梅涅勞斯定理

1、梅涅勞斯定理【定理內(nèi)容】如果一條直線與ABC的三邊 AB、BC、CA或其延長線交 于F 、D、E點，那么 AFBDCE1.FBDCEAEAFFAEBCDDBC 評 等價敘述：ABC 的三邊 AB 、 BC 、 CA 或其延長線上有三點 F 、 D 、 E ，則 F 、 D 、 E 三點共線的充要條件是AFBDCE1。三點所在直線稱為三角形FBDCEA的梅氏線?！颈尘昂喗椤棵纺鶆谒梗?Menelaus）定理是由古希臘數(shù)學(xué)家梅涅勞斯首先證明的?！咀C法欣賞】證法 1：（平行線分線段成比例）EGAFAFGEBCDDBC證：如圖，過 A 作 AG / BC 交 CF 延長線于 G ， AG/BC， AF

2、AG， CE CD ，F(xiàn)BBDEAAG又BDBDCDCD.則AF CE BD AG CD BD 1FBEACDBDAGCD AFBDCE 1 FB DC EA證法 2：（正弦定理）EAFFAEBCDDBC證：如圖，令A(yù)EF， AFE， BDE，在 AEF 中，由正弦定理知：AFAE，sinsin同理 BFBDBD，CDCEsinsin(180) sinsinsin AFsin， BDsin， CEsin，AEsinBFsinCDsin AF BD CE 1，即 AF BD CE 1.AEBFCDFBDCEA【逆定理】梅涅勞斯定理的逆定理也成立，即如果有三點 F 、 D 、 E 分別在ABC 的

3、三邊 AB 、 BC 、 CA 或其延長線上，且滿足 AFBDCE1，那么 F 、 D 、 E 三點共線。FBDCEA 注 利用梅涅勞斯定理的逆定理可判定三點共線EAFAF'.EBCD.【定理應(yīng)用】梅涅勞斯定理的應(yīng)用定理1：若ABC 的A 的外角平分線交邊BC 延長線于 P ，B 的平分線交邊 AC 于 Q ，C 的平分線交邊 AB于R，則 P、Q、R三點共線。證：由三角形內(nèi)、外角平分線定理知，BPBA，CQBC，ARCA ，PCCAQAABRBCBAFRQ則AR BP CQ CA BA BC 1，RB PC QA CB CA ABBCP故 P、Q 、R三點共線?！径ɡ響?yīng)用】梅涅勞斯定

4、理的應(yīng)用定理2：過任意 ABC 的三個頂點 A 、B 、C 作它的外接圓的切線， 分別和的延長線交于點 P、Q、 R，則 P、Q 、R三點共線。證： CR 是 O 的切線， RAC RCB ， RARCAC ，ORCRBCB則 RARARC( AC)2 ，RBRCRBCBB同理： BP(AB)2，CQ(BC)2CPACQABABC 、CA 、 ABRACP ARBPCQ(CA)2 (BA)2 (BC)21 ，RBPCQACBCAABQ故P 、Q、 R三點共線。'.【定理應(yīng)用】【例 1】已知：過ABC 頂點 C 的直線，與邊 AB 及中線 AD 分別交于點 F 和 E .求證： AE2A

5、F .EDFB證明：直線 CEF 截ABD ，A由梅涅勞斯定理，得：AFBCDE1FBCDEAFE又BC 2CD， AFDE1 ，F(xiàn)BEA2則 AE 2AFEDFBBDC注 此例證法甚多， 如“平行線” 、“面積法” 等，詳情參看 初中數(shù)學(xué)一題多解欣賞【定理應(yīng)用】【例 2】已知：過ABC 重心 G 的直線分別交邊AB 、 AC 及 CB 延長線于點 E 、F 、D.求證： BECF1 .EAFA證：連接 AG 并延長交 BC 于 M ，A則BMCM ，GEF DEG 截 ABM ，由梅氏定理得， BEAG MDDBMC1；EA GMDB同理： CFAGMD1FA GMDC BEGMDB ，CF