2003年高考.全國卷.文科數學試題及答案

1、絕密啟用前2003年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（全國卷）數學（文史類）注意事項:1 .答第I卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考試科目用鉛筆涂寫在答題卡上.2 .每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，不能答在試題卷上.3 .考試結束，監(jiān)考人將本試卷和答題卡一并收回.參考公式:三角函數的積化和差公式:正棱臺、圓臺的側面積公式sin工cos工二 1二cos - = sin( I ) sin(:小 I 1)1sin -二萬sin(二一，)一sin(:工I )c1.S 臺側=(c c)l上、下底面周長,cos、工1-cos - =-cos(

2、、工 P) cos(:-) 2球體的體積公式:其中c'、c分別表示l表示斜高或母線長.43 苴中RV球=一兀R，八丁 R3表示球的半徑.=1 .sin sin - 二 一一cos()： ,-) -cos(1-) 2本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分 .第I卷1至2頁，第n卷10頁.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.第I卷（選擇題共60分）.選擇題：本大題共 12小題，每小題 5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有 一項是符合要求的直線y=2x關于x對稱的直線方程為2.(A)y =-x2. 一 f n ) 已知x七.,0卜21(B) y=-x2(C)cosx

3、,則 tg 2x = 53.y - -2x(D) y=2x(A)24(C)247.2拋物線y=ax的準線方程是y= 2,則a的值為1(A)-81(B)-8(C) 8.1I，,4 .等差數列 母中，已知a1 =-，a2+a5 =4,an =33，則n為()3(A) 48(B) 49(C) 50(D) 515 .雙曲線虛軸的一個端點為M,兩個焦點為F”F2,/FiMF2 =120：則雙曲線的離心率為( )(A)於(B)手(C)手 (D) g2 - -1 x <0 _6 .設函數f(x)=J 1 一 ，右f(x0)>1,則x0的取值氾圍是()x2 x>0(A) ( -1 , 1)(

4、B) ( -1 ,十8)(0(_00, 2) 2 (0, +8)(D)(_g, -1) = (1, +8)7 .已知 f (x5) =lg x,則f (2)=(),11. c(A) lg2(B) lg32(C) lg(D) -lg23258 .函數y =sin(x+中)(0 E中Mn)是R上的偶函數，則中=()nji(A) 0(B) 一(C) (D)冗429 .已知點(a,2)( a >0)到直線l : x- y +3 =0的距離為1,則a =()(A)五(B) 2-72(C)&-1(D)應+110 .已知圓錐的底面半徑為R,高為3R,它的內接圓柱的底面半徑為3 R ,該圓柱的全

5、面積4為()(A) 2砧2(B) 9J1R2(C) 8 HR2(D) 5 HR243211 .已知長方形的四個頂點A (0, 0), B (2, 0), C (2, 1)和D (0, 1), 一質點從 AB的中點Po沿與AB夾角為日的方向射到BC上的點R后，依次反射到 CD、DA和AB上的點P2、P3和P4 (入射角等于反射角)若R與吊重合，則tg9=()(A) 1(B) 2(C) 1(D) 135212. 一個四面體的所有棱長都為32 ,四個頂點在同一球面上，則此球的表面積為(A) 3n(B) 4n(C) 3晨式(D) 6n2003年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數 學（文史類）第II卷（非選

6、擇題共90分）二.填空題：本大題共 4小題，每小題4分，共16分,把答案填在題中橫線上.13 .不等式 J4x -x2 <x的解集是.14 . （x2 L）9的展開式中x9系數是.2x15 .在平面幾何里，有勾股定理：“設L ABC的兩邊AB, AC互相垂直，則AB2 +AC2 =BC2.拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側面面積與底面面積間的關系，可以得出的正確結論是：“設三棱錐 A-BCD的三個側面 ABC、ACD、ADB兩兩互相垂直，則16 .如圖，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現給地圖 著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有種*

7、（以數字作答）三、解答題：本大題共 6小題，共74分，解答應寫出文字說明，證明過程或或演算步驟17 .（本小題滿分12分）已知正四棱柱 ABCD AB1C1D1, AB=1, AA, =2,點E為CC1中點，點F為BD1點中點(I)證明EF為BD1與CC1的公垂線(n)求點Di到面BDE的距離.18 .(本小題滿分12分)已知復數z的輻角為60 °,且|z-1|是|z|和|z-2 |的等比中項,求|z|.19 .(本小題滿分12分)已知數列0滿足&=1且0=32 + 20,5之2).3n -1(I)求 a2, a3;(n)證明 an =*220 .(本小題滿分12分)已知函數

8、 f(x) =2sin x(sin x cosx) (I)求函數f (x)的最小正周期和最大值;(n)在給出的直角坐標系中，畫出函數y = f(x)在區(qū)間!|_2L工上的圖象.一 2,221 .(本小題滿分12分)在某海濱城市附近海面有一臺風，據監(jiān)測，當前臺風中心位于城市 0(如圖)的東偏南日(cosH =Y2)方向300km的海面P處, 10x東O產并以20km/h的速度向西偏北 45 口方向移動，臺風侵襲的范圍為圓形區(qū)域，當前半徑為60km,并以10km/h的速度不斷增大，問幾小時后該城市開始受到臺風的侵襲？22 .（本小題滿分14分）已知常數a >0,在矩形ABCD中，AB=4,

9、BC=4a,。為AB的中點，點E、F、G分別在BC、CD、DA上移動，且BE=CF- =CP P為GE與OF的交點（如圖），問是 BC CD DA否存在兩個定點，使 P到這兩點的距離的和為定值？若存在，求出這兩點的坐標及此定值； 若不存在，請說明理由.2003年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數學試題（文）參考解答及評分標準說明：一.本解答指出了每題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如 果考生物解法與本解答不同，可根據試題的主要考查內容比照評分標準制訂相應的評分細則.對計算題，當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定部分的給分

10、，但不得超過該部分正確解答得分數的一半;如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分.三.解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數.四.只給整數分數.選擇題和填空題不給中間分.一、選擇題：本題考查基本知識和基本運算1. C 2. D 3. B 4. C 5. B 6. D 二、填空題：本題考查基本知識和基本運算.每小題5分，滿分60分.7. D 8. C 9. C 10. B 11. C .每小題4分,滿分16分.12.22113. (2,414. - 15.三、解答題：本大題共 6小題,17. (I)證明：取BD中點M ,F 為 BD 1 中點，FM-2 2 = .2,S db

11、c2i a（ 2）22 222222S&BC *S&CD + S&DB = SCD16 - 72共74分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟 連結MC , FM ,/ DD 且 FM= - D1D21 一 一又 EC=-CC1,且 ECXMC,2 四邊形EFMC是矩形EFXCC1又 CM上面 DBD1.EF，面 DBD1 BD1 仁面 DBD1, .EFXBD1故EF為BD1與CC1的公垂線(II)解：連結ED1，有V由(I)知EFL面DBD1，設點 D1到面BDE的距離為d,則 SA DBC ' d=SADCD 1 EF.i AA 1=2 AB=1.2BD

12、 二BE = ED = ：；2,EF 二 2故自D1到平面BDE的距離為23-3r18 .解：設z=r(cos60 +i sin60 ),則復數z的頭鄰為萬一一 2, _ _2_二z +z = r, zz = r 由題設 | z -1| =| z | | z - 2 |即(z -1)(z -1) 二| z | (z 2)(z 2) r2 r 1 = r . r2 - 2r 4r2+2r1=0 解得 r=J2_1r =J21 (舍去)即 |z|=J21219 . (I)解: a1 =1,二 a2 =3 +1 =4,a3 =3 +4 =13(II)證明：由已知an an=3n,故an = (an

13、-an j) (an -an_2) , (a2 a). a1， 2n 一=3n 3n -3 1 =2所以an3n -12故函數y = f (x)在區(qū).,、_.220 .解(I) f(x)=2sin x+2sin xcosx = 1cos2x+sin2x二1 2(sin2x cos cos2xsin) =12sin(2x )444所以函數f (x)的最小正周期為 兀，最大值為1十J2.(n)由(I)知3 njiji3n5nx -88888/-1y11 -V211 +V21n n間-,上的圖象是2 221 .解：如圖建立坐標系：以 。為原點，正東方向為 x軸正向.在時刻：t (h)臺風中心P(x,

14、 y)的坐標為-22x =300 -20 t, 102y - -3007210,220 t.2此時臺風侵襲的區(qū)域是 (x X)2+(y y)2 <r(t)2,其中r(t)=10t+60,若在t時，該城市。受到臺風的侵襲，則有(0 -x)2 (0 -y)2 < (10t 60)2,即(300 - -20 t)2 (-300 -2 20 2t)2 < (10t 60)2, 102102即 t2 -36t +288 <0,解得 12Et W24.答：12小時后該城市開始受到臺風氣侵襲22.解：根據題設條件，首先求出點P坐標滿足的方程，據此再判斷是否存在兩定點，使得點P到定點距離的和為定值.按題意有 A ( 2, 0), B (2, 0), C (2, 4a), D (2, 4a)設匹=CF=四 kBC CD DA由此有 E (2, 4ak), F (2 4k, 4a), G (2, 4a4ak).直線OF的方程為：2ax + (2k 1)y = 0,直線GE的方程為：a(2k 1)x+y 2a =0.從，消去參數 k,得點P (x, y)坐標滿足方