橢圓專(zhuān)題復(fù)習(xí)講義(理附答案).

1、橢圓專(zhuān)題復(fù)習(xí)考點(diǎn) 1橢圓定義及標(biāo)準(zhǔn)方程題型 1: 橢圓定義的運(yùn)用1.短軸長(zhǎng)為5 ，離心率 e的橢圓兩焦點(diǎn)為 F ，F(xiàn) ，過(guò) F作直線(xiàn)交橢圓于 A、 B 兩點(diǎn)，則 ABF 的周長(zhǎng)為212123A.3B.6C.12D.24（） 解析 C.長(zhǎng)半軸 a=3， ABF2 的周長(zhǎng)為 4a=122.已知 P 為橢圓 x2y21上的一點(diǎn)， M , N 分別為圓 ( x3) 2y21 和圓 ( x 3)2y24 上的點(diǎn)，則2516PMPN 的最小值為（）A 5B 7C 13D 15 解析 B.兩圓心 C、D 恰為橢圓的焦點(diǎn)，| PC |PD |10， PMPN 的最小值為 10-1-2=7題型 2 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)

2、方程3. 設(shè)橢圓的中心在原點(diǎn)， 坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸， 一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)的連線(xiàn)互相垂直， 且此焦點(diǎn)與長(zhǎng)軸上較近的端點(diǎn)距離為 4 2 4，求此橢圓方程 .x2y21 或 x2y2bc 解析 設(shè)橢圓的方程為1(ab0) ，則 ac4(2 1)，a2b2b2a2222abc解之得： a4 2 ，b=c 4.則所求的橢圓的方程為x2y 21或 x 2y 21 .321616324. 橢圓對(duì)稱(chēng)軸在坐標(biāo)軸上，短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正三角形，焦點(diǎn)到橢圓上的點(diǎn)的最短距離是3 ，求這個(gè)橢圓方程.ac3a233，所求方程為x2+ y2=1 或 x2+ y2解析 =1.， ba2cc3129912考點(diǎn) 2

3、橢圓的幾何性質(zhì)題型 1: 求橢圓的離心率（或范圍）5.在 ABC 中，A300 ,| AB | 2, S ABC3 若以 A， B 為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)C ，則該橢圓的離心率e【解題思路】由條件知三角形可解，然后用定義即可求出離心率1 解析 S ABC| AB | | AC | sin A3 ，2|AC| 23，|BC |AB|2| AC |2 2 | AB | | AC | cos A 2|AB|23 1e|BC| 23 22|AC|6.成等差數(shù)列， m，n ，mn 成等比數(shù)列，則橢圓x2y21的離心率為mn2n2mnm2x2y22 解析 由 n2m2n，橢圓1 的離心率為n4mn0mn2題型

4、 2: 橢圓的其他幾何性質(zhì)的運(yùn)用（范圍、對(duì)稱(chēng)性等）7.已知實(shí)數(shù) x, y 滿(mǎn)足 x2y21,求 x2y2x 的最大值與最小值42【解題思路】把 x2y2x 看作 x 的函數(shù)解析 由 x 2y 21 得 y221 x2 ,21 x202 x 24222x2y 2x1 x2x21 (x1)23 , x2,2222當(dāng) x1時(shí) , x2y2x 取得最小值 3,當(dāng) x2 時(shí) , x2y 2x 取得最大值 628. 如圖，把橢圓x2y21 的長(zhǎng)軸AB 分成 8 等份，過(guò)每個(gè)分點(diǎn)作x 軸的垂線(xiàn)交橢圓的上半部分于2516P,1 P2 , P3 , P4, P5 , P6 , P7 七個(gè)點(diǎn)， F 是橢圓的一個(gè)焦

5、點(diǎn)則 PF1P2FPF3P4F P5 F P6F P7 F _解析由橢圓的對(duì)稱(chēng)性知：P F P7 F P2 F P F P F P F 2a 351635考點(diǎn) 3橢圓的最值問(wèn)題9.橢圓x2y21上的點(diǎn)到直線(xiàn) l: xy90 的距離的最小值為 _169 解析 在橢圓上任取一點(diǎn)P, 設(shè) P( 4cos,3sin).那么點(diǎn) P 到直線(xiàn) l 的距離為：| 4 cos3sin12 |2 | 5sin()9|22.1212210. 已知點(diǎn) P 是橢圓 x2y 21 上的在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，又A(2,0)、 B(0,1) ，4O 是原點(diǎn)，則四邊形OAPB 的面積的最大值是_解析 設(shè) P ( 2 cos , s

6、in),( 0,) ，則2SOAPBS OPAS OPB1 OAsin1 OB2 cossincos222考點(diǎn) 4橢圓的綜合應(yīng)用題型：橢圓與向量、解三角形的交匯問(wèn)題11. 已知橢圓 C 的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O ,一個(gè)長(zhǎng)軸端點(diǎn)為0 ,1,短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成的四邊形為正方形，直線(xiàn) l 與y軸交于點(diǎn)P 0，m），與橢圓C交于相異兩點(diǎn)A BAP 3PB（、 ，且（ 1）求橢圓方程；（ 2）求 m的取值范圍 解析 （ 1）由題意可知橢圓C 為焦點(diǎn)在 y 軸上的橢圓，可設(shè)C :y2x21 ( a b 0)2b2a由條件知 a1 且 bc ，又有 a2b2c2 ，解得a1 , bc22故橢圓 C 的離心率為

7、ec2，其標(biāo)準(zhǔn)方程為：y2x 21a212（ 2）設(shè) l 與橢圓 C 交點(diǎn)為 A（ x1， y1）， B（x2，y2）y kx m22222得（ k 2） x 2kmx（ m 1） 02x y 1（ 2km） 2 4（ k2 2）（m2 1） 4（ k2 2m2 2） >0 （ * ） 2kmm2 1x1 x2 2x2x1 x2 k2 2 ， x1x2k2 2AP3PB x1 3x2 x1x2 3x22 2kmm2 1消去 x2，得 3（x1x2）2 4x1x2 0， 3（2）24 2 0k 2k 2整理得2 2 2m22212122 2m24k mk 2 0m 時(shí)，上式不成立； m 時(shí)

8、， k 4m2，44 122 2m21或1<m<1容易驗(yàn)證22 2 成立，所以（ * ）成立因 3 k0 k4m2>0， 1<m<22k >2m11 1即所求 m 的取值范圍為（ 1， 2）（ 2，1 ）基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練1. 如圖所示 ,橢圓中心在原點(diǎn) ,F 是左焦點(diǎn) ,直線(xiàn) AB1 與 BF交于 D,且 BDB1 90 ,則橢圓的離心率為()3151513AB2C2D22解析 B.b ( b )1a2c2ac e5 1ac22. 設(shè) F1、F2 為橢圓 x2+y2=1 的兩焦點(diǎn)， P 在橢圓上，當(dāng) F1PF2 面積為1 時(shí)， PF1PF2 的值為（）4A0B1

9、C2D3解析 A.SFPF23 | yP |1 ，P 的縱坐標(biāo)為3，從而 P的坐標(biāo)為 (2 6 ,3 ) ，1333PF1 PF20，x2y2平分 , 那么這條弦所在的直線(xiàn)方程是（）3.橢圓1 的一條弦被 A(4, 2)369A x2 y 0B 2x y 10 0C 2x y 2 0D x 2 y 8 0解析D.x12y121, x22y221,兩式相減得： x1 x24( y1y2 ) y1y20，369369x1x2x1 x28, y1y24 ，y1y21x1x224.在 ABC 中，A90 ，tan B3若以A， B 為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)C ，則該橢圓的離心率e4AB1解析AB4k, AC

10、3k, BC5k, eAC BC25. 已知 F1, F2 為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),P 為橢圓上一點(diǎn) ,若PF1 F2:PF2 F1 :F1 PF21 : 2 : 3, 則此橢圓的離心率為 _. 解析31三角形三邊的比是1:3 : 26.在平面直角坐標(biāo)系中， 橢圓 x2y21(ab 0)的焦距為2，以 O 為圓心， a 為半徑的圓， 過(guò)點(diǎn)a2,0a2b2c作圓的兩切線(xiàn)互相垂直，則離心率e=解析a22ae2c2綜合提高訓(xùn)練7、已知橢圓x2y 21 (ab0) 與過(guò)點(diǎn) A(2， 0)， B(0， 1)的直線(xiàn) l 有且只有一個(gè)公共點(diǎn) T，且橢圓的離a 2b 2心率 e3求橢圓方程2 解析 直線(xiàn) l的方程為

11、 ： y1 x1由已知a 2b 23a 24b 22a2x 2y 211 a 2 )x 2由a 2b 2得： (b2a2 x a2a 2b 20y114x2a4( 42a2 )(a2a2b2 ) 0，即a24 4b2b由得：a22，b21故橢圓E 方程為x2y2221128.已知 A、B 分別是橢圓x 2y21的左右兩個(gè)焦點(diǎn)，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P( 1,2PBa 2b2）在橢圓上，線(xiàn)段2與 y 軸的交點(diǎn) M 為線(xiàn)段 PB 的中點(diǎn) .（ 1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）點(diǎn) C 是橢圓上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，對(duì)于sin AsinBABC，求的值。sin C 解析 （ 1）點(diǎn) M 是線(xiàn)段 PB的中點(diǎn) OM 是 PAB