極坐標(biāo)知識(shí)講座

1、極坐標(biāo) ,其中是從 到 的有向距離,是從初始射線到射線的有向角一、如果不限制 的范圍, 同一個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)表示不是唯一的.例如表示同一個(gè)點(diǎn).二、極坐標(biāo)r<0的意義例1 用直角坐標(biāo)系中的圖形來(lái)理解四葉玫瑰線 當(dāng) 時(shí)用描點(diǎn)方法作圖.若 ，則極坐標(biāo)系中點(diǎn) 實(shí)際上處于點(diǎn) 或 的位置上，于是得到如下的處理方法: 將直角坐標(biāo)曲線 在軸下方的圖形向左或向右平移 的整數(shù)倍，使之位于區(qū)間 內(nèi)；再以 軸為軸線將這部分圖形翻轉(zhuǎn)到 軸上方，然后按， 情形的描點(diǎn)方法作圖.注意負(fù)移正不動(dòng). 在直角坐標(biāo)系中的圖形 軸下方圖形平移后的結(jié)果如下圖下方圖形向上翻轉(zhuǎn)得到例3 求曲線 的全長(zhǎng)分析 本例中 是一個(gè)連續(xù)的周期函數(shù)，其

2、周期為 ，即區(qū)間 上的曲線與區(qū)限 上的曲線完全重合但這并不說(shuō)明曲線的繞圈周期也一定就是 ，完全有可能是實(shí)際上, 在區(qū)間 上曲線完成一個(gè)周期而在區(qū)間 由丁 ，所以曲線與區(qū)間 上曲線完全重合. 事實(shí)上, 設(shè) 按照 的幾何意義, 與 表示同一個(gè)點(diǎn).三、極坐標(biāo)下的對(duì)稱性四、極坐標(biāo)圖形舉例例4B1p165-20 雙紐線如圖所示, 的點(diǎn)的軌跡. 由余弦定理, , 即 , 即例5 臟線(左尖) 的圖形動(dòng)畫(huà)演示：心臟線左尖.gif心臟線左尖平行線.gif例6 心臟線 的圖形心臟線 ,動(dòng)畫(huà)演示: 心臟線動(dòng)畫(huà).gif心臟線+平行線.gif例7 設(shè).方程 要求 于是我們讓 從 跑到 即 就得到整個(gè)圖形. 對(duì) 和 之

3、間的 每一個(gè)值 公式 給出 的兩個(gè)值 動(dòng)畫(huà)演示: 雙紐線2.gif例8 的圖形動(dòng)畫(huà):雙紐線1.gif例9 動(dòng)畫(huà)演示: 極坐標(biāo)畫(huà)花.gif例10 b1p175-33動(dòng)畫(huà) b1p175-33.gif五、極坐標(biāo)曲線的斜率設(shè)曲線 改寫(xiě)成參數(shù)方程 心臟線 水平切線在垂直切線在 六、極坐標(biāo)面積微元七、極坐標(biāo)的弧長(zhǎng)公式設(shè)曲線 改寫(xiě)成參數(shù)方程 八、應(yīng)用舉例1. 對(duì)數(shù)螺線 一般對(duì)數(shù)螺線的極坐標(biāo)方程是 ,其中 , 即 時(shí)的向徑長(zhǎng)度.若 表示切線與向徑的夾角, 則 , 即得 而 于是 由此可見(jiàn), 在對(duì)數(shù)螺線上的任何一點(diǎn)處切線與向徑的夾角都是常數(shù).這樣定義的對(duì)數(shù)螺線, 任何一對(duì)互相垂直的向徑為邊的矩形都是黃金矩形,

4、故稱黃金對(duì)數(shù)螺線.2. 阿基米德螺旋線 有一種凸輪傳動(dòng)裝置, 通過(guò)以勻角速度 轉(zhuǎn)動(dòng)的主動(dòng)輪邊緣來(lái)驅(qū)動(dòng)從動(dòng)桿, 使從動(dòng)桿以勻速 作鉛直上升的直線運(yùn)動(dòng), 并周期性地突然下降再作鉛直上升的直線運(yùn)動(dòng), 如此周而復(fù)始.這里 為初始向徑, 參數(shù) 為轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間, 消去其中的參數(shù) 得到記 則有如果對(duì)上式所表示曲線中的 的范圍不加限制, 則可得到一圈圈向外呈發(fā)散狀的螺旋線.動(dòng)畫(huà)演示: 阿基米德螺線.gif九、求極坐標(biāo)圖形的交點(diǎn)從圖形上看, 曲線 與曲線 有四個(gè)交點(diǎn).但是我們聯(lián)立 因?yàn)?所以舍棄 對(duì)應(yīng) 的 值是但是漏掉 和 兩個(gè)交點(diǎn). 為什么這兩個(gè)交點(diǎn)沒(méi)有被解聯(lián)立方程發(fā)現(xiàn)? 回答是:點(diǎn) 和 不同時(shí)在曲線上, 即不是在同樣的 值到達(dá). 在曲線 上, 點(diǎn) 在 時(shí)到達(dá); 而在曲線 上,點(diǎn) 在 時(shí)到達(dá), 它沒(méi)有從坐標(biāo)得到,因?yàn)樵撟鴺?biāo)不滿足方程, 但可以從坐標(biāo)得到,后者滿足方程. 類(lèi)似地, 在 時(shí)到達(dá)原點(diǎn), 而曲線 ,在 時(shí)到達(dá)原點(diǎn). 動(dòng)畫(huà)演示:極坐標(biāo)曲線交點(diǎn)-動(dòng)畫(huà).gif在交通控制中,人們關(guān)心的