數(shù)學(xué)總結(jié)(函數(shù)連續(xù)性)_第1頁
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文檔簡介

1、命題：任何初等函數(shù)都是在其定義區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)關(guān)鍵詞：初等函數(shù)，定義區(qū)間，連續(xù)函數(shù)相關(guān)詞：基本初等函數(shù)，復(fù)合函數(shù)，函數(shù)極限一6個(gè)基本初等函數(shù)：常量函數(shù)冪函數(shù)指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)三角函數(shù)反三角函數(shù)形式： f（x）C（C為常數(shù)） f（x） f（x）（） f（x）x（） f（x）sinx f（x）cosx f（x）tanx f（x）arcsinx f（x）arccosx f（x）arctanx二函數(shù)連續(xù)的定義： 設(shè)函數(shù)在的某個(gè)鄰域U（）上有定義，若，則稱函數(shù)在處連續(xù) 注：定義中涉及“”即為函數(shù)之極限三函數(shù)極限的定義： 由此也可用定義在處的連續(xù)性：四初等函數(shù)的定義： 由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和復(fù)合

2、運(yùn)算所得到的函數(shù)要證明原命題，先解決以下幾個(gè)問題： （）復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性 定義：若函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，函數(shù)g（u）在點(diǎn)連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)g（f（x）在點(diǎn)連續(xù) 證明： g（u）在點(diǎn)連續(xù) 而在點(diǎn)處連續(xù)， 取 即 故： 綜上： 即：g（f（x）在處連續(xù) 證畢！ （）反函數(shù)的連續(xù)性定義：若函數(shù)在上嚴(yán)格單調(diào)且連續(xù)，則其反函數(shù)在其定義域或上連續(xù)且單調(diào)性與原函數(shù)相同證明：不妨設(shè)在上嚴(yán)格單增且連續(xù)，下證x在上單增且連續(xù) （1） 不妨設(shè) 若 則 矛盾！ 故 即，x單增 （2）任取 證明x在處連續(xù) 令 令 取 則： 有 故 在處連續(xù)類似可證x在左右端點(diǎn)分別左，右連續(xù) 證畢！ （）證明幾個(gè)基本初等函數(shù)的連續(xù)性 證明： 故在處連續(xù) 1） 證明： 取 2） 證明：即證：亦即：而 （等式解釋：第一個(gè)等號(hào)用到復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性第二個(gè)等號(hào)用到1）的結(jié)論） 證明： 證明： 證明：時(shí)， 故 即 在處連續(xù) 證明：時(shí)， 故 即 在處連續(xù) 根據(jù) 極限的四則運(yùn)算原則并結(jié)合（）（）（）可知：任何初等函數(shù)都

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