《探索勾股定理》第二課時教學設(shè)計

1、第一章勾股定理1 .探索勾股定理（二）一、學生起點分析學生的知識技能基礎(chǔ)：學生在七年級已經(jīng)學習了整式的加、減、乘、除運算 和等式的基本性質(zhì)，并能進行簡單的恒等變形；上節(jié)課又已經(jīng)通過測量和數(shù)格子 的方法，對具體的直角三角形探索并發(fā)現(xiàn)了勾股定理， 但沒有對一般的直角三角 形進行驗證.學生活動經(jīng)驗基礎(chǔ)：學生在以前數(shù)學學習中已經(jīng)經(jīng)歷了很多獨立探究和合作 學習的過程，具有了一定的自主探究經(jīng)驗和合作學習的經(jīng)驗，具備了一定的探究能力和合作與交流的能力；學生在七年級七巧板及圖案設(shè)計的學習中已 經(jīng)具備了一定的拼圖活動經(jīng)驗.二、教學任務分析本節(jié)課是八（上）勾股定理第1節(jié)第2課時，是在上節(jié)課已探索得到勾股定 理之后

2、的內(nèi)容，具體學習任務：通過拼圖驗證勾股定理并體會其中數(shù)形結(jié)合的思 想；應用勾股定理解決一些實際問題，體會勾股定理的應用價值并逐步培養(yǎng)學生 應用數(shù)學解決實際問題意識和能力 ，為后面的學習打下基礎(chǔ).三、教學目標1 .教學目標 知識與技能目標掌握勾股定理及其驗證，并能應用勾股定理解決一些實際問題. 過程與方法目標在上節(jié)課對具體的直角三角形探索發(fā)現(xiàn)了勾股定理的基礎(chǔ)上，經(jīng)歷勾股定理的驗證過程，體會數(shù)形結(jié)合的思想和從特殊到一般的思想 . 情感與態(tài)度目標在勾股定理的驗證活動中，培養(yǎng)探究能力和合作精神；通過對勾股定理歷史 的了解，感受數(shù)學文化，增強愛國情感，并通過應用勾股定理解決實際問題，培 養(yǎng)應用數(shù)學的意識

3、.2 .教學重點用面積法驗證勾股定理，應用勾股定理解決簡單的實際問題 .3 .教學難點驗證勾股定理.四、教法學法1 .教學方法：引導探究一一應用.2 .課前準備：教具：教材，課件，電腦.學具：教材，鉛筆，直尺，練習本.五、教學過程本節(jié)課設(shè)計了七個教學環(huán)節(jié)：（一）復習設(shè)疑，激趣引入；（二）小組活動， 拼圖驗證；（三）追溯歷史，激發(fā)情感；（四）例題講解，初步應用；（五）拓 展練習，能力提升；（六）回顧反思，提煉升華；（七）布置作業(yè)，課堂延伸.第一環(huán)節(jié)： 復習設(shè)疑，激趣引入內(nèi)容：教師提出問題：（1）勾股定理的內(nèi)容是什么？（請一名學生回答）（2）上節(jié)課我們僅僅是通過測量和數(shù)格子，對具體的直角三角形探索

4、發(fā)現(xiàn) 了勾股定理，對一般的直角三角形，勾股定理是否成立呢？這需要進一步驗證， 如何驗證勾股定理呢？事實上，現(xiàn)在已經(jīng)有幾百種勾股定理的驗證方法， 這節(jié)課 我們也將去驗證勾股定理.意圖：（1）復習勾股定理內(nèi)容；（2）回顧上節(jié)課探索過程，強調(diào)仍需對一 般的直角三角形進行驗證，培養(yǎng)學生嚴謹?shù)目茖W態(tài)度；（3）介紹世界上有數(shù)百種 驗證方法，激發(fā)學生興趣.效果：通過這一環(huán)節(jié)，學生明確了：僅僅探索得到勾股定理還不夠，還需 進行驗證.當學生聽到有數(shù)百種驗證方法時，馬上就有了去尋求屬于自己的方法 的渴望.第二環(huán)節(jié)：小組活動，拼圖驗證內(nèi)容：活動1: 教師導入，小組拼圖.教師：今天我們將研究利用拼圖的方法驗證勾股定理

5、，請你利用自己準備的四個全等的直角三角形，拼出一個以斜邊為邊長的正方形.(請每位同學用2分鐘時間獨立拼圖，然后再4人小組討論.)活動2:層層設(shè)問，完成驗證一.學生通過自主探究，小組討論得到兩個圖形：m密圖1圖2在此基礎(chǔ)上教師提問：(1)如圖1你能表示大正方形的面積嗎？能用兩種方法嗎？(學生先獨立思考，再4人小組交流)；(2)你能由此得到勾股定理嗎？為什么？(在學生回答的基礎(chǔ)上板書 (a+b)2=4x1 ab+c2.并得至I a2 +b2 =c2) 2從而利用圖1驗證了勾股定理.活動3 :自主探究，完成驗證二.教師小結(jié)：我們利用拼圖的方法，將形的問題與數(shù)的問題結(jié)合起來， 聯(lián)系 整式運算的有關(guān)知識

6、，從理論上驗證了勾股定理，你還能利用圖2驗證勾股定理 嗎？(學生先獨立探究，再小組交流，最后請一個小組同學上臺講解驗證方法二)意圖：設(shè)計活動1的目的是為了讓學生在活動中體會圖形的構(gòu)成，既為勾股定理的驗證作鋪墊，同時也培養(yǎng)學生的動手、創(chuàng)新能力.在活動2中，學生在教師的層層設(shè)問引導下完成對勾股定理的驗證，完成本節(jié)課的一個重點內(nèi)容.設(shè)計活動3,讓學生利用另一個拼圖獨立驗證勾股定理的目的是讓學生再次體會數(shù) 形結(jié)合的思想并體會成功的快樂.效果：學生通過先拼圖從形上感知，再分析面積驗證，比較容易地掌握了 本節(jié)課的重點內(nèi)容之一，并突破了本節(jié)課的難點.第三環(huán)節(jié)：追溯歷史激發(fā)情感活動內(nèi)容：由學生利用所搜集的與勾

7、股定理相關(guān)的資料進行介紹.國內(nèi)調(diào)查組報告：用圖2驗證勾股定理的方法，據(jù)載最早是三國時期數(shù)學 家趙爽在為周髀算經(jīng)作注時給出的，我國歷史上將圖2弦上的正方形稱為弦 圖.2002年的數(shù)學家大會（ICM-2002）在北京召開，這屆大會會標的中央圖案正 是經(jīng)過藝術(shù)處理的弦圖，這既標志著中國古代的數(shù)學成就，又像一只轉(zhuǎn)動的風車, 歡迎來自世界各地的數(shù)學家們！FCM 2ADE Satalinre Ci»nFBf«nftM神w的 “ S出"& Ta cMM。野7C加hi號 30 - - &p.羨 2K2國際調(diào)查組報告：勾股定理與第一次數(shù)學危機 .約公元前500年，畢

8、達哥拉斯學派的弟子希帕索斯（Hippasus）發(fā)現(xiàn)了一個驚 人的事實，一個正方形的對角線的長度是不可公度的.按照畢達哥拉斯定理（勾股 定理），若正方形邊長是1,則對角線的長不是一個有理數(shù)，它不能表示成兩個整 數(shù)之比，這一事實不但與畢氏學派的哲學信念大相徑庭，而且建立在任何兩個線 段都可以公度基礎(chǔ)上的幾何學面臨被推翻的威脅，第一次數(shù)學危機由此爆發(fā).據(jù)說，畢達哥拉斯學派對希帕索斯的發(fā)現(xiàn)十分惶恐、惱怒，為了保守秘密，最后將 希帕索斯投入大海.不能表示成兩個整數(shù)之比的數(shù)，15世紀意大利著名畫家達.芬奇稱之為 無理 的數(shù)”，無理數(shù)的英文“irrational原義就是 不可比”第一次數(shù)學危機一直持續(xù)到 1

9、9世紀實數(shù)的基礎(chǔ)建立以后才圓滿解決.我們將在下一章學習有關(guān)實數(shù)的知識.趣聞調(diào)查組報告：勾股定理的總統(tǒng)證法.在1876年一個周末的傍晚，在美國首都華盛頓的郊外，有一位中年人正在散步，欣賞黃昏的美景他走著走著，突然發(fā)現(xiàn)附近的一個小石凳上，有兩個小孩正在聚精會神地談論著什么， 時而大聲爭論，時而小聲探討.由于好奇心驅(qū) 使他循聲向兩個小孩走去，想搞清楚兩個小孩到底在干什么.只見一個小男孩正 俯著身子用樹枝在地上畫著一個直角三角形 于是這位中年人不再散步，立即回家，潛心探討小男孩給他留下的難題.他經(jīng)過反復的思考與演算，終于弄清楚了其中的道理，并給出了簡潔的 證明方法.1876年4月1日，他在新英格蘭教育

10、日志上發(fā)表了他對勾股定理的這 一證法.1881年，這位中年人一伽菲爾德就任美國第二十任總統(tǒng).后來，人們?yōu)榱思o 念他對勾股定理直觀、簡捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為 總統(tǒng)”證法.說明：這個環(huán)節(jié)完全由學生來組織開展，教師可在兩天前布置任務，讓部分同學收集勾股定理的資料，并在上課前拷貝到教師用的課件中便于展示，內(nèi)容可靈活安排.意圖：（1）介紹與勾股定理有關(guān)的歷史，激發(fā)學生的愛國熱情；（2）學生加強了對數(shù)學史的了解，培養(yǎng)學習數(shù)學的興趣；（3）通過讓部分學生搜集材料，展示材料，既讓學生得到充分的鍛煉，同時也活躍了課堂氣氛.效果：學生熱情高漲，對勾股定理的歷史充滿了濃厚的興趣，同時也為中 國古代數(shù)

11、學的成就感到自豪.也有同學提出：當代中國數(shù)學成就不夠強，還應發(fā) 奮努力.有同學能意識這一點，這讓我喜出望外.第四環(huán)節(jié)：例題講解初步應用內(nèi)容：例題：我方偵察員小王在距離東西向公路400m處偵察，發(fā)現(xiàn)一輛敵方騎車在公路上疾馳.他趕緊拿出紅外測距儀，測得汽車與他相距 400m, 10s 后，騎車與他相距500m,你能幫小王計算出敵方汽車的速度嗎？意圖：（1）初步運用勾股定理解決實際問題，培養(yǎng)學生應用數(shù)學的意識和 能力；（2）體會勾股定理的應用價值.效果：學生對這樣的實際問題很感興趣， 基本能把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題 并順利解決.第五環(huán)節(jié)：拓展練習能力提升內(nèi)容：一組生活中勾股定理的應用練習，共 3道題

12、（1）教材P6練習題1.（2） 一個25m長的梯子AB ,斜靠在一豎直的墻 AO上，這時的AO距離為 24m,如果梯子的頂端A沿墻下滑4m,那么梯子底端B也外移4m嗎？（3）受臺風麥莎影響，一棵高18m的大樹斷裂，樹的頂部落在離樹根底部6米處，這棵樹折斷后有多高？說明：這一環(huán)節(jié)設(shè)計了 3道題，設(shè)計時注意了題目的梯度，由淺入深，第一 題為書上練習題，學生容易解決，第二道題雖然計算難度不大，但考查學生的實 際應用能力，第三道題是應用勾股定理建立方程求解，有一定難度.意圖：在例題的基礎(chǔ)上進行拓展，訓練學生將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題， 再 運用勾股定理解決問題.效果：小部分學生在完成第二題時，由于欠缺生

13、活常識時，不能準確地理解 題意，約有一半同學對第3道題束手無策，主要是缺乏利用勾股定理建立方程求 解的這種思路，經(jīng)同學點撥，教師引導，絕大部分同學最后都能解決這個問題， 通過3個小題的訓練，總體感覺學生對勾股定理的應用更加熟練， 并對勾股定理 的應用價值體會更深.第六環(huán)節(jié)：回顧反思提煉升華內(nèi)容：教師提問：通過這節(jié)課的學習，你有什么樣的收獲？師生共同暢談收 獲.目的：（1）歸納出本節(jié)課的知識要點，數(shù)形結(jié)合的思想方法；（2）教師了解 學生對本節(jié)課的感受并進行總結(jié)；（3）培養(yǎng)學生的3納概括能力.效果：由于這節(jié)課自始至終都注意了調(diào)動學生學習的積極性， 所以學生談的收獲很多，包括利用拼圖驗證勾股定理中蘊

14、含的數(shù)形結(jié)合思想， 學生對勾股定理 的歷史的感悟及對勾股定理應用的認識等等.第七環(huán)節(jié)：布置作業(yè)，課堂延伸內(nèi)容：教師布置作業(yè)1 .習題 1.2 T2, 32 .上網(wǎng)或查閱有關(guān)書籍，搜集至少 1種勾股定理的其它證法，至少 1個勾 股定理的應用問題，一周后進行展評.意圖：(1)鞏固本節(jié)課的內(nèi)容.(2)充分發(fā)揮勾股定理的育人價值.六、教學設(shè)計反思(1)設(shè)計理念在課堂教學中，始終注意了調(diào)動學生的積極性 .興趣是最好的老師，所以無 論是引入、拼圖，還是歷史回顧，我都注意去調(diào)動學生，讓學生滿懷激情地投入 到活動中.因此，課堂效率較高.勾股定理作為 千古第一定理”，其魅力在于其歷 史價值和應用價值，因此我注意

15、充分挖掘了其內(nèi)涵.特別是讓學生事先進行調(diào)查， 再在課堂上進行展示，這極大地調(diào)動了學生，既加深了對勾股定理文化的理解， 又培養(yǎng)了他們收集、整理資料的能力.(2)突出重點、突破難點的策略勾股定理的驗證既是本節(jié)課的重點，也是本節(jié)課的難點，為了突破這一難點， 我設(shè)計了拼圖活動，先讓學生從形上感知，再層層設(shè)問，從面積(數(shù))入手，師 生共同探究得到方法1,最后由學生獨立探究得到方法2.這樣學生較容易地突破 了本節(jié)課的難點.(3)分層教學根據(jù)本班學生及教學情況可在教學過程中選擇下述內(nèi)容進行補充或拓展.附：教學補充習題基礎(chǔ)訓練1 .若4ABC 中，/C=90° , (1)若 a=5, b=12, W

16、J c=; (2)若 a=6,c=10,貝 b=; (3)若 a : b=3 : 4, c=10,貝U a=, b=.2 .某農(nóng)舍的大門是一個木制的矩形柵欄，它的高為2m,寬為1.5m,現(xiàn)需要在相對的頂點間用一塊木棒加固，木板的長為 .3 .直角三角形兩直角邊長分別為 5cm, 12cm,則斜邊上的高為 .4 .等腰三角形的腰長為13cm,底邊長為10cm,則面積為().A. 30 cm2B. 130 cm2C. 120 cm2D. 60 cm2提高訓練5 .輪船從海中島A出發(fā)，先向北航行9km,又往西航行9km,由于遇到冰 山，只好又向南航行4km,再向西航行6km,再折向北航行2km,最后又向西航 行9km,到達目的地B,求AB兩地間的距離.6 . 一棵9m高的樹被風折斷，樹頂落在離樹根 3m之處，若要查看斷痕，要 從樹底開始爬多高？知識拓展7 .折疊長方形ABCD的一邊AD,使點D落在BC邊的F點處，若AB=8cm ,BC=10cm,求 EC 的長.意圖：進行分層訓練，既滿足了不同學生的需求，同時也便于老師及時地了 解學生的情況.老師可以根據(jù)學生的情況選擇上述題目進行練