數(shù)學基礎(chǔ)教育中的

1、數(shù)學基礎(chǔ)教育中的“雙基”如何發(fā)展為“四基” 南開大學數(shù)學科學學院 顧沛摘要：數(shù)學基礎(chǔ)教育中的“雙基”提法，近來被發(fā)展為“四基”的提法，其中有深刻的背景和原因；“四基”的內(nèi)涵和外延非常豐富；這一發(fā)展對于提高學生的數(shù)學素養(yǎng)、培養(yǎng)全面發(fā)展的人才，意義重大關(guān)鍵詞：基礎(chǔ)教育；數(shù)學；雙基；四基；發(fā)展數(shù)學基礎(chǔ)教育中的“雙基”提法，在教育部 2011年12月28日頒布的義務(wù)教育數(shù)學課程標準(2011年版)(以下簡稱為課標)中被發(fā)展為“四基”的提法，即從“數(shù)學的基礎(chǔ)知識、基本技能”發(fā)展為“數(shù)學的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗”那么，“雙基”提法為什么要發(fā)展為“四基”的提法?其背景是什么?“四基”提法

2、的內(nèi)涵和外延是什么?“四基”對于基礎(chǔ)教育的人才培養(yǎng)意義何在?現(xiàn)談?wù)剬Υ说囊恍\見1.“雙基”為什么要發(fā)展為“四基”“雙基”發(fā)展的“四基”，在課標中的表述為：“通過義務(wù)教育階段的數(shù)學學習，學生能獲得適應社會生活和進一步發(fā)展所必需的數(shù)學的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗”早在教育部2001年6月7日頒發(fā)的基礎(chǔ)教育課程改革綱要(試行)(以下簡稱為綱要)中，就規(guī)定了基礎(chǔ)教育階段所有課程應該努力達到的三維目標，即“知識與技能”、“過程與方法”、“態(tài)度情感與價值觀”這樣3個維度的目標因此，義務(wù)教育數(shù)學課程的課程目標首先應該符合上述三維目標；同時，還要結(jié)合數(shù)學學科的特點把它們具體化這種“具體化”，

3、未必僅僅用“四基”就能夠完整、全面地表達但限于文章討論的范圍和篇幅，下面只圍繞“四基”論述新中國的數(shù)學基礎(chǔ)教育，歷來重視“雙基”，即要求學生基礎(chǔ)知識扎實，基本技能熟練，這是正確的，其歷史貢獻也是應該肯定的，所以課標中的“四基”繼續(xù)保留和強調(diào)了“雙基”但是，對于“雙基”的內(nèi)容，即對于什么是學生應該掌握的“基礎(chǔ)知識”和“基本技能”，在“知識爆炸”的時代，在現(xiàn)代信息技術(shù)突飛猛進的時代，在獲取知識、技能的渠道大大增加的時代，應該與時俱進過去提到數(shù)學的“雙基”時，通常是指：數(shù)學的基本概念、基本公式、基本運算、基本性質(zhì)、基本法則、基本程式、基本定理、基本作圖、基本推理、基本語言、基本方法、基本操作、基本技

4、巧，等等但是許多年來，“雙基”概念一直在發(fā)展中深化至2000年，中華人民共和國教育部制定的九年義務(wù)教育全日制初級中學數(shù)學教學大綱(試驗修訂版)中的表述，數(shù)學“基礎(chǔ)知識是指：數(shù)學中的概念、法則、性質(zhì)、公式、公理、定理以及由其內(nèi)容所反映出來的數(shù)學思想和方法基本技能是指：能夠按照一定的程序與步驟進行運算、作圖或畫圖、進行簡單的推理”【2】并且，“雙基”在此已經(jīng)是與思維能力、運算能力、空間觀念等相互聯(lián)系表述的在“知識爆炸”的時代，對于過去數(shù)學“雙基”的某些內(nèi)容，如繁雜的計算、細枝末節(jié)的證明技巧等，需要有所刪減；而對于估算、算法、數(shù)感、符號意識、收集和處理數(shù)據(jù)、概率初步、統(tǒng)計初步、數(shù)學建模初步等，又要有

5、所增加這就是數(shù)學“雙基”內(nèi)容的與時俱進那么，為什么有了“雙基”還不夠，現(xiàn)在還要增加兩條，成為“四基”?這可以有下面3個理由第一，因為“雙基”僅僅涉及上述三維目標中的一個目標“知識與技能”新增加的兩條則還涉及三維目標的另外兩個目標“過程與方法”和“態(tài)度情感與價值觀”第二，因為某些教師有時片面地理解“雙基”，往往在實施中“以本為本”，見物不見人，而教育必須以人為本，新增加的“數(shù)學思想”和“活動經(jīng)驗”就直接與人相關(guān)，也符合“素質(zhì)教育”的理念第三，因為僅有“雙基”還難以培養(yǎng)創(chuàng)新性人才，“雙基”只是培養(yǎng)創(chuàng)新性人才的一個基礎(chǔ)，但創(chuàng)新性人才不能僅靠熟練掌握已有的知識和技能來培養(yǎng)，獲得數(shù)學思想和活動經(jīng)驗等也十

6、分重要，這就是新增加的兩條2.關(guān)于數(shù)學的“基本思想”使學生獲得數(shù)學的基本思想，確實應該作為數(shù)學課程的一個重要目標數(shù)學課程固然應該教會學生許多必要的結(jié)論，但絕不僅僅以教會這些定理、公式和計算程序、解題方法為目標，更重要的是讓學生在學習這些結(jié)論的過程中獲得數(shù)學思想數(shù)學思想是數(shù)學科學發(fā)生、發(fā)展的根本，也是數(shù)學課程教學的精髓但是，課標在這里并沒有展開闡述“數(shù)學的基本思想”有哪些內(nèi)涵和外延，這就給研究則留下了討論的空間而且由于它過去并沒有被充分地討論過，所以可能仁者見仁，智者見智，不同的學者可能會有不完全一樣的說法這里也談?wù)勛约翰怀墒斓挠^點，與同行交流數(shù)學思想的內(nèi)涵和外延都很豐富，通俗地說，例如有從數(shù)學

7、角度看問題的出發(fā)點，把客觀事物簡化和量化的思想，周到、嚴密、系統(tǒng)地思考問題，以及建立數(shù)學模型的思想，合理地運籌帷幄，等等一個人進入社會后，如果不是在與數(shù)學相關(guān)的領(lǐng)域工作，他學過的數(shù)學定理和公式可能大多都用不到，而在學習數(shù)學知識的過程中獲得的這些數(shù)學思想?yún)s一定會使他終生受益：雖然有些人對此是有意識的，有些人是無意識的課標在這里的措詞為數(shù)學的“基本思想”，而不是數(shù)學的“基本思想方法”，這是明智的、恰當?shù)模驗椤八枷敕椒ā笨赡芨嗟刈屓寺?lián)想到具體的“方法”，如換元法、代入法、配方法，層次就降低了，且沖淡了“思想”這個關(guān)鍵詞并且，其實雙基中已經(jīng)含有數(shù)學的這些具體方法數(shù)學的基本思想，主要可以有數(shù)學抽象的

8、思想、數(shù)學推理的思想、數(shù)學模型的思想、數(shù)學審美的思想人類通過數(shù)學抽象，從客觀世界中得到數(shù)學的概念和法則，建立了數(shù)學學科及其眾多的分支；通過數(shù)學推理，進一步得到大量結(jié)論，數(shù)學科學得以豐富和發(fā)展；通過數(shù)學模型，把數(shù)學應用到客觀世界中，產(chǎn)生了巨大的社會效益，又反過來促進了數(shù)學科學的發(fā)展；通過數(shù)學審美，看到數(shù)學“透過現(xiàn)象看本質(zhì)”、“和諧統(tǒng)一眾多事物”中美的成份，感受到數(shù)學“以簡馭繁”、“天衣無縫”給我們帶來的愉悅，并且從“美”的角度發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造新的數(shù)學當然，由上述數(shù)學的“基本思想”演變、派生、發(fā)展出來的數(shù)學思想還有很多例如由“數(shù)學抽象的思想”派生出來的有：分類的思想，集合的思想，“變中有不變”的思想，符

9、號表示的思想，對應的思想，有限與無限的思想，等等例如由“數(shù)學推理的思想”派生出來的有：歸納的思想，演繹的思想，公理化思想，數(shù)形結(jié)合的思想，轉(zhuǎn)換化歸的思想，聯(lián)想類比的思想，普遍聯(lián)系的思想，逐步逼近的思想，代換的思想，特殊與一般的思想，等等例如由“數(shù)學建模的思想”派生出來的可以有：簡化的思想，量化的思想，函數(shù)的思想，方程的思想，優(yōu)化的思想，隨機的思想，統(tǒng)計的思想，等等例如由“數(shù)學審美的思想”派生出來的可以有：簡潔的思想，對稱的思想，統(tǒng)一的思想，和諧的思想，以簡馭繁的思想，“透過現(xiàn)象看本質(zhì)”的思想，等等舉例說，“分類的思想”和“集合的思想”可以是這樣由“數(shù)學抽象的思想”派生出來的：人們對客觀世界進行

10、觀察時，常常從研究需要的某個角度分析聯(lián)想，排除那些次要的、非本質(zhì)的因素，保留那些主要的、本質(zhì)的因素，一種有效的做法就是對事物按照其某種本質(zhì)進行分類，分類的結(jié)果就產(chǎn)生了“集合”把它們上升到思想的層面上，就形成了“分類的思想”和“集合的思想”在用數(shù)學思想解決具體問題時，對某一類問題反復推敲，會逐漸形成某一類程序化的操作，就構(gòu)成了“數(shù)學方法”數(shù)學方法也是具有層次的處于較高層次的，例如有：邏輯推理的方法，合情推理的方法，變量替換的方法，等價變形的方法，分情況討論的方法，等等低一層次的數(shù)學方法，還有很多例如有：分析法，綜合法，窮舉法，反證法，抽樣法，構(gòu)造法，待定系數(shù)法，數(shù)學歸納法，遞推法，消元法，降冪法

11、，換元法，坐標法，配方法，列表法，圖像法，等等數(shù)學方法不同于數(shù)學思想“數(shù)學思想”往往是觀念的、全面的、普遍的、深刻的、一般的、內(nèi)在的、概括的；而“數(shù)學方法”往往是操作的、局部的、特殊的、表象的、具體的、程序的、技巧的數(shù)學思想常常通過數(shù)學方法去體現(xiàn)；數(shù)學方法又常常反映了某種數(shù)學思想數(shù)學思想是數(shù)學教學的核心和精髓，教師在講授數(shù)學方法時應該努力反映和體現(xiàn)數(shù)學思想，讓學生體會和領(lǐng)悟數(shù)學思想，提高學生的數(shù)學素養(yǎng)3.關(guān)于數(shù)學的“基本活動經(jīng)驗”使學生獲得數(shù)學的基本活動經(jīng)驗，也確實應該作為數(shù)學課程的一個重要目標數(shù)學教學，本質(zhì)上是師生共同進行數(shù)學活動的教學，所以學生獲得相關(guān)的活動經(jīng)驗當然應該是數(shù)學課程的一個目標

12、特別是，其中有些精神“只能意會，難以言傳”，必須要學生自己在親身經(jīng)歷的過程中獲得經(jīng)驗；有些內(nèi)容雖能言傳，但是如果沒有學生在數(shù)學活動中親身體會，理解也難以深刻但是，課標并沒有展開闡述“數(shù)學的基本活動經(jīng)驗”有哪些內(nèi)涵和外延，這也給研究者留下了討論的空間在這里也談?wù)勛约翰怀墒斓挠^點，與同行交流什么是數(shù)學活動經(jīng)驗?“活動經(jīng)驗”與“活動”密不可分，所說的“活動”，當然要有“動”，手動、口動和腦動它們既包括學生在課堂上學習數(shù)學時的探究性學習活動，也包括與數(shù)學課程相聯(lián)系的學生實踐活動；既包括生活、生產(chǎn)中實際進行的數(shù)學活動，也包括數(shù)學課程教學中特意設(shè)計的活動“活動”是一個過程，因此也體現(xiàn)出，不但學習結(jié)果是課程

13、目標，而且學習過程也是課程目標其次，“活動經(jīng)驗”還與“經(jīng)驗”密不可分，當然就與“人”密不可分學生本人要把在活動中的經(jīng)歷、體會總結(jié)上升為“經(jīng)驗”這既可以是活動當時的經(jīng)驗，也可以是延時反思的經(jīng)驗；既可以是學生自己摸索出的經(jīng)驗，也可以是受別人啟發(fā)得出的經(jīng)驗；既可以是從一次活動中得到的經(jīng)驗，也可以是從多次活動中互相比較得到的經(jīng)驗特別關(guān)鍵的是，這些“經(jīng)驗”必須轉(zhuǎn)化和建構(gòu)為屬于學生本人的東西，才可以認為學生獲得了“活動經(jīng)驗”應該注意的是，所說的“活動”都必須有明確的數(shù)學內(nèi)涵和數(shù)學目的，體現(xiàn)數(shù)學的本質(zhì)，才能稱得上是“數(shù)學活動”，它們是數(shù)學教學的有機組成部分教師的課堂講授、學生的課堂學習，是最主要的“數(shù)學活動

14、”，這種講授和學習，應該是漸進式的、啟發(fā)式的、探究式的、互動式的此外，還有其他形式的“數(shù)學活動”，例如學生的自主學習，調(diào)查研究，獨立思考，合作交流，小組討論，探討分析、參觀實踐，以及作業(yè)練習和操作計算工具，等等還應該強調(diào)的是，學生在進行“數(shù)學活動”的過程中，除了能夠獲得邏輯推理的經(jīng)驗，還能夠獲得合情推理的經(jīng)驗例如，根據(jù)條件“預測結(jié)果”的經(jīng)驗和根據(jù)結(jié)果“探究成因”的經(jīng)驗這兩種經(jīng)驗對于培養(yǎng)創(chuàng)新人才也是非常重要的數(shù)學活動的教育意義在于，學生主體通過親身經(jīng)歷數(shù)學活動過程，能夠獲得具有個性特征的感性認識、情感體驗、以及數(shù)學意識、數(shù)學能力和數(shù)學素養(yǎng)讓學生獲得“數(shù)學活動經(jīng)驗”，還能夠培養(yǎng)學生在活動中從數(shù)學的

15、角度思考問題，直觀地、合情地獲得一些結(jié)果，這些是數(shù)學創(chuàng)造的根本，是得到新結(jié)果的主要途徑數(shù)學活動經(jīng)驗并不僅僅是實踐的經(jīng)驗，也不僅僅是解題的經(jīng)驗，更加重要的是思維的經(jīng)驗，是在數(shù)學活動中思考的經(jīng)驗因為，創(chuàng)新依賴的是思考，是數(shù)學活動中創(chuàng)造性的思維而思維方法是依靠長期活動經(jīng)驗積累獲得的，思維品質(zhì)是依靠有效的、多方面的數(shù)學活動改善的，并不是僅僅依靠接受教師的傳授獲得的愛因斯坦說：“獨立思考是創(chuàng)新的基礎(chǔ)”獲得數(shù)學活動經(jīng)驗，最重要的是積累“發(fā)現(xiàn)問題、提出問題”的經(jīng)驗，以及“分析問題、解決問題”的經(jīng)驗，總之，是“從頭”想問題、思考問題、做問題全過程的經(jīng)驗學生形成智慧，不可能僅依靠掌握豐富的知識，一定還需要經(jīng)歷實

16、踐及在實踐中取得經(jīng)驗數(shù)學思想也不僅在探索推演中形成，還需要在數(shù)學活動經(jīng)驗積累的基礎(chǔ)上形成數(shù)學的基本活動經(jīng)驗可以按不同的標準分成若干類型比如，有的學者把它分為如下4種：直接的活動經(jīng)驗，間接的活動經(jīng)驗，設(shè)計的活動經(jīng)驗和思考的活動經(jīng)驗直接的活動經(jīng)驗是與學生日常生活直接聯(lián)系的數(shù)學活動中所獲得的經(jīng)驗，如購買物品、校園設(shè)計等間接的活動經(jīng)驗是學生在教師創(chuàng)設(shè)的情景、構(gòu)建的模型中所獲得的數(shù)學經(jīng)驗，如雞兔同籠、順水行舟等設(shè)計的活動經(jīng)驗是學生從教師特意設(shè)計的數(shù)學活動中所獲得的經(jīng)驗，如隨機摸球、地面拼圖等思考的活動經(jīng)驗是通過分析、歸納等思考獲得的數(shù)學經(jīng)驗，如預測結(jié)果、探究成因等學生只有積極參與數(shù)學課程的教學過程，經(jīng)過

17、獨立思考，經(jīng)過探索實踐，經(jīng)過合作交流，才有可能積累數(shù)學活動經(jīng)驗課標中還專門設(shè)計了“綜合與實踐”的課程內(nèi)容，強調(diào)以問題為載體，讓學生在綜合運用知識、技能解決問題的實踐中獲得數(shù)學活動經(jīng)驗在學生獲得數(shù)學的基本活動經(jīng)驗的過稃中，就必然有情感態(tài)度與價值觀的提升這樣，“四基”就全面體現(xiàn)了綱要中“三維目標”的要求4.“四基”是一個有機的整體“四基”雖然是由4個部分構(gòu)成的，但“四基”不應僅僅看作是4個事物簡單的疊加或混合，而應是一個有機的整體，是互相聯(lián)系、互相促進的基礎(chǔ)知識和基本技能是數(shù)學教學的主要載體，需要花費較多的課堂時間；數(shù)學思想則是數(shù)學教學的精髓，是統(tǒng)領(lǐng)課堂教學的制高點；數(shù)學活動是不可或缺的教學形式與

18、過程“四基”既然比原來增加了兩條，教師在課堂教學的安排上就應該有意識地給數(shù)學思想的教學預留適當?shù)臅r間；但是數(shù)學思想的教學不能空洞地進行，一定要以數(shù)學知識為載體進行，并且應該注意將數(shù)學知識與數(shù)學思想融為一體，因勢利導，水到渠成，畫龍點睛；教師在講解數(shù)學思想時，應該避免“兩層皮”，避免生硬牽強，避免長篇大論在課堂數(shù)學活動的時間安排上，大量的應該是教師啟發(fā)式傳授和學生在教師指導下獨立思考、自主探究的時間；其他形式的數(shù)學活動也應安排適當?shù)臅r間此外，“四基”既然比原來增加了兩條，那么，在教學評價上也應該給數(shù)學思想和數(shù)學活動以適當?shù)奈恢煤涂臻g課標在“四基”的表述前用了“獲得適應社會生活和進一步發(fā)展所必需的”這樣一個限制性定語，這一方面避免了在“四基”的名義下不適當?shù)財U大教學內(nèi)容，一方面也強調(diào)了學生獲得數(shù)學“四基”的現(xiàn)實意義和長遠意義其現(xiàn)實意義是一一學生適應社會生活所必需：其長遠意義是一一學生進一步發(fā)展所必需如果數(shù)學課程能夠使學生獲得適應社會