排列組合專題

1、二輪復(fù)習(xí)專題： 排列組合題型總結(jié)不同的三位數(shù) C53 23 A33- C42 22 A22 =432 （個(gè)）排列組合問題千變?nèi)f化，解法靈活，條件隱晦，思維抽象，難以找到解題的突破口。因 而在求解排列組合應(yīng)用題時(shí)，除做到：排列組合分清，加乘原理辯明，避免重復(fù)遺漏外，還 應(yīng)注意積累排列組合問題得以快速準(zhǔn)確求解。一 直接法1 特殊元素法例 1 用 1，2，3，4，5，6 這 6 個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)的四位數(shù)，試求滿足下列條件的四位數(shù)各有多少個(gè)（1）數(shù)字 1 不排在個(gè)位和千位（2 ）數(shù)字 1 不在個(gè)位，數(shù)字 6 不在千位。分析：（1）個(gè)位和千位有 5 個(gè)數(shù)字可供選擇 A52，其余 2 位有四個(gè)可供選擇 A

2、42 ，由乘法 原理： A52 A42=2402特殊位置法（2）當(dāng) 1 在千位時(shí)余下三位有 A53 =60 ，1 不在千位時(shí)，千位有 A41種選法，個(gè)位有 A14種， 余下的有 A42 ，共有 A41 A41 A42=192 所以總共有 192+60=252二 間接法 當(dāng)直接法求解類別比較大時(shí)，應(yīng)采用間接法。如上例中（2 ）可用間接法A64 2A53 A42 =252例 2 有五張卡片，它的正反面分別寫 0 與 1，2 與 3 ，4 與 5，6 與 7， 8 與 9，將它們?nèi)我馊龔埐⑴欧旁谝黄鸾M成三位數(shù)，共可組成多少個(gè)不同的三位數(shù)？分析：此例正面求解需考慮 0 與 1 卡片用與不用，且用此卡片

3、又分使用 0 與使用 1 ，類別 較復(fù) 雜， 因而 可使 用間接 計(jì)算 ：任 取三 張卡片 可以 組成 不同 的三位 數(shù) C53 23 A33 個(gè)，其中 0 在百位的有 C42 22 A22個(gè)，這是不合題意的。故共可組成三 插空法 當(dāng)需排元素中有不能相鄰的元素時(shí)，宜用插空法。例 3 在一個(gè)含有 8 個(gè)節(jié)目的節(jié)目單中，臨時(shí)插入兩個(gè)歌唱節(jié)目，且保持原節(jié)目順 序，有多少中插入方法？分析：原有的 8 個(gè)節(jié)目中含有 9 個(gè)空檔，插入一個(gè)節(jié)目后，空檔變?yōu)?10 個(gè)，故有 A19 A110 =100 中插入方法。四 捆綁法 當(dāng)需排元素中有必須相鄰的元素時(shí)，宜用捆綁法。例 4 4 名男生和 3 名女生共坐一排

4、，男生必須排在一起的坐法有多少種？分析：先將男生捆綁在一起看成一個(gè)大元素與女生全排列有 A44 種排法，而男生之間又有A44 種排法，又乘法原理滿足條件的排法有： A44 A44=576練習(xí) 1 四個(gè)不同的小球全部放入三個(gè)不同的盒子中， 若使每個(gè)盒子不空， 則不同的放法 有 種（ C 42 A33 ）2 某市植物園要在 30 天內(nèi)接待 20 所學(xué)校的學(xué)生參觀，但每天只能安排一所學(xué)校，其 中有一所學(xué)校人數(shù)較多，要安排連續(xù)參觀 2 天，其余只參觀一天，則植物園 30 天內(nèi)不同的 安排方法有（ C129 A2198 ）（注意連續(xù)參觀 2 天，即需把 30 天種的連續(xù)兩天捆綁看成一天作為 一個(gè)整體來選

5、有 C219 其余的就是 19 所學(xué)校選 28 天進(jìn)行排列） 五 隔板法 名額分配或相同物品的分配問題，適宜采隔板用法例 5 某校準(zhǔn)備組建一個(gè)由 12 人組成籃球隊(duì)，這 12 個(gè)人由 8 個(gè)班的學(xué)生組成，每班至少 一人，名額分配方案共 種 。分析：此例的實(shí)質(zhì)是 12 個(gè)名額分配給 8 個(gè)班，每班至少一個(gè)名額，可在 12 個(gè)名額種的 11 個(gè)空當(dāng)中插入 7 塊閘板，一種插法對(duì)應(yīng)一種名額的分配方式，故有 C171 種練習(xí) 1.（a+b+c+d） 15 有多少項(xiàng)？當(dāng)項(xiàng)中只有一個(gè)字母時(shí)，有 C14 種（即 而指數(shù)只有 15 故C41 C104 ）。當(dāng)項(xiàng)中有 2 個(gè)字母時(shí)，有 C42 而指數(shù)和為 15，

6、即將 15 分配給 2 個(gè)字母時(shí)，如何分，閘 板法一分為 2， C114即C42 C114當(dāng)項(xiàng)中有 3 個(gè)字母時(shí) C43 指數(shù) 15 分給 3 個(gè)字母分三組即可 C43C124當(dāng)項(xiàng)種 4 個(gè)字母都在時(shí) C44 C134 四者都相加即可練習(xí) 2有 20 個(gè)不加區(qū)別的小球放入編號(hào)為 1 ，2，3 的三個(gè)盒子里，要求每個(gè)盒子內(nèi) 的球數(shù)不少編號(hào)數(shù)，問有多少種不同的方法？（ C126 ）練習(xí) 3 不定方程 X1+X 2+X 3+ +X 50=100 中不同的整數(shù)解有（ C99 ） 六 平均分堆問題 例 6 ： 6 本不同的書平均分成三堆，有多少種不同的方法？方法相當(dāng)于 4 個(gè)元素2,4的全排列數(shù) A44

7、4（）當(dāng) 2、 4 顏色不同且 3、 5 顏色相同時(shí)，與情形 （）類似同理可得 A44 種著色法（）當(dāng) 2 、4 與 3、 5 分別同色時(shí)，將 2、 4 ；3 、5 分別合并，這樣僅有三個(gè)單元格 2,43,533從 4 種顏色中選 3 種來著色這三個(gè)單元格，計(jì)有 C34 A33 種方法4 3 3由加法原理知：不同著色方法共有 2 A44 C34 A33 =48+24=72 （種）練習(xí) 1 （天津卷（文）將 3 種作物種植12345分析：分出三堆書（ a1,a2）,（a3,a4），（a5,a6）由順序不同可以有 A33 =6 種，而這 6 種分222C6 C4C2A33=15 種法只算一種分堆方

8、式，故 6 本不同的書平均分成三堆方式有練習(xí)： 16本書分三份， 2份1本，1 份4本，則有不同分法？2 某年級(jí) 6 個(gè)班的數(shù)學(xué)課，分配給甲乙丙三名數(shù)學(xué)教師任教，每人教兩個(gè)班，則分派方 法的種數(shù)。在如圖的 5 塊試驗(yàn)田里，每快種植一種作物且相鄰的試驗(yàn)田不能種植同一作物 ， 不同的種植方法共 種（以數(shù)字作答） （72 ）2（江蘇、遼寧、天津卷（理） ）某城市中心廣場建造一個(gè)花圃，花圃 6 分為個(gè)部分（如圖 3 ），現(xiàn)要栽種 4 種顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同一樣顏色的話，不同的栽種方法有圖4（ ）當(dāng) 2 、4 顏色相同且 3 、5 顏色不同時(shí)，將 2、4 合并成一個(gè)單元格，此時(shí)不

9、同的著色4如圖 5：四個(gè)區(qū)域坐定 4 個(gè)單位的人，有四種不同顏色的服裝，每個(gè)單位的觀眾必須七 合并單元格解決染色問題例 7 （全國卷（文、理）如圖 1 ，一個(gè)地區(qū)分為 5 個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相 鄰區(qū)域不 得使用同一顏色，現(xiàn)有四種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有 種（以數(shù) 字作答）。分析：顏色相同的區(qū)域可能是 2、3 、4、5下面分情況討論 :圖33如圖 4，用不同的 5 種顏色分別為 ABCDE 五部分著色，相鄰部分不能用同一顏色，但同一種顏色可以反復(fù)使用也可以不用，則符合這種要求的不同著色種數(shù) （540 ）穿同種顏色的服裝，且相鄰兩區(qū)域的顏色不同，不相鄰區(qū)域顏色相同，不相鄰區(qū)域

10、顏色相同( C130 -4 C 63 +4-3 C43 +3-6C 34 +6+2 6=29)與否不受限制，那么不同的著色方法是種（84）圖 5 圖 65 將一四棱錐 （圖 6） 的每個(gè)頂點(diǎn)染一種顏色，并使同一條棱的兩端點(diǎn)異色，若只有五種顏 色可供使用，則不同的染色方法共 種（420 ） 八 遞推法例八 一樓梯共 10 級(jí)，如果規(guī)定每次只能跨上一級(jí)或兩級(jí)， 要走上這 10 級(jí)樓梯， 共有多少 種不同的走法？分析：設(shè)上 n 級(jí)樓梯的走法為 an 種，易知 a1 =1,a 2=2,當(dāng) n2 時(shí)，上 n 級(jí)樓梯的走法可 分兩類：第一類：是最后一步跨一級(jí)，有 an-1 種走法，第二類是最后一步跨兩級(jí)，

11、有 an-2 種 走 法 ， 由 加 法 原 理 知 ： an=a n-1 + an-2, 據(jù) 此 ， a3=a 1+a 2=3,a 4=a # +a 2=5,a 5=a 4+a 3=8,a 6=13,a 7=21,a 8=34 ,a9=55,a 10=89. 故走上 10 級(jí) 樓梯共有 89 種不同的方法。九.幾何問題1四面體的一個(gè)頂點(diǎn)位 A,從其它頂點(diǎn)與各棱中點(diǎn)取 3 個(gè)點(diǎn)，使它們和點(diǎn) A 在同一平面上， 不同的取法有 種（3 C53 +3=33 ）2.四面體的棱中點(diǎn)和頂點(diǎn)共 10 個(gè)點(diǎn)（ 1）從中任取 3 個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面，共能確定多少個(gè)平（2）以這 10 個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，共能確定多少格凸棱

12、錐？ 三棱錐 C104-4C64-6C 44-3C44=141 四 棱錐 644=96 3 6=18 共有 114十先選后排法例 9 有甲乙丙三項(xiàng)任務(wù)，甲需 2 人承擔(dān)，乙丙各需 1 人承擔(dān)，從 10 人中選派 4 人承擔(dān)這三 項(xiàng)任務(wù)，不同的選派方法有（ ）A.1260 種 B.2025 種 C.2520 種 D.5054 種 分析：先從 10 人中選出 2 人十一用轉(zhuǎn)換法解排列組合問題例 10 某人連續(xù)射擊 8 次有四次命中，其中有三次連續(xù)命中，按“中”與“不中”報(bào)告結(jié) 果，不同的結(jié)果有多少種解 把問題轉(zhuǎn)化為四個(gè)相同的黑球與四個(gè)相同白球，其中只有三個(gè)黑球相鄰的排列問 題 A52 =20 種例

13、11 個(gè)人參加秋游帶 10 瓶飲料，每人至少帶 1 瓶，一共有多少鐘不同的帶法解 把問題轉(zhuǎn)化為 5 個(gè)相同的白球不相鄰地插入已經(jīng)排好的 10 個(gè)相同的黑球之間的 9 個(gè)空 隙種的排列問題 C 95 =126 種例 12 從 1，2 ，3 ，1000 個(gè)自然數(shù)中任取 10 個(gè)不連續(xù)的自然數(shù)，有多少種不同的去 法解 把穩(wěn)體轉(zhuǎn)化為 10 個(gè)相同的黑球與 990 個(gè)相同白球，其其中黑球不相鄰的排列問題。 C91901 例13 某城市街道呈棋盤形，南北向大街 5 條，東西向大街 4 條，一人欲從西南角走到 東北角，路程最短的走法有多少種面？解 無論怎樣走必須經(jīng)過三橫四縱，因此，把問題轉(zhuǎn)化為 3 個(gè)相同的

14、白球與四個(gè)相同的黑球的排列問題 C73=35 （種）例18 一天的課程表要排入語文、數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、英語、體育六節(jié)課，如果數(shù)學(xué)必須（1）若偶數(shù)（2）若偶數(shù) 解（ 1 ） A73公式 1)an (n 1)(an1 an 2)人有一種錯(cuò)排2) an =n!(1- 1+ 1- 1+ 1 n 1! 2! 3!例 14 一個(gè)樓梯共 18 個(gè)臺(tái)階 12 步登完，可一步登一個(gè)臺(tái)階也可一步登兩個(gè)臺(tái)階， 一共有 多少種不同的走法解 根據(jù)題意要想 12 步登完只能 6 個(gè)一步登一個(gè)臺(tái)階， 6 個(gè)一步登兩個(gè)臺(tái)階，因此，把 問題轉(zhuǎn)化為 6 個(gè)相同的黑球與 6 個(gè)相同的白球的排列問題 C162 =924 （種）例15

15、求（ a+b+c ）10 的展開式的項(xiàng)數(shù)解 展開使的項(xiàng)為 abc,且+ =10 ，因此，把問題轉(zhuǎn)化為 2個(gè)相同的黑球與 10 個(gè)相 同的白球的排列問題 C122 =66 （種）例 16 亞、歐乒乓球?qū)官?，各?duì)均有 5 名隊(duì)員，按事先排好的順序參加擂臺(tái)賽，雙方 先由 1 號(hào)隊(duì)員比賽，負(fù)者淘汰，勝者再與負(fù)方 2 號(hào)隊(duì)員比賽，直到一方全被淘汰為止， 另一方獲勝，形成一種比賽過程那么所有可能出現(xiàn)的比賽過程有多少種？解 設(shè)亞洲隊(duì)隊(duì)員為 a1,a2，,a5,歐洲隊(duì)隊(duì)員為 b 1，b 2，b 5，下標(biāo)表示事先排列的出場 順序，若以依次被淘汰的隊(duì)員為順序比賽過程轉(zhuǎn)化為這 10 個(gè)字母互相穿插的一個(gè)排列， 最

16、后師勝隊(duì)種步被淘汰的隊(duì)員和可能未參加參賽的隊(duì)員， 所以比賽過程可表示為 5 個(gè)相同的 白球和 5 個(gè)相同黑球排列問題，比賽過程的總數(shù)為 C160 =252 （種）十二轉(zhuǎn)化命題法 0例 17 圓周上共有 15 個(gè)不同的點(diǎn)， 過其中任意兩點(diǎn)連一弦， 這些弦在圓內(nèi)的交點(diǎn)最多有多 少個(gè)？分析：因兩弦在圓內(nèi)若有一交點(diǎn)，則該交點(diǎn)對(duì)應(yīng)于一個(gè)以兩弦的四端點(diǎn)為頂點(diǎn)的圓內(nèi)接四 邊形，則問題化為圓周上的 15 個(gè)不同的點(diǎn)能構(gòu)成多少個(gè)圓內(nèi)接四邊形，因此這些現(xiàn)在圓內(nèi) 的交點(diǎn)最多有 C145 =1365 （個(gè)）排在體育之前，那么該天的課程表有多少種排法？ 分析：在六節(jié)課的排列總數(shù)中，體育課排在數(shù)學(xué)之前與數(shù)學(xué)課排在體育之前的概率相等，1 1 1 均為 1 ，故本例所求的排法種數(shù)就是所有排法的 1，即 1 A=360 種2 2 2十四除序法 例 19 用 1， 2，3，4，5，6，7 這七個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的七位數(shù) 中