概率論講義茆詩松

1、第二章 隨機變量及其分布教學目的與教學要求：理解隨機變量的概念；掌握離散和連續(xù)隨機變量的描述方法；理解分布函數(shù)、概率分布列和概率密度函數(shù)的概念和性質(zhì)；會利用概率分布計算有關事件的概率；掌握二項分布、泊松分布、正態(tài)分布、指數(shù)分布、均勻分布等；會求簡單隨機變量函數(shù)的概率分布及特征數(shù)。教學重點：不同類型的隨機變量的概率分布的概念和性質(zhì)、常用的離散和連續(xù)分布、隨機變量的數(shù)學期望與方差的概念和性質(zhì)、隨機變量函數(shù)的分布。教學難點：概率分布和數(shù)學期望以及方差性質(zhì)的應用、隨機變量函數(shù)的分布。教學措施：理論部分的教學多采用講授法，注意思想方法的訓練，計算類問題采用習題與討論的方法進行教學。教學時數(shù)：20學時教學

2、過程：2.1 隨機變量及其分布 (1) 擲一顆骰子，出現(xiàn)的點數(shù)：1、2、6；(2) 個產(chǎn)品中的不合格品個數(shù)：0、1、2、；(3) 某商場一天內(nèi)來的顧客數(shù)：0、1、2、；(4) 某種型號電視機的壽命：。 隨機變量的概念定義 定義在樣本空間上的實值函數(shù)稱為隨機變量，常用大寫、等表示；隨機變量的取值用小寫字母、等表示。注意：(1) 隨機變量是樣本點的函數(shù)，其定義域為，其值域為，若表示擲一顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)，則是不可能事件；(2) 若為隨機變量，則、均為隨機事件，即：；(3) 注意以下一些表達式：(4) 同一樣本空間可以定義不同的隨機變量。兩類隨機變量：若隨機變量可能取值的個數(shù)為有限個或可列個，則稱為離

3、散隨機變量；若隨機變量的可能取值充滿某個區(qū)間，則稱為連續(xù)隨機變量，其中可以是，可以是。前例中的、為離散隨機變量；而為連續(xù)隨機變量。 隨機變量的分布函數(shù)定義 設是一個隨機變量，對任意實數(shù)，稱為隨機變量的分布函數(shù)，且稱服從，記為，有時也可用表明是的分布函數(shù)。定理 任一個分布函數(shù)都有如下三條基本性質(zhì)：(1) 單調(diào)性：是定義在整個實數(shù)軸上的單調(diào)非減函數(shù)，即對任意的，有；(2) 有界性：，有，且(3) 右連續(xù)性：是的右連續(xù)函數(shù)，即對任意的，有即：。注：(1) 上述三條可以作為判斷一個函數(shù)是否為分布函數(shù)的充要條件；(2) 有了分布函數(shù)的定義，可以計算：等。 離散隨機變量的概率分布列定義 設是一個離散隨機變

4、量，如果的所有可能取值是、，則稱取的概率為的概率分布列或簡稱為分布列，記為。分布列也可用下列形式表示：分布列的基本性質(zhì)：(1) 非負性： (2) 正則性：。注：(1) 上述兩條可以作為判斷一個數(shù)列是否為分布列的充要條件；(2) 離散隨機變量的分布函數(shù)為：。求離散隨機變量的分布列應注意：(1) 確定隨機變量的所有可能取值；(2) 計算每個取值點的概率。對離散隨機變量的分布函數(shù)應注意：(1) 是遞增的階梯函數(shù)；(2) 其間斷點均為右連續(xù)的；(3) 其間斷點即為的可能取值點；(4) 其間斷點的跳躍高度是對應的概率值。例 已知的分布列如下：012求的分布函數(shù)？解：。例 已知的分布函數(shù)如下，求的分布列？

5、解：的分布列如下：0120.40.40.2 連續(xù)隨機變量的概率密度函數(shù)因為連續(xù)隨機變量的可能取值充滿某個區(qū)間，所以對連續(xù)隨機變量，有，從而無法仿離散隨機變量用來描述連續(xù)隨機變量的分布；定義 設隨機變量的分布函數(shù)為，如果存在實數(shù)軸上的一個非負可積函數(shù)，使得對任意實數(shù)，有則稱為連續(xù)隨機變量，稱為的概率密度函數(shù)，簡稱為密度函數(shù)。密度函數(shù)的基本性質(zhì)：(1) 非負性：；(2) 正則性：。注：(1) 上述兩條可以作為判斷一個函數(shù)是否為密度函數(shù)的充要條件；(2) ；(3) 是上的連續(xù)函數(shù)；(4) ；(5) ；(6) 當在點可導時，當在點不可導時，。離散隨機變量與連續(xù)隨機變量對比：離散隨機變量連續(xù)隨機變量分布

6、列：（唯一）密度函數(shù)：（不唯一）且點點計較為階梯函數(shù)，即：為連續(xù)函數(shù)，即：例 設，求(1) 常數(shù)；(2) ?解：(1) ；(2) 。例 設，求?解：。例 設與同分布，的密度為已知事件和獨立，且，求常數(shù)？解：因為，且、獨立，得再由解得：由此得因此從中解得。2.2 隨機變量的數(shù)學期望2.2.1 數(shù)學期望的概念例（分賭本問題）若甲乙兩賭徒賭技相同，各出賭注50元，無平局，誰先贏3局，則獲全部賭注，當甲贏2局、乙贏1局時，中止了賭博，問如何分賭本？賭本有兩種分法：(1) 按已賭局數(shù)分：則甲分總賭本的、乙分總賭本的；(2) 按已賭局數(shù)和再賭下去的“期望”分：設再賭下去，則再賭兩局必分勝負，共四種情況：甲

7、甲、甲乙、乙甲、乙乙。于是，甲的所得是一個可能取值為0或100的隨機變量，其分布列為：0100甲的“期望”所得是：。這就是數(shù)學期望的由來，又稱期望或均值，數(shù)學期望是一種加權平均。 數(shù)學期望的定義 設離散隨機變量的分布列為若，則稱為隨機變量的數(shù)學期望，簡稱期望或均值。若級數(shù)不收斂，則稱的數(shù)學期望不存在。 設連續(xù)隨機變量的密度函數(shù)為，若，則稱為隨機變量的數(shù)學期望，簡稱期望或均值。若級數(shù)不收斂，則稱的數(shù)學期望不存在。 設隨機變量的分布列如下：0120.20.10.40.3求?解：。2.2.3 數(shù)學期望的性質(zhì) 設隨機變量的分布用分布列或用密度函數(shù)表示，若的某一函數(shù)的數(shù)學期望存在，則。 設隨機變量的概率

8、分布為：012求？解：。數(shù)學期望的性質(zhì)：(1) 若是常數(shù)，則；(2) 對任意的常數(shù)，有；(3) 對任意的兩個函數(shù)、，有 設，求下列的函數(shù)的數(shù)學期望(1) ；(2) ?解：(1) ；(2) 。2.3 隨機變量的方差與標準差數(shù)學期望只能反映平均值即取值的中心，有很大的局限性，在一些情況下，僅知道平均值是不夠的，還要討論隨機變量與其平均值的偏離程度，用什么量去表示隨機變量與其數(shù)學期望的偏離程度呢？顯然，可用隨機變量的平均值來表示與的偏離程度，但為了數(shù)字上處理的方便，通常用來表示與的偏離程度。2.3.1 方差與標準差的定義 若隨機變量的數(shù)學期望存在，則稱偏差平方的數(shù)學期望為隨機變量（或相應分布）的方差

9、，記為稱方差的正平方根為（或相應分布）的標準差，記為或。注意：(1) 方差反映了隨機變量相對其均值的偏離程度。方差越大，則隨機變量的取值越分散。(2) 標準差的量綱與隨機變量的量綱相同。2.3.2 方差的性質(zhì) 。 若為常數(shù)，則。 若、為常數(shù)，則。 設，求和？解：；。隨機變量的標準化：設，令則有、，稱為的標準化。2.3.3 切比雪夫不等式定理2.3.1（切比雪夫不等式）設隨機變量的數(shù)學期望和方差都存在，則對任意的常數(shù)，有或。 若隨機變量的方差存在，則的充要條件是幾乎處處為某個常數(shù)，即。2.4 常用離散分布2.4.1 二項分布定義 如果隨機變量的分布列為則稱這個分布為二項分布，記為。當時，稱為二點

10、分布或分布。 設、，已知，求？解：由知，于是從而解得，所以。二項分布的數(shù)學期望與方差：設，令，則又因于是。2.4.2 泊松分布定義 如果隨機變量的分布列為其中參數(shù)，則稱這個分布為泊松分布，記為。泊松分布的數(shù)學期望與方差：設，則又因于是。二項分布的泊松近似：在二項分布中，當較大時，直接計算是很麻煩的，下面我們給出一個當n很大而p很小時的近似計算公式。定理2.4.1（泊松定理）在重貝努里試驗中，事件在一次試驗中出現(xiàn)的概率為（與試驗總數(shù)有關），（為常數(shù)），則對任意確定的非負整數(shù)，有。證明：設，則，于是對任意確定的k，當時、所以。在實際計算中，當，時，上式的近似值效果頗佳，而且時，效果更好。2.4.3

11、 超幾何分布定義 如果隨機變量的分布列為其中、且、均為整數(shù)，則稱這個分布為超幾何分布，記為。超幾何分布對應于無放回抽樣模型：個產(chǎn)品中有個不合格品，從中無放回地抽取個，不合格品的個數(shù)為。2.4.4 幾何分布與負二項分布定義 如果隨機變量的分布列為則稱這個分布為幾何分布，記為。幾何分布對應于抽樣模型：為獨立重復的伯努里試驗中，“首次成功”時的試驗次數(shù)。幾何分布的數(shù)學期望與方差：設，令，則又因于是。定理（幾何分布具有無記憶性）設，則對任意的正整數(shù)與，有。定義 如果隨機變量的分布列為則稱這個分布為負二項分布（巴斯卡分布），記為。負二項分布對應于抽樣模型：為獨立重復的伯努里試驗中，“第次成功”時的試驗次

12、數(shù)。注：(1) 二項隨機變量是獨立隨機變量之和；(2) 負二項隨機變量是獨立幾何隨機變量之和。2.5 常用連續(xù)分布2.5.1 正態(tài)分布定義 若隨機變量的概率密度函數(shù)為其中和為常數(shù)，且，則稱隨機變量服從參數(shù)為和的正態(tài)分布，或高斯(Gauss)分布，稱為正態(tài)變量，記為，正態(tài)分布的密度函數(shù)所表示的曲線稱為正態(tài)曲線。正態(tài)分布的性質(zhì)：(1) 正態(tài)曲線以為對稱軸；(2) 當時取最大值；(3) 以軸為水平漸近線，即離越遠，的值越小，且時，。相應的分布函數(shù)為：和的圖形分別如下圖所示：當固定，改變的值，的圖形沿軸平移而不改變形狀，因而又稱為位置參數(shù)；其圖如下：當固定，改變的值，則的圖形的形狀隨著的增大而變得平坦

13、，故稱為形狀參數(shù)。其圖如下：稱參數(shù)、的正態(tài)分布稱為標準正態(tài)分布，記為，其密度函數(shù)記為相應的分布函數(shù)為其圖如下：標準正態(tài)分布的計算：當時，的函數(shù)值可查表得到；當時，由的對稱性即知，先查，再由來得到的函數(shù)值。例 若，求下列事件的概率：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ？解：略。非標準正態(tài)分布的計算： 若，則。利用定理，將非標準正態(tài)分布化為標準正態(tài)分布計算，即若，則令，于是。 若，求(1) ；(2) 若，求常數(shù)？解：(1) (2) 由反查表得：，于是。正態(tài)分布的數(shù)學期望與方差：設，則。正態(tài)分布的原則：設，則可見在一次試驗中，幾乎必然落在區(qū)間內(nèi)，或者說，在一般情形下，在一次試驗中落在區(qū)間

14、以外的概率可以忽略不計，這就是通常所說的原則。 均勻分布定義 若隨機變量具有概率密度函數(shù)則稱在區(qū)間上服從均勻分布，記為。相應的分布函數(shù)為：和的圖形分別如下圖所示：例 若，現(xiàn)對進行4次獨立觀測，試求至少有3次觀測值大于5的概率？解：設隨機變量是4次獨立觀測中觀測值大于5的次數(shù)，則，其中由得于是，所求概率為。均勻分布的數(shù)學期望與方差：設，則于是。 指數(shù)分布定義 若隨機變量具有概率密度函數(shù)其中參數(shù)，則稱服從參數(shù)為的指數(shù)分布，記為。相應的分布函數(shù)為：指數(shù)分布的數(shù)學期望與方差：設，則于是。定理2.5.2（指數(shù)分布的無記憶性）如果，則對任意的、，有。證明：由知又因，于是。例 若某設備在任何長為的時間內(nèi)發(fā)生

15、故障的次數(shù)服從，則相繼兩次故障之間的間隔時間。證明：由，則又因兩次故障之間的間隔時間是非負的隨機變量，且事件表明此設備在沒有發(fā)生故障，即，于是當時，有當時，有于是的概率密度函數(shù)為即：。 伽瑪分布函數(shù)稱為伽瑪函數(shù)，其中參數(shù)。伽瑪函數(shù)具有如下性質(zhì)：(1) 、；(2) ，當為自然數(shù)時，有定義 若隨機變量具有概率密度函數(shù)其中為形狀參數(shù)，為尺度參數(shù)，則稱服從伽瑪分布，記為。伽瑪分布的數(shù)學期望與方差：設，則于是。定義 若隨機變量具有概率密度函數(shù)則稱服從自由度為的分布，記為。伽瑪分布的兩個特例：(1) ；(2) 若，則、。 貝塔分布函數(shù)稱為貝塔函數(shù)，其中參數(shù)、。貝塔函數(shù)具有如下性質(zhì)：(1) ；(2) 。定義

16、 若隨機變量具有概率密度函數(shù)其中、都是形狀參數(shù)，則稱服從貝塔分布，記為。貝塔分布的數(shù)學期望與方差：設，則于是。貝塔分布的特例：。2.6 隨機變量函數(shù)的分布在實際問題中，我們常要討論隨機變量函數(shù)的分布。例如分子運動的速度是隨機變量，分子的動能也是隨機變量，它是的函數(shù)。設是隨機變量，是一個單值函數(shù)，則稱為隨機變量的函數(shù)。2.6.1 離散隨機變量函數(shù)的分布設是離散隨機變量，的分布列為：則也是離散隨機變量，其分布列為：當、中有某些值相等時，則將它們合并，將對應的概率相加即可。 設隨機變量的分布列如下，試求隨機變量的分布列？0120.20.10.10.30.3解：由題意得：200260.20.10.10

17、.30.3再將相同值合并得的分布列為0260.20.50.32.6.2 連續(xù)隨機變量函數(shù)的分布對連續(xù)隨機變量，分情況討論的分布：當嚴格單調(diào)時：定理 設是連續(xù)隨機變量，其密度函數(shù)為，嚴格單調(diào)，其反函數(shù)有連續(xù)導函數(shù)，則也是連續(xù)型隨機變量，且其密度函數(shù)為其中、。證明：為求的密度函數(shù)，先求其分布函數(shù)。當為嚴格單調(diào)增函數(shù)時，它的反函數(shù)也是嚴格單調(diào)增函數(shù)，且，由于當取值于時，取值于，所以當時，；當時，；當時于是，的密度函數(shù)為；當為嚴格單調(diào)減函數(shù)時，可以類似證明。定理 若，則當時，有。推論 若，則。例 設，試求的分布?解：由題意知：仍是正態(tài)變量，且所以。注：分布相同與隨機變量相等是兩個完全不同的概念。定理（

18、對數(shù)正態(tài)分布）若，則的概率密度函數(shù)為。定理 設，則當時，有。定理 設，若為嚴格單調(diào)增的連續(xù)函數(shù)，則。當為其它形式時：若對應的函數(shù)不滿足條件時，則可用定義來求，與定理的證明類似。例 設，試求隨機變量的密度函數(shù)？解：因為在上不是單調(diào)函數(shù)，所以用定義來求由于當取值于時，取值于，所以當時，有；當時，有于是，的密度函數(shù)為即。2.7 分布的其它特征數(shù)2.7.1 階矩定義 設為隨機變量，為正整數(shù)，若存在，則稱為的階原點矩。若存在，則稱為的階中心矩。顯然，的數(shù)學期望是的一階原點矩，的方差是的二階中心矩。2.7.2 變異系數(shù) 設隨機變量的二階矩存在，則稱比值為的變異系數(shù)。作用：是無量綱的量，用于比較量綱不同的兩個隨機變量的波動大小。2.7.3 分位數(shù)定義 設連續(xù)隨機變量的分布