雙曲線綜合復(fù)習(xí)

1、雙曲線綜合1基礎(chǔ)知識(shí)梳理1.雙曲線的第一定義:PFi| |PF2 =2a“FiF2方程為雙曲線PF 計(jì)'PF2 =2a - F1F 2 無(wú)軌跡PF1 _PF2 =2F 1F 2以F1,F 2的一個(gè)端點(diǎn)的一條射線2雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程：12 ai.焦點(diǎn)在x軸上：2與=1(a, b -0),b22 2每 A=1(a，bA0) 般方程:a b2 2Ax Cy 二 1(AC 0).頂點(diǎn)：（a,0）,（-a,0）焦點(diǎn):(c,O),(_gO)2準(zhǔn)線方程漸近線方程:cii.焦點(diǎn)在y軸上：頂點(diǎn):(0, v),(O,a).焦點(diǎn)：（O,c）,（O,y）.準(zhǔn)線方程:2 2丄=0或aba2 b22y二電.漸近線方程

2、：ca-V0 或2 y -2 a2-x- =0，參數(shù)方程:b2x =asec日亠 或“y =btan Qx = bta n 日 y =asec 日軸x, y為對(duì)稱軸，實(shí)軸長(zhǎng)為 2a,虛軸長(zhǎng)為2b,焦距2c.離心率e =£a. 參數(shù)關(guān)系 c2=a2，b2,e=Caa的左、右焦點(diǎn)或分別為雙曲線的上下焦點(diǎn)） “長(zhǎng)加短減”原則：通徑焦點(diǎn)半徑公式:對(duì)于雙曲線方程2a 2準(zhǔn)線距邑c2 2篤-每=1（ F1，F(xiàn) 2分別為雙曲線a b（兩準(zhǔn)線的距離）；MF 1 二ex0 aMF2-構(gòu)成滿足 MF1-MF2 =2a二ex。-aM F1 = -ex° aM F 2 二-ex° a（與

3、橢圓焦半徑不同，橢圓焦半徑要帶符號(hào)計(jì)算,雙曲線不帶符號(hào)）MF 1 =ey° -aMF 2 =eyo aM F1 - -ey0 aFM F 2 二 ey0 _,a等軸雙曲線：雙曲線2x -y2 = 'a2稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為y ='x，離心率e = £2 .共軛雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實(shí)軸，實(shí)軸為虛軸的雙曲線，叫做已知雙曲線的共軛雙曲線2x_a2 2與 篤一與二一，互為共軛雙曲線，它們具有共同的漸近線: a b2 X2 a共漸近線的雙曲線系方程:2止=0 b22x2 _a時(shí)，它的雙曲線方程可設(shè)為例如：若雙曲線一條漸近線為2 2務(wù)一氣=，（ =0）

4、的漸近線方程為 a b2 2a b11y = x且過(guò)p（3,），求雙曲線的方程?222與=0如果雙曲線的漸近線為b22122解：令雙曲線的方程為：='（ 0），代入（3,-）得y428直線與雙曲線的位置關(guān)系：區(qū)域：無(wú)切線，2條與漸近線平行的直線，合計(jì)2條；區(qū)域：即定點(diǎn)在雙曲線上，1條切線，2條與漸近線平行的直線，合計(jì)8 2 _1333 條;區(qū)域：2條切線，2條與漸近線平行的直線，合計(jì) 4條；區(qū)域：即定點(diǎn)在漸近線上且非原點(diǎn)，1條切線，1條與漸近線平行的直線，合計(jì) 2條;區(qū)域：即過(guò)原點(diǎn)，無(wú)切線，無(wú)與漸近線平行的直線小結(jié)：過(guò)定點(diǎn)作直線與雙曲線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，可以作出的直線數(shù)目可能有(2)若

5、直線與雙曲線一支有交點(diǎn)，交點(diǎn)為二個(gè)時(shí)，求確定直線的斜率可用代入 與兩根之積同號(hào)2 2若P在雙曲線 二_丫 1，則常用結(jié)論1: P到焦點(diǎn)的距離為b20、2、3、4 條.“厶”法與漸近線求交和兩根之和簡(jiǎn)證：d1d2' a2PF1_e_pF7'P到兩準(zhǔn)線的距離比為m : n.e(1) 從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)到另一條漸近線的距離等于(2) 焦點(diǎn)三角形面積2雙曲線的內(nèi)外部常用結(jié)論:b.點(diǎn)P(xo, yo)在雙曲線點(diǎn)P(xo, yo)在雙曲線2 2仔-爲(wèi)=1(a 0,b 0)的內(nèi)部二 a b2 2仔-與=1(a 0,b 0)的外部二a b2a2b2222. 2ab2Xo3雙曲線的切線方程2X(1

6、)雙曲線篤-a2 y_ b22= 1(a0,b0)上一點(diǎn)P(xo,yo)處的切線方程是(2)過(guò)雙曲線Xa2與=1但0,b 0)外一點(diǎn)P(xo,yo)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是b(3)雙曲線2 x2 a2嶺=1(a0,b 0)與直線Ax By0相切的條件是 A2a2 - B2b2二c2 b典型題剖析、選擇題2f 1 f< i rfl)= 乜+込LuA.I 24I)B.l 2 4_丿已知直線與曲線有公共點(diǎn)，則:的取值范圍是r 1 P<1 )(1 、u* + 00C.L 24,1茁丿D.I 2丿2、已知為雙曲線C：-二 1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)'在"上，/二二=一，則'

7、;到軸的距離為3、已知點(diǎn)A ( 3, 1)是直線2-715C.D. 11I被雙曲線-_所截得的弦的中點(diǎn)，則直線I的方程是(.9x+4j-31 = 04、已知雙曲線(a>0 , b>0)的離心率 e=2,過(guò)雙曲線上一點(diǎn) M作直線MA,MB交雙曲線于 A, B兩點(diǎn)，且斜率分別為ki, k2 若直線AB過(guò)原點(diǎn)，貝U ki k2的值為7T亍25、雙曲線一廣-y =1的虛軸端點(diǎn)與一個(gè)焦點(diǎn)連線的中點(diǎn)恰在雙曲線的一條準(zhǔn)線上,PQ是雙曲線的一條垂直于實(shí)軸的弦,0為坐標(biāo)原點(diǎn)，則:.等于A.0B.-1C.1D.與 PQ的位置及a的值有關(guān) 2_y_6、如圖2所示，F(xiàn)為雙曲線C:=1的左焦點(diǎn)，雙曲線 C上

8、的點(diǎn)P與P7-i(i=1,2,3)關(guān)于y軸對(duì)稱，則|P1F|+|P 2F|+|P 3F|-|P 4F|-|P 5F|-|P 6F| 的值是A.9B.16C.18D.277、已知Fi、F2是兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn) P是以Fi和F2為公共焦點(diǎn)的橢圓和雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)，并且PFi丄PFz, ei和e?分別是上述橢圓和雙曲線的離心率，則有2 2 .C.e 1 +e? =42 2D.e 1 +e2 =2、填空題2|8、已知Fi, F2分別是雙曲線 C：二.y '(a, b>0)的左右焦點(diǎn)，B是虛軸的端點(diǎn)，直線FiB與C的兩條漸近線分別交于P, Q兩點(diǎn)，線段 PQ的垂直平分線與 x軸交于點(diǎn) M若| M

9、F|F1F2I，貝U C的離心率是 9、已知點(diǎn)(a> 0, b> 0)右支上一點(diǎn),Fi，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn),HPFE的內(nèi)心,若$h田F廣久聴工十F鷗成立，則入的值為2 2£_2L = 1io、2009遼寧卷理)以知 F是雙曲線丄 1：的左焦點(diǎn)， 処 4),P 是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn),小值為ii、如圖，雙曲線才伊lgg的兩頂點(diǎn)為Ai,如虛軸兩端點(diǎn)為"1 ' j ,，兩焦點(diǎn)為Fi, F2。若以AA2為直徑的圓內(nèi)切于菱形FiBiF2B2,切點(diǎn)分別為 A, B, C, D。則(I)雙曲線的離心率e=12、已知對(duì)任意平面向量上也=(x,y ),把上也繞其起

10、點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角得到向量一-''il'- ' V ，叫做把點(diǎn)b繞點(diǎn)a逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)：；角得到點(diǎn)P.設(shè)平面內(nèi)曲線C上的I22每一點(diǎn)繞原點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)2后得到點(diǎn)的軌跡是曲線葢-y =2，則原來(lái)曲線c的方程是_13、如圖,牙=1(q 0n 0,耶工0)上的動(dòng)點(diǎn),Fi、F2是雙曲線的焦點(diǎn),上一點(diǎn)，且 ；°-某同學(xué)用以下方法研究|OM| :延長(zhǎng)F2M交PFi于點(diǎn)N,可知一為等腰三角形，且 M為F2M的中點(diǎn)，得碼戶二砂 7©PF類似地：P是橢圓：上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)i、F2是橢圓的焦點(diǎn)，M是的平分線上一點(diǎn),且；'-.則|OM|的取值范圍是 三、簡(jiǎn)

11、答題14、已知雙曲線C： -y2 =1 n廠4/，尸為雙曲線。上的任意一點(diǎn)。(1)寫岀雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程(2)求證：點(diǎn)到雙曲線的兩條漸近線的距離的乘積是一個(gè)常數(shù)15、已知直線'J二:：'卜與雙曲線的左支交于點(diǎn) A右支交于點(diǎn)Bo（1）求斜率打的取值范圍；（2 ）若 KAOB 的面積為（0為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線i的方程.16、已知直線二丄'一丨與雙曲線丨的左支交于兩點(diǎn)，若另一條直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)廠（-2, 0）及線段貝r 的中點(diǎn)丁，求直線在軸上的截距，及：的取值范圍。參考答案a一、選擇題 1、B 2、B 3、A4、B5、【答案】答案：C解析：由題意知2 c =c得c2=2a

12、2,又c2=a2+b2=a2+1, a2=1.雙曲線為x2-y 2=1.設(shè) P(xo,yo),則 Q(xo,-yo).故上 =(xo,yo), '=(xo,-yo),上 I =xo2-yo2=1.6、【答案】C 取雙曲線右焦點(diǎn)記為 F2,P.P、0*1/ P3與 P4 關(guān)于 y 軸對(duì)稱，.IPaFFIP 3F2I. .IPsFI-IP 4F|=|P 3F|-|P 3F2|=2a=6.同理,|P 2F|-|P 5F|=|P iF|-|P 6F|=6. |PiF|+|P 2F|+|P 3F|-|P 4F|-|P 5F|-|P 6F|=18.7、【答案】B設(shè)橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 2ai,雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)

13、為 2a2,焦距均為2c,|碑| + |閲卜如I 廠 -'-： - _- |PF2|=a i+a2,|PF i|=a i-a2. / PFi與 PF2垂直, |PF i| 2+|PF2| 2=|F 1F2I1 1 (a i+a2)2+(a i-a 2) 2=4c2, 2ai2+2a22=4c2. "+ ：'=2.、填空題8【解析】設(shè) RPF1F2內(nèi)切圓的半徑，：跖二血逗*朮亠*，且故| PF|=| PF2|+ 入 | F1F2I,即 | PFi| - | PF2|=入 | F1F2I,| PF、| -| PFI _ 2a _ aI耳瑪丨二忘二苕評(píng)10、【解析】注意到

14、P點(diǎn)在雙曲線的兩只之間，且雙曲線右焦點(diǎn)為 F' (4,0),于是由雙曲線性質(zhì) |PF| - |PF ' | = 2a = 4 而 |PA| + |PF' | > |AF ' | = 5兩式相加得|PF| + |PA| > 9,當(dāng)且僅當(dāng)A、P、F'三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立.【答案】9三、簡(jiǎn)答題. -=1-1 和二一II.14、（ 1）雙曲線的兩焦點(diǎn) 場(chǎng)（-怎0）0（反0） ，兩條漸近線方程分別是1礦2風(fēng)|眄+ 2必|（2 ）設(shè) P（Si） 是雙曲線上任意一點(diǎn)，該點(diǎn) P（兀yj到兩條漸近線的距離分別是和餡血2升|它們的乘積是<數(shù). + 271|_|-42|_411. 點(diǎn)丄到雙曲線的兩條漸線的距離的乘積是一個(gè)常15、解:（1）設(shè)-1-谿工0A = 36疋 +24(l-3ta)>0=>-y由題意輒二= 其1x2可(2 ) 坷+碼二T121 -詔-6kxg? =E13 1-3P- axbc2 1-対-3kE = 0則直線/的方程為y=116、解：設(shè) A(xi, yi), B(x2, y2).jFy = kx-由-y2 = 1 ,得(1 k2) x2+2kx 2=0,又直線AB與雙曲