福建--平面動點的軌跡（杜重成）

1、平 面 動 點 的 軌 跡杜重成 福州第三中學(xué)一、教學(xué)目標(biāo)（一）知識與技能、進(jìn)一步熟練掌握求動點軌跡方程的基本方法。、體會數(shù)學(xué)實驗的直觀性、有效性，提高幾何畫板的操作能力。（二）過程與方法、培養(yǎng)學(xué)生觀察能力、抽象概括能力及創(chuàng)新能力。、體會感性到理性、形象到抽象的思維過程。、強(qiáng)化類比、聯(lián)想的方法，領(lǐng)會方程、數(shù)形結(jié)合等思想。（三）情感態(tài)度價值觀、感受動點軌跡的動態(tài)美、和諧美、對稱美 、樹立競爭意識與合作精神，感受合作交流帶來的成功感，樹立自信心，激發(fā)提出問題和解決問題的勇氣二、教學(xué)重點與難點教學(xué)重點：運用類比、聯(lián)想的方法探究不同條件下的軌跡教學(xué)難點：圖形、文字、符號三種語言之間的過渡三、教學(xué)方法和

2、手段【教學(xué)方法】觀察發(fā)現(xiàn)、啟發(fā)引導(dǎo)、合作探究相結(jié)合的教學(xué)方法。啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生積極思考并對學(xué)生的思維進(jìn)行調(diào)控，幫助學(xué)生優(yōu)化思維過程，在此基礎(chǔ)上，提供給學(xué)生交流的機(jī)會，幫助學(xué)生對自己的思維進(jìn)行組織和澄清，并能清楚地、準(zhǔn)確地表達(dá)自己的數(shù)學(xué)思維?！窘虒W(xué)手段】利用網(wǎng)絡(luò)教室，四人一機(jī)，多媒體教學(xué)手段。通過上述教學(xué)手段，一方面：再現(xiàn)知識產(chǎn)生的過程，通過多媒體動態(tài)演示，突破學(xué)生在舊知和新知形成過程中的障礙（靜態(tài)到動態(tài)）；另一方面：節(jié)省了時間，提高了課堂教學(xué)的效率，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。【教學(xué)模式】重點中學(xué)實施素質(zhì)教育的課堂模式“創(chuàng)設(shè)情境、激發(fā)情感、主動發(fā)現(xiàn)、主動發(fā)展”。四、教學(xué)過程n 1、創(chuàng)設(shè)情景，引入課題生活

3、中我們四處可見軌跡曲線的影子【演示】這是美麗的城市夜景圖【演示】許多人認(rèn)為天體運行的軌跡都是圓錐曲線，研究表明，天體數(shù)目越多，軌跡種類也越多【演示】建筑中也有許多美麗的軌跡曲線設(shè)計意圖：讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)就在我們身邊，感受軌跡曲線的動態(tài)美、和諧美、對稱美，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。n 2、激發(fā)情感，引導(dǎo)探索靠在墻角的梯子滑落了，如果梯子上站著一個人，我們不禁會想，這個人是直直的摔下去呢？還是劃了一條優(yōu)美的曲線飛出去呢？我們把這個問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題就是新教材高二上冊88頁20題，也就是這里的例題1；例1、線段長為，兩個端點和分別在軸和軸上滑動，求線段的中點的軌跡方程。第一步：讓學(xué)生借助畫板動手驗證軌跡第二步：要

4、求學(xué)生求出軌跡方程法一：設(shè)，則由得，化簡得法二：設(shè)，由得化簡得法三：設(shè)， 由點到定點的距離等于定長，根據(jù)圓的定義得；第三步：復(fù)習(xí)求軌跡方程的一般步驟（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系（2）設(shè)動點的坐標(biāo)M(x,y)（3）列出動點相關(guān)的約束條件p(M)（4）將其坐標(biāo)化并化簡，f(x,y)=0（5）證明其中，最關(guān)鍵的一步是根據(jù)題意尋求等量關(guān)系，并把等量關(guān)系坐標(biāo)化設(shè)計意圖：在這里我借助幾何畫板的動畫功能，先讓學(xué)生直觀地、形象地、動態(tài)地感受動點的軌跡是圓，接著要求學(xué)生求出軌跡方程，最后師生共同回顧求軌跡方程的一般步驟，達(dá)到熟練掌握直譯法、定義法，體會從感性到理性、從形象到抽象的思維過程。3、主動發(fā)現(xiàn)、主動發(fā)展由上述

5、例1可知，如果人站在梯子中間，則他會劃了一段優(yōu)美的圓弧飛出去。學(xué)生很自然就會想，如果人不是站在中間，而是隨意站，結(jié)果會怎樣呢？讓學(xué)生動手探究M不是中點時的軌跡。 第一步：利用網(wǎng)絡(luò)平臺展示學(xué)生得到的軌跡（教師有意識的整合在一起）設(shè)計意圖：借助數(shù)學(xué)實驗，把原本屬于教師行為的設(shè)疑激趣還原于學(xué)生，讓學(xué)生自己在實踐過程中發(fā)現(xiàn)疑問，更容易激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情，促使他們主動學(xué)習(xí)。第二步：分解動作，向?qū)W生提出3個問題：問題1：當(dāng)M位置不同時，線段BM與MA的大小關(guān)系如何？問題2、體現(xiàn)BM與MA大小關(guān)系還有什么常見的形式？問題3、你能類比例1把這種數(shù)量關(guān)系表達(dá)出來嗎？第三步：展示學(xué)生歸納、概括出來的數(shù)學(xué)問題1、線

6、段AB的長為2a，兩個端點B和A分別在X軸和Y軸上滑動，點M為AB上的點，滿足，求點M的軌跡方程。2、線段AB的長為2a，兩個端點B和A分別在X軸和Y軸上滑動，點M為AB上的點，滿足，求點M的軌跡方程。3、線段AB的長為2a，兩個端點B和A分別在X軸和Y軸上滑動，點M為AB上的點，滿足，求點M的軌跡方程。（說明是什么軌跡）第四步：課堂完成學(xué)生歸納出來的問題1，問題2和3課后完成4、合作探究、實現(xiàn)創(chuàng)新改變A、點的運動方式，同樣考慮中點的軌跡，教師進(jìn)行適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)（這里固定A點，運動B點）學(xué)生主要列出了以下幾種運動方式：圓、橢圓、雙曲線、拋物線，并且得出了一些相應(yīng)的軌跡。5、布置作業(yè)、實現(xiàn)拓展1、把

7、上述同學(xué)們探究得到的軌跡圖形用文字、符號描述出來，（仿造例1）,并求出軌跡方程。2、已知A（4，0），點B是圓上一動點，AB中垂線與直線OB相交于點P，求點P的軌跡方程。3、已知A（2，0），點B是圓上一動點，AB中垂線與直線OB相交于點P，求點P的軌跡方程。4若把上述問題中垂線改為一般的垂線與直線OB相交于點P，請同學(xué)們利用畫板驗證點P 的軌跡。以下是學(xué)生課后探究得到的一些軌跡圖形課后有學(xué)生問，如果X軸和Y軸不垂直會有什么結(jié)果？定長的線段在上面滑動怎么做出來？可以說，學(xué)生的這些問題我之前并沒有想過，給了我很大的觸動，同時也促使我更進(jìn)一步去研究幾何畫板，提高自己的能力。在這里，我體會到了教師不

8、再只是一根根蠟燭，更像是一盞盞明燈，在照亮別人的同時也照亮自己。以下是X軸和Y軸不垂直時的軌跡圖形五、教學(xué)設(shè)計說明：（一）、教材平面動點的軌跡是高二一節(jié)探究課，軌跡問題具有深厚的生活背景，求平面動點的軌跡方程涉及集合、方程、三角、平面幾何等基礎(chǔ)知識，其中滲透著運動與變化、方程的思想、數(shù)形結(jié)合的思想等，是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是歷年高考數(shù)學(xué)考查的重點之一。（二）、校情、學(xué)情校情：我校是一所省一級達(dá)標(biāo)校，省級示范性高中，學(xué)校的硬件設(shè)施比較完善，每間教室都具備多媒體教學(xué)的功能，另外有兩間網(wǎng)絡(luò)教室和一個學(xué)生電子閱室，并且能隨時上網(wǎng)。 學(xué)情：大部分學(xué)生家里都有電腦，而且能隨時上網(wǎng)。對學(xué)生進(jìn)行了幾何畫板基

9、本操作的培訓(xùn)，學(xué)生能較快的畫出圓、橢圓、雙曲線、拋物線等基本的圓錐曲線。學(xué)生對求軌跡方程的基本方法有了一定的掌握，但是對文字、圖形、符號三種語言之間的轉(zhuǎn)換還存在很大的差異，在合作交流意識方面，發(fā)展不均衡，有待加強(qiáng)。（三）學(xué)法觀察、實驗、交流、合作、類比、聯(lián)想、歸納、總結(jié)（四）、教學(xué)過程1、創(chuàng)設(shè)情景，引入課題2、激發(fā)情感，引導(dǎo)探索由梯子滑落問題抽象、概括出數(shù)學(xué)問題第一步：讓學(xué)生借助畫板動手驗證軌跡第二步：要求學(xué)生求出軌跡方程第三步：復(fù)習(xí)求軌跡方程的一般步驟3、主動發(fā)現(xiàn)、主動發(fā)展探究M不是中點時的軌跡第一步：利用網(wǎng)絡(luò)平臺展示學(xué)生得到的軌跡第二步：分解動作，向?qū)W生提出3個問題：第三步：展示學(xué)生歸納、概括出來的數(shù)學(xué)問題4、合作探究、實現(xiàn)創(chuàng)新改變A、點的運動方式，同樣考慮中點的軌跡，教師進(jìn)行適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)（這里固定A點，運動B點）學(xué)生主要列出了以下幾種運動方式：圓、橢圓、雙曲線、拋物線，并且得出了一些相應(yīng)的軌跡。5、布置作業(yè)、實現(xiàn)拓展（五）、教學(xué)特色：借助網(wǎng)絡(luò)、多媒體教學(xué)平臺，讓學(xué)生自己動手實驗，發(fā)現(xiàn)問題并解決問題，同時把學(xué)生的學(xué)習(xí)情況及時的展現(xiàn)出來，做到大家一起學(xué)習(xí)，一起評價的效果。同時節(jié)省了時間，提高了課堂效率。整個教學(xué)過程，體現(xiàn)了四個統(tǒng)一：既學(xué)