解一、選擇題 (本大題共 6 小題，每題 5 分，共 30 分)專業(yè)資料整理WORD格式第5頁共13頁專業(yè)資料整理WORD格式1如下圖，兩座燈塔A 和 B 與海洋觀察站 C 的距離都等于 a km，燈塔 A 在觀察站 C 的北偏東 20°，燈塔 B 在觀察站 C 的南偏東 40°，那么燈塔 A 與燈塔 B 的距離為 ()Aa kmB. 3a kmC. 2a kmD 2a km解析利用余弦定理解 ABC.易知ACB120°，在ACB 中，由余弦定

13、理得222·22×12，ABACBC° 2a3a2AC BCcos1202a2AB 3a.答案B2X曉華同學(xué)騎電動(dòng)自行車以24 km/h 的速度沿著正北方向的公路行駛，在點(diǎn) A 處望見電視塔 S 在電動(dòng)車的北偏東30°方向上，15 min 后到點(diǎn) B 處望見電視塔在電動(dòng)車的北偏東75°方向上，那么電動(dòng)車在點(diǎn) B 時(shí)與電視塔 S 的距離是 ()A22 kmB 3 2 kmC33 kmD 23 km解析如圖，由條件知 AB24×15中，30°，在60 6ABSBASAB 6ABS 180 ° 75 °105

14、°，所以 ASB 45 °.由正弦定理知BSAB，所以sin30 ° sin45 °專業(yè)資料整理WORD格式第6頁共13頁專業(yè)資料整理WORD格式ABBSsin30 °32.答案B3輪船 A 和輪船 B 在中午 12 時(shí)離開海港 C，兩艘輪船航行方向的夾角為120°，輪船 A 的航行速度是 25 海里 /小時(shí)，輪船 B 的航行速度是 15 海里 /小時(shí)，下午 2 時(shí)兩船之間的距離是 ()A35 海里B35 2海里C35 3海里D70 海里解析設(shè)輪船 A、B 航行到下午2 時(shí)時(shí)所在的位置分別是E，F(xiàn)，那么依題意有 CE25×

15、2 50，CF15× 2 30，且ECF120 ，° EF CE2 CF22CE·CFcos120 ° 502 302 2× 50×30cos120 °70.答案D4(2021濟(jì)·南調(diào)研 )為測量某塔 AB 的高度，在一幢與塔 AB 相距 20 m 的樓的樓頂處測得塔頂 A 的仰角為 30°，測得塔基 B 的俯角為 45°，那么塔 AB 的高度是()A203mB20 3m1312C20(1 3) mD 30 m解析如下圖，由可知，四邊形CBMD 為正方形， CB20 m，所以BM20 m又在 R

16、t AMD 中，DM20 m，ADM30°，20AMDMtan30 °33(m)20ABAMMB3320320 13(m)專業(yè)資料整理WORD格式第7頁共13頁專業(yè)資料整理WORD格式答案A5(2021·津卷天 )在 ABC 中， ABC4，AB2， BC 3，那么 sinBAC ()1010A. 10B. 53105C.10D. 5解析由余弦定理 AC2 AB2BC2 2AB·BCcosABC(2)2322× 22× 3×25，再由正弦定理：sinBACsinABC3×225，所以 ACAC·BC531

17、010 .答案C6(2021·XX調(diào)研 )線段 AB 外有一點(diǎn) C， ABC 60°，AB 200 km，汽車以 80 km/h 的速度由 A 向 B 行駛，同時(shí)摩托車以50 km/h 的速度由 B 向 C 行駛，那么運(yùn)動(dòng)開場多少 h 后，兩車的距離最小 ()69A.43B 170C.43D 2解析如下圖，設(shè) t h 后，汽車由A 行駛到 D，摩托車由 B 行駛到 E，那么AD80t，BE50t.因?yàn)?AB200，所以 BD200 80t，問題就是求DE 最小時(shí)t 的值由余弦定理，得DE2BD2BE22BD·BEcos60 ° (20080t)22 50

18、0t2(200 80t) ·50t12 900t242 000t40 000.專業(yè)資料整理WORD格式第8頁共13頁專業(yè)資料整理WORD格式70當(dāng) t43時(shí)， DE 最小答案 C二、填空題 (本大題共 3 小題，每題 5 分，共 15 分)7 A，B 兩地的距離為 10 km，B，C 兩地的距離為 20 km，現(xiàn)測得 ABC120°，那么 A、 C 兩地的距離為 _km.解析如右圖所示，由余弦定理可得：AC2100 4002×10× 20×cos120 °700，AC 10 7(km)答案10 78如下列圖，一艘船上午 9：30 在

19、A 處測得燈塔 S 在它的北偏東 30°處，之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午 10：00 到達(dá) B 處，此時(shí)又測得燈塔 S 在它的北偏東 75°處，且與它相距 8 2n mile.此船的航速是 _n mile/h.解析設(shè)航速為 v n mile/h1在ABS 中， AB2v， BS 8 2，BSA 45 °，1v8 22由正弦定理得：，sin30 °sin45 °v 32(n mile/h)答案32專業(yè)資料整理WORD格式第9頁共13頁專業(yè)資料整理WORD格式9如圖，為測得河對(duì)岸塔 AB 的高，先在河岸上選一點(diǎn) C，使 C 在塔底 B 的正東

20、方向上，測得點(diǎn) A 的仰角為 60°，再由點(diǎn) C 沿北偏東 15°方向走 10 米到位置 D，測得 BDC45°，那么塔 AB 的高是 _米解析在BCD 中， CD 10，BDC 45°，BCD 15° 90°105°，BCCDDBC30°，CDsin45 °BC102(米)sin30 °AB在 RtABC 中， tan60 ° ，ABBCtan60 °BC10 6(米)答案10 6三、解答題 (本大題共 3 小題，每題 10 分，共 30 分 )10(2021·X

21、X模擬 )某校運(yùn)動(dòng)會(huì)開幕式上舉行升旗儀式，旗桿正好處于坡度15°的看臺(tái)的某一列的正前方，從這一列的第一排和最后一排測得旗桿頂部的仰角分別為 60°和 30°，第一排和最后一排的距離為 10 6米(如下圖 )，旗桿底部與第一排在一個(gè)水平面上假設(shè)國歌長度約為 50 秒，升旗手應(yīng)以多大的速度勻速升旗？解在BCD中，BDC45°，CBD30°，CD10 6，由正弦定理，得CDsin45 °BC20 3.sin30 °專業(yè)資料整理WORD格式第10頁共13頁專業(yè)資料整理WORD格式3AB在 RtABC 中，AB BCsin60

22、76;20 3×230(米)，所以升旗速度 vt30500.6(米/秒)11.如圖， A、B 是海面上位于東西方向相距 5(3 3)海里的兩個(gè)觀測點(diǎn)，現(xiàn)位于 A 點(diǎn)北偏東 45°， B 點(diǎn)北偏西 60°的 D 點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號(hào)，位于 B 點(diǎn)南偏西 60°且與 B 點(diǎn)相距 20 3海里的 C 點(diǎn)的救援船立即前往營救，其航行速度為 30 海里 /時(shí)，該救援船到達(dá) D 點(diǎn)需要多長時(shí)間？解 由題意，知 AB 5(3 3)海里，DBA 90° 60°30°，DAB 90° 45 ° 45 °，AD

23、B 180 °(45 °30 °) 105 °.在DAB 中，由正弦定理，得DBAB，sinDAB sinADBAB·sinDAB5 3 3 ·sin45 °于是 DBsinADBsin105°5 33 ·sin45 °sin45 °cos60 °cos45 °sin60 °5331103(海里)3 12又DBCDBAABC 30 ° (90 °60 °)60 °，BC20 3(海里 )，在DBC 中，由余弦定理，得

24、CD2 BD2BC22BD·BC·cosDBC專業(yè)資料整理WORD格式第11頁共13頁專業(yè)資料整理WORD格式1300 1 200 2× 10 3×20 3×2900.得 CD 30(海里 )，30故需要的時(shí)間 t301(小時(shí) )，即救援船到達(dá) D 點(diǎn)需要 1 小時(shí)12.(2021·XX卷 )如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A 處下山至C 處有兩種路徑一種是從 A 沿直線步行到 C，另一種是先從 A 沿索道乘纜車到 B，然后從 B 沿直線步行到 C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A 處下山，甲沿 AC 勻速步行，速度為50 m/min.在甲出發(fā) 2 min 后，乙從 A 乘纜車到 B，在 B 處停留 1 min 后，再從 B 勻速步行到C.假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)行的速度為