無窮小比較1-7-1ppt課件

1、 第一章 第七節(jié)第七節(jié)無窮小的比較一、無窮小的比較一、無窮小的比較二、等價(jià)無窮小替換二、等價(jià)無窮小替換一、無窮小的比較一、無窮小的比較例如例如,xxx3lim20 xxxsinlim02201sinlimxxxx.1sin,sin,022都是無窮小都是無窮小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxxxx 極限不同極限不同, 反映了趨向于零的反映了趨向于零的“快慢程度不快慢程度不同同.;32要快得多要快得多比比 xx;sin大大致致相相同同與與xx不可比不可比., 0 , 1 xx1sinlim0 .不不存存在在觀察各極限觀察各極限型）型）（00；記作記作高階的無窮小高階的無窮小是比是比，就說，就說如果如果)(,0lim

2、)1( o定義定義: :. 0, 且且窮小窮小是同一過程中的兩個(gè)無是同一過程中的兩個(gè)無設(shè)設(shè);, 0lim)3(是是同同階階的的無無窮窮小小與與就就說說如如果果 C;, 1lim 記記作作是是等等價(jià)價(jià)的的無無窮窮小小與與則則稱稱如如果果特特殊殊地地，低低階階的的無無窮窮小小是是比比，就就說說如如果果 lim)(., 0, 0lim)4(無窮小無窮小階的階的的的是是就說就說如果如果kkCk 21xxx與與，cos0(1)222234x-x-,x與與)tan()(.xxx是是同同階階的的無無窮窮小小與與時(shí)時(shí)，故故當(dāng)當(dāng)210cos,xxx21cos1lim)1(20 因因?yàn)闉榻饨饫? 1 比較下列各

3、對無窮小比較下列各對無窮小)()tan(lim)(222342x-x-x因?yàn)橐驗(yàn)?134342222)()()tan(limx-x-x-x0的高階無窮小，的高階無窮小，是是時(shí)時(shí)所以當(dāng)所以當(dāng)22234x-x-,x)tan(，而而12234342)()tan(limx-x-x.x-x-階階無無窮窮小小的的是是故故342234)tan(例例2 2.sintan,0:的三階無窮小的三階無窮小為為時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)證明證明xxxx 解解30sintanlimxxxx )cos1sincos1(lim20 xxxxxx ,21 .sintan的三階無窮小的三階無窮小為為xxx 2000cos1limsinlimco

4、s1limxxxxxxxx 例例3 3.,x試試確確定定下下列列無無窮窮小小的的階階時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)0;)(31431xx .)(xxx23181例例4 證明證明: 當(dāng)當(dāng)0 x時(shí),11nxxn1證證: : lim0 x11nxxn10limx11nnxxn111nnx21nnx1)lim(Nn,xnx1110根據(jù)根據(jù),x時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)011nxxn11na)(1a1(na2na) 1a)(Nn. )(1o為必要條件是等價(jià)無窮小的的充分與定理證證必要性必要性，設(shè)設(shè) 1limlim ，0 ，即即)()( oo充分性充分性設(shè)設(shè))( o )(limlimo）（ )(limo，1 意義：用等價(jià)無窮小可給出函數(shù)的近似表

5、達(dá)式意義：用等價(jià)無窮小可給出函數(shù)的近似表達(dá)式例如例如,),(sinxoxx ).(21cos122xoxx ,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xxycos1 221yx 常用等價(jià)無窮小常用等價(jià)無窮小: :,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xnxxxxaxaexxxxxxnxx1)1 (,21cos1,ln11)1ln(arctanarcsintansin12.21cos1,sin2xxxx 二、等價(jià)無窮小代換二、等價(jià)無窮小代換且且都是無窮小都是無窮小,定理定理( (等價(jià)無窮小代換定理等價(jià)無窮小代換定理) ),xf存存在在或或?yàn)闉闊o無窮窮大大)(lim證證)(limxf)()lim(xflim)(limlimxf).(limxf設(shè)在自

6、變量設(shè)在自變量 x的同一的同一變化趨勢下，變化趨勢下，.xfxf)(lim)(lim則則例例5 5.cos12tanlim20 xxx 求求解解.22tan,21cos1,02xxxxx 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)22021)2(limxxx 原式原式. 8 若未定式的分子或分母為若干個(gè)因子的乘積，則若未定式的分子或分母為若干個(gè)因子的乘積，則可對其中的任意一個(gè)或幾個(gè)無窮小因子作等價(jià)無可對其中的任意一個(gè)或幾個(gè)無窮小因子作等價(jià)無窮小代換，而不會改變原式的極限窮小代換，而不會改變原式的極限不能濫用等價(jià)無窮小代換不能濫用等價(jià)無窮小代換.切記，只可對函數(shù)的因子作等價(jià)無窮小代換，切記，只可對函數(shù)的因子作等價(jià)無窮小代換，對于

7、代數(shù)和中各無窮小不能分別代換對于代數(shù)和中各無窮小不能分別代換. .注意注意例例6 6.arcsinsin)1(lim0 xxxx 求求解解.arcsin,sin,0 xxxxx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxx)1(lim0 原式原式. 1 )1(lim0 xx例例7 7.2sinsintanlim30 xxxx 求求解解.sin,tan,0 xxxxx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 30)2(limxxxx 原式原式. 0 解解,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x)cos1(tansintanxxxx ,213x,22sinxx330)2(21limxxx 原式原式.161 錯錯 例例8 8;coslim)(11120 xxemx求求.xxxxx23

8、220461252sin)cos-(lim)(例例9 9.xxxcoscoslim110求求例例.3sin1cos5tanlim0 xxxx 求求解解),(55tanxoxx ),(33sinxoxx ).(21cos122xoxx )(3)(21)(5lim220 xoxxoxxoxx 原原式式xxoxxoxxxox)(3)(21)(5lim20 .35 三、小結(jié)三、小結(jié)1、無窮小的比較、無窮小的比較反映了同一過程中反映了同一過程中, 兩無窮小趨于零的速度兩無窮小趨于零的速度快慢快慢, 但并不是所有的無窮小都可進(jìn)行比較但并不是所有的無窮小都可進(jìn)行比較.2、等價(jià)無窮小的代換、等價(jià)無窮小的代換:

9、求極限的又一種方法求極限的又一種方法, 注意適用條件注意適用條件.高高(低低)階無窮小階無窮小; 等價(jià)無窮小等價(jià)無窮小; 無窮小的階無窮小的階. 作作 業(yè)業(yè) P60 3.(1)(4)(5)(7)(8) 4. 5.(2) 6.(1) (2)(5)(6)(8)思考題思考題任何兩個(gè)無窮小都可以比較嗎？任何兩個(gè)無窮小都可以比較嗎？思考題解答思考題解答不能不能例當(dāng)例當(dāng) 時(shí)時(shí) x,1)(xxf xxxgsin)( 都是無窮小量都是無窮小量但但 )()(limxfxgxxxsinlim 不存在且不為無窮大不存在且不為無窮大故當(dāng)故當(dāng) 時(shí)時(shí) x)(xf和和)(xg不不能能比比較較.一、一、 填空題：填空題：1

10、1、xxx2sin3tanlim0=_.=_.2 2、mnxxx)(sinarcsinlim0=_.=_.3 3、xxx)21ln(lim0 =_.=_.4 4、xxxxxarctan1sin1lim20 =_.=_.5 5、nnnx2sin2lim =_.=_.6 6、xaxnx1)1(lim10 = =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .練練 習(xí)習(xí) 題題7 7、當(dāng)、當(dāng)0 x時(shí)，時(shí)，)0(3 aaxa 對于對于x是是_階無窮小階無窮小 . .8 8、當(dāng)、當(dāng)0 x時(shí)，無窮小時(shí)，無窮小xcos1 與與nmx等價(jià)，則等價(jià)，則 ._, nm 二、求下列各極限：二、求下列各極限：1 1、xxxx30sinsintanlim ；2 2、 eelim；3 3、xxxx sinsinlim0 ；4 4、axaxax tantanlim；三、三、 證明：若證明：若 ,是無窮小，則是無窮小，則)(0 . .四、設(shè)四、設(shè) f(x)=f(x)=1)cos(2sinlim212 nnnxbxaxx 求：求：1 1、)(xf的表達(dá)式的表達(dá)式 . . 2 2、確定、確定ba,的值的值, ,使得使得)1()(lim1fxfx ， )1()(lim1 fxfx . .一一、1 1、23； 2 2、 nmnmnm, 1, 0；3 3、2 2；