北師版從梯子的傾斜程度談起

1、3eud教育網(wǎng) 50多萬(wàn)教學(xué)資源，完全免費(fèi)，無(wú)須注冊(cè)，天天更新！第九課時(shí) 回顧與思考學(xué)習(xí)目標(biāo)知識(shí)與能力目標(biāo) 能通過(guò)回顧與思考，建立起本章的知識(shí)框架圖；能利用計(jì)算器，發(fā)現(xiàn)同角的正弦、余弦、正切之間的關(guān)系；體會(huì)到直角三角形邊角關(guān)系這一數(shù)學(xué)模型在現(xiàn)實(shí)生活中的廣泛的應(yīng)用價(jià)值過(guò)程與方法目標(biāo) 學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想分析問(wèn)題和解決問(wèn)題，進(jìn)一步感悟三角函數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活中的廣泛應(yīng)用，增強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)情感與價(jià)值觀要求 在獨(dú)立思考問(wèn)題的基礎(chǔ)上，積極參與對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的討論，敢于發(fā)表自己的觀點(diǎn)并尊重與理解他人的見解，在交流中獲益；認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)是解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的重要工具，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn) 建立本章的知識(shí)結(jié)構(gòu)框

2、架圖；應(yīng)用三角函數(shù)解決現(xiàn)實(shí)生活中的問(wèn)題，進(jìn)一步理解三角函數(shù)的意義教具準(zhǔn)備 多媒體演示、計(jì)算器教學(xué)過(guò)程回顧、思考下列問(wèn)題，建立本章的知識(shí)框架圖 直角三角形的邊角關(guān)系，是現(xiàn)實(shí)世界中應(yīng)用廣泛的關(guān)系之一通過(guò)本章的學(xué)習(xí)，我們知道了銳角三角函數(shù)在解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中有著重要的作用如在測(cè)量、建筑、工程技術(shù)和物理學(xué)中，人們常常遇到距離、高度、角度的計(jì)算問(wèn)題，般來(lái)說(shuō)，這些實(shí)際問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系往往歸結(jié)為直角三角形中邊和角的關(guān)系 利用銳角三角函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題是本章的重要內(nèi)容，很多實(shí)際問(wèn)題穿插于各節(jié)內(nèi)容之中 問(wèn)題1舉例說(shuō)明，三角函數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用 例1：甲、乙兩樓相距30 m，甲樓高40 m，自甲樓樓頂看乙樓樓頂仰角為3

3、0°，乙樓有多高?(結(jié)果精確到1 m) 解：根據(jù)題意可知：乙樓的高度為30tn30°=40+30×=40+10=57(m)， 即乙樓的高度約為57 m例2，為了測(cè)量一條河流的寬度，一測(cè)量員在河岸邊相距180 m的P和Q兩點(diǎn)分別測(cè)定對(duì)岸一棵樹T的位置，T在P的正南方向，在Q南偏西50°的方向，求河寬(結(jié)果精確到1 m) 解：根據(jù)題意，TPQ90°，PQT=90°-50°40°，PQ180 m 則：PT就是所求的河寬 在RtTPQ中，PT=180×tan40° =180×0839 151

4、m， 即河寬為151 m 師三角函數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用很廣泛，下面我們來(lái)看一個(gè)例子典例1：如圖MN表示某引水工程的一段設(shè)計(jì)路線從M到N的走向?yàn)槟掀珫|30°，在M的南偏東60°的方向上有一點(diǎn)A，以A為圓心，500 m為半徑的圓形區(qū)域?yàn)榫用駞^(qū)，取MN上的另一點(diǎn)B，測(cè)得BA的方向?yàn)槟掀珫|75°，已知MB400 m，通過(guò)計(jì)算回答，如果不改變方向，輸水路線是否會(huì)穿過(guò)居民區(qū)? 師生共析解：根據(jù)題意可知CMB=30°，CMA60°，EBA75°，MB=400 m，輸水路線是否會(huì)穿過(guò)居民區(qū)，關(guān)鍵看A到MN的最短距離大于400 m還是等于400 m，于

5、是過(guò)A作ADMN垂足為D BE/MCEBDCMB30° ABN=45° AMDCMA-CMB60°-30°=30° 在RtADB中，ABD45°，tan45° ，BDAD， 在RtAMD中AMD=30°，tan30° =，MD=AD， MD=MD-BD，即 AD-AD400， AD-200(+1)m>400m 所以輸水路線不會(huì)穿過(guò)居民區(qū) 問(wèn)題2任意給定一個(gè)角，用計(jì)算器探索這個(gè)角的正弦、余弦、正切之間的關(guān)系 例如25°，sin、cos、tan的值是多少?它們有何關(guān)系呢? 生sin25

6、6;04226，cos25°09063， tan25°04663 而 04663 我們可以發(fā)現(xiàn) tan 這個(gè)關(guān)系是否對(duì)任意銳角都成立呢?我們不妨從三角函數(shù)的定義出發(fā)來(lái)推證一下 師生共析如圖，在RtABC中C90° sinA cosA tanA，=tanA,tanA=. 這就是說(shuō)，對(duì)于任意銳角A，A的正弦與余弦的商等于A的正切下面請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)用計(jì)算器探索sin，cos之間的關(guān)系 sin225°01787,cos225°08213，可以發(fā)現(xiàn)： sin225°+cos225°01787+082131 我們可以猜想任意銳角都有關(guān)系：

7、sin2+cos21，你能證明嗎? 師生共析如上圖sinA= ，cosA= sin2A+ cos2A， 根據(jù)勾股定理，得BC2+AC2AB2， sin2A+cos2A1，這就是說(shuō),對(duì)于任意銳角A，A的正弦與余弦的平方和等于1 師我們來(lái)看一個(gè)例題，看是否可以應(yīng)用上面的tanA、sinA、cosA之間的關(guān)系 已知cosA=，求sinAtanA 生解：根據(jù)sin2A+cos2A1得 sinA tanA=. 生我還有另外一種解法,用三角函數(shù)的定義來(lái)解 解： cosA 設(shè)A的鄰邊3k斜邊5k則A的對(duì)邊 sinA= tanA=問(wèn)題3：你能應(yīng)用三角函數(shù)解決哪些問(wèn)題? 銳角三角函數(shù)反映了直角三角形的邊角關(guān)系凡

8、是屬于直角三角形的問(wèn)題或可以轉(zhuǎn)化為直角三角形的問(wèn)題，都可以用三角函數(shù)來(lái)解決 我們知道在直角三角形中，除直角外，有兩個(gè)銳角兩條直角邊以及斜邊共5個(gè)元素，它們之間的關(guān)系很豐富如圖： 在RtABC中，C90°，A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c (1)邊的關(guān)系：a2+b2=c2(勾股定理)： (2)角的關(guān)系：A+B90； (3)sinA=，cosA=，tanA=； sinB=，cosB=，tanB= 利用三角形的全等和直角三角形全等，以及作圖，我們知道：當(dāng)一直角邊和斜邊確定時(shí)，直角三角形唯一確定，即直角三角形的一直角邊和斜邊已知，則直角三角形中其他元素都可以求出同學(xué)們不妨試一試 例如RtA

9、BC中，C90°a4，c=8求b，A及B 解：a4，c8，根據(jù)勾股定理可得 b=. sinA=， A30° 又A+B90°， B60° 問(wèn)題：是不是只要知道直角三角形除直角外的兩個(gè)元素，其余元素就都可以求出呢?在RtABC中，C90°，a、b、c分別是A，B、C的對(duì)邊(1)已知a3，b3，求C，A，B(2)已知b5，c10，求a，A，B(3)已知A=45°，c8，求a，b，B解：(1)根據(jù)勾股定理c=. 又tanAA=1, A=45° 又A+B90，B45° (2)根據(jù)勾股定理，得a=, 又sinBB=30

10、6; 又A+B=90°A=60°. (3) sinA= =csinA=8×sin45°=4,又cosA b=c·cosA8×cos45°=4， 又A+B90°，B=45° 實(shí)踐證明，在直角三角形中，已知除直角外的兩個(gè)元素(至少有一個(gè)是邊)，利用直角三角形中特殊的邊的關(guān)系、角的關(guān)系、邊角關(guān)系，就可求出其余所有元素因此，在現(xiàn)實(shí)生活中，如測(cè)量、建筑、工程技術(shù)和物理學(xué)中，常遇到的距離、高度、角度都可以轉(zhuǎn)化到直角三角形中，這些實(shí)際問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系往往就歸結(jié)為直角三角形中邊和角的關(guān)系問(wèn)題問(wèn)題4：如何測(cè)量一座樓的高度?你

11、能想出幾種辦法? 第一種：用太陽(yáng)光下的影子來(lái)測(cè)量因?yàn)樵谕粫r(shí)刻，物體的高度與它的影子的比值是一個(gè)定值測(cè)量出物體的高度和它的影子的長(zhǎng)度，再測(cè)出高樓在同一時(shí)刻的影子的長(zhǎng)度利用物體的高度：物體影子的長(zhǎng)度高樓的高度，高樓影子的長(zhǎng)度便可求出高樓的高 第二種：在地面上放一面鏡子，利用三角形相似，也可以測(cè)量出樓的高度 第三種：用標(biāo)桿的方法 第四種：利用直角三角形的邊角關(guān)系求樓的高度本章內(nèi)容框架：隨堂練習(xí) 1計(jì)算 (1)(2)sin230°+2sin60°+tan45°-tan60°+cos230°； (3) 2如圖，大樓高30 m，遠(yuǎn)處有一塔BC，某人在樓底

12、A處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?0°，爬到樓頂D測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?0°，求塔高BC及樓與塔之間的距離AC(結(jié)果19確到00l m) 解：沒AC=x，BCy， 在RtABC中，tan60°=， 在RtBDE中tan30°=， 由得yx，代入得=. x=152598(m) 將x15代入y=x=×15 45(m) 所以塔高BC為45 m，大樓與塔之間的距離為2598 m歸納提煉 本節(jié)課針對(duì)回顧與思考中的四個(gè)問(wèn)題作了研討，并以此為基礎(chǔ)，建立本章的知識(shí)框植架結(jié)構(gòu)圖進(jìn)一步體驗(yàn)三角函數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活中的廣泛應(yīng)用課后作業(yè) 復(fù)習(xí)題A組1，2，5，6，8 B組23，4，5，6活動(dòng)與探究 如圖AC表示一幢樓，它的各樓層都可到達(dá)；BD表示一個(gè)建筑物，但不能到達(dá)已知AC與BD地平高度相同，AC周圍沒有開闊地帶，僅有的測(cè)量工具為皮尺(可測(cè)量長(zhǎng)度)和測(cè)角器(可測(cè)量仰角、俯角和兩視線間的夾角) (1)請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)測(cè)量建筑物BD高度的方案，要求寫出測(cè)量步驟