三角高程測量原理

1、圖 5-35§ 5.9三角高程測量三角高程測量的基本思想是根據(jù)由測站向照準(zhǔn)點(diǎn)所觀測的垂直角（或天頂距）和它們之間的水平距離，計算測站點(diǎn)與照準(zhǔn)點(diǎn)之間的高差。這種方法簡便靈活， 受地形條件的限制較少，故適用于測定三角點(diǎn)的高程。 三角點(diǎn)的高程主要是作為各種比例尺測圖的 高程控制的一部分。一般都是在一定密度的水準(zhǔn)網(wǎng)控制下，用三角高程測量的方法測定三角點(diǎn)的高程。三角高程測量的基本公式1.基本公式關(guān)于三角高程測量的基本原理和計算高差的基本公式，在測量學(xué)中已有過討論，但公式的推導(dǎo)是 以水平面作為依據(jù)的。在控制測量中，由于距離較 長，所以必須以橢球面為依據(jù)來推導(dǎo)三角高程測量 的基本公式。如圖5-35

2、所示。設(shè)So為A、B兩點(diǎn)間的實(shí)測水 平距離。儀器置于 A點(diǎn)，儀器高度為ii。B為照準(zhǔn)PE、AF分別為過P點(diǎn)和A點(diǎn)點(diǎn)，硯標(biāo)高度為 v： R為參考橢球面上 A B的曲率半徑。的水準(zhǔn)面。PC是PE在P點(diǎn)的切線，PN為光程曲線。當(dāng)位于 P點(diǎn)的望遠(yuǎn)鏡指向與 PN相切的PM方向時，由于大氣折光的影響，由N點(diǎn)出射的光線正好落在望遠(yuǎn)鏡的橫絲上。這就是說，儀器置于A點(diǎn)測得P、M間的垂直角為。由圖5-35可明顯地看出，A、B兩地面點(diǎn)間的高差為g,2 =BF =MC +CE +EF MN NB（ 5-54）式中，EF為儀器高h(yuǎn); NB為照準(zhǔn)點(diǎn)的覘標(biāo)高度 V2 ;而CE和MN分別為地球曲率和折光 影響。由1 21 2

3、CE soMNSo2R2RR式中R為光程曲線PN在N點(diǎn)的曲率半徑。設(shè) =K,則RMN匚上S2二上S22R R 2RK稱為大氣垂直折光系數(shù)。由于A、B兩點(diǎn)之間的水平距離 So與曲率半徑R之比值很?。ó?dāng)So =10km時，s°所 對的圓心角僅5 多一點(diǎn)），故可認(rèn)為PC近似垂直于OM，即認(rèn)為PCM 90 ,這樣 PCM 可視為直角三角形。則（5-54 ）式中的MC為MC = s tan 口1,2將各項(xiàng)代入（5-54 ）式，則A、B兩地面點(diǎn)的高差為hi 2 =S tan® 2 +丄 sf-匕 £ -y2R2R=So ta n "1,2s2 ii2R一 72K令式

4、中器二C,C 一般稱為球氣差系數(shù)，則上式可寫成2 R2 .h|.2 =s° tan oti,2 +Cs°v?(5-55 )（5-55 ）式就是單向觀測計算高差的基本公式。式中垂直角a,儀器高i和硯標(biāo)高v,均可由外業(yè)觀測得到。so為實(shí)測的水平距離，一般要化為高斯平面上的長度2.距離的歸算在圖5-36中，Ha、Hb分別為A、B兩點(diǎn)的高程（此R圖 5-363處已忽略了參考橢球面與大地水準(zhǔn)面之間的差距,，其平1均高程為Hm =2 （Ha Hb）, mM為平均高程水準(zhǔn)面。由于實(shí)測距離So 般不大（工程測量中一般在10km以內(nèi)），所以可以將so視為在平均高程水準(zhǔn)面上的距離。由圖5-36

5、有下列關(guān)系So R H m , H m1亠s RR丄HmSo =S(1_)R(5-56 )這就是表達(dá)實(shí)測距離 So與參考橢球面上的距離 S之間的關(guān)系式。參考橢球面上的距離s和投影在高斯投影平面上的距離d之間有下列關(guān)系(5-57 )5-57 )的式中ym為A、B兩點(diǎn)在高斯投影平面上投影點(diǎn)的橫坐標(biāo)的平均值。關(guān)系式（ 推導(dǎo)將在第八章中討論。將（5-57 ）式代入（5-56 ）式中，并略去微小項(xiàng)后得H mym、So=d(1 石-盲)(5-58 )3. 用橢球面上的邊長計算單向觀測高差的公式將（5-56 ）式代入（5-55 ）式，得(5-59h,2 =stanq,2(1 +罟)+Cs2 +»

6、_v2式中Cs2項(xiàng)的數(shù)值很小，故未顧及 So與s之間的差異。4. 用高斯平面上的邊長計算單向觀測高差的公式將（5-57 ）式代入（5-59 ）式，舍去微小項(xiàng)后得2y)R 2R2)-h (土 嶼R 2R22Hh.2 =dtang +Cd +i1 -V2 +d tan8,2(2=d tanS +Cd-V2(5-60 )式中 h '=d tan s。則（5-60 ）式為七,2(Hm2R 2R2)(5-61h,2 =dtan o,2 +Cd 2-v2 +心0,2(5-62（5-61 ）式中的Hm與R相比較是一個微小的數(shù)值，只有在高山地區(qū)當(dāng)H m甚大而高差也較大時，才有必要顧及Hhm這一項(xiàng)。例如

7、當(dāng) Hm =1000m,h"=100m時，一帶這一RR項(xiàng)對高差的影響還不到0.02m ，一般情況下，這一項(xiàng)可以略去。此外，當(dāng)0lm。如果要求高差計算正確因此，（5-62 ）式中最后一項(xiàng) 巾,22ym =300km, h =100m時，牟 這項(xiàng)對高差的影響約為 2R2到0.1m，則只有h項(xiàng)小于0.04m 時才可略去不計,R只有當(dāng)Hm, h 或ym較大時才有必要顧及。5. 對向觀測計算高差的公式般要求三角高程測量進(jìn)行對向觀測，也就是在測站A上向B點(diǎn)觀測垂直角5,2 ,而在測站B上也向A點(diǎn)觀測垂直角02,1，按（5-62 ）式有下列兩個計算高差的式子。由測站A觀測B點(diǎn)2h12 =d ta-

8、v2 +Ct,2d +4,2則測站B觀測A點(diǎn)2h2j =d tancG+i2 -W *C21d 十厶人？式中，ii、V1和i2、V2分別為A、B點(diǎn)的儀器和覘標(biāo)高度；Ci,2和C2,1為由A觀測B和B觀測A時的球氣差系數(shù)。如果觀測是在同樣情況下進(jìn)行的，特別是在同一時間作對向觀測，則可以近似地假定折光系數(shù)K值對于對向觀測是相同的，因此Ci,2 =C2,1。在上面兩個式子中，山,2與也,1的大小相等而正負(fù)號相反。從以上兩個式子可得對向觀測計算高差的基本公式（5-63）1 1 1h1,2（對向）=d tan 0, _ 2,1），2（"V1（i 2 - V2） “ h1,2式中hi,2 =（丄

9、-遲）hR 2R 1h 二dtan （:仁-S）26. 電磁波測距三角高程測量的高差計算公式由于電磁波測距儀的發(fā)展異常迅速，不但其測距精度高，而且使用十分方便，可以同時測定邊長和垂直角，提高了作業(yè)效率，因此，利用電磁波測距儀作三角高程測量已相當(dāng)普遍。根據(jù)實(shí)測試驗(yàn)表明，當(dāng)垂直角觀測精度ma - 2.0 ,邊長在2km范圍內(nèi)，電磁波測距三角高程測量完全可以替代四等水準(zhǔn)測量,如果縮短邊長或提高垂直角的測定精度，還可以進(jìn)一步提高測定高差的精度。如ma乞口,5”，邊長在3.5km范圍內(nèi)可達(dá)到四等水準(zhǔn)測量的精度；邊長在1.2km范圍內(nèi)可達(dá)到三等水準(zhǔn)測量的精度。電磁波測距三角高程測量可按斜距由下列公式計算高

10、差D22h 二 Ds in 皆卜（1 K）cos2：訓(xùn) i Z2R（5-64）式中,h為測站與鏡站之間的高差；J為垂直角；D為經(jīng)氣象改正后的斜距；K為大氣折光系數(shù)；i為經(jīng)緯儀水平軸到地面點(diǎn)的高度；Z為反光鏡瞄準(zhǔn)中心到地面點(diǎn)的高度。垂直角的觀測方法垂直角的觀測方法有中絲法和三絲法兩種。1.中絲法中絲法也稱單絲法，就是以望遠(yuǎn)鏡十字絲的水平中絲照準(zhǔn)目標(biāo)，構(gòu)成一個測回的觀測程序?yàn)椋涸诒P左位置，用水平中絲照準(zhǔn)目標(biāo)一次，如圖5-37 （ a）所示，使指標(biāo)水準(zhǔn)器氣泡精密符合，讀取垂直度讀數(shù)，得盤左讀數(shù)L。在盤右位置，按盤左時的方法進(jìn)行照準(zhǔn)和讀數(shù)，得盤右讀數(shù)R。照準(zhǔn)目標(biāo)如圖5-37（ b）所示。2.三絲法為:

11、在盤左位置，按上、中、下3條水平橫絲依次照準(zhǔn)同一目標(biāo)各一次，如圖5-38(a)所示，使指標(biāo)水準(zhǔn)器氣泡精密符合，分別進(jìn)行垂直度盤讀數(shù)，得盤左讀數(shù)L。在盤右位置，再按上、中、下3條水平橫絲依次照準(zhǔn)同一目標(biāo)各一次，如圖5-38(b)所示，使指標(biāo)水準(zhǔn)器氣泡精密符合分別進(jìn)行垂直度盤讀數(shù)，得盤右讀數(shù)R。在一個測站上觀測時，一般將觀測方向分成若干組，每組包括24個方向，分別進(jìn)行觀測，如通視條件不好，也可以分別對每個方向進(jìn)行連續(xù)照準(zhǔn)觀測。根據(jù)具體情況，在實(shí)際作業(yè)時可靈活采用上述兩種方法，如T3光學(xué)經(jīng)緯儀僅有一條水平橫絲，在觀測時只能采用中絲法。按垂直度盤讀數(shù)計算垂直角和指標(biāo)差的公式列于表5-10。表 5-10

12、儀器類型計算公式各測回互差限值垂直角指標(biāo)差垂直角指標(biāo)差J1 (T3)J2 (T2 , 010 )a=L R1 0G=-(RL) 80 2i =(L +R) 780 '1 丄0i =- (L +R) 360 210"15"10 "15 "球氣差系數(shù)C值和大氣折光系數(shù)K值的確定大氣垂直折光系數(shù)K，是隨地區(qū)、氣候、季節(jié)、地面覆蓋物和視線超出 地面高度等條件不同而變化的，要精 確測定它的數(shù)值，目前尚不可能。通 過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，K值在一天內(nèi)的變化， 大致在中午前后數(shù)值最小，也較穩(wěn)定;日出、日落時數(shù)值最大，變化也快。因而垂直角的觀測時間最好在地方時10時至16時

13、之間，此時 K值約在0.080.14之間，如圖5-39所示。不少單位對 K值進(jìn)行過大 量的計算和統(tǒng)計工作，例如某單位根據(jù)16個測區(qū)的資料統(tǒng)計，得出 K =0.107。1 -K在實(shí)際作業(yè)中，往往不是直接測定K值，而是設(shè)法確定 C值，因?yàn)镃二。而2R平均曲率半徑R對一個小測區(qū)來說是一個常數(shù)，所以確定了 C值，K值也就知道了。由于K值是小于1的數(shù)值，故C值永為正。F面介紹確定C值的兩種方法。1. 根據(jù)水準(zhǔn)測量的觀測成果確定C值在已經(jīng)由水準(zhǔn)測量測得高差的兩點(diǎn)之間觀測垂直角，設(shè)由水準(zhǔn)測量測得的高差為h,那么，根據(jù)垂直角的觀測值按（5-55 ）式計算兩點(diǎn)之間的高差，如果所取的C值正確的話，也應(yīng)該得到相同的

14、高差值，也就是2h=s0tan 込,2 +Cs0-v2在實(shí)際計算時，一般先假定一個近似值Co，代人上式可求得高差的近似值ho，即ho =s° ta n o(i,2 +CoSqv?即h -ho =(C _Co)s2或h hC -Co( 5-65)So令式中C -C ：C，則按(5-65 )式求得的值加在近似值 Co上，就可以得到正確 的C值。2. 根據(jù)同時對向觀測的垂直角計算C值設(shè)兩點(diǎn)間的正確高差為h，由同時對向觀測的成果算出的高差分別為hi,2和h2,i由于是同時對向觀測，所以可以認(rèn)為 C" =C2,1 =C。貝Uh =m,2 * lCs：h = h21由以上兩式可得Ahi

15、,2 +h2,iC -2So(5-66 )從而可以按下式求出C值C =Coc無論用哪一種方法，都不能根據(jù)一兩次測定的結(jié)果確定一個地區(qū)的平均折光系數(shù)， 而必須從大量的三角高程測量數(shù)據(jù)中推算出來，然后再取平均值才較為可靠。三角高程測量的精度1觀測高差中誤差三角高程測量的精度受垂直角觀測誤差、儀器高和覘標(biāo)高的量測誤差、大氣折光誤差和垂線偏差變化等諸多因素的影響，而大氣折光和垂線偏差的影響可能隨地區(qū)不同而有較大的變化，尤其大氣折光的影響與觀測條件密切相關(guān)，如視線超出地面的高度等。因此不可能從理論上推導(dǎo)出一個普遍適用的計算公式，而只能根據(jù)大量實(shí)測資料，進(jìn)行統(tǒng)計分析，才有可能求出一個大體上足以代表三角高程

16、測量平均精度的經(jīng)驗(yàn)公式。根據(jù)各種不同地理?xiàng)l件的約20個測區(qū)的實(shí)測資料，對不同邊長的三角高程測量的精度統(tǒng)計，得出下列經(jīng)驗(yàn)公式Mh =P s( 5-67)式中，Mh為對向觀測高差中數(shù)的中誤差；s為邊長，以km為單位；P為每公里的高差中誤差，以 m/km 為單位。根據(jù)資料的統(tǒng)計結(jié)果表明，P的數(shù)值在0.0130.022之間變化，平均值為0.018,一般取P =0.02，因此(5-67 )式為Mh 二 0.02s(5-68 )(5-68 )式可以作為三角高程測量平均精度與邊長的關(guān)系式。的差異，現(xiàn)在從最不利的觀測條件來考慮，取P =0.025作為最不利條件下的系數(shù)，即M h =0.025s（ 5-69）公

17、式（5-69 ）說明高差中誤差與邊長成正比例的關(guān)系，對短邊三角高程測量精度較高，邊長愈長精度愈低，對于平均邊長為8km時，高差中誤差為士 0.20m ;平均邊長為4.5km時，高差中誤差約為 0.11m。可見三角高程測量用短邊傳遞高程較為有利。為了控制地形測圖，要求高程控制點(diǎn)高程中誤差不超過測圖等高的1/10,對等高距為Im的測圖，則要求Mh _0.1m。（5-69 ）式是作為規(guī)定限差的基本公式。2.對向觀測高差閉合差的限差同一條觀測邊上對向觀測高差的絕對值應(yīng)相等，或者說對向觀測高差之和應(yīng)等于零，但實(shí)際上由于各種誤差的影響不等于零，而產(chǎn)生所謂對向觀測高差閉合差。對向觀測也稱往返測，所以對向觀測高差閉合差也稱為往返測高差閉合差，以W表示W(wǎng) =hi,2 亠h2,i(5-70)以mW表示閉合差 W的中誤差，以mh°表示單向觀測高差h的中誤差，則由（5-70 ）式2mW2= 2mh(5-71)取兩倍中誤差作為限差，則往返測觀測高差閉合差W限為W限=2mW 二 2. 2mh0若以Wh表示對向觀測高差中誤差，則單向觀測高差中誤差可以寫為rnihg = . 2M h顧及（5-69 ）式，則上式為再將上式代入（5-71 ）式得W限二 2、