線段垂直平分線

1、尺規(guī)作圖尺規(guī)作圖 復(fù)習(xí)：做一做復(fù)習(xí)：做一做l已知:線段AB,如圖.l求作:線段AB的垂直平分線.l作法:l用尺規(guī)作線段的垂直平分線用尺規(guī)作線段的垂直平分線. .l1.分別以點A和B為圓心,以大于AB/2長為半徑作弧,兩弧交于點C和D.ABCDl2. 作直線CD.l則直線CD就是線段AB的垂直平分線.請你說明CD為什么是AB的垂直平分線,并與同伴進(jìn)行交流.提示:因為直線CD與線段AB的交點就是AB的中點,所以我們也用這種方法作線段的中點. 在某一城市在某一城市有三個居民住宅小區(qū)有三個居民住宅小區(qū)A、B、C，為了滿足，為了滿足學(xué)生上學(xué)的需要，政學(xué)生上學(xué)的需要，政府將建造一所高中，府將建造一所高中，

2、試問，該高中應(yīng)建于試問，該高中應(yīng)建于何處，才能使得它到何處，才能使得它到三個小區(qū)的距離相等。三個小區(qū)的距離相等。ABC問題問題1 在某一鄉(xiāng)村公路在某一鄉(xiāng)村公路L的同側(cè)，有兩個農(nóng)場的同側(cè)，有兩個農(nóng)場A、B，為了便于兩個工廠的工人看病，鄉(xiāng)政府計劃，為了便于兩個工廠的工人看病，鄉(xiāng)政府計劃在公路邊上修建一所醫(yī)院，使得它到兩工廠的在公路邊上修建一所醫(yī)院，使得它到兩工廠的距離相等，試問醫(yī)院的院址應(yīng)選在何處？距離相等，試問醫(yī)院的院址應(yīng)選在何處？ABL問題問題2ABCLABpp數(shù)學(xué) 問題 線段的垂直平分線線段的垂直平分線ABPMN 線段的垂直平分線線段的垂直平分線PA=PBC 直線直線MNAB,垂足為垂足為C

3、, 且且AC=CB.P1P1A=P1B命題：線段垂直平分線上的命題：線段垂直平分線上的點點和這條線段兩個端和這條線段兩個端點點的距離相等。的距離相等。 ABPMNC結(jié)論結(jié)論題設(shè)題設(shè)命題：線段垂直平分線上的命題：線段垂直平分線上的點點和這條線段兩個端和這條線段兩個端點點的距離相等。的距離相等。線段的垂直平分線線段的垂直平分線命題：線段垂直平分線上的命題：線段垂直平分線上的點點和這條線段兩個端和這條線段兩個端點點的距離相等。的距離相等。 線段的垂直平分線線段的垂直平分線ABPMNCPA=PB 直線直線MNAB,垂足為垂足為C, 且且AC=CB. 已知：如圖，已知：如圖，點點P在在MN上上.求證：求

4、證：證明：證明：MNAB （已知）（已知） PCA= PCB（垂直的定義）（垂直的定義） 在在 PAC和和 PBC中，中， AC=BC （已知）（已知） PCA= PCB （已證）（已證） PC=PC （公共邊）（公共邊） PAC PBC（SAS） PA=PB（全等三角形的對應(yīng)邊相等（全等三角形的對應(yīng)邊相等）性質(zhì)定理：性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等。線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等。 ABPMNCPA=PB點點P在線段在線段AB的垂直的垂直平分線上平分線上線段垂直平分線上的點和這線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等條線段兩個端點的距離相等

5、線段的垂直平分線線段的垂直平分線 線段的垂直平分線線段的垂直平分線ABPC性質(zhì)定理：性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等。線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等。PA=PB點點P在線段在線段AB的垂直的垂直平分線上平分線上?逆逆 命題：命題：和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。平分線上。逆逆 定理：定理：和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。平分線上。 線段的垂直平分線線段的垂直平分線性質(zhì)定理：性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點和

6、這條線段兩個端點的距離相等。線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等。PA=PB點點P在線段在線段AB的垂直的垂直平分線上平分線上和一條線段兩個端點距離相等的和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上點，在這條線段的垂直平分線上ABPC逆逆 定理：定理：和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。平分線上。性質(zhì)定理性質(zhì)定理:線段垂直平分線上的點和此線段兩個端點的距離相等。線段垂直平分線上的點和此線段兩個端點的距離相等。PA=PB點點P在線段在線段AB的垂直的垂直平分線上平分線上和一條線段兩個端點距離相等的和一條

7、線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上點，在這條線段的垂直平分線上ABPC線段垂直平分線上的點和這線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等條線段兩個端點的距離相等線段的垂直平分線線段的垂直平分線 線段的垂直平分線線段的垂直平分線例例1 已知已知:如圖如圖,在在ABC中中,邊邊AB，BC的垂直平分線交于的垂直平分線交于P.求證：（求證：（1）PA=PB=PC; （2）P在邊在邊AC的垂直平分線上的垂直平分線上.BACMNMNPPA=PBPB=PCPA=PB=PC點P在線段AB的垂直平分線上點P在線段BC的垂直平分線上分析：下一頁下一頁 線段的垂直平分線線段的垂直平分線例例1

8、已知已知:如圖如圖,在在ABC中中,邊邊AB，BC的垂直平分線交于的垂直平分線交于P.求證：（求證：（1）PA=PB=PC; （2）P在邊在邊AC的垂直平分線上的垂直平分線上.BACP下一頁下一頁證明：證明：點點P在線段在線段AB的垂直平分線上（已知），的垂直平分線上（已知），PA=PB（線段垂直平分線上的點和這條（線段垂直平分線上的點和這條線段兩線段兩 個端點距離相等個端點距離相等).同理同理 PB=PC.PA=PB=PC.BACP 線段的垂直平分線線段的垂直平分線例例1 已知已知:如圖如圖,在在ABC中中,邊邊AB，BC的垂直平分線交于的垂直平分線交于P.求證：（求證：（1）PA=PB=P

9、C; （2）P在邊在邊AC的垂直平分線上的垂直平分線上.下一頁下一頁證明：證明：PA=PC=PB（已證），（已證），點點P在線段在線段AC垂直平分線上垂直平分線上.（和線段兩個端點距離相等的點，（和線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上在這條線段的垂直平分線上).結(jié)論：結(jié)論： 三角形三邊垂直平分線交于一點，這一點到三角形三三角形三邊垂直平分線交于一點，這一點到三角形三個頂點的距離相等。個頂點的距離相等。 線段的垂直平分線線段的垂直平分線ABCLAB1、求作一點、求作一點P，使它和，使它和已知已知ABC的三個頂點距的三個頂點距離相等離相等.2、如圖，在直線、如圖，在直線L上求作一點上

10、求作一點P，使使PA=PB.練習(xí) ABC中，中，BC=10，邊，邊BC的垂直平分線分的垂直平分線分別交別交AB，BC于點于點E、D，BE=6，求，求BCE的的周長周長EDBCA練一練練一練解：解：DE是線段是線段BC的垂直平分線的垂直平分線 EC=EB=6 BCE的周長的周長=EB+EC+BC=6+6+10=22 在某一鄉(xiāng)村公路在某一鄉(xiāng)村公路L的同側(cè)，有兩個農(nóng)場的同側(cè)，有兩個農(nóng)場A、B，為了便于兩個工廠的工人看病，鄉(xiāng)政府計劃，為了便于兩個工廠的工人看病，鄉(xiāng)政府計劃在公路邊上修建一所醫(yī)院，使得它到兩工廠的在公路邊上修建一所醫(yī)院，使得它到兩工廠的距離相等，試問醫(yī)院的院址應(yīng)選在何處？距離相等，試問醫(yī)

11、院的院址應(yīng)選在何處？ABL? 線段的垂直平分線線段的垂直平分線數(shù)學(xué)問題源于生活實踐，反過來數(shù)學(xué)又為生活實踐服務(wù)數(shù)學(xué)問題源于生活實踐，反過來數(shù)學(xué)又為生活實踐服務(wù)思考題：問題思考題：問題2中，中，無論無論A、B的位置的位置怎樣，怎樣，l上都存在上都存在一點一點P，使得，使得PA=PB？lABPMN回味無窮w 定理定理 w 線段垂直平分線上的點到這條線段線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點距離相等兩個端點距離相等. .w 如圖如圖, ,w AC=BC,MNAB,PAC=BC,MNAB,P是是MNMN上任意一點上任意一點( (已知已知),),w PA=PB(PA=PB(線段垂直平分線上的點到線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點距離相等這條線段兩個端點距離相等).).w 逆定理逆定理 到一條線段兩個端點距離到一條線段兩個端點距離相等的點相等的點, ,在這條線段的垂直平分在這條線段的垂直平分線上線上