運用平衡判據(jù)探討系統(tǒng)的平衡穩(wěn)定性條件

1、.本科畢業(yè)論文（設計）題目：運用平衡判據(jù)探討系統(tǒng)的平衡穩(wěn)定性條件系 （部）學科門類 專 業(yè) 學 號 姓 名 指導教師 職 稱 年 月日運用平衡判據(jù)探討系統(tǒng)的平衡穩(wěn)定性條件摘 要熵判據(jù)是討論熱力學系統(tǒng)是否處于平衡態(tài)的最基本判據(jù)，但在實際熱力學過程中可以引入其它判據(jù)進行討論。本文探討了系統(tǒng)在熵和體積不變時，由內能判據(jù)出發(fā)，再結合雅克比行列式，詳細推證了平衡穩(wěn)定性條件。該方法條理清楚，步驟簡明，便于理解。關鍵詞：熵判據(jù) 內能判據(jù) 雅克比行列式 平衡穩(wěn)定性條件 ABSTRACTEntropy criterion is the most basic criterion in discussing the

2、 equilibrium state of thermodynamic system, but we can introduceother criterion for discussion in the actual thermodynamicprocess. This essay discusses the requirement for a system to reach a equilibrium stability in detail. The discussion is in condition of constant entropy and volume, and on the b

3、asis of the internal energy criterion and the Jacobian. This method is clear, concise, and easy to master.Key words: entropy criterioninternal energy criterionJacobianthe equilibrium stability condition. v.目錄1 引言.12 系統(tǒng)的平衡判據(jù).12.1 熵判據(jù).12.2 內能判據(jù).23 平衡的穩(wěn)定性條件.24 雅克比行列式.44.1 定義.44.2 表達式及相關內容.45 由內能判據(jù)推證系統(tǒng)的

4、平衡穩(wěn)定性條件.5結論.8參考文獻.9致謝.101 引言經(jīng)典熱力學是建立在系統(tǒng)處于平衡態(tài)基礎上的，因此，研究某一個實際系統(tǒng)，分析它是否處于平衡態(tài)具有極其重要的實踐意義。熱力學系統(tǒng)在不同的條件下有不同的平衡判據(jù),實際情況中要依據(jù)系統(tǒng)所處的條件而采用相應的平衡判據(jù),得到系統(tǒng)的平衡條件和平衡穩(wěn)定性條件,用來判斷某一個理論過程的各個狀態(tài)是否真實存在。如圖所示：在由氣體的范德瓦爾斯方程畫出的等溫線圖中，利用平衡穩(wěn)定性條件可以判斷其中AB段曲線是不存在的，與實驗所得出的結果不相符，這也正說明了范德瓦爾斯氣體方程理論上有很大的缺陷性。另外研究平衡體系的穩(wěn)定條件,在生產(chǎn)實踐中也具有較高的實際應用價值，可以解決

5、諸如合金、高分子、溶液等的至關重要的穩(wěn)定性問題。在熱力學系統(tǒng)中，系統(tǒng)的平衡條件與平衡穩(wěn)定性條件一般都是由熵判據(jù)推導出來的。熵判據(jù)是最基本的平衡判據(jù)，它只適用于孤立的系統(tǒng)。在實際情況中遇到的特定物理條件下，應用其它判據(jù)比較方便，且其對應的平衡判據(jù)也是唯一的。當系統(tǒng)的熵和體積不變時，可以用內能判據(jù)推證平衡穩(wěn)定性條件。熱力學理論中關系式的證明與推導離不開數(shù)學手段和方法，而且采用不同的數(shù)學手段與方法總會得到異曲同工的效果。其中，應用雅克比行列式可以解決熱力學關系式的證明及其熱力學函數(shù)中一階偏導數(shù)的轉換問題，可以簡化推導步驟，易于掌握。需要說明的是，在推導平衡穩(wěn)定性條件時并不是所有的函數(shù)判據(jù)都可用此法推

6、導，它只適用于用兩個廣延量為變量表述的函數(shù)判據(jù)，而內能判據(jù)符合這一條件。因此，本文將由內能判據(jù)出發(fā)，再結合雅克比變換的方法詳細推證系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性條件。2 系統(tǒng)的平衡判據(jù)熱力學系統(tǒng)在不同的條件下有不同的平衡判據(jù)，如在內能和體積不變時有熵判據(jù)，熵和體積不變時有內能判據(jù)，等溫等壓條件下有吉布斯函數(shù)判據(jù)，等熵等壓條件下有焓判據(jù)，等溫等容條件下有自由能判據(jù)等。本文將主要介紹熵判據(jù)和內能判據(jù)。2.1 熵判據(jù)在熱力學中，熵增加原理表明，孤立系統(tǒng)的熵永不減少。孤立系統(tǒng)中發(fā)生的趨向平衡的過程，一定沿著熵增加的方向進行。當孤立系統(tǒng)的熵增加到極大值時，系統(tǒng)的宏觀性質不再發(fā)生變化，這時系統(tǒng)就達到了平衡狀態(tài)。在判定孤

7、立系統(tǒng)是否處于平衡態(tài)時可以利用熵函數(shù)這一性質，即為熵判據(jù)。在體積和內能不變時，圍繞某一狀態(tài)發(fā)生的各種變動所導致的熵變，那么這一狀態(tài)的熵就具有極大值，其所處的平衡狀態(tài)也是穩(wěn)定的。由數(shù)學知識可知，時，熵函數(shù)有極大值，由可以導出平衡條件，由可以導出平衡穩(wěn)定性條件。2.2 內能判據(jù)根據(jù)熱力學基本微分方程可知,若，時,則，即當系統(tǒng)在熵和體積不變時，所進行的任何熱力學過程，其內能永不增大。當該系統(tǒng)的內能取極小值的時候，系統(tǒng)就達到了穩(wěn)定的平衡態(tài)。在判定該系統(tǒng)是否處于平衡態(tài)時可以利用內能函數(shù)的這一性質，故內能判據(jù)可表示為：當，時，對于處于平衡態(tài)的系統(tǒng)，其內能最小?；跀?shù)學上的極小值條件,內能判據(jù)可表為，即為平

8、衡條件和平衡的穩(wěn)定性條件。3 平衡的穩(wěn)定性條件由于不同的熱力學系統(tǒng)，系統(tǒng)平衡的必要條件及平衡穩(wěn)定性條件有不同的形式，下面以孤立系統(tǒng)為例，根據(jù)熵判據(jù)分析系統(tǒng)平衡的必要條件及平衡穩(wěn)定性條件。假設某一孤立系統(tǒng)由兩部分組成，設和分別表示兩部分的體積、內能和粒子數(shù)。令： （1）設系統(tǒng)在平衡態(tài)附近有虛變動，則有：=（2）= （3） （4）由熵平衡判據(jù)可知，在平衡態(tài)時系統(tǒng)的熵取極大值，即： （5） （6）把（2）式、（3）式代入（5）式： （7）因為虛變動均為任意，要使（7）式成立，則有：（8）即熱力學系統(tǒng)的平衡條件是：等溫、等壓和化學勢相同。對于粒子數(shù)不變的孤立系統(tǒng)，有：,將其展開到二級項，有： = （9

9、）結合（9）式，由（6）式得：=即得：（10）因為可以任意的變化，為使上式能夠成立，則須滿足： （11） （12）將,代入（11）式得：=得：（13）結合（11）式，由（12）式得： （14）用矩陣表示上式，即： =（15） 則：（16）綜上可得，系統(tǒng)的平衡的穩(wěn)定性條件即為：及（17）4 雅克比行列式4.1 定義在熱力學中，雅克比行列式是其進行偏導數(shù)變換運算的一個有用的工具。設是獨立變量的函數(shù)：設表示的雅克比行列式為：4.2 表達式及相關內容雅克比行列式的性質：（1）（2） （3） ,相當于只進行一個變量的轉換。（4） ，其中為另一對獨立變量。（5） （6） 熱力學基本方程的雅克比表示：麥克斯

10、韋關系式的雅克比表示：,即即4個麥克斯韋關系式和都可以用上式表示。熱力學函數(shù)的雅克比表示與可測量的關系表達式：對于簡單系統(tǒng)有，則5由內能判據(jù)推證系統(tǒng)的平衡穩(wěn)定性條件熱力學系統(tǒng)在熵和體積不變時，運用內能判據(jù)推導系統(tǒng)的平衡條件和平衡穩(wěn)定性條件。假設某一均勻孤立系統(tǒng)，熵為，體積為,內能為，粒子數(shù)為，將其分為兩部分，和分別表示兩部分的體積、內能、粒子數(shù)和熵，則應滿足： （1）設系統(tǒng)在平衡態(tài)附近有虛變動，則有： （2）孤立系統(tǒng)有：（3）根據(jù)熵判據(jù)，則有：（4）孤立系統(tǒng)的熱力學基本方程為，將其代入（4）式（5）結合（2）式，將（5）式變?yōu)椋?（6）因為虛變動均為任意，要讓（6）式成立，則有：（7）即熱力學

11、系統(tǒng)的平衡條件是：等溫、等壓和化學勢相同。對于粒子數(shù)不變的系統(tǒng)，有，將其展開到二級項，有：=（8）由內能判據(jù)可知：要求平衡穩(wěn)定性條件有，則：=（9）對此系統(tǒng)，有特性函數(shù)，則：將代入上式，得：則： （10）結合（10）式，（9）式可變?yōu)椋海?1）由（11）式得：（12）（13）結合，（12）式可變?yōu)椋旱茫海?4）以上的推證過程與許多優(yōu)秀教材中的過程相比，思路清晰，通俗易懂。為使推導的步驟更加簡潔明了，下面本文將依據(jù)內能判據(jù)，結合雅克比行列式推證平衡穩(wěn)定性條件。結合（12）式，（13）式可變?yōu)椋豪醚趴吮刃辛惺蕉x將上式變?yōu)椋?（15）由熱力學基本方程 得：結合，代入（15）式，得：利用雅克比行列

12、式性質得：=即得：綜上可得，系統(tǒng)的平衡穩(wěn)定性條件即為：及（16）結論 通過以上對比、分析可見，依據(jù)內能判據(jù)，再結合雅克比行列式推導出的平衡穩(wěn)定性條件與只用熵判據(jù)推導出的結果完全一致。當系統(tǒng)處在穩(wěn)定平衡狀態(tài)時，不僅要滿足平衡的必要條件，還必須滿足平衡穩(wěn)定性條件：及否則系統(tǒng)平衡狀態(tài)很難維持穩(wěn)定。該方法條理清楚，步驟簡明，便于理解。參考文獻l馬本坤, 高尚惠, 孫煌. 熱力學與統(tǒng)計物理學M. : 高等教育出版社, 1986. 2汪志誠. 熱力學統(tǒng)計物理學M. : 高等教育出版社, 1980. 3龔昌德. 熱力學與統(tǒng)計物理學M. : 高等教育出版社, 1982. 4王竹溪. 熱力學M. : 高等教育出

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