概率論及答案

1、一、習題詳解1.1 寫出下列隨機試驗的樣本空間，并表示下列事件的樣本點集合：(1) 10件產(chǎn)品中有一件是不合格，從中任取2件得1件不合格品。(2)一個口袋中有2個白球、3個黑球、4個紅球，從中任取一球，（i）得白球；（ii)得紅球。分析：該題考查了樣本空間和樣本點的基本定義.詳解：（1）依題意可知，記9個合格品分別為：記“不合格”為,則共有個樣本點，其中任取兩件得一不合格品的樣本點集為：(2) 記2個白球分別為：，3個黑球分別為：，4個紅球分別為：，則，所以（i)=,(ii)=.1.2 設A,B,C為三件事，用A,B,C及其運算關系表示下列事件：（1）A發(fā)生而B與C不發(fā)生；（2）A,B,C中恰

2、好發(fā)生一個；（3）A,B,C中至少有一個發(fā)生；（4）A,B,C中至少有兩個發(fā)生；（5）A,B,C中至少有兩個發(fā)生；（6）A,B,C中有不多于一個事件發(fā)生。分析：本題考查了事件間的關系與運算，可以利用韋恩圖進行輔助做出相關的運算。詳解：（1）“與不發(fā)生”意味著均發(fā)生，即有：；(2) “中恰好發(fā)生一個”，但未指定哪個發(fā)生，于是可以是恰好發(fā)生或恰好發(fā)生或恰好發(fā)生，即：；(3)由和事件的含義知，事件即表示“中至少有一個發(fā)生”，即；(4)“恰好有兩個發(fā)生”，但未指定哪兩個發(fā)生，于是可以是恰好有或或,即；(5)“中至少有兩個發(fā)生”，即： 或；(6)“中有不多于一個事件發(fā)生”表示都不發(fā)生或恰有一個發(fā)生，即：

3、 或 ；1.9在分別寫有2、4、6、7、8、11、12、13的八張卡片中人去兩張，把卡片上的兩個數(shù)字組成一個分數(shù)，求所得分數(shù)為既約分數(shù)的概率。分析：利用羅列法，將問題要求的事件羅列出來，再結合樣本空間的實驗的次數(shù)可求。詳解1： 只能與 構成既約分數(shù) 只能與構成既約分數(shù) 只能與 構成既約分數(shù) 只能與 構成既約分數(shù) 只能與構成既約分數(shù) 只能與 構成既約分數(shù) 只能與構成既約分數(shù)以上總共有種可能構成既約分數(shù)（因為分子和分母對調(diào)依然是既約分數(shù)），而總的基本事件卻有種，因此，所得的分數(shù)為既約分數(shù)的概率為。小小說：對于較少的基本事件或樣本點和實在想不出其他有效簡便的辦法，可用羅列法。詳解2：因為由兩個偶數(shù)所

4、組成的分數(shù)不是既約分數(shù)即最簡分數(shù)，故既約分數(shù)必須分子分母或為7、11、13中的兩個或為2、4、6、8、12中的一個和7、11、13中的一個組合，則事件“所得分數(shù)為既約分數(shù)”包含個樣本點，又樣本空間樣本點總數(shù)為,故 小小說：由于任意兩個數(shù)a,b所組成的分數(shù)有兩種，即或，因此事件的樣本點個數(shù)不應為.1.11 一幢10層樓的樓房中的一架電梯，在底層登上7位乘客，電梯在每一層都停，乘客從第二層起離開電梯，假設每位乘客在哪一層離開電梯是等可能的，求沒有兩位及兩位以上乘客在同一層離開的概率。分析：該題考查了古典概型的應用，該題其實與課本的10頁的例5中的球投盒子問題的本質(zhì)上是一樣，人都是等可能的從每個樓層

5、口離開和球等可能的投入盒子。因此，可以利用球投盒子的基本思想求解。詳解：由于每個人都等可能的從任意一個電梯口離開（9個），所以總共有種基本事件。而沒有兩位及兩位以上乘客在同一樓層離開，即為每個樓層至多只有一位乘客離開，因此有種可能的基本事件（其表示為在9個樓梯口中有7個樓梯口是有乘客離開，因此是，而每個人在每個樓層離開都是等可能的，因此是個全排列問題，即）由上，易知沒有兩位及兩位以上乘客在同一樓層離開的概率為小小說：這道題其實是與例題中的球投盒子問題一樣，所以做概率的題亦可類比自己所做過的題，譬如球投盒子問題亦可類比計算人生日的概率等問題，有待讀者自行思考！詳解2：每位乘客可在除底層外的9 層

6、中任意一層離開電梯，現(xiàn)有7 位乘客，所以樣本點總數(shù)為。事件A“沒有兩位及兩位以上乘客在同一層離開”相當于“從9 層中任取7 層，各有一位乘客離開電梯”。所以包含個樣本點，于是.小小說：其實我們計算生日概率問題也是用到球投盒子問題模型哦！1.13 一個人把6根草握在手中，僅露出它們的頭和尾，然后請一個人把6個頭兩兩相接，6個尾也兩兩相接。求放開手以后6根草恰好連成一個環(huán)的概率。分析：該題考查了古典概型的用法.詳解：6 根草的情形。取定一個頭，它可以與其它的5 個頭之一相接，再取另一頭，它又可以與其它未接過的3 個之一相接，最后將剩下的兩個頭相接，故對頭而言有種接法，同樣對尾也有種接法，所以樣本點

7、總數(shù)為。用A表示“6根草恰好連成一個環(huán)”，這種連接，對頭而言仍有種連接法，而對尾而言，任取一尾，它只能和未與它的頭連接的另4 根草的尾連接。再取另一尾，它只能和未與它的頭連接的另2 根草的尾連接，最后再將其余的尾連接成環(huán)，故尾的連接法為。所以A包含的樣本點數(shù)為，于是小小說：說實在，這道題也是一種模型，用該模型來解決生活中的連環(huán)問題等很有幫助，所以，大家就稍注意這種類型的模型的應用吧！1.14某公交汽車站每隔5分鐘有一輛汽車到達，乘客到達汽車站的時刻是任意的，求一個乘客候車時間不超過3分鐘的概率。分析：該題考查了幾何概型的應用，利用5分鐘的時間轉為線段的長度來計算。詳解：首先將兩車間距的五分鐘的

8、時間視為軸上的點到點之間，如圖1。其中表示為剛離開的車，表示為快要來的車，若人來到3分鐘的區(qū)間內(nèi)即等車不超過3分鐘，因此不超過3分鐘的概率為。小小說：學會將問題轉化為別的形式進行求解，其中，幾何概型一維空間有線段，二維空間有平面，三維空間有立體，一般是這三種。1.15兩艘輪船都要?？客徊次?，他們可能在一晝夜的任意時刻到達。設兩船?？坎次坏臅r間分別為1小時與2小時，求有一艘船?？坎次粫r必須等待一段時間的概率。分析: 甲、乙到達泊位的時間是任意的，等可能性的，是典型的幾何概型.詳解:只有當甲船比乙船早到1小時內(nèi),或乙船比甲船早到2小時內(nèi)時,有一艘船?？坎次粫r必須等等一段時間.以0點為計算時刻的0

9、時, 分別表示甲,乙到達泊位的時間,單位為小時,若以表示平面上的點的坐標,則樣本空間為.設事件,則.如圖1.9中陰影部分所示,所求概率為小小說：該題將生活中的實際問題巧妙的轉化為數(shù)學模型解決！還有，在應用幾何概型中，一般可以將問題轉為線段、平面和立體等.1.16在線段上任取三點，求：(1) 位于 與 之間的概率。(2) 能構成一個三角形的概率。分析：該題考查了幾何概型的立體模型的應用！詳解:(1)由題意可知, 三點的位置是在線段內(nèi)任意的,故共有種排列方式, 位于與之間,則可在左邊或右邊兩個位置其中一個, 兩點位置確定, 位置也就唯一確定,故共有種情況,記,則.(2)設線段為1個單位長度, 分別

10、為線段的長度, 若以表示正方體上的點的坐標,則樣本空間為.設事件,則若最長, 如圖1.10中陰影部分(三角錐體)所示,所求概率為同理,當分別最長時,有故圖1.10小小說：自己都覺得繁瑣的說，注意轉換為什么樣的模式解決問題才更加方面.1.4設且當相互獨立時，求.分析：詳解1：所以又因為詳解2：因此，,又，故由,得 故得.小小說：此題亦可刪減掉獨立條件，也就是詳解1中的解法。1.5 設事件及的概率分別為，求，分析：本題考查概率的運算性質(zhì)。詳解：依題意可得，小小說：要掌握基本的定義和公式，請查看我們的教科書和本書的知識點歸納.1.6設三個事件且,求分析：該題考查了基本定義。詳解：由題，空集， ，因此

11、， 1.21 12個乒乓球中9個新、3個舊，第一次比賽取出了3個，用完了放回去，第二次比賽又取出3個，求第二次取出的3個球中有2個新球的概率。分析：該題是一個條件概型，用分類思想較清晰的將解答出.詳解1：該題可分為4種情況考慮： 若第一次取出3個新球，發(fā)生的概率為,當?shù)诙稳〉脮r候，就只有6個新球，6個舊球，因此在第一次的條件下,第二次取出2個新球1個舊球的概率為 若第一次取出2個新球1個舊球，發(fā)生的概率為,當?shù)诙稳〉脮r候，就只有6個新球，6個舊球，因此在第一次的條件下,第二次取出2個新球1個舊球的概率為 若第一次取出1個新球2個舊球，發(fā)生的概率為,當?shù)诙稳〉脮r候，就只有6個新球，6個舊球

12、，因此在第一次的條件下,第二次取出2個新球1個舊球的概率為 若第一次取出3個舊球，發(fā)生的概率為,當?shù)诙稳〉脮r候，就只有6個新球，6個舊球，因此在第一次的條件下,第二次取出2個新球1個舊球的概率為因此，其發(fā)生的總概率為詳解2：解：分析在“第一次取出的3個球中有個球是新的”背景下劃分，設事件A表示“第二次比賽時取出的3個球中有2個新球”，事件表示“第一次比賽時用了k個新球，所以。由古典概型和排列組合知：如果第一次比賽時用了k個新球，則盒子中還有個新球，有于是按全概率公式得，所求概率小小說：其實這兩種解法的思想是一樣的，不過還是建議大家用第二種解法答題，較為專業(yè)，同時也較為簡便。2.23 已知一個

13、母雞生個蛋的概率為，而每一個蛋能孵化成小雞的概率為，證明：一個母雞恰有個下一代（即小雞）的概率為。分析：該考查了重伯努利試驗，直接其蓋面解答.詳解：令“母雞生個蛋”，“母雞恰有個下一代”，則在發(fā)生的條件下，這個蛋能否孵化成小雞相當于做了一個重伯努利試驗：，顯然構成一個完備事件，所以由全概率公式可得：小小說：大家注意，其中是利用到泰勒公式來化簡的，即為，希望大家有空查閱一下下泰勒展式的幾個經(jīng)典例子.1.23 在某工廠里有甲、乙、丙三臺機器生產(chǎn)螺絲釘，它們的產(chǎn)量各占25%，35%，40%，并在各自的產(chǎn)品里，不合格品各占有5%，4%，2%?，F(xiàn)在從產(chǎn)品中任取一只恰是不合格品，問此不合格品是機器甲、乙、

14、丙生產(chǎn)的概率分別等于多少？分析：該題考查了全概型和貝葉斯概型的定義.詳解：設表示“次品”，,分別表示“該次品由甲、乙、丙間生產(chǎn)”，那么依題意可知： 由全概率公式可得： = =由貝葉斯公式知該產(chǎn)品由甲車間生產(chǎn)的概率為：=同理：由乙車間生產(chǎn)的概率：=由丙車間生產(chǎn)的概率：1.20 有朋友自遠方來訪，他乘火車、輪船、汽車、飛機來的概率分別是0.3、0.2、0.1、0.4。如果他乘火車、輪船、汽車來的話，遲到的概率分別是而乘飛機不會遲到。結果他遲到了，試問他是乘火車來的概率是多少？詳解：設表示“遲到”，分別表示“乘火車、船、汽車、飛機”，則由題意知由全概率公式得：由貝葉斯公式知：他遲到的情況下，乘火車的

15、概率為：小小說：大家當心了，如果我們在開會等候某人時，很無聊很不耐煩，就握起筆根據(jù)其平常的習慣計算其遲到的概率，消除自己的不爽.1.24 甲、乙、丙三人同時對飛機進行射擊，三人擊中的概率分別為.飛機被一人擊中而擊落的概率為，被兩人擊中而擊落的概率為，若三人都擊中，飛機必定被擊落，求飛機被擊落的概率。分析：該題考查了獨立事件的應用.詳解：設第i人擊中，分別表示有一人，二人，三人擊中，表示“飛機被擊落”。由于事件可伴隨三種情況發(fā)生，且互不相容。則屬于全概率問題。利用事件的獨立性及一些事件的不容性可得：又因為 所以1.20 做一系列獨立的試驗，每次試驗中成功的概率為p ，求在成功n 次之前已失敗了m

16、 次的概率。分析：該題考查伯努利試驗的理解與應用.詳解：用表示“在成功次之前已經(jīng)失敗了次”，表示“在前次試驗中失敗了次”，因為每一次試驗只有“成功”和“失敗”兩個結果發(fā)生，故在前試驗是重伯努利試驗，因此有：用表示“第次試驗成功”則：小小說：伯努利試驗室一種非常重要的概率模型，它表示“在同一條件下進行重復獨立試驗或觀察”的一種數(shù)學模型，注意它的應用！第二章2.1 解：根據(jù)概率的性質(zhì)，可知：滿足條件的為隨機變量的分布律.(1) ，是隨機變量的分布律.(2) , 不是隨機變量的分布律.(3) ，不是隨機變量的分布律.(4) 是隨機變量的分布律.2.2 解：的可能取值為3,4,5,且有則隨機變量的分布

17、律見表2.2.表2.23450.10.30.62.3分析：利用概率的性質(zhì)可求解得。 解：由題意得：服從幾何分布，則有 即得，.2.4 解：的可能取13,4,5, 依題意，表示第次首次測到合格品，也就是前次都測到不合格品，故有的分布律為：2.5 解:設代表所抽取的次數(shù),.討論以下兩種情況. (1)放回情況. 的可能取值為.設事件,則有.依題意，表示第次首次抽取到合格品，也就是前次都抽取到不合格品，所以, 所抽取的次數(shù)的分布律為:(2)不放回情況. 的可能取值為1,2,3,4. 且有,則抽取的次數(shù)的分布律見表2.5.表2.512342.8 解：分別記這兩名籃球隊員，分別代表隊員A、B投籃次數(shù)，則可能的取值為. 表示隊員投籃次數(shù)為，也就是前輪回中隊員每人各投次，在第輪回首先投中，或者投不中而投中，所以的分布律為:同理，投中所以的分布律為:2.10設為該種商品當月銷售數(shù)，為該種商品每月進貨數(shù)，由，則有由題意得：，查泊松分布的數(shù)值表，得.2.8 解：由，有則，又由，可得：.所以，故2.12 解：的可能取值為，的可能取值為1,0,-1且有同理：則與的分布律見表2.9.1與表2.9.2.2102.14 解：的可能取值為，依題意，有：故的聯(lián)合分布律見表2.10.表2.10