(經(jīng)典)高中數(shù)學(xué)最全數(shù)列總結(jié)與題型精選

1、s高中數(shù)學(xué)：數(shù)列及最全總結(jié)和題型精選一、數(shù)列的概念(1)數(shù)列定義：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列；數(shù)列中的每個(gè)數(shù)都叫這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)。記作an ,在數(shù)列第一個(gè)位置的項(xiàng)叫第 1項(xiàng)(或首項(xiàng))，在第二個(gè)位置的叫第2項(xiàng)，序號為 n的項(xiàng)叫第n項(xiàng)(也叫通項(xiàng))記作 an； 數(shù)列的一般形式：a1, a2, a3,，簡記作 an。(2)通項(xiàng)公式的定義：如果數(shù)列 an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。例如：1 , 2 , 3 , 4, 5.11111,2 3 4 5說明:an表示數(shù)列，斗表示數(shù)列中的第n項(xiàng)，an = f(n庚示數(shù)列的通項(xiàng)公式;同一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式的形式不一定

2、唯一。例如,（k三 Z）；n -1,n =2k-1an=（-1）n =n1,n=2k1.41 , 1.414 ,不是每個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式。例如， 1, 1.4, (3)數(shù)列的函數(shù)特征與圖象表示：從函數(shù)觀點(diǎn)看，數(shù)列實(shí)質(zhì)上是定義域?yàn)檎麛?shù)集N + (或它的有限子集)的函數(shù) f (n)當(dāng)自變量n從1開始依次取值時(shí)對應(yīng)的一系列函數(shù)值 f(1),f(2), f(3),，f(n),.通常用an來代替f(n),其圖象是一群孤 立點(diǎn)。(4)數(shù)列分類：按數(shù)列項(xiàng)數(shù)是有限還是無限分：有窮數(shù)列和無窮數(shù)列；按數(shù)列項(xiàng)與項(xiàng)之間的大小關(guān)系 分：遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列和擺動(dòng)數(shù)列。例：下列的數(shù)列，哪些是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常

3、數(shù)列、擺動(dòng)數(shù)列？(1) 1, 2, 3, 4, 5, 6,(2)10, 9, 8, 7, 6, 5,（1）Sn Sn（4 2）(3) 1,0, 1,0, 1,0,(4)a, a, a, a, a,(5)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an的關(guān)系:二、等差數(shù)列(一)、等差數(shù)列定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第_2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母_d表示。用遞推公式表示為 an -an 1 = d(n>2)叟an 1 -an =d(n -1)例：等差數(shù)列an =2n 1 , an an=(二)、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：an

4、=& +(n-1)d ；說明：等差數(shù)列(通常可稱為AP數(shù)列)的單調(diào)性：d >0為遞增數(shù)列，d =0為常數(shù)列，d <0為遞減數(shù)列。例：1.已知等差數(shù)列 gn中，a7+a9=16, a4=1,則a12等于()A. 15 B . 30 C . 31 D . 642. an是首項(xiàng)a1 =1,公差d =3的等差數(shù)列，如果 an =2005,則序號n等于(A) 667(B) 668(C) 669(D) 6703. 等差數(shù)列an =2n 1,bn = 2n +1,則an為 bn為(填“遞增數(shù)列”或“遞減數(shù)列”)(三)、等差中項(xiàng)的概念：定義：如果a, A, b成等差數(shù)列，那么 A叫做a與b

5、的等差中項(xiàng)。其中 A=a也2a ba , A , b 成等差數(shù)列 a A = 即：2an 平=an + an羋(2an = an_m + an4m)例：1 . (06全國I )設(shè)an是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若a1+ a2 + a3 =15,a1a2 a3= 80 ,貝U aia+aA. 120 B . 105C. 90 D . 75(四)、等差數(shù)列的性質(zhì)：(1)在等差數(shù)列an中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)是它相鄰二項(xiàng)的等差中項(xiàng)；(2)在等差數(shù)列4中，相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列是等差數(shù)列；(3)在等差數(shù)列an中，對任意 m , nwN +, an =am+(n m)d , d = an -am (m# n

6、)； n - m(4)在等差數(shù)列an)中，若 m, n , p, q = N 川 m+n = p+q ,則 am + an = ap+aq ；(五)、等差數(shù)列的前 n和的求和公式：Sn =n(a1 +an) =na1 +n(n1)d =1n2 + (a1 -) n。2222(Sn = An2 +Bn(A, B為常數(shù))二 耳是等差數(shù)列)遞推公式：Sn = (a1 an)n = (am . an"m)n22例：1.如果等差數(shù)列 匕/中，a3+a4+a5=12,那么a+a2+. + a7 =(A) 14(B) 21(C) 28(D) 352 . (2009湖南卷文)設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前

7、n項(xiàng)和，已知a2=3, a6=11,則S7等于()A. 13 B . 354963s3 .(2009全國卷i理)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若S9 =72,則a2+a4+a9=4 .若一個(gè)等差數(shù)列前3項(xiàng)的和為34,最后3項(xiàng)的和為146,且所有項(xiàng)的和為390,則這個(gè)數(shù)列有(A.13 項(xiàng)B.12 項(xiàng)C.11 項(xiàng)D.10 項(xiàng)5 .已知等差數(shù)列Q 的前n項(xiàng)和為Sn,若§2=21,則22+a5+a8 +a11=6.(2009全國卷n理)設(shè)等差數(shù)列Qn)的前n項(xiàng)和為Sn,若a5 = 5a3則99 =S57.已知%n)數(shù)列是等差數(shù)列，a10=10,其前10項(xiàng)的和Sw =70,則其公差d等于()

8、1 D. 2338. (2009陜西卷文)設(shè)等差數(shù)列 '-an的前n項(xiàng)和為Sn,若a6 s3 12，則an _SSn 的9. (00全國)設(shè) an為等差數(shù)列，&為數(shù)列 an的前n項(xiàng)和，已知Sz=7, $5=75, Tn為數(shù)列前n項(xiàng)和，求Tn。（六）.對于一個(gè)等差數(shù)列:（1）若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，設(shè)共有 2n項(xiàng)，則S偶S奇= nd；（2）若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，設(shè)共有 2n1項(xiàng)，則S奇5偶=a為且=且 ；S 禺a(chǎn)n 1c 偽 宅 na*S偶n -1（七）.對與一個(gè)等差數(shù)列， Sn,S2 n 例：1.等差數(shù)列an的前m項(xiàng)和為1: 2,求公差d25,則它的首項(xiàng)與公差分別是221 . 一個(gè)等差數(shù)列共 2

9、011項(xiàng)，求它的奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和之比 2 .一個(gè)等差數(shù)列前 20項(xiàng)和為75,其中奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和之比3 .一個(gè)等差數(shù)列共有10項(xiàng)，其偶數(shù)項(xiàng)之和是 15,奇數(shù)項(xiàng)之和是Sn,S3n S2n仍成等差數(shù)列。30,前2m項(xiàng)和為100,則它的前 3m項(xiàng)和為（）A.130B.170C.210D.2602. 一個(gè)等差數(shù)列前n項(xiàng)的和為48,前2 n項(xiàng)的和為60,則前3 n項(xiàng)的和為3 .已知等差數(shù)列 Gn的前10項(xiàng)和為100,前100項(xiàng)和為10,則前110項(xiàng)和為- S7 = 30,則 S9 =4 .設(shè)Sn為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，S4=14, S105. （06全國II ）設(shè)S是等差數(shù)列 an的前n項(xiàng)和,S3-1

10、 ) S63則-S6SI2A.10（八）.判斷或證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的方法:定義法：an 1 - an中項(xiàng)法:2an 1 = an+ an七（n w N*）=%n是等差數(shù)列通項(xiàng)公式法:an=kn + b （k, b為常數(shù)）=1aj是等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式法:Sn = An2 + Bn （A, B為常數(shù)）=& 是等差數(shù)列 例：1.已知數(shù)列an滿足an an,=2,則數(shù)列an為D.無法判斷A.等差數(shù)列 B.等比數(shù)列 C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列2.已知數(shù)列an的通項(xiàng)為an =2n +5 ,則數(shù)列an為（）A.等差數(shù)列3 .已知一個(gè)數(shù)列A.等差數(shù)列4 .已知一個(gè)數(shù)列A.等差數(shù)列5 .已知

11、一個(gè)數(shù)列A.等差數(shù)列B.等比數(shù)列 C. an的前n項(xiàng)和s B.等比數(shù)列 C. an的前n項(xiàng)和s B.等比數(shù)列 C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列= 2n2 +4,則數(shù)列an為（ 既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列2=2n ,則數(shù)列an為（） 既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.D.D.無法判斷無法判斷無法判斷an滿足an七2an書+an = 0 ,則數(shù)列an為B.等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列)D.無法判斷6 .數(shù)列aj 滿足 a1 =8, a4 =2,且 an42 -2an41 + an=0 (nwN")求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；7 . (01天津理，2)設(shè)&是數(shù)列an的前n項(xiàng)和

12、，且 s=n2,則ad是()A.等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列B.等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列C.等差數(shù)列，而且也是等比數(shù)列D.既非等比數(shù)列又非等差數(shù)列(九).數(shù)列最值(1) a1A0, d<0時(shí)，Sn有最大值；a1M0, d>0時(shí)，S有最小值；2(2) Sn最值的求法：若已知 Sn, Sn的最值可求二次函數(shù) Sn = an2 + bn的最值；可用二次函數(shù)最值的求法(nwN +)；或者求出an中的正、負(fù)分界項(xiàng)，即：4一一 A 之 0 ,、包 W 0右已知國 ,則&最值時(shí)n的值(n = N +)可如下確定« 或«。an 1 - 0 an 1 - 0例：1 .等差數(shù)列

13、 Qn中，a1A 0, S9=S2，則前 項(xiàng)的和最大。2 .設(shè)等差數(shù)列匕的前n項(xiàng)和為Sn ,已知a3 =12, S12 0, S13 ： 0求出公差d的范圍，指出S, S2,，S12中哪一個(gè)值最大，并說明理由。 .* -一、- - . 一 一 . . . . . .一 一 一. .3 . (02上海)設(shè) an (ne N)是等差數(shù)列，S是其前n項(xiàng)的和，且 QvQ, $=$>&,則下列結(jié)論錯(cuò)誤.的是 ( )A.dv0 B. a7=0C. 4>&D.S 與 S7 均為 S 的最大值4 .已知數(shù)列 Q 的通項(xiàng)n 洋 (n w N ”),則數(shù)列Qn 的前30項(xiàng)中最大項(xiàng)和最小

14、項(xiàng)分別是 n T 995 .已知an是等差數(shù)列，其中a1 =31,公差d =七。(1)數(shù)列an從哪一項(xiàng)開始小于0?(2)求數(shù)列4前n項(xiàng)和的最大值，并求出對應(yīng) n的值.tS1(n =1)(十).利用an = < 1求通項(xiàng).Sn -Sn4 (n-2)1.數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn = n2 +1 . (1)試寫出數(shù)列的前 5項(xiàng)；(2)數(shù)列an是等差數(shù)列嗎？ ( 3)你能寫出數(shù)列an的通項(xiàng)公式嗎?2 .設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為8=2n2,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；3 . (2010安徽文)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn =n2,則a8的值為()(A) 15(B) 16(C) 49(D) 641 一.4、200

15、5北萬卷)數(shù)列an的刖n項(xiàng)和為S,且a1=1, an« =-Sn, n=1, 2, 3, ,求a2, a3, a4的值及數(shù)列3an的通項(xiàng)公式.三、等比數(shù)列等比數(shù)列定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第三項(xiàng)膽,，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母q表示(q #0),即：an書an =q(q#0)(一)、遞推關(guān)系與通項(xiàng)公式遞推關(guān)系：an 1 = anq通項(xiàng)公式：an qn：推廣：an=am -qnH1 .在等比數(shù)列an中，a1 = 4,q = 2,則an =2 .在等比數(shù)列 QJ中，a? =12,q = W2，則aI9 =.3

16、 . (07重慶文)在等比數(shù)列an中，a2=8, a1=64,則公比0為()(A) 2(B) 3(C) 4(D) 84 .在等比數(shù)列 Q 中，a2 = -2 , a5 =54 ,則a8 =5 .在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列 an中，首項(xiàng)a1 =3,前三項(xiàng)和為21,則a3+a4+a5=()A 33 B 72 C 84 D 189(二)、等比中項(xiàng)：若三個(gè)數(shù) a,b,c成等比數(shù)列，則稱 b為a與c的等比中項(xiàng)，且為b = ±JO& 注：b2 = ac是成等比數(shù)列的必要而不充分條件 .例：1. 2+J3和2J3的等比中項(xiàng)為()(A)1(B) -1(C) -1(D)22. (2009重慶卷文

17、)設(shè)aj是公差不為0的等差數(shù)列，a1 =2且a1,a3,生成等比數(shù)列，則an的前n項(xiàng)和Sn=()A.2 in 7nB.2n 5nC.2-n 3n2D. n n(三)、等比數(shù)列的基本性質(zhì),aq (其中 m,n, p,q w N")1. (1)若m +n = p +q,貝1J am .an =apn -m an _ 2 q =，an =anq anw M = N ) am(3)右口為等比數(shù)列，則下標(biāo)成等差數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)成等比數(shù)列.(4)右n 既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列 仁ian 是各項(xiàng)不為零的常數(shù)列例：1 .在等比數(shù)列an中，a1和a10是方程2x2+5x+1 =0的兩個(gè)根，則a4 a7 =

18、()(A)一| 若(C)43.等比數(shù)列an的各項(xiàng)為正數(shù)，且2.在等比數(shù)列已知 a1 =5, a9a10 =100,則 a18=a5a6 +a4a7 =18,M log3a1 +log3a2 +I| + log3a10 =(A . 12 B . 10 C . 8 D . 2+log354. (2009廣東卷理)已知等比數(shù)列an滿足an >0，n =121(1 ,且a5 'a2n, =22n5至3),則當(dāng)門金1時(shí), log2a1+log2a3+|+log2 a2n 工=()A. n(2n -1) B.(n+1)2C.n2d. (n-1)2(四)、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，+ na1(q =

19、 1)Sn = < a1(1 -qn)= a1 anq(q 手 1)工 1-q 1-q例：1.已知等比數(shù)列an的首相a1 =5,公比q=2,則其前n項(xiàng)和Sn =2. (2006 年北京卷)設(shè) f(n)=2 +24 +27 +210 +川+23n由0(nWN),貝Uf(n)等于( )A. 2(8n-1)B. 38n*-1)C , 2(8n43-1)D . |(8n44-1)3. (1996全國文，21)設(shè)等比數(shù)列 an的前n項(xiàng)和為S,若$+$=2$,求數(shù)列的公比 q；(五).等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)若數(shù)列&n是等比數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)的和，kWN* ,那么Sk,S2k -Sk，S3

20、kS2k成等比數(shù)列.例：1. （2009遼寧卷理）設(shè)等比數(shù)列 a1 的前n項(xiàng)和為& ,若0_S9S3 =3 ,則S6 =78A. 2 B. 3 C. 3D.32 .一個(gè)等比數(shù)列前 n項(xiàng)的和為48,前2 n項(xiàng)的和為60,則前3n項(xiàng)的和為（）A. 83 B . 108 C . 75 D . 633 .已知數(shù)列an是等比數(shù)列，且Sm =10, S2m =30,則S3m =（六）、等比數(shù)列的判定法(1)定義法：包！=q （常數(shù)）an=為等比數(shù)列;（2）中項(xiàng)法：an書2 =an an書（an #0）= an為等比數(shù)列；（3）通項(xiàng)公式法：an = k qn （k,q為常數(shù)）=1an）為等比數(shù)列；（

21、4）前n項(xiàng)和法：Sn =k（1qn） （k,q為常數(shù)）=GJ為等比數(shù)列。Sn =k -kqn （k,q為常數(shù)）n A 為等比數(shù)列。例：1.已知數(shù)列an的通項(xiàng)為an =2n,則數(shù)列an為（）A.等差數(shù)列 B.等比數(shù)列 C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無法判斷22 .已知數(shù)列an滿足an+ =an，an_2（an #0）,則數(shù)列an為（）A.等差數(shù)列B.等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無法判斷3 .已知一個(gè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn =22n*,則數(shù)列an為（）A.等差數(shù)列B.等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無法判斷四、求數(shù)列通項(xiàng)公式方法（1）.公式法（定義法）根據(jù)等差數(shù)列

22、、等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)例：1已知等差數(shù)列an滿足：a3 =7,a5+a7 =26,求an；22 .等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，且2a1 +3a2 =1, a3 =9a2% ,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式3 .已知數(shù)列an滿足a1 =2, 22=4且21+an =an： （nN、，求數(shù)列aj的通項(xiàng)公式;N”）,求數(shù)列An的通項(xiàng)公式;4.已知數(shù)列an滿足a1 = 2,且an十一5n+=2（an5n） （n三1. ,5.數(shù)列已知數(shù)列an滿足a=5,烝=4an_L+1(n a1).則數(shù)列an的通項(xiàng)公式=(2)累加法1、累加法 適用于：an+=an + f(n)若 an¥ - an = f (n) (

23、n >2),則a2 - a1 = f (1)a3.a2 = f(2)III IIIan 1 -an uf(n)n兩邊分別相加得 an 1 -a1 = "，f(n)k=41 1例：1.已知數(shù)列an滿足a1 =一，an+ =an +2,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。2 4n2 -12 .已知數(shù)列an滿足an+ =an +2n +1, a1 =1 ,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。a1 = 3,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。3 .已知數(shù)列an滿足 an+=an + 2M 3n+1,(3)累乘法適用于： an 1 = f (n)an若=f(n),則 a2= f(1),a3= f(2),llllll,4 = f(

24、n) ana1a2ana n兩邊分別相乘得，=a1 | f(k)ak 1例：1.已知數(shù)列an滿足an書=2(n +1)5父an, a1 = 3,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。2 .已知數(shù)列%n>滿足a1 =2 , an由=-nan,求an。3 n 13n - 13.已知 a1 =3 , an+=an (門21),求2門。3n 2（4）待定系數(shù)法適用于 an 1 =qan - f （n）例：1.已知數(shù)列an中，a1 =1冏=2an+1（n之2）,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。2 . （2006,重慶，文,14）在數(shù)列an中，若a1 =1,an中=2an+3（n±1）,則該數(shù)列的通項(xiàng) an =3 .已知數(shù)列 一0滿足a =1,an+=2an+1（nw N*）.求數(shù)列一0的通項(xiàng)公式;（5）遞推公式中既有snS,n=1分析：把已知關(guān)系通過 an=<轉(zhuǎn)化為數(shù)列an或Sn的遞推關(guān)系，