同濟(jì)大學(xué)微積分第三版第二章第二節(jié)ppt課件

1、第二節(jié)第二節(jié) 求導(dǎo)法則求導(dǎo)法則本節(jié)要點(diǎn)本節(jié)要點(diǎn) 本節(jié)從函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義出發(fā)本節(jié)從函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義出發(fā), 討論各類函數(shù)的求導(dǎo)方討論各類函數(shù)的求導(dǎo)方一、函數(shù)的四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則一、函數(shù)的四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則法法, 主要內(nèi)容有主要內(nèi)容有:( )( )( ).fxu xv x一、函數(shù)的線性組合、積、商的求導(dǎo)法則一、函數(shù)的線性組合、積、商的求導(dǎo)法則 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處可導(dǎo)處可導(dǎo), 考慮這兩個(gè)函數(shù)的考慮這兩個(gè)函數(shù)的 ,u xv xx1.設(shè)設(shè) , 那么那么 可導(dǎo)可導(dǎo), 且有且有 f xu xv x f xx線性組合、積、商

2、在點(diǎn)線性組合、積、商在點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù).( )( ) ( )( )( ).fxu x v xu x v x事實(shí)上事實(shí)上, 0()( )( )limxf xxf xf xx 2.設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) , 那么那么 可導(dǎo)可導(dǎo), 且有且有 f xu xv x f x0() ()( ) ( )limxu xx v xxu x v xx 0() ()( ) ()limxu xx v xxu x v xxx 0()( )lim()xu xxu xv xxx ( ) ( )( ) ( ).u x v xu x v x( ) ()( ) ( )u x v xxu x v xx ()( ) ( )v xxv xu

3、xx2( ) ( )( ) ( )( ).( )u x v xu x v xfxvx3.設(shè)設(shè) , 那么那么 可導(dǎo)可導(dǎo), 且且( )( )( )0( )u xf xv xv x f x解解 例例1 求求 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù).2xyx222xxxyxxx 12 ln22.2xxxx解解 2coscossinsinsincoscosxxxxxyxx 例例2 求求 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù).tanyx221sec.cosxx同理有同理有2cotcsc.xx二、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)yI 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 內(nèi)單調(diào)、連續(xù)內(nèi)單調(diào)、連續(xù), 則其反函則其反函( )xy內(nèi)單調(diào)內(nèi)單調(diào), 連續(xù)連續(xù): 若設(shè)若設(shè) 在區(qū)間在

4、區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), 且且 ( )xyyI 今來討論今來討論 的可導(dǎo)性的可導(dǎo)性.( )0,y yf x 給給 以增量以增量 由由 的單的單( )yf xx0,xxxxI ( )yf x yIx xyyI數(shù)數(shù) 在對(duì)應(yīng)的區(qū)間在對(duì)應(yīng)的區(qū)間調(diào)性知調(diào)性知 ()( )0,yf xxf x 變形得到變形得到1,yxxy又由函數(shù)的連續(xù)性又由函數(shù)的連續(xù)性, 當(dāng)當(dāng) 時(shí)必有時(shí)必有 從而有從而有0 x 0,y 0011limlim.( )xyyxxyy 由此說明了函數(shù)由此說明了函數(shù) 在在 處可導(dǎo)處可導(dǎo), 且有且有( )yf xx1( ).( )fxy簡(jiǎn)單地說簡(jiǎn)單地說, 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

5、等于直接函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的倒數(shù).例例3 求反正弦函數(shù)求反正弦函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù).arcsinyx解解 是是 的反函數(shù)的反函數(shù).arcsin11yxx sinxysincos0,yy1arcsin,cosyxy 注意到在區(qū)間注意到在區(qū)間 內(nèi)內(nèi), 從而有從而有 ,2 2yI 2cos1,yx所以所以. 在區(qū)間在區(qū)間 內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)可導(dǎo)內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)可導(dǎo), 且有且有arcsinyx1,1sinxy ,2 2yI 而而 在區(qū)間在區(qū)間 內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo), 并且并且 21arcsin.1xx例例4 求反正切函數(shù)求反正切函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù).arctanyx解解 函數(shù)函數(shù) 是是 在在arctanyxx tanxy ,2 2

6、yI 區(qū)間內(nèi)的反函數(shù)區(qū)間內(nèi)的反函數(shù), 在區(qū)間內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo), 且且2tansec0,yy所以所以 在在 內(nèi)每一點(diǎn)可導(dǎo)內(nèi)每一點(diǎn)可導(dǎo), 且有且有:arctan (,)yx 211arctan.sectanyxyy有有注意到：注意到： 從而有從而有222sec1tan1,yyx 21arctan.1xx同理可得其它幾個(gè)反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式同理可得其它幾個(gè)反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式:2211arccos, arccot.11xxxx 例例5 求對(duì)數(shù)函數(shù)求對(duì)數(shù)函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù).log0,1ayx aa解解 是是 的反的反log0ayxx yx ay ln0,yyaaa注意到注意到, 從而有從

7、而有,yax1log,lnaxxa特別地特別地, 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 有有ea 1ln.xx函數(shù)函數(shù), 且直接函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且直接函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo), 且且三、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)三、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 在眾多的函數(shù)中在眾多的函數(shù)中, 我們遇見的更多的是復(fù)合函數(shù)我們遇見的更多的是復(fù)合函數(shù). 例例sin22 sin cosxxx2 cos cossin sin2cos2 .xxxxxsin2yx如函數(shù)如函數(shù) , 這是一個(gè)極為簡(jiǎn)單的函數(shù)這是一個(gè)極為簡(jiǎn)單的函數(shù), 但我們但我們要求它的導(dǎo)數(shù)就沒那么簡(jiǎn)單要求它的導(dǎo)數(shù)就沒那么簡(jiǎn)單. 事實(shí)上事實(shí)上, 由導(dǎo)數(shù)的乘積公由導(dǎo)數(shù)的乘積公式式, 得得 對(duì)一個(gè)如此簡(jiǎn)單的

8、函數(shù)對(duì)一個(gè)如此簡(jiǎn)單的函數(shù), 求其導(dǎo)數(shù)都那么困難求其導(dǎo)數(shù)都那么困難, 這就這就提示我們有必要討論復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則提示我們有必要討論復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則. 利用相應(yīng)的利用相應(yīng)的法則來簡(jiǎn)化某些復(fù)雜函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算法則來簡(jiǎn)化某些復(fù)雜函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 如果函數(shù)如果函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 可導(dǎo)可導(dǎo),( )ux0 x000d().dx xyfuxx證證 設(shè)自變量設(shè)自變量 在在 處有增量處有增量 , 則函數(shù)則函數(shù)x0 xx( )ux( )yf u00()ux而函數(shù)而函數(shù) 在在 處可導(dǎo)處可導(dǎo), 則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù) ( )yfx0 x在在 處可導(dǎo)處可導(dǎo), 并且有關(guān)系并且有關(guān)系00(),ux

9、xx 有增量有增量 相應(yīng)地相應(yīng)地, 函數(shù)函數(shù)( )yf x有增量有增量 00,yf uuf u 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 有有0u ,yyuxux由函數(shù)由函數(shù) 的可導(dǎo)性的可導(dǎo)性, 得函數(shù)在得函數(shù)在 是連續(xù)的是連續(xù)的, 因因( )ux0 x000limlim(),xuyyf uuu 又又00lim(),xuxx 0 x 0,u 此當(dāng)此當(dāng) 時(shí)時(shí), 有有 由此得由此得由此得到由此得到:00000dlimlim().dxxx xyyyuf uxxxux 注注 此定理的證明是在條件此定理的證明是在條件 下取得的下取得的, 而當(dāng)增而當(dāng)增0u 量為零時(shí)這是可能出現(xiàn)的）量為零時(shí)這是可能出現(xiàn)的）, 上式不成立上式不成立.

10、關(guān)于該公關(guān)于該公式的進(jìn)一步證明式的進(jìn)一步證明, 有興趣的讀者可以繼續(xù)查看有興趣的讀者可以繼續(xù)查看（單擊此處）（單擊此處）此公式可以作進(jìn)一步的推廣此公式可以作進(jìn)一步的推廣: 假設(shè)假設(shè)( ),( ),( ),yf u uv vx均為可導(dǎo)函數(shù)均為可導(dǎo)函數(shù), 則相應(yīng)的復(fù)合函數(shù)則相應(yīng)的復(fù)合函數(shù) yfx dddd.ddddyyuvxuvx的導(dǎo)數(shù)為的導(dǎo)數(shù)為例例6 求函數(shù)求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù).lncosyx解解 可以看成由可以看成由 復(fù)合復(fù)合lncosyxln ,cosyu uxddd1sintan .dddyyuxxxuxu 而成而成, 故此由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式故此由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式, 得得例例7 求函數(shù)

11、求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù).arsinhyx解解 由由 得得2arsinhln1,yxxx222221211211.111xxxxyxxxxx 例例8 求函數(shù)求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù).21cos2xy解解 2211coscos221112cosln2sin 22ln2.xxyxxx 例例9 求求 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù): ( )v xyu x解解 由由 則由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)則由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo) ln( )e,v xv xu xyu x( )ln ( )( )ln ( )ee( )ln ( )v xu xv xu xyv xu x( )ln ( )1e( )ln ( )( )( )( )v xu xv xu xv xu xu x( )1( )( )ln ( )( )( ) .( )v xu xv xu xv xu xu x公式公式, 得得例例10 求函數(shù)求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù).xyx解解 lne,xxxyxlne1ln1ln.xxxyxxx 例例11 求函數(shù)求函數(shù)2cossinxxyxx解解 2lncos lnsinee,xxxxy 22 lnxyxxxx的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù).所以所以cossincotcossin lnsin.xxxxx 上例中的求導(dǎo)方法又稱為對(duì)數(shù)求導(dǎo)法上例中的求導(dǎo)方法又稱為對(duì)數(shù)求導(dǎo)法. 除了應(yīng)用于冪除了應(yīng)用于冪指函數(shù)外指函數(shù)外, 此方法還經(jīng)常應(yīng)用于多個(gè)函數(shù)連乘的情況此方法還經(jīng)