最全初四二次函數(shù)概念圖像與性質(zhì)(培優(yōu))完整版.doc

1、二次函數(shù)概念及圖象性質(zhì)二次函數(shù)的概念一、二次函數(shù)的定義1.一般地，形如 y ax 2bxc （ a, b,c 為常數(shù)， a 0 ）的函數(shù)稱為x 的二次函數(shù)，其中x 為自變量， y 為因變量， a, b, c分別為二次函數(shù)的二次項(xiàng)、一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)系數(shù).2.任何二次函數(shù)都可以整理成y ax 2bx c （ a, b,c 為常數(shù)， a0 ）的形式3. 判斷函數(shù)是否為二次函數(shù)的方法：含有一個(gè)變量，且自變量的最高次數(shù)為2；二次項(xiàng)系數(shù)不等于0；等式兩邊都是整式4. 二次函數(shù)自變量 x 的取值范圍是全體實(shí)數(shù)例 1、下列函數(shù)中是二次函數(shù)的是（）Ay1By 3x32x2Cy x 22Dy x2x2x2x22x

2、3練 1、下列函數(shù)中，哪些是二次函數(shù)？并指出二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng) y x 2 ； y1； y 2x2x 1； yx(1 x) ； y ( x 1) 2( x 1)( x 1)x2練 2、下列說法正確的是（）A 二次函數(shù)的自變量的取值范圍是非零實(shí)數(shù)B圓的面積公式S r 2 中， S 是 r 的二次函數(shù)1x1 x4 不是二次函數(shù)C y2D y 12 x2 中一次項(xiàng)系數(shù)為1練 3、已知函數(shù)ya1 xa2 1a2 x （ a 為常數(shù)）當(dāng) a 為何值時(shí)，此函數(shù)為二次函數(shù)？當(dāng) a 為何值時(shí)，此函數(shù)為一次函數(shù)？練 4、已知函數(shù) y （m1）X m2 - m （m2 - 2）X3， 當(dāng) m

3、 是什么數(shù)時(shí)，函數(shù)是二次函數(shù)？這個(gè)二次函數(shù)的解析式是多少？二二次函數(shù) yax2a0 的圖象與性質(zhì)【例 1】 在同一平面直角坐標(biāo)系中作出下列函數(shù)圖象：y2x2 ； y2 x2 ； y3 x2 ； y3x2 ；并探究二次函數(shù)開口大小與a 之間的關(guān)系22222【例 】 如圖，四個(gè)二次函數(shù)的圖象中，分別對(duì)應(yīng)的是y ax ； ybx ； ycx ； ydx 。則a 、 b 、 c 、 d 的大小關(guān)系為（）y12ox34A abcdB abdcC bacdD badc三 二次函數(shù) y ax2c a 0 的圖象與性質(zhì)【例 3】 在同一平面直角坐標(biāo)系中作出下列函數(shù)圖象：y1 2 x2 ； y22x22 ； y

4、32x23 ；并回答下列問題拋物線y1 、 y2 、 y3 的形狀是否發(fā)生改變？對(duì)稱軸是否發(fā)生改變？將拋物線y1 向_ 平移 _單位得到y(tǒng)2將拋物線y2 向 _平移 _單位得到 y3【例 4】 函數(shù) y 2 x23 的圖象可以看做是函數(shù)y 2 x2 的圖象向 _平移 _ 個(gè)單位得到的。【例 5】 二次函數(shù) y2 x23 的圖象開口 _，當(dāng) _時(shí)， y 隨 x 的增大而減??；二次函數(shù) y5x22的圖象開口 _，當(dāng) _時(shí)， y 隨 x 的增大而增大；二次函數(shù) y5 x27 的圖象開口 _ ，當(dāng) _時(shí)， y 隨 x 的增大而增大。62b(a 0) 與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且開口向下，則a, b的取值范圍分

5、別是（）【例 】 已知拋物線 y axA a 0，b 0B a 0，b 0C a 0，b 0D a 0，b 0【例 7】 已知函數(shù) yx25，當(dāng) x 取 x1，x2 ( x1x2 ) 時(shí)，函數(shù)值相等，則當(dāng)x 取 x1 +x2 時(shí) ， 函 數(shù) 值 為_拋物線y1 、 y2 、 y3 的形狀是否發(fā)生改變？對(duì)稱軸是否發(fā)生改變？將拋物線y1 向_ 平移 _單位得到y(tǒng)2 ；將拋物線y2 向 _平移 _單位得到 y3 。2【例 8】 拋物線y2 x5的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 _，對(duì)稱軸是 _ ；拋物線 y3 4x22 的開口方向 _ ，頂點(diǎn)坐標(biāo) _，對(duì)稱軸是 _，當(dāng) _時(shí)， y 隨 x 的增大而增大。二次函數(shù)解析式的

6、確定1. 待定系數(shù)法確定解析式解析式已知點(diǎn)備注一般式： y ax2bx c已知任意3 點(diǎn)(a0)頂點(diǎn)式： ya( xh) 2k已知頂點(diǎn)和圖象上的任意一點(diǎn)已知對(duì)稱軸時(shí)，也可以設(shè)頂點(diǎn)式(a0)交點(diǎn)式： ya (x x1 )( xx2 )已知二次函數(shù)與 x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐(a0)標(biāo)，和圖象上任意一點(diǎn)對(duì)稱式：已知拋物線經(jīng)過點(diǎn) (x1 , k ) 、 (x2 , k )y a (x x1 )( x x2 )k (a0)和圖象上任意一點(diǎn)一、待定系數(shù)法求解析式【例 9】已知一個(gè)二次函數(shù)過（-1,-9 ）（ 1， -3）（ 3， -5）三點(diǎn)，求二次函數(shù)的解析式練習(xí) 1.二次函數(shù)y= ax 2+bx+c ， x

7、= 2 時(shí) y= 6,x=2 時(shí) y=10,x=3 時(shí) y=24, 求此函數(shù)的解析式。練習(xí) 2.已知 yax2bxc 圖象分別經(jīng)過點(diǎn)（1,1）（ 4， -1）（ 2,0）求：此函數(shù)的表達(dá)式。二、頂點(diǎn)式求解析式【例 10】已知：二次函數(shù)的頂點(diǎn)為（-1， -2），且過點(diǎn)（1,10），求該二次函數(shù)的解析式練習(xí) 3.已知頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-4， 2），且其圖象經(jīng)過點(diǎn)（1,4），求此二次函數(shù)的解析式練習(xí) 4.已知拋物線的頂點(diǎn)（2， 2）且圖象經(jīng)過（4，10），求此拋物線解析式。贈(zèng)送以下資料二次函數(shù)的應(yīng)用中考題集錦10 題已知拋物線 yx2mx 2m2 (m 0) （ 1）求證：該拋物線與x 軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)

8、；（ 2）過點(diǎn) P(0， n) 作 y 軸的垂線交該拋物線于點(diǎn)A 和點(diǎn) B （點(diǎn) A 在點(diǎn) P 的左邊），是否存在實(shí)數(shù)m， n ，使得 AP2PB ？若存在，則求出m， n 滿足的條件；若不存在，請說明理由答案：解：（ 1）證法 1：29 m2 ，y x2mx 2m2xm24當(dāng) m0 時(shí)，拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為9 m2 0 ，4頂點(diǎn)總在 x 軸的下方而該拋物線的開口向上，該拋物線與x 軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)（或者，當(dāng) m0 時(shí)，拋物線與y 軸的交點(diǎn) (0， 2m2 ) 在 x 軸下方，而該拋物線的開口向上，該拋物線與 x 軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn) ）證法 2：m24 1 ( 2m2 ) 9m2 ，當(dāng) m0

9、 時(shí)， 9m20 ，該拋物線與 x 軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)（ 2）存在實(shí)數(shù) m， n ，使得 AP2PB 設(shè)點(diǎn) B 的坐標(biāo)為 (t， n) ，由 AP2PB知，y當(dāng)點(diǎn) B 在點(diǎn) P 的右邊時(shí)， t0，點(diǎn) A的坐標(biāo)為 (2t， n) ，APBx且 t， 2t 是關(guān)于 x 的方程 x2mx2m2n 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根Om24( 2m2n) 9m 24n 0 ，即 n9 m2 4且 t (2t)m （ I ）， t ( 2)t2（II）m n由（ I）得， tm，即 m0 將 t m 代入（ II ）得， n0 y當(dāng) m0且 n0 時(shí)，有 AP2PB 當(dāng)點(diǎn) B 在點(diǎn) P 的左邊時(shí)， t0，點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 (

10、2t， n) ，且 t，2t 是關(guān)于 x的方程 x2mx2m2n 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根xOm24( 2m2n) 9m 24n 0 ，即 n9 m2 4AB P且 t 2tm （ I）， t 2t2m2n （ II ）由（ I）得， tm0 ，即 m3將 tm 代入（ II ）得， n20 m2 且滿足 n9 m2 32094當(dāng) m0 且 nm2 時(shí)，有 AP2PB9第 11 題 一人乘雪橇沿如圖所示的斜坡筆直滑下，滑下的距離S （米）與時(shí)間t （秒）間的關(guān)系式為S 10t t 2 ，若滑到坡底的時(shí)間為2 秒，則此人下滑的高度為（） 24米 12米 123米6米答案：第 12 題我市英山縣某茶廠種植“春

11、蕊牌”綠茶，由歷年來市場銷售行情知道，從每年的3月25日起的180 天內(nèi)，綠茶市場銷售單價(jià)y （元）與上市時(shí)間t （天）的關(guān)系可以近似地用如圖（1）中的一條折線表示綠茶的種植除了與氣候、種植技術(shù)有關(guān)外，其種植的成本單價(jià)z （元）與上市時(shí)間t （天）的關(guān)系可以近似地用如圖（2）的拋物線表示y (天)z(元)16060140（ 180， 92）5012040100858036020401020140160100120O20 40 6080 100120150180t(天 )O204060 80110140160 180t(天)（ 1）直接寫出圖（1）中表示的市場銷售單價(jià)y （元）與上市時(shí)間t （天

12、）（ t0 ）的函數(shù)關(guān)系式；圖 (1)圖(2)（ 2）求出圖（ 2）中表示的種植成本單價(jià)z （元）與上市時(shí)間t （天）（ t0 ）的函數(shù)關(guān)系式；（ 3）認(rèn)定市場銷售單價(jià)減去種植成本單價(jià)為純收益單價(jià)，問何時(shí)上市的綠茶純收益單價(jià)最大？（說明： 市場銷售單價(jià)和種植成本單價(jià)的單位：元500 克）答案：解：（ 1）依題意，可建立的函數(shù)關(guān)系式為：2，t 160 (0t 120)3，y 80 (120 t150)2 t 20 (150 t 180)5（ 2）由題目已知條件可設(shè)za(t110) 220 85，圖象過點(diǎn) (60， )8531a(60110) 220 a31 (t300z110)220(t0 )3

13、00（ 3）設(shè)純收益單價(jià)為W 元，則 W =銷售單價(jià)成本單價(jià)2t1601(t220 (0t，3300110)120)故12，W80(t110)20(120t150)3002t201(t2t5110)20 (150180)300化簡得1(t2100(0t，30010)120)W1(t260(120t，110)150)3001(t170)256 (150t300180)當(dāng) W1(t10)2100(0t120) 時(shí)，有 t10 時(shí)， W 最大，最大值為 100；300當(dāng) W1(t110) 260(120 t150)時(shí)，由圖象知，有 t120時(shí)， W 最大，最大值為592 ；3003當(dāng) W1(t170

14、) 256(150 t 180) 時(shí)，有 t170 時(shí)， W 最大，最大值為 56300綜上所述，在 t10時(shí)，純收益單價(jià)有最大值，最大值為100 元第 13 題 如圖，足球場上守門員在O 處開出一高球，球從離地面1 米的A 處飛出（A 在y 軸上），運(yùn)動(dòng)員乙在距O點(diǎn)6米的B 處發(fā)現(xiàn)球在自己頭的正上方達(dá)到最高點(diǎn)M，距地面約4 米高，球落地后又一次彈起 據(jù)實(shí)驗(yàn)，足球在草坪上彈起后的拋物線與原來的拋物線形狀相同，最大高度減少到原來最大高度的一半（ 1）求足球開始飛出到第一次落地時(shí)，該拋物線的表達(dá)式（ 2）足球第一次落地點(diǎn) C 距守門員多少米？（取43 7）（ 3）運(yùn)動(dòng)員乙要搶到第二個(gè)落點(diǎn)D ，他應(yīng)

15、再向前跑多少米？（取26 5）yM421 AOBCDx答案：解：（ 1）（3 分）如圖，設(shè)第一次落地時(shí)，拋物線的表達(dá)式為 ya( x 6) 24y由已知：當(dāng) x 0 時(shí) y1M42EFN1 AOBCDx即 1 36a4， a1121表達(dá)式為 y(x6) 241 x212（或 yx1 ）12（ 2）（3 分）令 y 0， 1 ( x6) 24012( x6)248x143 6 13，x243 60 （舍去）足球第一次落地距守門員約13 米（ 3）（4 分）解法一：如圖，第二次足球彈出后的距離為CD根據(jù)題意： CDEF （即相當(dāng)于將拋物線AEMFC 向下平移了2 個(gè)單位）21 ( x 6)24 解

16、得 x16 2 6， x262612CDx1x246 10BD1361017 （米）解法二： 令1 (x6) 24012解得 x643 （舍）， x6 431312點(diǎn) C 坐標(biāo)為（ 13， 0）設(shè)拋物線 CND 為 y1 (xk)2212將 C 點(diǎn)坐標(biāo)代入得：1(13k )22012解得： k132 613 （舍去），1k2 6 4 3 2 6 6 7 5 18y 1 (x 18)2 212令 y0， 01 ( x 18)2212x118 26 （舍去）， x218 2 623BD23617 （米）解法三：由解法二知，k18，所以 CD2(1813)10，所以 BD(136) 1017答：他應(yīng)

17、再向前跑17 米第 14 題 荊州市“建設(shè)社會(huì)主義新農(nóng)村”工作組到某縣大棚蔬菜生產(chǎn)基地指導(dǎo)菜農(nóng)修建大棚種植蔬菜通過調(diào)查得知：平均修建每公頃大棚要用支架、農(nóng)膜等材料費(fèi)2.7 萬元；購置滴灌設(shè)備，這項(xiàng)費(fèi)用（萬元）與大棚面積（公頃）的平方成正比，比例系數(shù)為0.9 ；另外每公頃種植蔬菜需種子、化肥、農(nóng)藥等開支0.3萬元每公頃蔬菜年均可賣7.5萬元y （萬元），寫出 y 關(guān)于 x（ 1）基地的菜農(nóng)共修建大棚x（公頃），當(dāng)年收益（扣除修建和種植成本后）為的函數(shù)關(guān)系式（ 2）若某菜農(nóng)期望通過種植大棚蔬菜當(dāng)年獲得5 萬元收益，工作組應(yīng)建議他修建多少公項(xiàng)大棚（用分?jǐn)?shù)表示即可）（ 3）除種子、化肥、農(nóng)藥投資只能當(dāng)

18、年受益外，其它設(shè)施3 年內(nèi)不需增加投資仍可繼續(xù)使用如果按3 年計(jì)算，是否修建大棚面積越大收益越大？修建面積為多少時(shí)可以得到最大收益？請幫工作組為基地修建大棚提一項(xiàng)合理化建議答案：（1） y7.5x2.7x 0.9x20.3x0.9x24.5x （ 2）當(dāng)0.9x24.5 x5 時(shí)，即 9 x245 x500 ， x15， x21033從投入、占地與當(dāng)年收益三方面權(quán)衡，應(yīng)建議修建5 公頃大棚（ 3）設(shè) 3 年內(nèi)每年的平均收益為Z （萬元）3Z 7.5x0.9x 0.3x20.3x0.3x26.3x0.3 x10.5233.075（ 10 分）不是面積越大收益越大當(dāng)大棚面積為10.5公頃時(shí)可以得到

19、最大收益建議：在大棚面積不超過10.5 公頃時(shí)，可以擴(kuò)大修建面積，這樣會(huì)增加收益大棚面積超過10.5 公頃時(shí)，擴(kuò)大面積會(huì)使收益下降修建面積不宜盲目擴(kuò)大當(dāng)0.3x26.3x0 時(shí)，x10 ， x221大棚面積超過21公頃時(shí)， 不但不能收益， 反而會(huì)虧本（說其中一條即可）第 15 題 一家用電器開發(fā)公司研制出一種新型電子產(chǎn)品，每件的生產(chǎn)成本為18 元，按定價(jià)40 元出售，每月可銷售20 萬件為了增加銷量，公司決定采取降價(jià)的辦法，經(jīng)市場調(diào)研，每降價(jià)1元，月銷售量可增加2 萬件y （萬件）與銷售單價(jià) x （元）之間的函數(shù)關(guān)系式（不必寫x 的取值范圍）；（ 1）求出月銷售量（ 2）求出月銷售利潤z （萬

20、元）（利潤售價(jià)成本價(jià)）與銷售單價(jià)x （元）之間的函數(shù)關(guān)系式（不必寫x 的取值范圍） ；（ 3）請你通過（ 2）中的函數(shù)關(guān)系式及其大致圖象幫助公司確定產(chǎn)品的銷售單價(jià)范圍，使月銷售利潤不低于 480 萬元答案：略第 16 題 一座隧道的截面由拋物線和長方形構(gòu)成， 長方形的長為 8m ，寬為 2m ，隧道最高點(diǎn) P 位于 AB 的中央且距地面 6m ，建立如圖所示的坐標(biāo)系（ 1）求拋物線的解析式；（ 2）一輛貨車高 4m ，寬 2m ，能否從該隧道內(nèi)通過，為什么？（ 3）如果隧道內(nèi)設(shè)雙行道，那么這輛貨車是否可以順利通過，為什么？yPABOC x答案：（1）由題意可知拋物線經(jīng)過點(diǎn)A 0，2，P 4，6

21、 ，B 8，2設(shè)拋物線的方程為yax2bx c將 A， P，D 三點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線方程解得拋物線方程為y1x22x214（ 2）令 y 4 ，則有x22x2 44解得 x142 2，x242 2x2 x1 4 22貨車可以通過（ 3）由（ 2）可知 1x2 x1 2 2 22貨車可以通過第 17 題如圖，在矩形 ABCD中， AB 2AD ，線段 EF10 在 EF 上取一點(diǎn) M ，分別以 EM， MF 為一邊作矩形 EMNH 、矩形 MFGN ，使矩形 MFGN 矩DC形 ABCD令MN x，當(dāng) x 為何值時(shí)，矩形 EMNH 的面積 S 有最大值？最大值A(chǔ)B是多少？HNGEMF答案：解：矩

22、形 MFGN 矩形 ABCD ，MNMF ADABAB2 AD， MNx ，MF2x EMEFMF10 2x S x(10 2 x) 2x2 10x252 52 x22當(dāng) x5時(shí)， S 有最大值為 25 22第 18 題 某企業(yè)信息部進(jìn)行市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)：信息一：如果單獨(dú)投資A 種產(chǎn)品，則所獲利潤yA （萬元）與投資金額x （萬元）之間存在正比例函數(shù)關(guān)系： yAkx ，并且當(dāng)投資5 萬元時(shí)，可獲利潤2 萬元信息二：如果單獨(dú)投資B 種產(chǎn)品，則所獲利潤yB （萬元）與投資金額x （萬元）之間存在二次函數(shù)關(guān)系：yBax2bx ，并且當(dāng)投資2 萬元時(shí)，可獲利潤2.4 萬元；當(dāng)投資4 萬元時(shí)，可獲利潤3.2

23、 萬元（ 1）請分別求出上述的正比例函數(shù)表達(dá)式與二次函數(shù)表達(dá)式；（ 2）如果企業(yè)同時(shí)對(duì) A， B 兩種產(chǎn)品共投資 10 萬元，請你設(shè)計(jì)一個(gè)能獲得最大利潤的投資方案，并求出按此方案能獲得的最大利潤是多少？答案：解：（ 1）當(dāng) x5 時(shí)， y12，2 5k， k0.4 ，yA0.4 x ，當(dāng) x2 時(shí)， yB2.4 ；當(dāng) x4時(shí)， yB 3.2 2.44a2b3.216a4b解得a0.2b1.6yB0.2 x21.6x （ 2）設(shè)投資 B 種商品 x 萬元，則投資A 種商品 (10x) 萬元，獲得利潤 W 萬元，根據(jù)題意可得W0.2x2 1.6 x0.4(10 x)0.2x21.2 x4W0.2( x3)25.8當(dāng)投資 B 種商品3 萬元時(shí)，可以獲得最大利潤5.8 萬元，所以投資A 種商品 7 萬元， B 種商品 3 萬元，這樣投資可以獲得最大利潤5.8 萬元第 19 題如圖所示，圖（1）是一座拋物線型拱橋在建造過程中裝模時(shí)的設(shè)計(jì)示意圖，拱高為30m，支柱A3 B350m ， 5 根支柱 A1 B1， A2 B2