概率論與數(shù)理統(tǒng)計03作業(yè)及答案

1、習(xí)題3-11. 已知隨機(jī)變量X1和X2的概率分布分別為X1-101PX201P而且. 求X1和X2的聯(lián)合分布律. 解 由知. 因此X1和X2的聯(lián)合分布必形如 X2X101pi·-1P1100P21P221P310p·j1于是根據(jù)邊緣概率密度和聯(lián)合概率分布的關(guān)系有X1和X2的聯(lián)合分布律 X2X101pi·-100010p·j1(2) 注意到, 而, 所以X1和X2不獨(dú)立.2. 設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為求: (1) 常數(shù); (2) ; (3) ; (4) .解 (1) 由, 得,所以 .(2) .(3) .(4) 作直線, 并記此直線下方區(qū)域與的矩形

2、區(qū)域的交集為. 即.見圖3-8. 因此.圖3-8 第4題積分區(qū)域3. 二維隨機(jī)變量的概率密度為試確定, 并求.解 由,解得.因而 .4. 設(shè)二維隨機(jī)變量(X, Y)概率密度為求關(guān)于X和Y邊緣概率密度. 解 的概率密度在區(qū)域,外取零值.因而, 有5. 假設(shè)隨機(jī)變量在區(qū)間-2, 2上服從均勻分布, 隨機(jī)變量試求：(1) X和Y的聯(lián)合概率分布；(2).解 (1) 見本章第三節(jié)三(4).(2).習(xí)題3-21. 設(shè)(X, Y)的分布律為YX123410.100.1020.300.10.2300.200求: (1) 在條件X=2下Y的條件分布律; (2) .解 (1) 由于,所以在條件X=2下Y

3、的條件分布律為,或?qū)懗?234(2) 注意到.而 .因此.2. 設(shè)二維隨機(jī)變量(X, Y)的概率密度為求：(1) (X, Y)的邊緣概率密度；(2)解 (1) 當(dāng)時,;當(dāng)x0時或x1時, . 故 當(dāng)0<y<2時,; 當(dāng)時或時, . 故 (2) 當(dāng)z0時,; 當(dāng)z2時,;當(dāng)0<z<2時, .故 (3) .3. 設(shè)是由直線y=x, y=3,x=1所圍成的三角形區(qū)域, 二維隨機(jī)變量在上服從二維均勻分布.求: (1) (X, Y)的聯(lián)合概率密度；(2) ；(3) 關(guān)于X的邊緣概率密度.解 (1)由于三角形區(qū)域的面積等于2, 所以的概率密度為(2)記區(qū)域與的交集為,則.

4、其中為G0的面積.(3) X的邊緣概率密度. 所以,當(dāng)時, .當(dāng)或時, . 因此 習(xí)題3-31. 設(shè)X與Y相互獨(dú)立, 且分布律分別為下表: X-10PY0256P求二維隨機(jī)變量的分布律.解 由于X與Y相互獨(dú)立, 所以有,.因此可得二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律XY2. 設(shè)(X, Y)的分布律如下表: XY12123問為何值時與相互獨(dú)立?解 首先, 由分布律求得邊緣分布律 YX12p.j12+3+pi.+1由于邊緣分布滿足, 又X, Y相互獨(dú)立的等價條件為pij= pi. p.j (i=1,2; j=1,2,3).故可得方程組 解得,. 經(jīng)檢驗, 當(dāng),時, 對于所有的i=1,2; j=1,2,3均有p

5、ij= pi. p.j成立. 因此當(dāng),時, X與Y相互獨(dú)立.3. 設(shè)隨機(jī)變量X與Y的概率密度為(1) 試確定常數(shù)b.(2) 求邊緣概率密度, .(3) 問X與Y是否相互獨(dú)立？解 (1) 由,得 .(2) (3) 由于，所以X與Y相互獨(dú)立.4. 設(shè)X和Y是兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量, X在(0, 1)上服從均勻分布, Y的概率密度為(1) 求X和Y的聯(lián)合概率密度.(2) 設(shè)關(guān)于a的二次方程為, 試求a有實根的概率.解 (1) 由題設(shè)知X和Y的概率密度分別為因X和Y相互獨(dú)立, 故(X, Y)的聯(lián)合概率密度為(2) 方程有實根的充要條件是判別式大于等于零. 即Y.因此事件方程有實根.下面計算(參見圖3-

6、3).   .圖3-3 第6題積分區(qū)域習(xí)題3-41. 設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布為 YX0100.4a1b0.1若隨機(jī)事件X=0與X+Y=1相互獨(dú)立, 求常數(shù)a, b.解 首先, 由題設(shè)知. 由此得. 此外,  .根據(jù)題意有,即. 解得.2. 設(shè)兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X,Y的分布律分別為X13Y24PX0.30.7PY0.60.4求隨機(jī)變量Z = X + Y的分布律.解 隨機(jī)變量Z = X + Y的可能取值為.的分布律為,或?qū)憺閆357PZ0.180.540.283. 設(shè)X和Y是兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量, 且X服從正態(tài)分布N(, 2), Y服從均勻分布U(-

7、a, a)( a>0), 試求隨機(jī)變量和Z=X+Y的概率密度.解 已知X和Y的概率密度分別為, ; .由于X和Y相互獨(dú)立, 所以=.4. 設(shè)隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布是正方形G=(x,y)|1x3, 1y3上的均勻分布, 試求隨機(jī)變量U=|X-Y|的概率密度f(u).解 由題設(shè)知, X和Y的聯(lián)合概率密度為記為U的分布函數(shù), 參見圖3-7, 則有當(dāng)u0時,u=0; 當(dāng)u2時,; 當(dāng)0< u<2時, 圖3-7 第8題積分區(qū)域.故隨機(jī)變量的概率密度為.總習(xí)題三1. 設(shè)隨機(jī)變量(X, Y)的概率密度為求條件概率密度.解 首先 圖3-9第1題積分區(qū)域當(dāng)時, 當(dāng)時, 當(dāng)時, 2. 設(shè)隨機(jī)變

8、量X與Y相互獨(dú)立, 下表列出二維隨機(jī)變量的分布律及關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布律中部分?jǐn)?shù)值, 試將其余數(shù)值填入表中空白處 .XYx1x2y1y2y31解 首先, 由于,所以有 .在此基礎(chǔ)上利用X和Y的獨(dú)立性, 有.于是 . 再次, 利用X和Y的獨(dú)立性, 有.于是 . 最后, 利用X和Y的獨(dú)立性, 有 ;.因此得到下表 XYx1x2y1y2y313. 設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為(1) 求常數(shù)k；(2) 求(X,Y)的分布函數(shù)；(3) 計算;(4) 計算；(5) 問隨機(jī)變量X與Y是否相互獨(dú)立?解 (1)由,可得.(2) (X,Y)的分布函數(shù).當(dāng)或時,有 ; 當(dāng)時, .即 (3) .(4) 所以 類似地,

9、有顯然, 故X與Y相互獨(dú)立.4.解 已知的分布律為XY12310230注意到, 而,可見PX=1, Y=1PX=1PY=1. 因此與不相互獨(dú)立. (2) 的可能取值為3, 4, 5, 6, 且,     ,.即的分布律為Z345P(3) 的可能取值為2, 3, 且,.即的分布律為V23P(4) 的可能取值為1, 2, 且,.即的分布律為U12P(5) 的可能取值為3, 4, 5, 且, ,.W345P5. 設(shè)二維隨機(jī)變量(X, Y)的概率密度為(1) 求PX>2Y; (2) 求Z = X+Y的概率密度fZ(z).解 (1) .(2) 方法一: 先求

10、Z的分布函數(shù): .當(dāng)z<0時, FZ(z)<0;當(dāng)0z<1時,  = z2-z3;當(dāng)1z<2時,  = 1-(2-z)3;當(dāng)z2時, FZ(z) = 1.故Z = X+Y的概率密度為方法二: 利用公式當(dāng)z0或z2時, fZ(z) = 0;當(dāng)0<z<1時, 當(dāng)1z<2時, 故Z = X+Y的概率密度為.6. 設(shè)隨機(jī)變量(X, Y)得密度為試求: (1) (X, Y)的分布函數(shù); (2) (X, Y)的兩個邊緣分布密度; (3) (X, Y)的兩個條件密度; (4) 概率PX+Y>1, PY>X及PY<|X<.解 (1) 當(dāng)x0或y0時, (x, y) = 0, 所以 F(x, y) = 0.當(dāng)0<x1, 0<y2時, (x, y) = x2+xy,所以  .當(dāng)0<x1, y>2時, .當(dāng)x>1, 0<y2時,