柯西不等式的證明與應(yīng)用

1、柯西不等式的證明及其應(yīng)用摘要：柯西不等式是一個非常重要的不等式，本文用六種不同的方法證明了柯西不等式，并給出了一些柯西不等式在證明不等式、求函數(shù)最值、解方程、解三角與幾何問題等方面的應(yīng)用，最后用其證明了點到直線的距離公式，更好的解釋了柯西不等式。關(guān)鍵詞：柯西不等式，證明，應(yīng)用Summary： Cauchy's inequality is a very important inequality, this article use six different methods to prove the Cauchy inequality, and gives some Cauchy ineq

2、uality in inequality, solving the most value, solving equations, trigonometry and geometry problems in the areas of application, the last used it proved that point to the straight line distance formula, better explains the Cauchy inequality. Keywords ：Cauchy inequality, proof application不等式是數(shù)學(xué)的重要組成部

3、分，它遍及數(shù)學(xué)的每一個分支。本文主要介紹著名不等式柯西不等式的證明方法及其在初等數(shù)學(xué)解體中的應(yīng)用。柯西不等式是一個非常重要的不等式，本文用幾種不同的方法證明了柯西不等式，并給出了一些柯西不等式在證明不等式、求函數(shù)最值、解方程、解三角與幾何問題等方面的應(yīng)用。一、相關(guān)定理柯西不等式是指下面的定理定理 設(shè)則當(dāng)數(shù)組a1，a2，an ,b1，b2，bn不全為0時，等號成立當(dāng)且僅當(dāng).柯西不等式有兩個很好的變式：變式1 設(shè) ,等號成立當(dāng)且僅當(dāng)變式2 設(shè)ai,bi同號且不為0（i=1，2，n）則,二、柯西不等式的證明：常用的證明柯西不等式的方法有：1）配方法：作差：因為所以，即即當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立。2）利用

4、判別式證明（構(gòu)造二次函數(shù)法）若，則此時不等式顯然成立。若，構(gòu)造二次函數(shù)對于xR恒成立，所以此二次函數(shù)的判別式0，即得證。3）用數(shù)學(xué)歸納法證明i）當(dāng)時，有，不等式成立。當(dāng)n=2時，。因為，故有當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立。ii）假設(shè)時不等式成立。即當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立。那么當(dāng)時，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即時等號成立。于是時不等式成立。由i）ii）可得對于任意的自然數(shù)n，柯西不等式成立。4）用向量法證明設(shè)維空間中有二個向，其中為任意兩組實數(shù)。由向量的長度定義，有|, 又由內(nèi)積的定義， ,其中是,的夾角，且有。因|，故，于是|即當(dāng)且僅當(dāng)|時，即與共線時等號成立。由,共線可知即由以上，命題得證。5) 利用均值不等

5、式當(dāng)=0時不等式顯然成立當(dāng)0柯西不等式可化為1 。由均值不等式可知=1即1當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立。從而柯西不等式得證。而變式一 二可由柯西不等式稍加變形容易得到。三、柯西不等式的應(yīng)用：1）證明不等式在不等式的證明中，柯西不等式的作用是很突出的。有些不等式的證明用常歸方法很繁瑣，而用柯西不等式卻很簡單。例已知 a>b>c>d，求證：。證 因為a-d=(a-b)+(b-c)+(c-d)>0,由柯西不等式知=(a-b)+(b-c)+(c-d) =9從而。例：已知， 求證： 證法一：（常用證法） 把上面?zhèn)€不等式相加，得即 證法二：（利用柯西不等式來證明） 分析求證的不等式特點，可構(gòu)

6、造如下兩組數(shù)：由柯西不等式（A）有兩相比較，可見用柯西不等式證明較為簡捷例3.1.3：設(shè)（i=1，2，n）且，求證：5 證 注意到恒等式=，只需要證明即上式左邊=，得證。例：設(shè)實數(shù), 滿足>0,b ,c求證證 因為a>0,由均值不等式得= =同理可得 ，故 由柯西不等式可知從而=又=6+故2即2當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立。例：已知為互不相等的正整數(shù)，求證：對于任意的正整數(shù)n，有不等式。證明：由柯西不等式：于是。又因為為互不相等的正整數(shù)，故其中最小的數(shù)不小于，次小的數(shù)不小于，最大的不小于，這樣就有。所以有。因為而所以有。例：設(shè)，則證明：5證明：由柯西不等式，對于任意的個實數(shù)，有即于是。例:設(shè)

7、，則。5證 由柯西不等式變式1，得左邊= =例（第42屆IMO預(yù)選題）設(shè)是任意實數(shù)。證明：<.證 由柯西不等式，對于任意實數(shù)有令=，k=1，2，n.因此原不等式轉(zhuǎn)換為證明<1當(dāng)k2時，有=-當(dāng)k=1時，1-，因此1-<1.故原不等式得證。例設(shè)，則 .5證 由柯西不等式，得左邊=-=例.若n是不小于2的正整數(shù)，試證： 5證明：所以求證式等價于由柯西不等式有于是： 又由柯西不等式有<2）求函數(shù)的極值柯西不等式也可以廣泛應(yīng)用于求函數(shù)的極值或最值。事實上，由可得，如將上式左邊當(dāng)作一個函數(shù)，而右邊值確定時，則可知的最大值與最小值分別是與，且取最大值與最小值的充要條件是。反過來，如

8、果把柯西不等式右邊的一個因式或兩個的積當(dāng)作函數(shù)，而其他的因式已知時，則可求出此函數(shù)的最小值。例：求函數(shù)的最大值，并指出為何值時取得最大.法一：觀察可得故從而原函數(shù)可化為，有三角函數(shù)的知識已知以最大值為10但此時不易確定的值。法二：由柯西不等式得=10根據(jù)等號成立的條件可知，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪⒋藭r=3.36故所求函數(shù)最大值為10此時=.例：已知為常數(shù)，當(dāng)時，求函數(shù)的最大值與最小值。5解：由柯西不等式：故。當(dāng)且僅當(dāng)，即（為常數(shù)）時等號成立。將代入得則，即當(dāng)時，分別為所求的最大與最小值。例已知實數(shù)a,b,c,d,滿足,，試求a的最值 解：由柯西不等式得，有即由條件可得， 解得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，代入

9、時， 時 3）解方程例：解方程組解：由柯西不等式：即，故方程組無解。例：在實數(shù)集內(nèi)解方程組.5解：由柯西不等式： （1）因為又因為。即即（1）式取等號。由柯西不等式取等號的條件有 （2）（2）式與聯(lián)立，則有。例解方程.5解 根據(jù)柯西不等式因=11從而 即0從而=0故=0又由上述過程的可逆性還得到=再根據(jù)柯西不等式取等號的條件，有且僅有（k為常數(shù)）將此帶如原方程得即=11，而=0從而k=1因此求得原方程的解為4）解三角與幾何問題例 在ABC中，設(shè)其各邊長為a,b,c,外接圓半徑為R求證36證 由柯西不等式可知=36，證必。例 設(shè)P是ABC內(nèi)的一點，是P到三邊的距離，是ABC外接圓的半徑，證明.5

10、證明：由柯西不等式得，記為ABC的面積，則故不等式成立。例：在三角形中，證明。5證明：由柯西不等式：即 （1）因為故 （2）又因為因而 （3）將（3）代入（2）得 （4）將（4）代入（1）得即。例：求證三角形三邊上正方形面積之和不小于該三角形面積的倍，即，其中為三角形的三邊長，為三角形的面積。5證明：由海倫秦九韶面積公式：，其中。于是由柯西不等式：當(dāng)且僅當(dāng)，即時等式成立。于是。變形得：。即（是三角形的面積）故有，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立。例：設(shè)ABC為任意三角形，求證：分析：從所要證明的不等式出發(fā)，構(gòu)造如下兩組數(shù)： ，1，1，1由柯西不等式，有 即 把上面這個不等式與求證的不等式比較，可知如果能推導(dǎo)

11、出，問題就解決了，但是，所以，這樣構(gòu)造的兩組數(shù)不能證明求證的不等式成立，因此應(yīng)修改所構(gòu)造的兩組數(shù)如下：； 由柯西不等式（A），有 即.把上面不等式與求證不等式比較，可知要證原不等式成立，須證上面這個不等式，可證明如下：由已知這樣，本題即可證明了.根據(jù)上面的分析，寫出證明如下：先構(gòu)造如下兩組數(shù)由柯西不等式有即由已知于是，有1, .5）用柯西不等式解釋樣本線性相關(guān)系數(shù)67在概率論與數(shù)理統(tǒng)計一書中，在線性回歸中，有樣本相關(guān)系數(shù)，并指出且越接近于1，相關(guān)程度越大，越接近于0，則相關(guān)程度越小?，F(xiàn)在可用柯西不等式解釋樣本線性相關(guān)系數(shù)?，F(xiàn)記，則，由柯西不等式有，當(dāng)時， 此時，k為常數(shù)。點 均在直線上， 當(dāng)時

12、， 即而為常數(shù)。此時，此時，k為常數(shù)點均在直線附近，所以越接近于1，相關(guān)程度越大當(dāng)時，不具備上述特征，從而，找不到合適的常數(shù)k，使得點都在直線附近。所以，越接近于0，則相關(guān)程度越小。6）推導(dǎo)點到直線的距離公式已知點及直線，設(shè)是上任意一點，點到的距離的最小值|就是點到的距離，證明：|。證明：因為是上的點，所以有。 （1）而| （2）由柯西不等式： （3）由（1）得： （4）將（4）代入（3），則有即移項則有：| （5）當(dāng)且僅當(dāng)即時（5）式取等號，即點到直線的距離公式：|。英文文獻翻譯經(jīng)典定理：柯西-施瓦茨不等式 加權(quán)算術(shù)平均值不等式及赫爾德不等式?，F(xiàn)在我們通過常規(guī)技巧建立幾個經(jīng)典定理、定理 14

13、 （柯西-施瓦茨不等式）設(shè)，為實數(shù)，則有。證明：令A(yù)=,B=，當(dāng)A=0時，可得=0,此時所給不等式顯然成立。因此我們可設(shè)A,B>0，現(xiàn)在我們作如下代換，原不等式等價于，然而我們知道=1（為什么？），故其等價于2.接下來，我們做另一個代換，則不等式等價于1=或者。因此我們只需證明其中。這是很容易的，我們應(yīng)用均值不等式可以推導(dǎo)出現(xiàn)在我們應(yīng)用柯西-施瓦茨不等式來證明內(nèi)斯比特不等式。（內(nèi)斯比特）對所有的正實數(shù)，我們有證明9 應(yīng)用柯西-施瓦茨不等式我們有，它可變形為或者這里有一關(guān)于問題12簡短的證明（伊朗1998）證明對所有的>1若=2則有方法2我們注意到 。我們應(yīng)用柯西-施瓦茨不等式則有問

14、題18證明對所有實數(shù)有：解 ：我們可以得到如下等式和不等式鏈= （柯西-施瓦茨不等式） = （均值不等式） （柯西-施瓦茨不等式） =使用證明柯西- 施瓦茨不等式同樣的想法，我們發(fā)現(xiàn)了一個自然推廣：定理15 設(shè)為正實數(shù)，我們有證明：由于是齊次不等式，同定理11的證明一樣，我們可令或者=1,.,n).則不等式變形為或者故足以證明對所有的當(dāng)有。完成證明后，可以得到如下類似不等式：定理16（均值不等式）設(shè)為正實數(shù)，則有。證明： 由于不等式是齊次的，我們可以重新調(diào)整使得。因此我們只需證明?？梢酝ㄟ^對的歸納來證明：當(dāng)=1時，顯然成立；當(dāng)=2時，我們有.現(xiàn)在我們假設(shè)對所有的正整數(shù)時，不等式成立。同時令為滿足=1的正實數(shù)，我們可以假設(shè)。（為什么？）由歸納假設(shè)可知我們有，因此，只需證明然而我們有下面的簡單觀察不是很麻煩：設(shè)及N。令，對應(yīng)用均值不等式我們可以得到或者。故對所有正有理數(shù)，當(dāng)我們會有我們馬上可以得到定理17 設(shè)，>0，滿足，則對所有>0我們有。證明 我們可以選擇一正有理數(shù)列使其滿足，同時令，則有，從前面的觀察我們有兩邊同時取極限