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1、.一、直接(或轉(zhuǎn)化)由等差、等比數(shù)列的求和公式求和例1(07高考山東文18)設(shè)是公比大于1的等比數(shù)列,為數(shù)列的前項和已知,且構(gòu)成等差數(shù)列(1)求數(shù)列的等差數(shù)列(2)令求數(shù)列的前項和練習(xí):設(shè)Sn1+2+3+n,nN*,求的最大值.二、錯位相減法例2(07高考天津理21)在數(shù)列中,其中()求數(shù)列的通項公式;()求數(shù)列的前項和;例3(07高考全國文21)設(shè)是等差數(shù)列,是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列,且,()求,的通項公式;()求數(shù)列的前n項和三、逆序相加法例4(07豫南五市二聯(lián)理22.)設(shè)函數(shù)的圖象上有兩點P1(x1, y1)、P2(x2, y2),若,且點P的橫坐標(biāo)為.(I)求證:P點的縱坐標(biāo)為定值,并
2、求出這個定值;(II)若四、裂項求和法例5 求數(shù)列的前n項和.例6(06高考湖北卷理17)已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過坐標(biāo)原點,其導(dǎo)函數(shù)為,數(shù)列的前n項和為,點均在函數(shù)的圖像上。()求數(shù)列的通項公式;()設(shè),是數(shù)列的前n項和,求使得對所有都成立的最小正整數(shù)m;五、分組求和法例7數(shù)列an的前n項和,數(shù)列bn滿 .()證明數(shù)列an為等比數(shù)列;()求數(shù)列bn的前n項和Tn。例8求()六、利用數(shù)列的通項求和先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進(jìn)行分析,找出數(shù)列的通項及其特征,然后再利用數(shù)列的通項揭示的規(guī)律來求數(shù)列的前n項和,是一個重要的方法.例9 求之和.解:由于 (找通項及特征) (分組求和)例10 已知數(shù)列an:的值
3、.解: (找通項及特征) (設(shè)制分組) (裂項) (分組、裂項求和) 類型1解法:把原遞推公式轉(zhuǎn)化為,利用累加法(逐差相加法)求解。例:已知數(shù)列滿足,求。解:由條件知:分別令,代入上式得個等式累加之,即所以,類型2 解法:把原遞推公式轉(zhuǎn)化為,利用累乘法(逐商相乘法)求解。例:已知數(shù)列滿足,求。解:由條件知,分別令,代入上式得個等式累乘之,即又,例:已知,求。類型3(其中p,q均為常數(shù),)。解法(待定系數(shù)法):把原遞推公式轉(zhuǎn)化為:,其中,再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。例:已知數(shù)列中,求.解:設(shè)遞推公式可以轉(zhuǎn)化為即.故遞推公式為,令,則,且.所以是以為首項,2為公比的等比數(shù)列,則,所以.變式:遞
4、推式:。解法:只需構(gòu)造數(shù)列,消去帶來的差異類型4(其中p,q均為常數(shù),)。 (,其中p,q, r均為常數(shù)) 。解法:一般地,要先在原遞推公式兩邊同除以,得:引入輔助數(shù)列(其中),得:再待定系數(shù)法解決。例:已知數(shù)列中,,,求。解:在兩邊乘以得:令,則,解之得:所以類型5遞推公式為與的關(guān)系式。(或)解法:這種類型一般利用與消去或與消去進(jìn)行求解。例:已知數(shù)列前n項和.(1)求與的關(guān)系;(2)求通項公式.解:(1)由得:于是所以.(2)應(yīng)用類型4(其中p,q均為常數(shù),)的方法,上式兩邊同乘以得:由.于是數(shù)列是以2為首項,2為公差的等差數(shù)列,所以類型6解法:這種類型一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列,即令,與已知遞推式比較,解出,從而轉(zhuǎn)化為是公比為的等比數(shù)列。例:設(shè)數(shù)列:,求.解
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