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1、泰勒公式以及應(yīng)用摘要泰勒公式是微積分學(xué)中的重要內(nèi)容，它建立了函數(shù)的增量,自變量增量與一階及高階導(dǎo)數(shù)的關(guān)系。利用泰勒公式可以很好的解決某些問題，使問題化繁為簡(jiǎn)。首先，本文給出了帶有各種余項(xiàng)的泰勒公式以及證明，其次，從一元函數(shù)的微分出發(fā)，引出一元函數(shù)及二元函數(shù)的高階微分，以微分形式給出一元函數(shù)及二元函數(shù)的泰勒公式，以及介紹在相同條件下泰勒公式的另一種形式的推廣。再次，致力于研究時(shí)間標(biāo)度上二元函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t，以其在最優(yōu)控制上有廣泛的應(yīng)用.同時(shí)，對(duì)一元函數(shù)的泰勒公式給出一種新的較為簡(jiǎn)單的證明方法。最后，本文舉例介紹了泰勒公式在近似計(jì)算、極限運(yùn)算、不等式的證明、判斷函數(shù)極值、判定二元函數(shù)極限存在性、求高

2、階導(dǎo)數(shù)在某些點(diǎn)的數(shù)值、討論級(jí)數(shù)與廣義積分的斂散性判斷、關(guān)于界的估計(jì)、計(jì)算n階行列式、判斷方程根的唯一存在性等方面的具體應(yīng)用。關(guān)鍵詞：泰勒公式；微積分； 函數(shù)極限；級(jí)數(shù)斂散性目錄1.緒論2.泰勒公式2.1帶有各種型余項(xiàng)的泰勒公式一元函數(shù)的泰勒公式帶有Lagrange型余項(xiàng)的泰勒公式2.1.2帶有Peano型余項(xiàng)的泰勒公式2.1.3帶有Cauchy型余項(xiàng)的泰勒公式帶有重積分型余項(xiàng)的泰勒公式及其證明 2.2高階微分與泰勒公式多以函數(shù)的泰勒公式二元函數(shù)的高階微分與n階泰勒公式2.2.2二元函數(shù)的高階微分與n階泰勒公式2.3泰勒公式的另一種形式泰勒公式的其他種形式2.4時(shí)間標(biāo)度上的泰勒公式及鏈?zhǔn)椒▌t2.

3、4.1時(shí)標(biāo)下的全可微的概念的引人2.4.2泰勒公式及其證明2.4.3二元函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t3.泰勒公式的應(yīng)用3.1泰勒公式求某些未定式的極限3.2多項(xiàng)式的泰勒展開式的應(yīng)用3.3泰勒公式在近似計(jì)算中的應(yīng)用3.4利用中值定理和泰勒公式證明函數(shù)極限3.5泰勒公式證明不等式3.6泰勒公式在判定二元函數(shù)極限存在性中的應(yīng)用3.7泰勒公式在n階行列式計(jì)算中的應(yīng)用3.8泰勒公式在判斷級(jí)數(shù)及積分?jǐn)可⑿灾械膽?yīng)用3.9泰勒公式關(guān)于界的估計(jì)3.10判斷方程根的唯一存在性問題3.11用泰勒公式研究函數(shù)凹凸性的一種再拓廣4.結(jié)論5.參考文獻(xiàn)致謝1. 緒論1.1 前言 泰勒公式是高等數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的內(nèi)容，他將一個(gè)復(fù)雜的函數(shù)

4、近似的表示成簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式函數(shù)，這種化繁為簡(jiǎn)的功能，使它成為分析和研究數(shù)學(xué)問題的有力杠桿。通過閱讀大量的參考文獻(xiàn)，從中搜集了大量習(xí)題，并參考了相應(yīng)的參考文獻(xiàn)，對(duì)這些應(yīng)用方法做了系統(tǒng)的歸納總結(jié)，并配有大量例題證明。為了寫好文章我著重查閱參考了高等教育出版社出版高尚華編寫的數(shù)學(xué)分析，這本書給出了泰勒（Taylor）定理的具體定義。本文主要介紹了泰勒公式以及他的應(yīng)用，使我們對(duì)泰勒公式有更深一層的理解，怎樣利用泰勒公式解題有了更深一層的認(rèn)識(shí)。只要在解題中加以分析，研究題設(shè)條件及其形式特點(diǎn)，就能較好的掌握泰勒公式解題技巧。泰勒公式是高等數(shù)學(xué)中非常重要的內(nèi)容。在微分學(xué)和積分學(xué)中，泰勒公式是解決問題的基本方法

5、。同時(shí)他是研究積分和微分的一個(gè)重要紐帶。所以國(guó)內(nèi)外對(duì)它都有一定的研究。 在國(guó)外，泰勒的主要著作是1715年出版的正的和反的增量方法，書內(nèi)以下列形式陳述出他已于 1712年7月給其老師梅欽（數(shù)學(xué)家 、天文學(xué)家）信中首先提出的定理泰勒定理：式內(nèi)v為獨(dú)立變量的增量, 及為流數(shù)。他假定z隨時(shí)間均勻變化，則為常數(shù)。上述公式以現(xiàn)代形式表示則為：這公式是從格雷戈里牛頓插值公式發(fā)展而成的，當(dāng)x0時(shí)便稱作馬克勞林定理。1772年，拉格朗日強(qiáng)調(diào)了此公式之重要性，而且稱之為微分學(xué)基本定理，但泰勒于證明當(dāng)中并沒有考慮級(jí)數(shù)的收斂性，因而使證明不嚴(yán)謹(jǐn)，這工作直至十九世紀(jì)二十年代才由柯西完成。泰勒定理開創(chuàng)了有限差分理論，使

6、任何單變量 函數(shù)都可展成冪級(jí)數(shù)；同時(shí)亦使泰勒成了有限差分理論的奠基者 。泰勒于書中還討論了微積分對(duì)一系列物理問題之應(yīng)用，其中以有關(guān)弦的橫向振動(dòng)之結(jié)果尤為重要 。他透過求解方程 導(dǎo)出了基本頻率公式，開創(chuàng)了研究弦震問題之先河。此外，此書還包括了他于 數(shù)學(xué)上之其他創(chuàng)造性工作，如論述常微分方程的奇異解，曲率問題之研究等。 2.泰勒公式2.1 帶有各種型余項(xiàng)的泰勒公式一元函數(shù)的泰勒公式 帶有Lagrange型余項(xiàng)的泰勒公式（2.2拉格朗日定理證明泰勒公式(18)）泰勒定理： 若函數(shù)在上存在直至n階的連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，在內(nèi)存在階導(dǎo)函數(shù)，則對(duì)任意給定的，至少存在一點(diǎn)使得 其中。（1）（7）證 作輔助函數(shù)所要證明的

7、（7）式即為或 不妨設(shè)，則在與在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且又因所以由柯西中值定理證得其中（7）式同樣稱為泰勒公式，它的余項(xiàng)為稱為拉格朗日余項(xiàng)。所以（7）式又稱為帶有拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式。2.1.2 帶有Peano型余項(xiàng)的泰勒公式定理:若函數(shù)在點(diǎn)存在之至n階導(dǎo)數(shù),則有即(4)證設(shè) 現(xiàn)在只要證 由關(guān)系式(3)可知, 并易知 因?yàn)榇嬖?所以在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)存在階導(dǎo)函數(shù) 于是,當(dāng)且時(shí),允許接連使用洛必達(dá)法則次,得到 定理所證的(4)式稱為函數(shù)在點(diǎn)處的泰勒公式, 稱為泰勒公式的余項(xiàng),形如的余項(xiàng)稱為佩亞諾型余項(xiàng)。所以（4）式又稱為帶有佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式2.1.3 帶有Cauchy型余項(xiàng)的泰勒公式 帶有重積分

8、型余項(xiàng)的泰勒公式及其證明 定理:設(shè)函數(shù)f(x)在上存在直到n階的連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，在（a,b）內(nèi)存在(n+1)階導(dǎo)函數(shù)，則對(duì)任意給定的x,x。（a,b）,f(x)可表示為一個(gè)n次多項(xiàng)式與一個(gè)余項(xiàng)Rn(x)之和，即+ (x。) 其中證明：應(yīng)用Newton-leibniz積分公式易知即同理有故其中結(jié)論：即事實(shí)上由Lhospital法則其他余項(xiàng)中只知道(a,b),這里xnx0(n+);由可知,重積分型余項(xiàng)可以推導(dǎo)出Peano型余項(xiàng),當(dāng)然也能推導(dǎo)出其他各種余項(xiàng)形式,這里不再贅述.2.2 高階微分與泰勒公式多元函數(shù)的泰勒公式二階微分的定義定義1 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，給變量在處一個(gè)增量，且時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)

9、有增量。，如果其增量可表示為，其中不依賴于，則稱函數(shù)在點(diǎn)處的二階微分，并稱為函數(shù)在點(diǎn)處的一階微分、二階微分，依次分別記作：即可以證明：從而記號(hào)與導(dǎo)數(shù)是微商的記號(hào)一致，并且可推廣到高階微分。注 記若記，即，于是即 這就是泰勒公式的雛形，將其推廣到階泰勒公式有水到渠成之作用若用作的近似，即，其精度大為提高。一元函數(shù)的階泰勒公式下面給出基于高階微分形式的階泰勒公式定理1 若函數(shù)在點(diǎn)處的某鄰域內(nèi)有直到階的微分，則在該鄰域內(nèi)任意一點(diǎn)處有公式這里此公式稱為函數(shù)在點(diǎn)的階泰勒公式。用微分記號(hào)，階泰勒公式可寫成這里，其中二元函數(shù)的階微分類似于一元函數(shù)的二階微分，可定義二元函數(shù)的二階微分及高階微分。為了行文方便，

10、這里引入二元函數(shù)的階微分定義 2 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處階微分存在，且有類似于一元函數(shù)的二階微分，在定義二元函數(shù)的二階微分后，同理推出二元函數(shù)的近似計(jì)算公式。二元函數(shù)的階泰勒公式定理 2 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有直到階微分，則在該鄰域內(nèi)任意一點(diǎn)處有如下公式這里，其中 證明：令則由定理1知，一元函數(shù)在上有，應(yīng)用復(fù)合微分法 可知又，故注記從一元函數(shù)到二元函數(shù)甚至到多元函數(shù)，階泰勒公式的形式是統(tǒng)一的，但具體內(nèi)容有所差異，如設(shè)，當(dāng)滿足泰勒中值定理?xiàng)l件時(shí)，有其中在與之間當(dāng)，即時(shí)2.3 泰勒公式的另一種形式泰勒公式的其他種形式若函數(shù)是次連續(xù)可微的，則有 （1）其中，余項(xiàng)這是大家熟悉的泰勒公式（1）本文對(duì)此公式在相同條

11、件下，有下式成立定理：在與（1）完全相同條件下，有下式成立(刪除) （2）其中，余項(xiàng)式（2）(改成(2)式)中的字母是一個(gè)可以自由選擇的參數(shù)（與無關(guān)），它的引入使我們應(yīng)用（2）式時(shí)變得靈活方便。顯然，在（2）式中取就可以直接得到通常的泰勒公式（1）。下面證明（2）式(刪除)證：由不等式積分定義和分部積分法可得再根據(jù)牛頓萊布尼茨公式，有(2)式)再略加變形，得這是所要證明的（2）式(刪除)上述公式表明，區(qū)間上的階連續(xù)可微函數(shù)，其在上的增量可以用兩點(diǎn)之各階導(dǎo)數(shù)為系數(shù)的一個(gè)多項(xiàng)式來近似表達(dá)。3、作為推廣的泰勒公式的一個(gè)應(yīng)用，我們指出，由（2）式很容易推得下面的定理定理 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有任意階導(dǎo)數(shù)，且

12、則在上的增量有下面的無窮級(jí)數(shù)表達(dá)式。 （3）我們來證明（3）式證 在（2）式中令(有問題)改成：注意到 得到其中，（3）式得證2.4 時(shí)間標(biāo)度上的泰勒公式及鏈?zhǔn)椒▌t2.4.1 時(shí)標(biāo)下的全可微的概念的引入一個(gè)時(shí)間標(biāo)度是指實(shí)數(shù)集的任意一個(gè)非空閉子集，用符號(hào)表示。例如：實(shí)數(shù)集，整數(shù)集和自然數(shù)集等。為了便于讀者閱讀本文，我們列舉本文用到的導(dǎo)數(shù)與積分性質(zhì)(見文)。定義1.1設(shè)和稱為前跳算子，為后跳算子，給出格林函數(shù)。定義 如果，則稱是右離散的；如果則稱是左離散的；如果且.則稱是右稠密的；如果并且，則稱t是左稠密的，如果有一個(gè)左離散的最大數(shù)，則，否則。定義1.3對(duì)一個(gè)函數(shù)定義導(dǎo)算子如下：函數(shù)在是可導(dǎo)的，存

13、在一個(gè)數(shù)，如果對(duì)任意，都存在的一個(gè)鄰域使得下式成立對(duì)所有，記。若在點(diǎn)還是可導(dǎo)的，則稱在點(diǎn)是二次可導(dǎo)的。記：，；高階導(dǎo)數(shù)依此類推。定義1.4設(shè)定義，如i)在的每個(gè)右稠點(diǎn)連續(xù)，ii) )存在有限，是左稠點(diǎn)，則稱是右稠連續(xù)的， 記為。定義定理 若在是可導(dǎo)的，則在是連續(xù)的，且2)設(shè)，如果存在，那么于是可導(dǎo)的，且定義1.5積分的定義：對(duì)函數(shù)，如果，則稱函數(shù)是，的原函數(shù).并定義積分為：定理1.2 每一個(gè)在上的右稠連續(xù)函數(shù)都有一個(gè)原函數(shù)，對(duì)，定理1.3 設(shè)存在，則有分部積分公式定義1.6 設(shè)函數(shù)定義在點(diǎn)的一階偏導(dǎo)數(shù)為通過分析我們看到：關(guān)于偏導(dǎo)數(shù)；可見文下面我們引入時(shí)標(biāo)意下全可微的概念：定義1.7 設(shè)函數(shù)，如

14、果存在不依賴于的數(shù)（可能依賴于使得對(duì)一切的成立，其中是充分小的正數(shù)，那么，稱函數(shù)于點(diǎn)是全可微的。注 如果因此可見，函數(shù)的全可微可以視為經(jīng)典意義下全可微概念的推廣2.4.2 泰勒公式及其證明為表述和證明時(shí)標(biāo)意義下一元函數(shù)的泰勒公式，我們首先介紹兩個(gè)單式序列：定義2.1 設(shè)自然數(shù)集，按如下遞推公式定義:不難證明，具有以下性質(zhì)性質(zhì)2.1 i）通過引入，經(jīng)典意義下帶積分型余項(xiàng)泰勒公式可以表述如下定理2.1 設(shè)下面我們借用時(shí)標(biāo)下分部積分公式，如下時(shí)標(biāo)意義下一元函數(shù)泰勒公式：定理2.2（泰勒公式） 設(shè)那么證明 以為例，可利用性質(zhì)2.1二者的關(guān)系得到。設(shè) 為余項(xiàng)，由性質(zhì)2.1易知：分部積分法公式：形式上作如

15、下改寫：，其中表示則由定義1.5和性質(zhì)2.1： （第一次分部積分） （再一次分部積分）（第n次分部積分）其中 定理記畢2.4.3 二元函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t本書將給出時(shí)間標(biāo)度下二元函數(shù)的鏈?zhǔn)椒?，首先介紹時(shí)標(biāo)下關(guān)于一元函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t：定理3.1 設(shè)是連續(xù)函數(shù)，是在上可微的，連續(xù)可微，則使定理3.2 設(shè)函數(shù)是連續(xù)可微且是可導(dǎo)的，那么是可導(dǎo)的且對(duì)任意的利用時(shí)標(biāo)意義下全可微的概念定義1.7及定理3.2，我們給出時(shí)標(biāo)意義下如下的二元函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t。定理3.3（鏈?zhǔn)椒▌t）設(shè)函數(shù)是可導(dǎo)的，那么函數(shù)是可導(dǎo)的，且對(duì)任意的，有證明 給定,如果是右稠點(diǎn)，則由在是可導(dǎo)知在連續(xù)，故定義1.7中從而由定理1.1及定義1.7中第一

16、式得結(jié)論成立如果是右離散點(diǎn)，分兩種情況1）則由定理1.1 且因?yàn)椋芍兄刀ɡ碛啥x1.6得2）則由定理1.1，且時(shí)標(biāo)下的全可微的概念的引人結(jié)論成立，定理證畢例 考慮量子時(shí)標(biāo)取，則定理3.3成立3.泰勒公式的應(yīng)用3.1 泰勒公式求某些未定式的極限3.2 多項(xiàng)式的泰勒展開式的應(yīng)用引理（泰勒中值定理）如果函數(shù)在含有的某個(gè)開區(qū)間內(nèi)時(shí)，可表示為的一個(gè)次多項(xiàng)式與一個(gè)余項(xiàng)之和，即 （1）其中，（介于與之間）推論：如果函數(shù)為次多項(xiàng)式，則的展開式是 （2）可以利用式（2）。給出與代數(shù)式化簡(jiǎn)相關(guān)問題的簡(jiǎn)單方法。1 代數(shù)式變形例1 已知函數(shù)，求函數(shù)式。解 設(shè)函數(shù)，對(duì)直接由泰勒公式，得由于故于是2.代數(shù)方程求解例2：

17、 解方程 對(duì)于三次方程：，通常是通過變換，化為三次方程1545年意大利數(shù)學(xué)家卡丹給出了一元三次方程（3）的求根公式 （3）其中：和是二次方程的解解：設(shè)，作變換，則由泰勒公式，得于是，對(duì)方程，即，求得一個(gè)實(shí)根3部分分式化簡(jiǎn)結(jié)論 （改成：例：） 若分式 ，則證明 直接在行（改：分）式兩邊乘以，得由于右邊是多項(xiàng)式的泰勒展開式，設(shè) 對(duì)式求導(dǎo)數(shù)，得由推論得，故（刪除）證畢。3.3 泰勒公式在近似計(jì)算中的應(yīng)用3.4 利用中值定理和泰勒公式證明函數(shù)極限例3.4.1 設(shè)函數(shù)在上二次連續(xù)可微，如果存在，且在上有界 試證：證 要證明，即要證明：當(dāng)時(shí)利用Taylor公式， 且 （1）記 因有界，所以使得故由（1）知

18、（2），首先可取充分小，使得 然后將h固定 因所以當(dāng)時(shí)從而由（2）式得 .例3.4.2設(shè)1）在內(nèi)是n階連續(xù)可微函數(shù)；此處2）當(dāng)時(shí)，有但是3）當(dāng)時(shí)有其中證明：證 我們要設(shè)法從（1）式中解出為此，我們將（1）式左邊的及右端的在處展開 注意條件2）知使得于是（1）式變成從而因利用的連續(xù)性，由此可得3.5 泰勒公式證明不等式例3.5.1設(shè)在上二次可微，試證：有證取將在處展開以乘此式兩端，然后個(gè)不等式相加，注意=1，得例3.5.2設(shè)有二階導(dǎo)數(shù)，試證證二式相加，并除以，注意有令取極限得3.6泰勒公式在判定二元函數(shù)極限存在性中的應(yīng)用在二元函數(shù)極限理論中，（1）要判定一個(gè)二元函數(shù)的極限存在，其方法為： 當(dāng)時(shí)，

19、恒有。（2）要判定二元函數(shù)極限的不存在性，往往采用下述兩種方法：構(gòu)造趨于的點(diǎn)列，使得或構(gòu)造趨于的二個(gè)點(diǎn)列及，使得構(gòu)造通過點(diǎn)的連續(xù)曲線，使得或者構(gòu)造通過點(diǎn)的的二條連續(xù)曲線與，使得。在實(shí)際應(yīng)用中最棘手的問題是：怎樣尋找這樣的點(diǎn)列或兩條不同路徑的曲線與，使其符合上面的條件。對(duì)于較簡(jiǎn)易的函數(shù)在處的極限不存在性問題，常常用下法來解決。取，求出，時(shí)的極限；取，求出，時(shí)的極限；令， ，求出時(shí)的極限等，再?gòu)那蟪龅臉O限值與或有關(guān)來得出這個(gè)二元函數(shù)的極限不存在。但以上各法均不能作為解決這類問題的通用方法。解決辦法利用泰勒公式研究函數(shù)無窮小量的階，則可順利地解決這類問題。下面舉例說明具體做法。先給出點(diǎn)的Taylor

20、展開式 特殊地，在點(diǎn)處的Taylor展開式為： 這里。例1 求函數(shù)極限 解 ，又顯然，當(dāng)，時(shí)，故所求極限不存在。數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用特殊地，取，就是文中所取的函數(shù)推得，故所求極限不存在。這種方法適用于為有理式的情況。當(dāng)為其他形式時(shí)，可通過簡(jiǎn)單變形后在應(yīng)用。例2 求在點(diǎn)處的極限 解 因【；【噼里啪啦故函數(shù)在點(diǎn)處極限不存在3.7泰勒公式在n階行列式計(jì)算中的應(yīng)用(52)相關(guān)定理滿足： 在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義；在此鄰域內(nèi)有一直到階連續(xù)導(dǎo)數(shù)；在處有階導(dǎo)數(shù)；那么，在的鄰域內(nèi)有泰勒展開式可表示為求階行列式的值通過引入泰勒公式求如下行列式可以把行列式看做的函數(shù)（一般是的次多項(xiàng)式），記，接泰勒公式在處展開： 根據(jù)行列式

21、的求導(dǎo)法則，有 。類似地， ，則有，當(dāng)時(shí)，則 當(dāng)時(shí)，則即推廣 若某一行列式行數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)都能化為上述的各階導(dǎo)數(shù)的遞推形式，（其中是由行列式的主（次）對(duì)角線上元素變成生成的）均可用此種方法求得，形如 只要行列式函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)較易計(jì)算，則應(yīng)用泰勒公式計(jì)算行列式就非常便利3.8泰勒公式在判斷級(jí)數(shù)及積分?jǐn)可⑿灾械膽?yīng)用1.在正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判定中的應(yīng)用。在級(jí)數(shù)斂散性的理論中，要判定一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)是否收斂，通常找一個(gè)較簡(jiǎn)單的級(jí)數(shù)再由比較判定法來判定。在實(shí)際應(yīng)用中較困難的問題是如何選取恰當(dāng)?shù)牡膒值。例如（1）若，此時(shí)收斂，但（2）若，此時(shí)發(fā)散，但.這里我們無法判定的斂散性。為了有效地選取中的p值，可以應(yīng)用泰勒公

22、式研究通項(xiàng)的階，據(jù)此選取恰當(dāng)?shù)膒值使，并且保證的再由比較判定法（極限形式）就可以判定的斂散性。下面舉例說明。例1 判定級(jí)數(shù)的斂散性。解： 因此從而有故是關(guān)于的階，即與同發(fā)散。由例1例2可以看出，通過此法能有效地確定p值，從而對(duì)級(jí)數(shù)的斂散性做出判定。2 在廣義積分?jǐn)可⑿詴r(shí)，通常選取廣義積分進(jìn)行比較，在此通過研究無窮小量的階來有效地選擇中的值，從而簡(jiǎn)便地判定的斂散性（注意到：如果收斂，則收斂）。例3 研究廣義積分的斂散性。解：因此即是的階，而收斂，故收斂，從而收斂。例4 廣義積分是否收斂？解：由于，故是的一階無窮大量，而發(fā)散，故也發(fā)散。3.9泰勒公式關(guān)于界的估計(jì)例3.9.1設(shè)在上有二階導(dǎo)數(shù), 時(shí)試證:當(dāng)時(shí), 證所以例3.9.2設(shè)為二次可微函數(shù)試證: 且表示證I二試相減即所以即 對(duì)一切h成立故判別式即 對(duì)一切x成立所以 證II (1)試可改寫成 而 為常數(shù) 所以（2）試右端作為h的函數(shù)時(shí)，當(dāng) 取最小 令代入得所以 3.10判斷方程根的唯一存在性問題例3.10.1設(shè)有連續(xù)的n階導(dǎo)數(shù)，在處有展開式：（1）且余項(xiàng)滿足則必有 其中 證 根據(jù)Taylor公式， 在可展開成 （4）讓（1）式與（4）式聯(lián)立可得此式令取極限，得兩邊消去首項(xiàng)，再同時(shí)除以，然后令取極限，又得繼續(xù)這樣下去則順次可得式（3）例設(shè)是n次多項(xiàng)式，試證：證I 則令 ，則.將在處展