本章學(xué)習(xí)微積分的基本知識

1、第二章 微積分本章學(xué)習(xí)微積分的基本知識,包括函數(shù)概念、函數(shù)的極限、導(dǎo)數(shù)與微分、不定積分與定積分、廣義積分與微分方程等基本概念及其簡單計算方法與應(yīng)用.2.1 函數(shù)教學(xué)要求本節(jié)要求讀者在復(fù)習(xí)中學(xué)函數(shù)知識的基礎(chǔ)上加深理解函數(shù)概念.1 掌握由已知函數(shù)產(chǎn)生新函數(shù)的方法¾函數(shù)的四則運算，函數(shù)的復(fù)合，反函數(shù), 歸納出初等函數(shù)的概念.2 擴展對函數(shù)種種實例的認識, 熟悉基本初等函數(shù)的圖象, 重點掌握復(fù)合函數(shù)與分段函數(shù).3 結(jié)合圖象理解函數(shù)的四種性態(tài)：奇偶性，周期性，單調(diào)性，有界性.其中難點是有界性. 知識點1. 函數(shù)概念2. 由已知函數(shù)產(chǎn)生新函數(shù)3. 函數(shù)的性態(tài)4. 其他函數(shù)舉例2.1.1函數(shù)概念1

2、. 映射我們在中學(xué)已學(xué)過集合與映射的概念映射是集合與集合間的對應(yīng)關(guān)系，它是社會或自然界中錯綜復(fù)雜的事物間相互依賴關(guān)系的反映. 例如:y是x的兒子, 我們說y與x對應(yīng) 假如這對父母有三個兒子, 我們可以用下圖表示:圖2.1這里父母親集合= x1, x2, 兒子集合=y1,y2,y3, x (可取值x1,x2)稱為自變量,y稱為因變量 這是一個多值對應(yīng), 與一個自變量值對應(yīng)的因變量值允許多于一個 如果說x是y的生父, 那么x與y的對應(yīng)(兒子對應(yīng)到他的生父)就是單值對應(yīng)了， 如下圖所示 圖2.22. 函數(shù)定義如果只研究實數(shù)集合(用R或(-,+)表示)或其子集合之間的單值對應(yīng), 這種映射就是函數(shù).函數(shù)

3、定義. 設(shè)與都是R的子集合, 對于中每個元素( 即數(shù) ) x,按照一個確定的規(guī)則 (記作 ),唯一對應(yīng)著的一個元素y ,常記作 或y =(x) ,我們稱是集合到集合的函數(shù)，記作 ,x與y分別稱為自變量與因變量，稱為定義域，y =(x)也稱為函數(shù)在x處的值.同時,也常用y =(x) , xÎ表示這個函數(shù).當(dāng)x取遍定義域中所有數(shù)時, 對應(yīng)函數(shù)值全體組成的集合()=y| y = (x), 對某個xÎ 稱為函數(shù):®的值域. 函數(shù)的定義域與值域分別用與表示.注. 定義域與對應(yīng)規(guī)律是函數(shù)概念的兩個基本要素函數(shù)圖象. 直角坐標(biāo)平面上集合= (x, y) |xÎ, y

4、= f(x)稱為函數(shù)y = f(x)的圖象.例2.1.1 一次(線性)函數(shù)f (x) = 3x+2. 這是純數(shù)學(xué)函數(shù), 摒棄了任何實際意義, 其自變量允許取任何實數(shù), 因此其定義域= R . 給定x的任何一個實數(shù)后, 先用3乘, 再加2, 就得對應(yīng)函數(shù)值例如:：f (4) = 3×4+2 = 14 f就表示從x到3x+2的函數(shù)關(guān)系：此函數(shù)的值域顯然是= R, 其圖象是一條直線 圖2.33. 分段函數(shù)若函數(shù)f的定義域被分成若干部分, 各部分上f的對應(yīng)規(guī)律用不同方式表達, 則f稱為分段函數(shù).例2.1.2 1996年起，天津市人民政府根據(jù)國家規(guī)定與天津市實際情況制訂了個人所得稅征收標(biāo)準(zhǔn)，其

5、計算辦法如下表所列試建立每月個人應(yīng)交納的稅款y與月收入x間的函數(shù)關(guān)系級數(shù)全月收入額x ( 元 )稅率 ( % )速算扣除數(shù) ( 元 )11000 £ x £< x £ 3000102533000 < x £ 60001512546000 < x £ 2100020375521000 < x £ 41000251375641000 < x £ 61000303375761000 < x £ 81000356375881000 < x £ 1

6、0100040103759x > 1010004515375計算公式:月收入不超過1000元的不交個人所得稅;月收入超過1000元的應(yīng)納稅額= (月收入額 - 1000)´適用稅率 - 速算扣除數(shù) 舉例: 某人月收入額為3000元, 則應(yīng)納稅額為 ( 3000 - 1000 ) ´ 10% - 25 = 175 ( 元 )解. 根據(jù)上表可得函數(shù)yy(x)的表達式為： 化簡 ß此函數(shù)為分段函數(shù), 其定義域被分成十個部分, 各個部分上對應(yīng)關(guān)系由不同代數(shù)式確定上述函數(shù)的定義域是， 其圖象如下圖所示, 它由斜率各不相同的九條線段與一條射線組成. 圖2.4計算分段函數(shù)

7、在給定自變量x = a處的函數(shù)值時, 先找到a在定義域的哪個部分, 然后用相應(yīng)的函數(shù)定義方式計算例如: 上例中計算y(2500)時, 由于1500 < 2500 £ 3000, 因此y(2500) = 0.1´2500 - 125 = 125 注. 符號 0 , +¥)表示集合 x| 0£ x<+¥, 稱為區(qū)間 其種類有 開區(qū)間: ( a, b ) = x|a < x< b,( a, +¥) = x| x > a, (-¥, b ) = x| x< b, (-¥, +¥

8、) = R ; 閉區(qū)間: a, b = x| a x b；半開半閉區(qū)間:( a, b = x| a < xb, a, b) = x| a x<b , a, +¥)= x| xa, (-, b = x| x b注. 不要把分段函數(shù)說成幾個函數(shù), 上例函數(shù)y(x)并不是10個函數(shù), 它只是一個函數(shù) 取整函數(shù)x. 這是計算機上的重要函數(shù)，x表示不超過x的最大整數(shù). 例如: -1.352 = -2 , -1 = -1 , 0 = 0 , 0.3146 = 0 , .由此我們得到函數(shù) , 稱為取整函數(shù), D = R , R = Z , 此處Z是全體整數(shù)的集合 也是分段函數(shù), 它還可

9、表示為 , .注意: -1.352 = -2 , -1.352 -1， 因此不能說 x為刪去小數(shù)部分得到的整數(shù)取整函數(shù)y = x的圖象是由無窮多條與x軸平行的單位長線段組成的階梯形, 每一線段左端是實點, 右端是空圈, 見下圖. 實點表示在圖象上, 空圈表示被排除在圖象之外. 圖2.52.1.2 由已知函數(shù)產(chǎn)生新函數(shù)1.函數(shù)的四則運算例2.1.4 給定函數(shù)：f (x) = sin x , xÎ (-¥ , + ¥ ) .我們可以形成四個新的函數(shù): .一般地注. 上面公式中出現(xiàn)的、分別是集合運算屬于、交的符號.2.復(fù)合函數(shù) 從自變量x到函數(shù)sin 2x的計算過程是:

10、 .若令z = sin x , 則z起了自變量x到因變量y的過渡作用, 稱為中間變量. 我們說y是函數(shù)sin與( )2的復(fù)合函數(shù), 記作定義. 給定函數(shù) ,則f與g的復(fù)合函數(shù)是即y = gf(x) , x ÎX ,其中z = f (x)稱為中間變量.復(fù)合的過程可從下圖看出 圖2.6注. 并非任何兩個函數(shù)都能復(fù)合. 例如z = f (x) = 3x + 2 , = R，而函數(shù)f (x)的值域：= R ,，如果函數(shù)f (x)和g(z)復(fù)合，對 無定義， 因此f與g不能復(fù)合 只有Ì時, f與g才能復(fù)合 如果Ë, 為了形成復(fù)合函數(shù), 必須縮小f的定義域, 使其值域相應(yīng)地縮

11、小, 以至滿足上述要求. 具體操作是反向的.例如，為求復(fù)合函數(shù) ：的定義域，可先求出 , 再由zÎ, 即3x+20 解得. 即函數(shù)的定義域是 . 圖2.7例2.1.6 試分析函數(shù)是由哪幾個函數(shù)復(fù)合成的, 并求其定義域.解. 從x到y(tǒng)的計算過程是 .因此該函數(shù)由z = f (x) = 3-x ,w = g (z) = lg z ,y = h (w) = 1/w復(fù)合而成 為求函數(shù)y的定義域, 從最后一個函數(shù)y = h (w) = 1/w的定義域w0寫出使中間函數(shù)w = lg z ¹ 0，z應(yīng)取的范圍z>0, z1；再寫出使z = f (x) = 3-x得到的函數(shù)值z屬于上

12、述范圍時x應(yīng)取的范圍：x<3, x2上面推導(dǎo)過程如下：故該函數(shù)的定義域是 .例2.1.7 某人準(zhǔn)備從美國去日本旅游, 將5000美元以1 ¤ 107.54的比率換成日元. 但因故沒有去成, 只好又將換成的日元以107.95 ¤ 1的比率換回美元. 若先用美元數(shù)x作自變量, 日元數(shù)z作因變量, 則美元換成日元的公式是 z = f (x) = 107.54x . 接著又以日元數(shù)z作自變量, 換回的美元數(shù)y為因變量, 則日元換回美元的公式是 .從拿出美元到收回美元的過程是這是由f與g復(fù)合起來的復(fù)合函數(shù): .于是此人約損失了 5000×(1-0.996) = 20

13、(美元) .例2.1.8 設(shè) f (xa) = x ( xa ) , 求 f (x).解. 由于 , 令 z = x a, 即 x = z + a , 得f (z) = f ( x a ) = x ( x a ) = ( z + a ) z .再將上式中的z換成x,即得f (x) = x( x + a) .上述方法稱為變量代換, 通過z = x a將x換成z ,然后解出結(jié)果3.反函數(shù) 現(xiàn)在研究指數(shù)函數(shù)y = 2x與對數(shù)函數(shù)y = log2x的關(guān)系: .它們的圖象分別是 圖2,8圖2.9注. 這里函數(shù)f是定義域= R到值域= ( 0 , +¥ )上的一一對應(yīng), 即對每個x = x0 &

14、#206;, 有唯一的與x0對應(yīng), 不同的x對應(yīng)著不同的函數(shù)值y = 2x反之, 對每個y0Î, 也有唯一的x0 Î使得 一一對應(yīng)在幾何上表現(xiàn)為: 每一水平直線 y = y0Î與函數(shù)圖象y = 2x相交于唯一的點( x0 , y0 ), 其中: 圖2.10由此我們把x0稱為以2為底y0的對數(shù), 記作x0= log 2y0 .當(dāng)y取遍的值, 就得對數(shù)函數(shù) .按傳統(tǒng)習(xí)慣, 用x表示自變量, y表示因變量. 因此寫成我們把g稱為f的反函數(shù), 往往寫成g = f1 . 當(dāng)然, 指數(shù)函數(shù)y = 2x,xÎR , 也是對數(shù)函數(shù)y = log2x, xÎ (

15、 0 , +¥ ), 的反函數(shù).定義. 設(shè)函數(shù)是一一對應(yīng), 即對每一xÎX, 按對應(yīng)規(guī)律f有唯一的yÎY與之對應(yīng), 反之, 每一yÎY , 也有唯一的xÎX使得f (x) = y 由此, 我們把反過來的對應(yīng)稱為f的反函數(shù), 記作當(dāng)然, f也是f1的反函數(shù). 按傳統(tǒng)習(xí)慣,用x表示自變量, y表示因變量. 因此y = f (x)的反函數(shù)記作y = f-1(x) , xÎ.現(xiàn)把y= f (x)及其反函數(shù)y = f-1(x)的圖象畫在同一直角坐標(biāo)系里(以y = 2x與y = log2x為例)： 圖2.11由于 ( x , y ) Î

16、Ûy = f (x)Ûx = f-1(y ) Û( y, x) Î. 因此, 互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象關(guān)于直線y = x對稱 .例2.1.9 考慮函數(shù) y = sinx, xÎR ,其值域是-1, 1. 此函數(shù)不是一一對應(yīng). 例如, 有無窮多個Z使得sinx = 0.5 . 圖2.12 為構(gòu)造出反函數(shù), 需要把定義域縮小成 -p¤ 2 , p¤ 2 . 于是函數(shù) 為一一對應(yīng), 可得到f的反函數(shù) 圖2.13 圖2.14同理有的反函數(shù), 它們分別是其圖象分別是：圖2.15圖2.16圖2.17 求的反函數(shù)解. 寫出給定函數(shù)的定義

17、域 ( -¥ , 2 ) È ( 2 , +¥ ) , 從式解出, 改寫此式為 .再寫出給定函數(shù)的值域, 即反函數(shù)的定義域是 ( -¥ , 1 )È( 1 , +¥ ) .4.初等函數(shù)下表中列出的函數(shù)稱為基本初等函數(shù):名稱表達式定義域常數(shù)函數(shù)y = cxÎR冪函數(shù)y = xm，m可為任意非零實數(shù)隨 m 而定指數(shù)函數(shù)y =ax , a > 0 , a¹ 1xÎR對數(shù)函數(shù)y = logax , a > 0 , a¹ 1xÎ ( 0 , +¥ )三角函數(shù)正弦函數(shù)y =

18、sin xxÎR余弦函數(shù)y = cos xxÎR正切函數(shù)y = tan xx ¹kp + 0.5 p , k ÎZ余切函數(shù)y = cot xx ¹kp , k ÎZ正割函數(shù)y = sec xx ¹kp + 0.5 p , k ÎZ余割函數(shù)y = csc xx ¹kp , k ÎZ反三角函數(shù)反正弦函數(shù)y = arcsin xxÎ -1 , 1 反余弦函數(shù)y = arccos xxÎ -1 , 1 反正切函數(shù)y = arctan xxÎR反余切函數(shù)y = arccot

19、xxÎR反正割函數(shù)y = arcsec xxÎ ( -¥ , -1È 1 , +¥)反余割函數(shù)y = arccsc xxÎ ( -¥ , -1È 1 , +¥) 對表中函數(shù)的圖象，請讀者自己研究繪制 定義. 有限個基本初等函數(shù)通過有限次四則運算或復(fù)合得到的函數(shù)稱為初等函數(shù)例2.1.11 求初等函數(shù)的定義域解. 該函數(shù)由四個初等函數(shù)經(jīng)四則運算組合而成，考察某點x是否在定義域內(nèi)，要看這一點是否在每一個函數(shù)的定義域內(nèi)因lgsin x與arccos x的定義域分別是2kp< x < ( 2k + 1)

20、 p, kÎZ ,與xÎ -1 , 1 , 故給定函數(shù)的定義域是它們的交集 ( 0 , 1 注. 分段函數(shù)一般不是初等函數(shù),當(dāng)然也有少數(shù)例外函數(shù)的性態(tài)1. 函數(shù)的奇偶性定義. 設(shè)函數(shù)f (x)的定義域關(guān)于原點對稱, 即xÎÛ- xÎ,若f (-x) = f (x) ,xÎ,則稱f為偶函數(shù);若f (-x) = -f (x) ,xÎ, 則稱f為奇函數(shù).例. y =x2 -cos x , xÎR , 是偶函數(shù),其圖象是 圖2.18y =x3 + sin x , xÎR , 是奇函數(shù)，其圖象是 圖2.19偶函數(shù)的

21、圖象關(guān)于y 軸對稱，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱兩個偶函數(shù)之和、差、積與商仍是偶函數(shù)，兩個奇函數(shù)之和、差仍是奇函數(shù)，兩個奇函數(shù)之積與商是偶函數(shù)，奇函數(shù)與偶函數(shù)之積與商是奇函數(shù) 判定函數(shù)R，是奇函數(shù)、偶函數(shù)、還是非奇非偶函數(shù).解. 因.故該函數(shù)是奇函數(shù)，其圖象是 圖2.202.函數(shù)的周期性定義. 給定函數(shù)f(x),xÎ,若存在常數(shù)T使得:1) xÎÛx+TÎ,2) f (x+ T) = f (x) , xÎ,則稱f (x)為周期函數(shù), 滿足上述條件的最小正數(shù)T稱為f (x)的周期.例: sin x, cos x, sec x, csc x是周期2p的

22、函數(shù), tan x, cot x是周期 p 的函數(shù).以T為周期的函數(shù)圖象沿x軸方向左右平移T的整數(shù)倍數(shù), 圖象將重合 下面的tan x圖象顯示了周期 p的特性: 圖2.21例2.1.13 求函數(shù) y = 5sin(px)的周期解. 因 y = 5sin(px) = 5sin(px+2p) = 5sinp(x+2) , 故該函數(shù)的周期是2一般, sin wx的周期為 2p¤w 3.函數(shù)的單調(diào)性定義. 給定函數(shù)f (x), xÎ, 設(shè)(a, b)Ì , 若對任意x1, x2Î ( a , b ), x1< x2 ,1) 有 f (x1) < f

23、(x2) , 則稱f (x)在( a, b)單調(diào)增加;2) 有f (x1) > f (x2) , 則稱f (x)在( a, b)單調(diào)減少;3) 有f (x1) £f (x2) , 則稱f (x)在( a, b)單調(diào)不減;4) 有f (x1) ³f (x2) , 則稱f (x)在( a, b)單調(diào)不增.單調(diào)增加與單調(diào)減少分別簡稱為遞增與遞減圖2.22 遞增函數(shù)圖2.23 遞減函數(shù)圖2.24 不減函數(shù)圖2.25 不增函數(shù)例 2.1.14 y = x2在 ( -¥ , 0 ) 遞減, 在 0 , +¥遞增,其圖象如下： 圖2.264.函數(shù)的有界性定義.

24、給定函數(shù)f (x), xÎ, 集合Ì, 若存在正數(shù)M使得1) 對任何 xÎ, 有|f (x)|£ M , 則稱f (x)在有界, 否則稱為無界.2) 對任何 xÎ, 有f (x)£ M , 則稱f (x)在有上界, 否則稱為無上界.3) 對任何 xÎ, 有f (x)³- M , 則稱f (x)在有下界, 否則稱為無下界.注. 集合可以是閉區(qū)間a,b, 開區(qū)間(a,b), 也可以是半開半閉區(qū)間 或 . 圖2.27 有界函數(shù)無界函數(shù)的圖可見圖2.21. 圖2.28 有上界函數(shù) 圖2.29 有下界函數(shù) 上面是函數(shù)有界的定

25、義，那么我們?nèi)绾卫斫狻昂瘮?shù)無界”這一命題呢？命題P ： 函數(shù)f (x)在集合無界 命題P應(yīng)是命題：“函數(shù)f (x)在有界”Û“存在正數(shù)M, 滿足對任何xÎ, |f (x)|£M”的否命題, 因此命題P Û“不存在正數(shù)M, 滿足對任何xÎ, 有|f (x)|£M”Û“對任何一個正數(shù)M, 都不滿足對任何xÎ , 有|f (x)|£M”Û“對任何一個正數(shù)M, 至少有一個xÎ, 不滿足|f (x)|£M”Û“對任何一個正數(shù)M, 存在一個xÎ, 使得|f (x)|

26、> M”換句話說,命題P是“對任何一個正數(shù)M, 存在xÎ， 使得|f (x)| > M”,即對無論多大的正數(shù)M, 總有xÎ, 使得|f (x)| > M 圖2.302.1.4 其他函數(shù)舉例1. 經(jīng)濟學(xué)函數(shù)需求函數(shù) 市場對商品的需求q依賴于商品價格p, 這種依賴關(guān)系稱為需求函數(shù):q = q ( p), p Î 0 , +¥ ) 一般說, q ( p)是遞減函數(shù): 價格上升, 需求減少. 例如： q = a- bp, p Î0, a/b ( 其中a , b是常數(shù)，且a>0, b>0 ) .圖2.31 需求函數(shù)供給函數(shù)

27、廠家向市場提供的商品量(供應(yīng)量)q對于價格p的依賴關(guān)系稱為供給函數(shù) ：q = f ( p), p Î 0 , +¥ ) 一般說, f ( p)是遞增函數(shù): 價格上升, 刺激廠家多生產(chǎn). 例如:q =c +dp, p Î 0 , +¥ (其中c , d為正的常數(shù)). 圖2.32 供給函數(shù)平衡價格同一市場中, 某種商品有時供不應(yīng)求(供給量少于需求量), 此時價格將上升; 有時供過于求 (供給量多于需求量), 此時價格將下降 這種市場調(diào)節(jié)的客觀規(guī)律將不斷使價格進行調(diào)整, 逐漸達到平衡，即供求平衡時的價格p0 這可以將需求函數(shù)曲線與供給函數(shù)曲線畫在同一直角坐標(biāo)系

28、里, 若它們的交點是(p0, q0), 則p0就是平衡價格, 此時供給量等于需求量. 圖2.33成本函數(shù)生產(chǎn)總成本: 固定成本與產(chǎn)量無關(guān)的部分, 如房租, 水電費等;可變成本與產(chǎn)量有關(guān)的部分例如: C = C0+ ax, x Î 0 , +¥)C 生產(chǎn)總成本C0固定成本ax可變成本: a > 0是常數(shù) , x是產(chǎn)量收入(益)函數(shù) 銷售收入R依賴于銷售量x的函數(shù)關(guān)系稱為收入(益)函數(shù) 對市場來說, 銷售量就是需求量, 對廠家來說, 當(dāng)全部產(chǎn)品都能售完時, 銷售量就是產(chǎn)量 若價格為p, 則收入函數(shù)為R = px .利潤函數(shù) 銷售收入R扣除成品C后得利潤L, 即 L(x)

29、= R (x) C (x) 稱為利潤函數(shù)2.數(shù)列 現(xiàn)在我們來重新認識中學(xué)學(xué)過的數(shù)列： u1 , u2 , u3 , , un , .令 f (n) = un , nÎN ,其中N是正整數(shù)集合 這就得到函數(shù)： .因此 , 數(shù)列 un是以N為定義域的一種特殊函數(shù), 且函數(shù)值un按照項數(shù)n的順序排列起來*菲波那契數(shù)列例2.1.14. 菲波那契數(shù)列. 意大利偉大的數(shù)學(xué)家列昂那多. 菲波那契在1202年研究兔子產(chǎn)崽問題時, 發(fā)現(xiàn)了此數(shù)列 設(shè)一對大兔子每月生下一對小兔子, 每對兔子在出生一個月后又下崽; 同時假定兔子都不死亡 問：一對兔子在一年內(nèi)將繁殖成多少對大兔子? 用un 表示第n月的大兔子

30、對數(shù)則 u1 = 1, 到第2月, u2 = 1, 但已生下1對小兔; 到第3月, 有2對大兔, u3 = 2, 同時第1對大兔又生下1對小兔; 到第4月, u4 = 3, 同時前面兩對大兔又生下2對小兔; 如此繼續(xù), 現(xiàn)在用下表列出月份數(shù)123456789101112n- 1n大兔數(shù)1123581321345589144un-1un小兔數(shù)01123581321345589un-2un-1從上表看出, 第n月的小兔對數(shù)就是un-1, 而第n月的大兔對數(shù)等于第n-1月的大兔、小兔之總對數(shù)：un = un-1 + un-2 un 排成的數(shù)列為： 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,

31、34, 55, 89, 144, 因此一年內(nèi)將繁殖成144對大兔, 另有89對小兔此數(shù)列就稱為菲波那契數(shù)列，表示此數(shù)列的公式： u1=1, u2=1， un = un-1 + un-2 , n = 3, 4, 5, 稱為遞推公式 事實上, 菲波那契數(shù)列也有通項公式:N .請你用歸納法驗證上述公式*證卷投資的艾略特波浪理論20世紀(jì)30年代經(jīng)濟學(xué)家艾略特把菲波那契數(shù)列應(yīng)用于股票價格變化的技術(shù)分析, 創(chuàng)立了艾略特波浪理論,其要點是：無論我們考察多長時間的一個周期，股票價格變化總呈現(xiàn)出8個浪的形態(tài)若在牛市轉(zhuǎn)向熊市即先升后跌狀態(tài)，那么前5個是升浪,后3個是跌浪其中5個升浪的第2, 4兩個是牛市中的調(diào)整(

32、小跌)浪，而在3個跌浪中的第2個是熊市中的調(diào)整(小升)浪，如下圖所示 圖2.34事實上，這8(5+3)個浪是上一級更大浪(圖中一升一跌的中軸線所示)的精細化與上一級大浪方向一致的小浪(圖中的,)稱為推動浪，否則稱為調(diào)整浪(圖中的,)若在熊市轉(zhuǎn)向牛市即先跌后升狀態(tài)，那么前5個是跌浪,后3個是升浪，其中第,仍為推動浪，,仍為調(diào)整浪如下圖所示 圖2.35艾略特波浪理論認為股票價格變化規(guī)律是上述過程的不斷精細化即每一推動浪與緊隨的調(diào)整浪總是被劃分成5+3個次級浪:5個推動浪與3個調(diào)整浪.如此一直可以細分下去.由此規(guī)律，我們把浪的數(shù)目按下列順序排列起來：1, 1, 2, 3, 5, 8 ， 13， 21

33、， 34， 55， 89， 144， 第一級浪一升一跌第一級浪總數(shù)第四級調(diào)整浪、推動浪數(shù)目第二級調(diào)整浪、推動浪數(shù)目第二級浪總數(shù)第三級調(diào)整浪、推動浪數(shù)目第三級浪總數(shù)第四級浪總數(shù)就形成一個菲波那契數(shù)列，這可以用數(shù)學(xué)歸納法證明艾略特波浪理論的詳細內(nèi)容可參考周愛民著證卷投資分析方法研究一書*3.多元函數(shù) 由于自然界與社會事物變化的復(fù)雜性, 經(jīng)常要研究多種因素間的相互依賴關(guān)系數(shù)學(xué)上表現(xiàn)為一個變量z依賴于兩個或多個變量x, y, 于是因變量z就成為兩個或多個自變量 x, y, 的函數(shù)例如矩形面積S依賴于長x與寬y： S = xy. 我們稱S是x與y的二元函數(shù). 通常記二元函數(shù)為z = f (x, y) .

34、 類似地有三元、四元、等函數(shù), 統(tǒng)稱多元函數(shù), 其中的“元”指自變量的個數(shù), 但自變量要規(guī)定一個次序, 寫成有序數(shù)組 例如二元函數(shù)的自變量寫成(x, y) 公元1年1月1日是星期1，經(jīng)數(shù)學(xué)證明，確定公元x年y月z日是星期幾(n)的計算方法如下：其中w(mod 7)表示用7除w 所得的余數(shù)例如你要知道2008年1月1日是星期幾, 則 x = 2008 , y = 1 , z = 1,Þ ,Þ n = 2 .故2008年元旦是星期2 請你分析一下: 從自變量 ( x , y , z ) 到因變量n的對應(yīng)是如何構(gòu)成的, 此函數(shù)的定義域是什么?值域是什么?*4.數(shù)理語言學(xué)把事物的轉(zhuǎn)

35、換理解為對應(yīng), 應(yīng)用于語言學(xué)的結(jié)構(gòu)研究, 人們就創(chuàng)立了數(shù)理語言學(xué)每種語言是由一些基本句子組成的集合, 同時規(guī)定了一組轉(zhuǎn)換關(guān)系(映射) 基本句子由名詞與動詞構(gòu)成. 通過規(guī)定的轉(zhuǎn)換關(guān)系把幾個基本句子聯(lián)結(jié)在一起, 就可產(chǎn)生許許多多復(fù)雜的句子例如給定 及轉(zhuǎn)換規(guī)則 t1 = 用“和”把S1, S2聯(lián)結(jié)在一起:t1: ( S1 , S2 ) ®S3 = t1 ( S1 , S2 ) = 張光輝騎車和王定芳騎車.轉(zhuǎn)換規(guī)則 t2 = 省略第一個“騎車”:t2: S3®S4 = t2 ( S3 ) = 張光輝和王定芳騎車.轉(zhuǎn)換規(guī)則t3 = 在S4后加上“到火車站”t3: S4®S5

36、 = t3 ( S4 ) = 張光輝和王定芳騎車到火車站. 三個轉(zhuǎn)換t1, t2, t3是三個映射, 它們的復(fù)合就構(gòu)成了從( S1 , S2 )到S5的轉(zhuǎn)換:=t3( t2 ( t1( S1 , S2 ) ) ) = 張光輝和王定芳騎車到火車站.習(xí) 題對下列函數(shù),求指定的函數(shù)值:(1) 設(shè) , 求 f ( 0 );(2) 設(shè) g (x) = -sin x , 求;(3) 設(shè)f (x) = x2 , 求在x = 0, -1, 1, 1.5, 0.25處f (x)的值 ;(4) 設(shè) ,求f (-2);(5) 設(shè) f ( x-1) = x2 +1, 求f ( x0+h ) - f ( x0) ; (

37、6) 設(shè), 求f (x) ;(7) 設(shè) , g (x) = 1+ x , 求f g (x) ;(8) 設(shè) f (x) =1+lg x , g (x) = 1+ , 求f g (x) ;(9) 設(shè) f (x) = x2 + x +1 , 求 f; (10) 設(shè) f (x) =, 求f (-2);(11) 設(shè) f (x) = x2 , g (x) = 2x, 求f g (x) ;(12) 設(shè)g (x) = 1+x, 且當(dāng) x¹0時 f g (x) = , 求;(13)設(shè)y = g (x)與y = 的圖象關(guān)于直線y = x對稱, 求g (x) 的表達式;(14)設(shè)f ( sin x ) =

38、 3 - cos 2x, 求f (cos x);(15)設(shè)f (x) =, 求 x ¹ 1 且x ¹ 0時的;(16)設(shè) f (x) = sin x2, g (x) = x2 +1, 求f g (x) ;(17)設(shè)f =,求f (2x);*(18)設(shè)f(x)滿足其中a , b是已知常數(shù). 求f(x)的表達式 ;*(19) 設(shè)f (x)滿足af (x) +b f = cx, 其中a, b, c均為非零常數(shù), 且. 求f (x)的表達式;*(20) 已知ab¹ 0 , 且, 函數(shù)f (x)滿足af (x- 1) + bf (1-x) = cx, 求f (x)的表達式.

39、2.1.2 將函數(shù)f (x) = 2 -½x-2½表為分段函數(shù)時, f (x) =?2.1.3 求下列函數(shù)的定義域：(1) fg(x),其中f(x)=lgx , g(x) = x + 3 ;(2) ;(3) ; (4) ;(5) ; (6) ;(7) ; (8) .2.1.4設(shè)f(x) 的定義域是0, 2 , 求f (x-1)的定義域.2.1.5 設(shè)f ( x )的定義域是0, 1, 求 f ( x+a )的定義域.2.1.6 設(shè)f ( x )的定義域是0, 4, 求 f ( x2)的定義域.2.1.7 設(shè)f ( x )的定義域是0, 1,且0£a£ 0

40、.5 , 求f ( x+a ) + f( x-a )的定義域.2.1.8 求下列函數(shù)的值域：(1) f(x) = 3 + 2 cos x; (2) f(x) =arctan x + 0.5 arcsin x ;(3) .2.1.9 設(shè) ,求包含Rf的最小有限區(qū)間. 又對函數(shù) ,這樣的區(qū)間存在嗎?2.1.10 設(shè) A = x |-1 £x £a , a > -1 . 又設(shè)B = y |y = 2 x+1, xÎA ,C = y |y = x 2, xÎA , B ÇC = C. 問: a應(yīng)滿足什么條件?2.1.11 求下列函數(shù)的反函數(shù):(1

41、); (2) y = p+ arc tan, xÎR ; (3) y =2x-1, xÎR; (4) y = log 9 3 +log 4, xÎ ( 0 , +¥ );2.1.12 設(shè), 求f -1(x).2.1.13 求下列函數(shù)的反函數(shù)及其定義域與域值:(1)f(x) = x3- 1 ; (2)f(x) = ;(3)f(x) = lg (x2- 1), x > 1 ; (4) f(x) = arc tan (x3 + 1).2.1.14 分析下列函數(shù)是如何復(fù)合構(gòu)成的: (1)y =; (2) y =;(3) y = 1+ ( lg tan x)

42、 2 3; (4) y = sin arc cos .2.1.15 作下列函數(shù)的圖象:(1) y = x2, x Î -2 , 2 ; (2) y = x 2 , x Î -2 , 2 ;(3)符號函數(shù) (4)y = .2.1.16 研究下列函數(shù)的單調(diào)性:(1) y = 2 - 3x ; (2) y = 3-x ; (3) y = log 0.2x ; (4) y = 3 -x2 .2.1.17 函數(shù) y = ax2 + c 在( 0 , +¥ )內(nèi)遞增, 求a , c滿足的條件.2.1.18 判斷下列函數(shù)是否周期函數(shù), 若是, 求出其周期:(1) y = sin

43、; (2) y = sin x + cos x ; (3) y =x sin 3x ; (4) y = tan; (5) y =| sin x|.2.1.19 判斷下列函數(shù)是奇函數(shù), 偶函數(shù)還是非奇非偶函數(shù):(1)f(x) = x2 ; (2)f(x) = x 2 ; (3)f(x) = ;(4)f(x) = ; (5)f(x) = ; (6)f(x) = lg x .*2.1.20 求下列函數(shù)的定義域:(1) ; (2) ; (3) ;(4) ; (5) z = arc sin(1 -y) + lg( x-y ) . *2.1.21 求下列函數(shù)的指定函數(shù)值:(1) 設(shè)f (x, y ) =

44、, 求f; (2) 設(shè) z(x, y ) = |x y | + , 求z;(3) 設(shè) f (x+ y , x-y ) = x2 -y2, 求f (x , y) ; (4) 設(shè)f (x , y) = lg, ( x > y >0 ), 求 f (x+ y , x-y ) . 2.1.22 已知50克相當(dāng)于1.7637盎司, 寫出從盎司換成克的公式, 即x盎司應(yīng)重多少克?2.1.23 設(shè)需求函數(shù)由p + q = 1給出, 其中p是價格, q是需求量.(1) 求總收益R關(guān)于q的函數(shù)R(q); (2) 若出售1 / 3單位, 則總收益應(yīng)是多少?2.1.24 已知產(chǎn)品價格p與需求量q滿足關(guān)系

45、4p + q = 60 . 求:(1) 價格對于需求的函數(shù)p = p (q), 并作圖;(2) 總收益函數(shù)R = R(q), 并作圖;(3) p(0), p(1),p(6),R(1.5),R(5.5), R(7).2.1.25某市場對棉花的需求函數(shù)由方程pq1.4 = 55給出. 求(1) 總收益函數(shù)R(q); (2) R(10),R(12), R(15) .2.1.26 某企業(yè)對一產(chǎn)品的銷售策略是: 購買不超過20公斤, 每公斤價10元; 購買不超過200公斤時, 超過20公斤部分, 每公斤7元; 購買超過200公斤的部分, 每公斤5元. 試寫出購買量為x公斤的費用函數(shù)C(x).*2.1.2

46、7 預(yù)測2010年元旦是星期幾, 并用例2.1.15的星期公式, 計算一下你出生那天是星期幾, 再核實一下你的答案.*2.1.28 試分析例2.1.15的星期公式的函數(shù)構(gòu)成.*2.1.29證明:菲波那契數(shù)列的un(n> 2)被其前面第2項un-2除, 必得商2, 且余數(shù)是un-3 .*2.1.30 用歸納法證明菲波那契數(shù)列的通項公式:.*2.1.31 令 S1 =“父親修理”, S2 =“兒子修理”是兩個基本句.(1) 試用一個轉(zhuǎn)換t1導(dǎo)出句子“父親修理這輛自行車”, 記此句子為S3 ;(2) 試用一個轉(zhuǎn)換t2由S3導(dǎo)出句子S4 =“這位父親修理這輛自行車”; (3) 若t1作用于S2

47、, 將導(dǎo)出什么句子? 即S5 =t1(S2)是什么?(4) 試確定轉(zhuǎn)換t3 ,使t3(S5) = S6 =“他的兒子修理這輛自行車”;(5) 令t4是在兩個句子中間嵌入“或”的轉(zhuǎn)換, 試說明t4(S4 , S6) = S7的含義;(6) 試確定轉(zhuǎn)換t5 , 把“這位父親修理這輛自行車或他的兒子修理這輛自行車”變成S8 =“這位父親或他的兒子修理這輛自行車”(7) 列出從S1 , S2出發(fā), 最后導(dǎo)出S8的所有轉(zhuǎn)換.*2.1.32 將復(fù)雜句“張光輝和王定芳騎車到火車站”分解成兩個基本句. 即定義若干轉(zhuǎn)換, 它們的作用正好與構(gòu)造這個復(fù)雜句時用的轉(zhuǎn)換相反, 稱之為原轉(zhuǎn)換的逆轉(zhuǎn)換.思 考 題2.1.3

48、3 冪指函數(shù)是否初等函數(shù)? 2.1.34 有上界的函數(shù)能否說有界?2.1.35 分段函數(shù)是否初等函數(shù)?2.1.36 怎樣求分段函數(shù)的反函數(shù)？試舉一例.2.1.37怎樣求由分段函數(shù)復(fù)合起來的復(fù)合函數(shù)表達式？試舉一例.2.1.38我們定義的函數(shù)都是單值函數(shù),即與自變量的一個值對應(yīng)的函數(shù)(因變量)值是唯一的. 既然函數(shù)值是唯一的,那么是否每個函數(shù)都有反函數(shù)?究竟什么樣的函數(shù)才能有反函數(shù)?2.1.39關(guān)于函數(shù)的有界性,你能夠區(qū)分出哪幾類？舉例說明.2.1.40 周期函數(shù)是否一定是初等函數(shù)?2.1.41 設(shè)y=f(u),u=g(x)都是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù),那么復(fù)合函數(shù)y=fg(x)在其定義域內(nèi)是否一定嚴(yán)格單調(diào)

49、?2.2 極限教學(xué)要求本節(jié)要求讀者在中學(xué)數(shù)列極限的基礎(chǔ)上1.掌握函數(shù)極限的直觀意義和運算法則；2.學(xué)會運用重要極限來計算初等函數(shù)或數(shù)列的極限；3.理解無窮小量與無窮大量及其等價的意義, 掌握運用無窮小量等價計算極限的方法；4.了解初等函數(shù)的連續(xù)性；5.初步了解極限概念的應(yīng)用知識點1.極限概念2.極限的性質(zhì)3.兩個重要極限4.無窮小量與無窮大量5.應(yīng)用舉例*6.函數(shù)極限的分析定義2.2.1 極限概念 早在2300年前，我國春秋戰(zhàn)國時期的哲學(xué)名著莊子記載著莊子的朋友惠施的名言：“一尺之捶，日取其半，萬世不竭”意思是：從一尺長的桿，第一天截取一半，第二天截取余下的一半，即1/ 4：如此繼續(xù)，每天截取

50、前一天剩余的一半，以至無窮，永無止境 把每天截取的量按順序?qū)懗鰜砭统傻缺葦?shù)列：日子序號n12345n截取量f(n)1/21/41/81/161/321/2n 當(dāng)日子序號(即數(shù)列的項數(shù))無限增大時， 對應(yīng)的截取量(即通項) 1/2n就無限地接近0， 但又永遠不會等于0 正如莊子所說： “萬世不竭” 早在1700年前， 我國三國時期數(shù)學(xué)家劉徽運用割圓術(shù)算出圓周率p介于3.1410與3.1427之間 割圓術(shù)的基本思想是用圓的內(nèi)接正n邊形周長逼近圓周當(dāng)n無限增大時， 正n邊形周長ln就無限接近圓周pd(其中d是圓的直徑) 圖2.36定義 給定數(shù)列 xn ，若項數(shù)n無限增大時(記作n®

51、5;)，通項xn無限地接近常數(shù)A，則稱A為數(shù)列 xn 的極限，記作，同時說數(shù)列 xn 收斂到A否則稱數(shù)列 xn 發(fā)散注“” 讀作“n趨于無窮大時xn 的極限是A” ，也簡化讀作“l(fā)imit xn等于A”例2.2.3 求 解 因 其中隨n無限增大時無限地逼近0， 故無限地逼近1 因此=1 數(shù)列：a0 ， a0q ， a0q2 ， ， a0qn， 稱為等比數(shù)列，q是其公比 例2.2.1中, 從惠施名言得知每日截取量形成的數(shù)列是a0 = 1/2 ， q = 1/2 的等比數(shù)列 若a0¹ 0， 則我們有 .例2.2.5 等比級數(shù)的求和把等比數(shù)列 a0qn的所有項用加號連接起來：a0 + a0

52、q + a0q2 + + a0qn + ，這個式子可縮寫成，并稱為等比級數(shù). 式子a0 + a0q + + a0qn-1 = 稱為該等比級數(shù)的前n項部分和， 記作sn 于是得到部分和的數(shù)列： s1 = a0 ， s2 = a0+ a0q ， ， sn = a0 + a0q + + a0qn-1， 現(xiàn)在研究數(shù)列 sn 的收斂問題因，所以，只要| q |<1,極限就存在，此極限可以理解為級數(shù)所有項加起來的結(jié)果,我們稱為等比級數(shù)的和，并記作 = （ | q |<1 ）對| q |³ 1，極限不存在，我們就說等比級數(shù)發(fā)散例如， 即把1尺長的桿，每天截取前一天余下的一半，把所有截取

53、的量加起來，就應(yīng)等于整個桿的長度1尺 例2.2.6 把循環(huán)小數(shù)=0 .313131化成分數(shù) .解 = 0 .31+0 .0031+=31´(102 +104 + )= 31´102 ¸(1-102)= 31/99 我們已經(jīng)了解數(shù)列的極限，但是微積分的主要研究對象是函數(shù)，數(shù)列是自變量取正整數(shù)值的特殊函數(shù)，我們不僅要研究數(shù)列的變化趨勢，更需要研究一般函數(shù)在自變量向某個方向變化時函數(shù)(因變量)值是如何變化的實際上，函數(shù)極限是微積分學(xué)的最基本工具，它貫穿微積分學(xué)的始終我們先看兩個例子 當(dāng)無限地逼近于0時， 看函數(shù)是如何變化的?解. 我們從下圖看到， x在0的兩側(cè)無限地逼近于0時， 引