131函數(shù)單調(diào)性

1、xy0aby=f(x)xy0aby=f(x)xy0y=f(x)abxy0aby=f(x)xy0aby=f(x)xy0aby=f(x)第一組第一組第二組第二組思考：思考：第一組和第二組圖象的變化趨勢有何不同？第一組和第二組圖象的變化趨勢有何不同？1、在區(qū)間、在區(qū)間 _ 上，上，f(x)的值隨著的值隨著x的增大而的增大而 _2、 在區(qū)間在區(qū)間 _ 上，上，f(x)的值隨的值隨著著x的增大而的增大而 _函數(shù)在最小值函數(shù)在最小值 f(x) = x2(-,0(0,+)增大增大減小減小x-4-3-2-101234f(x)=x2169410149160增函數(shù)，減函數(shù)的定義：增函數(shù)，減函數(shù)的定義：一般地，設(shè)函

2、數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)f(x)的定義域為的定義域為I I：如果對于定義域如果對于定義域I I內(nèi)某個區(qū)間內(nèi)某個區(qū)間D D上的任意兩個自變量的值上的任意兩個自變量的值x x1 1,x,x2 2, ,當當x x1 1 x x2 2時，都有時，都有f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2), ), 就說就說f(xf(x) )在這個區(qū)間在這個區(qū)間D D上是上是增函數(shù)增函數(shù)。如果函數(shù)如果函數(shù)y=f(x)y=f(x)在某個區(qū)間在某個區(qū)間D D是是增函數(shù)增函數(shù)或或減函數(shù)減函數(shù)，那么就說，那么就說y=f(xy=f(x) )在這個區(qū)間具有（嚴格的）在這個區(qū)間具有（嚴格的）單調(diào)性單調(diào)性，這一區(qū)間，這一區(qū)間D D叫

3、做叫做y=f(x)y=f(x)的的單調(diào)區(qū)間單調(diào)區(qū)間。O(2)xy)(1xf)(2xf)(xfy 1x2xO(1)xy)(1xf)(2xf)(xfy 1x2x當當x x1 1 x x2 2時，時，都有都有f(xf(x1 1) )f(xf(x2 2), ), 就說就說f(x)f(x)在這個區(qū)間上是在這個區(qū)間上是減函數(shù)減函數(shù)。關(guān)鍵詞？關(guān)鍵詞？一般地，設(shè)函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)f(x)的定義域為的定義域為I I：如果對于如果對于定義域定義域I I內(nèi)某個內(nèi)某個區(qū)間區(qū)間D D上的上的任意任意兩個自變量的值兩個自變量的值x x1 1,x,x2 2, ,當當x x1 1 x x2 2時，時，都有都有f(xf

4、(x1 1)f(x)f(x2 2), ), 就說就說f(xf(x) )在這個區(qū)間在這個區(qū)間D D上是上是增函數(shù)增函數(shù)。ID 一般地，設(shè)函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)f(x)的定義域為的定義域為I I：如果對于如果對于定義域定義域I I內(nèi)某個內(nèi)某個區(qū)間區(qū)間D D上的上的任意任意兩個自變量的值兩個自變量的值x x1 1,x,x2 2, ,當當x x1 1 x x2 2時，時，都有都有f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2), ), 就說就說f(xf(x) )在這個區(qū)間在這個區(qū)間D D上是上是增函數(shù)增函數(shù)。當當x1 x2時，時，都有都有f(x1)f(x2), 就說就說f(x)在這個區(qū)間上是在這個區(qū)間上

5、是減函數(shù)減函數(shù)。ID （1 1）函數(shù)的單調(diào)性是對定義域內(nèi)的某個區(qū)間而言。函數(shù)的單調(diào)性是對定義域內(nèi)的某個區(qū)間而言。這個區(qū)間可以是整個定義域；如這個區(qū)間可以是整個定義域；如y y2x2x這個區(qū)間也可以是定義域的真子集；這個區(qū)間也可以是定義域的真子集；y yx x2 2有的函數(shù)不具備單調(diào)性。如有的函數(shù)不具備單調(diào)性。如 y y5,5, (2) 、對于區(qū)間對于區(qū)間D內(nèi)的內(nèi)的x1，x2有三個特征：一是有三個特征：一是任任意性意性；二是；二是大小大小，通常規(guī)定，通常規(guī)定x1x2，三是同屬于，三是同屬于一一個單調(diào)區(qū)間個單調(diào)區(qū)間。三者缺一不可。三者缺一不可。 例例1 1：下圖是定義在區(qū)間：下圖是定義在區(qū)間5,5

6、5,5上的函數(shù)上的函數(shù)y=f(x)y=f(x)的圖的圖象，根據(jù)圖象說出函數(shù)象，根據(jù)圖象說出函數(shù)y=f(xy=f(x) )的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上區(qū)間上, ,它是增函數(shù)還是減函數(shù)它是增函數(shù)還是減函數(shù)? ?解解:單調(diào)區(qū)間有單調(diào)區(qū)間有-5，-2)， -2,1)， 1,3） 3,5是增函數(shù)的區(qū)間有：是增函數(shù)的區(qū)間有：-2,1)，3,5其中其中, ,是減函數(shù)的區(qū)間有：是減函數(shù)的區(qū)間有： -5-5，-2)-2)，1,31,3）12343-15-1-2-3-2-3-4-521)(xfy xy想一想一想想（1 1）能說函數(shù)）能說函數(shù)f(xf(x) )在集合在集合x|-5x-2

7、,x|-5x-2,或或1x31x3上是減函數(shù)嗎上是減函數(shù)嗎? ?（2 2）能說函數(shù)的減區(qū)間是：）能說函數(shù)的減區(qū)間是：（3 3）能說函數(shù)的減區(qū)間是：）能說函數(shù)的減區(qū)間是：312, 5，和312, 5，問題：問題：畫出下列函數(shù)大致圖象并說出它們的單調(diào)區(qū)間畫出下列函數(shù)大致圖象并說出它們的單調(diào)區(qū)間 xyxyxyxyxyxy1615324323121122能否根據(jù)以上能否根據(jù)以上6個函數(shù)的單調(diào)性的解決推出一個函數(shù)的單調(diào)性的解決推出一次、二次、反比例函數(shù)單調(diào)性情況？次、二次、反比例函數(shù)單調(diào)性情況？想一想想一想小結(jié)：小結(jié)：練習：練習：P39P39、A A組組1 1、B B組組1 1OOOxxxyyyOOOx

8、yxxyy在（在（-，+）是增函數(shù)是增函數(shù)在（在（-，+）是）是減函數(shù)減函數(shù)在（在（-，0）,（0，+）是減）是減函數(shù)函數(shù)在（在（-，0）,（0，+）是增）是增函數(shù)函數(shù)是減函數(shù)在ab2,是增函數(shù)在,2ab是增函數(shù)在ab2,是減函數(shù)在,2ab證明單調(diào)性的步驟證明單調(diào)性的步驟定義法證明單定義法證明單調(diào)性的步驟：調(diào)性的步驟：(2)(2)將這兩個實數(shù)的函將這兩個實數(shù)的函數(shù)值作數(shù)值作差差，變形后判，變形后判斷差的符號斷差的符號. .(3)(3)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義定義, ,肯定命題成立肯定命題成立. .(1)(1)在所給區(qū)間上任設(shè)在所給區(qū)間上任設(shè)兩個實數(shù)兩個實數(shù), ,且規(guī)定它們且規(guī)定它們

9、的大小的大小. . 例例2.物理學(xué)中的玻意耳定律物理學(xué)中的玻意耳定律 ( 為為正常數(shù)正常數(shù))告訴我們告訴我們,對于一定量的氣體對于一定量的氣體,當其體當其體積積V減小時減小時,壓強將增大壓強將增大.試用函數(shù)的單調(diào)性試用函數(shù)的單調(diào)性證明之證明之.Vkp k)()(0)()(0, 0, 0), 0(,)()(21211221212121122121VpVpVpVpkVVVVVVVVVVVVkVkVkVPVp即又得由得由 分析分析:依題意依題意,需證函數(shù)在其定義域需證函數(shù)在其定義域(0,+)上是減函數(shù)上是減函數(shù). .證明證明: :設(shè)設(shè)V V1 1,V,V2 2(0,+),且且V1V2,則則.,.),

10、 0(,)(將增大壓強減小時當體積故是減函數(shù)函數(shù)所以pVVVkxp，說說清楚說說清楚? ?1.證明證明: 在在R上是單調(diào)遞增的上是單調(diào)遞增的.0,)(abaxxf是單調(diào)遞增的在即有設(shè)任取證明RabaxxfxfxfxfxfxxxxabaxbaxxfxfxR，xx：)0()()()(, 0)()()()()()()(,x2121212121212121步驟步驟:1 任取任取x1，x2D，設(shè)，設(shè)x1x2； 2 作差作差f(x1)f(x2)； 3 變形（通常是因式分解和配方）；變形（通常是因式分解和配方）； 4 定號（即判斷差定號（即判斷差f(x1)f(x2)的正負）；的正負）； 5 下結(jié)論下結(jié)論(即

11、指出函數(shù)即指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間在給定的區(qū)間D上的單上的單調(diào)性調(diào)性).例例2 2：畫出反比例函數(shù)畫出反比例函數(shù) 的圖象的圖象1 1 這個函數(shù)的定義域是什么？這個函數(shù)的定義域是什么？2 2 討論它的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論討論它的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論 xxf1)(思考思考：(1)請證明請證明 上是減函數(shù)。上是減函數(shù)。，xxf01)(在區(qū)間(2)能否說能否說 在定義域上是單調(diào)減函數(shù)？在定義域上是單調(diào)減函數(shù)？(3)能否說能否說 在的單調(diào)減區(qū)間在的單調(diào)減區(qū)間是是: ？xxf1)(0, 00 ,xx或xxf1)(NoNoNoNo4.已知函數(shù)已知函數(shù) ,求函數(shù)的最大最小值求函數(shù)的最大最小值.6 ,

12、2,12)(xxxF3.證明證明 的單調(diào)性的單調(diào)性1 xy2.證明函數(shù)證明函數(shù) 在在 上是單調(diào)遞上是單調(diào)遞增的增的,在在 上是單調(diào)遞減的上是單調(diào)遞減的.), , 1, 32)(2xxxg 1,(解解:52)6()(2)2()(6 , 2)()()(0, 01, 01,6 , 2,) 1)(1()(21212)()(,6 , 2,minmax2112212121211221212121FxFFxFxFxFxFxxxxxxxxxxxxxxxFxFxxxx上單調(diào)遞減在且任取5.已知已知 是單調(diào)遞增的是單調(diào)遞增的,則則 b的取值范圍是的取值范圍是 .)-1,32在bxxy), 2422 ,(4 ,()

13、,22 ,(23bbbb，bbxy上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減在7.已知已知 上為減函數(shù)上為減函數(shù),求實數(shù)求實數(shù)b的的取值范圍是取值范圍是. ,4(-23在bxy), 1 3,()2,6.函數(shù)函數(shù) 上單調(diào)上單調(diào),則實數(shù)則實數(shù)a的的取值范圍是取值范圍是 -1,3822在axxy解解:8. 上為減函數(shù)上為減函數(shù),則則b的取值范的取值范圍是圍是2,(1在bxy10.判斷函數(shù)判斷函數(shù) 上的單調(diào)性上的單調(diào)性,并并求求 上的最值上的最值.1 ,0(2)(在xxxf1 ,0()(在xf2,(4.aA4,(.aB)23,4(.aC4.aD9. 上是減函數(shù)上是減函數(shù),則則( )4,(32在axxyB1 ,0()(在x

14、f上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增,有最大值有最大值-1,沒有最小值沒有最小值.作業(yè)作業(yè) : p39 A組組 2(1),(2) p44 復(fù)習參考題復(fù)習參考題 A組組 9證明：證明：設(shè)設(shè)x1,x2是是上任意兩個實數(shù)，上任意兩個實數(shù)，且且x10,又由又由x10所以所以f(x1)- f(x2)0, 即即f(x1) f(x2) , 0因此因此 f(x)=1/x 在在(0，+)上是減上是減函數(shù)。函數(shù)。取值定號變形作差判斷四、歸納小結(jié)四、歸納小結(jié) 函數(shù)的單調(diào)性一般是先根據(jù)圖象判斷根據(jù)圖象判斷，再利再利用定義證明用定義證明畫函數(shù)圖象通常借助計算機，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時必須要注意函數(shù)的定義域，單調(diào)性的證明一般分五步： 取取

15、 值值 作作 差差 變變 形形 定定 號號 下結(jié)論下結(jié)論 1、法二：作商的方法由x10)yxoy=kx+b (k0)討論一般性討論一般性問題：1、當、當k變化時函數(shù)的單調(diào)性有何變化？變化時函數(shù)的單調(diào)性有何變化？2、當、當b變化時函數(shù)的單調(diào)性有何變化？變化時函數(shù)的單調(diào)性有何變化？定義法證明單定義法證明單調(diào)性的步驟：調(diào)性的步驟：(2)(2)將這兩個實數(shù)的函將這兩個實數(shù)的函數(shù)值作數(shù)值作差差，變形后判，變形后判斷差的符號斷差的符號. .(3)(3)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義定義, ,肯定命題成立肯定命題成立. .(1)(1)在所給區(qū)間上任設(shè)在所給區(qū)間上任設(shè)兩個實數(shù)兩個實數(shù), ,且規(guī)定它們且規(guī)定它們的大小的大小. . 例例2.物理學(xué)中的玻意耳定律物理學(xué)中的玻意耳定律 ( 為為正常數(shù)正常數(shù))告訴我們告訴我們,對于一定量的氣體對于一定量的氣體,當其體當其體積積V減小時減小時,壓強將增大壓強將增大.試用函數(shù)的單調(diào)性試用函數(shù)的單調(diào)性證明之證明之.Vkp k)()(0)()(0, 0, 0), 0(,)()(21211221212121122121VpVpVpVpkVVVVVVVVVVVVkVkVkVPVp即又得由得由 分析分析:依題意依題意,需證函數(shù)在其定義域需證函數(shù)在其定義域(0,+)上是減函數(shù)上是減函數(shù). .證明證明: :設(shè)設(shè)V V1 1,V,V2 2(0,+),且且V1