1.21絕對(duì)值三角不等式的解法ppt課件

1、1.絕對(duì)值三角不等式1.1.理解絕對(duì)值的幾何意義理解絕對(duì)值的幾何意義. .2.2.掌握絕對(duì)值三角不等式及其幾何意義掌握絕對(duì)值三角不等式及其幾何意義. .3.3.掌握三個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值不等式及應(yīng)用掌握三個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值不等式及應(yīng)用. .1.1.本課重點(diǎn)是絕對(duì)值不等式定理的幾何意義及應(yīng)用本課重點(diǎn)是絕對(duì)值不等式定理的幾何意義及應(yīng)用. .2.2.本課難點(diǎn)是用絕對(duì)值三角不等式的兩個(gè)定理證明含絕對(duì)值的本課難點(diǎn)是用絕對(duì)值三角不等式的兩個(gè)定理證明含絕對(duì)值的不等式問(wèn)題不等式問(wèn)題. . 絕對(duì)值不等式絕對(duì)值不等式絕對(duì)值絕對(duì)值不等式不等式幾何幾何意義意義絕對(duì)值絕對(duì)值三角不三角不等式等式實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)a a的絕對(duì)值的絕對(duì)值|a|

2、a|表示數(shù)軸上坐表示數(shù)軸上坐標(biāo)為標(biāo)為a a的點(diǎn)的點(diǎn)A A到原點(diǎn)的距離到原點(diǎn)的距離. .對(duì)于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b,a,b,設(shè)它們?cè)跀?shù)軸上設(shè)它們?cè)跀?shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A,B,A,B,那么那么|a-b|a-b|的幾何意的幾何意義是數(shù)軸上義是數(shù)軸上A,BA,B兩點(diǎn)之間的距離兩點(diǎn)之間的距離, ,即線段即線段ABAB的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度. .如果如果a,ba,b是實(shí)數(shù)，那么是實(shí)數(shù)，那么|a+b|a|+|a+b|a|+|b|,|b|,當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)ab0ab0時(shí)，等號(hào)成立時(shí)，等號(hào)成立. .如果如果a,b,ca,b,c是實(shí)數(shù)，那么是實(shí)數(shù)，那么|a-b|a-|a-b|a-b|+|b-c|,

3、b|+|b-c|,當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)(a-b)(b-c)0(a-b)(b-c)0時(shí)，時(shí)，等號(hào)成立等號(hào)成立. .定理定理1 1定理定理2 2|a|a|a-b|a-b|1.|a+b|1.|a+b|與與|a|-|b|,|a-b|a|-|b|,|a-b|與與|a|-|b|a|-|b|及及|a|+|b|a|+|b|分別具有什么關(guān)分別具有什么關(guān)系？系？提示：提示：|a|-|b|a+b|,|a|-|b|a-b|a|+|b|.|a|-|b|a+b|,|a|-|b|a-b|a|+|b|.2.2.三個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值不等式的幾何意義是怎樣的？三個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值不等式的幾何意義是怎樣的？提示：數(shù)軸上任意一點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之和

4、，不小于這兩點(diǎn)的距提示：數(shù)軸上任意一點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之和，不小于這兩點(diǎn)的距離離. .3.3.函數(shù)函數(shù)y=y=x-1x-1+ +x-3x-3的最小值是的最小值是_._.【解析】【解析】y=y=x-1x-1+ +x-3x-3x-1+3-xx-1+3-x=2.=2.答案：答案：2 21.1.定理定理2 2的幾何解釋的幾何解釋在數(shù)軸上，在數(shù)軸上，a,b,ca,b,c所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A A，B B，C C，當(dāng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)B B在點(diǎn)在點(diǎn)A A，C C之間時(shí)，之間時(shí)，|a-c|=|a-b|+|b-c|a-c|=|a-b|+|b-c|；當(dāng)點(diǎn)；當(dāng)點(diǎn)B B不在點(diǎn)不在點(diǎn)A A，C C之間時(shí)，之間時(shí)，|a-

5、|a-c|c|a-b|+|b-c|.|a-b|+|b-c|.2.2.不等式不等式|a|-|b|a|a|-|b|ab|a|+|b|b|a|+|b|中中“=”=”成立的條件成立的條件不等式不等式|a|-|b|a+b|a|+|b|a|-|b|a+b|a|+|b|，右側(cè)，右側(cè)“=”=”成立的條件是成立的條件是ab0ab0，左側(cè)，左側(cè)“=”=”成立的條件是成立的條件是ab0ab0，且，且|a|b|a|b|；不等式；不等式|a|-|b|a-b|a|+|b|a|-|b|a-b|a|+|b|，右側(cè)，右側(cè)“=”=”成立的條件是成立的條件是ab0,ab0,左左側(cè)側(cè)“=”=”成立的條件是成立的條件是ab0ab0且且

6、|a|b|. |a|b|. 與絕對(duì)值不等式相關(guān)的判斷與絕對(duì)值不等式相關(guān)的判斷【技法點(diǎn)撥】【技法點(diǎn)撥】與絕對(duì)值不等式相關(guān)的判斷方法與技巧與絕對(duì)值不等式相關(guān)的判斷方法與技巧(1)(1)判斷一個(gè)不等式成立與否判斷一個(gè)不等式成立與否, ,往往是對(duì)影響不等號(hào)的因素進(jìn)行往往是對(duì)影響不等號(hào)的因素進(jìn)行分析分析, ,如一個(gè)數(shù)的正、負(fù)、零等，數(shù)如一個(gè)數(shù)的正、負(fù)、零等，數(shù)( (或式子或式子) )的積、平方、取的積、平方、取倒數(shù)等都對(duì)不等號(hào)產(chǎn)生影響，注意考查這些因素在不等式中的倒數(shù)等都對(duì)不等號(hào)產(chǎn)生影響，注意考查這些因素在不等式中的作用，一個(gè)不等式的成立與否也就比較好判斷了作用，一個(gè)不等式的成立與否也就比較好判斷了.

7、.(2)(2)如果對(duì)不等式不能直接判斷如果對(duì)不等式不能直接判斷, ,往往需要對(duì)不等式化簡(jiǎn)整理或往往需要對(duì)不等式化簡(jiǎn)整理或變形后再利用絕對(duì)值不等式進(jìn)行判斷變形后再利用絕對(duì)值不等式進(jìn)行判斷. .【典例訓(xùn)練】【典例訓(xùn)練】1.1.若若x5,nN+,x5,nN+,則下列不等式則下列不等式: :其中其中, ,能夠成立的有能夠成立的有_._.2.2.不等式不等式 11成立的充要條件是成立的充要條件是_._.aba|b|nnxlg5 lgn1n1；nnx lg5lgn1n1；nnxlg5 lgn1n1；nnx lg5 lg.n1n1【解析】【解析】1.0 1,lg 0,1.0 1,lg 0,由由x5,x0,|

8、x|lg 0,5|lg |0,故故成立成立. .答案：答案：nn1nn1nn1nn12.2.當(dāng)當(dāng)|a|b|a|b|時(shí)時(shí), ,有有|a|-|b|0,|a|-|b|0,|a+b|a|-|b|=|a|-|b|.|a+b|a|-|b|=|a|-|b|.必有必有 11，即，即|a|b|a|b|是是 11成立的充分條件成立的充分條件. .當(dāng)當(dāng) 11時(shí)時(shí), ,由由|a+b|0,|a+b|0,必有必有|a|-|b|0,|a|-|b|0,即即|a|b|,|a|b|,故故|a|b|a|b|是是 11成立的必要成立的必要條件條件. .不等式成立的充要條件為不等式成立的充要條件為|a|b|.|a|b|.答案：答案：|

9、a|b|a|b|aba|b|aba|b|aba|b|aba|b|【想一想】你知道如何證明【想一想】你知道如何證明a a- -b ba-ba-ba a+ +b b嗎嗎? ?提示：整體代換法：利用提示：整體代換法：利用a a- -b ba+ba+ba a+ +b b得得a a- -b-ba+(-b)a+(-b)a a+ +-b-b, ,即即a a- -b ba-ba-ba a+ +b b. .【變式訓(xùn)練】【變式訓(xùn)練】“|x-A| ,|y-A| ”|x-A| ,|y-A| ”是是|x-y|q|x-y|q的的( )( )(A)(A)充分不必要條件充分不必要條件(B)(B)必要不充分條件必要不充分條件(

10、C)(C)充要條件充要條件(D)(D)既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件q2q2【解析】選【解析】選A.A.假設(shè)假設(shè)|x-A| ,|y-A| |x-A| ,|y-A| ，那么那么|x-y|=|x-A+A-y|x-A|+|y-A| + =q|x-y|=|x-A+A-y|x-A|+|y-A| + =q，所以所以|x-A| ,|y-A| |x-A| ,|y-A| 是是|x-y|q|x-y|q的充分條件的充分條件. .反之反之, ,假設(shè)假設(shè)|x-y|x-y|q,q,可取可取|x-A| ,|y-A| ,|x-A| ,|y-A| ,顯然顯然|x-A| ,|y-A| |x-A| ,|y-A| 不成立不

11、成立. .q2q2q2q2q2q2q2q23q4q4 求范圍或最值求范圍或最值【技法點(diǎn)撥】【技法點(diǎn)撥】利用絕對(duì)值三角不等式求最值利用絕對(duì)值三角不等式求最值絕對(duì)值三角不等式反映了絕對(duì)值之間的關(guān)系，有些對(duì)于絕對(duì)值三角不等式反映了絕對(duì)值之間的關(guān)系，有些對(duì)于y=y=x-x-a a+ +x-bx-b或或y=y=x+ax+a- -x-bx-b型的函數(shù)最值求法，利用該型的函數(shù)最值求法，利用該不等式或其幾何意義更簡(jiǎn)捷、方便不等式或其幾何意義更簡(jiǎn)捷、方便. .【典例訓(xùn)練】【典例訓(xùn)練】1.1.若不等式若不等式x-ax-a+ +x-2x-211對(duì)任意的實(shí)數(shù)對(duì)任意的實(shí)數(shù)x x均成立，則實(shí)數(shù)均成立，則實(shí)數(shù)a a的取值范

12、圍是的取值范圍是_._.2.2.求函數(shù)求函數(shù)f(x)=f(x)=x-3x-3+ +x-1x-1的最小值，并求出取最小值時(shí)的最小值，并求出取最小值時(shí)x x的范圍的范圍. .xax21恒成立恒成立絕對(duì)值不等式的幾何意義：數(shù)絕對(duì)值不等式的幾何意義：數(shù)軸上軸上x(chóng) x到到a a與與x x到到2 2的距離之和的距離之和當(dāng)當(dāng)a=1a=1或或a=3a=3時(shí)，對(duì)任意的時(shí)，對(duì)任意的x x，距離和的，距離和的最小值為最小值為1 1，所以當(dāng)，所以當(dāng)a1a1或或a3a3時(shí)該不時(shí)該不等式恒成立等式恒成立a(,13,) 審題審題轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化求解求解結(jié)論結(jié)論答案：答案：(-,1(-,13,+)3,+)【解析】【解析】1.1.解題

13、流程：解題流程：2.2.根據(jù)定理根據(jù)定理2 2，f(x)=f(x)=x-3x-3+ +x-1x-1(x-3)-(x-1)(x-3)-(x-1)= =2,2,當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)(x-3)(x-1)0,(x-3)(x-1)0,即即x3x3或或x1x1時(shí)，時(shí)，f(x)f(x)取得最小值取得最小值2. 2. 【想一想】【想一想】本例本例2 2除了用定理除了用定理2 2解答，你還有哪些方法？解答，你還有哪些方法？提示：可利用絕對(duì)值不等式的幾何意義，利用數(shù)軸求得最小值提示：可利用絕對(duì)值不等式的幾何意義，利用數(shù)軸求得最小值為為2.2.【變式訓(xùn)練】求函數(shù)【變式訓(xùn)練】求函數(shù)f(x)=f(x)=x-3x-3- -x

14、-1-x-1的最大值，并求的最大值，并求出取最大值時(shí)的出取最大值時(shí)的x x的范圍的范圍. .【解析】【解析】f(x)=f(x)=x-3x-3- -x-1-x-1= =x-3x-3- -x+1x+1(x-(x-3)-(x+1)3)-(x+1)=4,=4,當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 即即x-1x-1時(shí)，時(shí)，f(x)f(x)取取得最大值得最大值4.4.x3x10 x3x1， 含絕對(duì)值不等式的證明含絕對(duì)值不等式的證明【技法點(diǎn)撥】【技法點(diǎn)撥】1.1.含絕對(duì)值不等式的證明技巧含絕對(duì)值不等式的證明技巧含絕對(duì)值不等式的證明題主要分兩類(lèi)：含絕對(duì)值不等式的證明題主要分兩類(lèi)：一類(lèi)是比較簡(jiǎn)單的不等式，往往可通過(guò)平方法、換元法去

15、掉絕一類(lèi)是比較簡(jiǎn)單的不等式，往往可通過(guò)平方法、換元法去掉絕對(duì)值轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)的不等式證明，或利用絕對(duì)值三角不等式性質(zhì)對(duì)值轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)的不等式證明，或利用絕對(duì)值三角不等式性質(zhì)定理：定理：|a|-|b|a|a|-|b|ab|a|+|b|,b|a|+|b|,通過(guò)適當(dāng)?shù)奶?、拆?xiàng)證通過(guò)適當(dāng)?shù)奶?、拆?xiàng)證明；另一類(lèi)是綜合性較強(qiáng)的函數(shù)型含絕對(duì)值的不等式，往往可明；另一類(lèi)是綜合性較強(qiáng)的函數(shù)型含絕對(duì)值的不等式，往往可考慮利用一般情況成立，則特殊情況也成立的思想，或利用一考慮利用一般情況成立，則特殊情況也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法來(lái)證明元二次方程的根的分布等方法來(lái)證明. .2.2.證明絕對(duì)值不等式的基

16、本步驟證明絕對(duì)值不等式的基本步驟(1)(1)對(duì)原式對(duì)原式“拆項(xiàng)拆項(xiàng)”“”“重組重組”，以期利用條件；，以期利用條件；(2)(2)利用定理利用定理1 1或定理或定理2 2進(jìn)行轉(zhuǎn)化；進(jìn)行轉(zhuǎn)化；(3)(3)化簡(jiǎn)、證明結(jié)論化簡(jiǎn)、證明結(jié)論. .【典例訓(xùn)練】【典例訓(xùn)練】1.1.已知已知0,0,x-ax-a,y-by-b,求證：求證：(x+y)-(a+b)(x+y)-(a+b)2.2.2.2.設(shè)設(shè)f(x)=x2-x+13,f(x)=x2-x+13,實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)a a滿足滿足|x-a|1,|x-a|1,求證求證:|f(x)-f(a)|2(|a|+1).:|f(x)-f(a)|2(|a|+1).【證明】【證明】1.

17、1.(x+y)-(a+b)(x+y)-(a+b)= =(x-a)+(y-b)(x-a)+(y-b)x-ax-a+ +y-by-b x-ax-a,y-by-b,x-ax-a+ +y-by-b+=2 +=2 由由得得: :(x+y)-(a+b)(x+y)-(a+b)2.2.2.f(x)=x2-x+13.2.f(x)=x2-x+13.|f(x)-f(a)|=|x2-x-a2+a|f(x)-f(a)|=|x2-x-a2+a|=|x-a|x+a-1|x+a-1|=|x-a|x+a-1|x+a-1|，又又|x+a-1|=|x-a+2a-1|x+a-1|=|x-a+2a-1|x-a|+|2a-1|1+|2a

18、|+1|x-a|+|2a-1|m|x|m時(shí)時(shí), ,求求證證:| |2.:| |m|a|,|x|m|b|,|x|m1,|x|m|a|,|x|m|b|,|x|m1,|x|2|b|x|2|b|，故原不等式成立故原不等式成立. .22222abxxabab2xxxxxxxx ，2ab2xx ， 含參數(shù)的絕對(duì)值不等式的應(yīng)用含參數(shù)的絕對(duì)值不等式的應(yīng)用【典例】【典例】(12(12分分) )設(shè)設(shè)aRaR，函數(shù)，函數(shù)f(x)=ax2+x-a(-1x1).f(x)=ax2+x-a(-1x1).(1)(1)假設(shè)假設(shè)|a|1,|a|1,求求|f(x)|f(x)|的最大值的最大值. .(2)(2)求求a a的值，使函數(shù)

19、的值，使函數(shù)f(x)f(x)有最大值有最大值 . .178【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】(1)(1)設(shè)設(shè)g(a)=f(x)=ax2+x-ag(a)=f(x)=ax2+x-a=(x2-1)a+x1=(x2-1)a+x1分分-1x1,-1x1,當(dāng)當(dāng)x=x=1 1時(shí)，時(shí)，|f(x)|=|g(a)|=1|f(x)|=|g(a)|=1；當(dāng)當(dāng)xx1 1時(shí)，時(shí)，x2-1x2-10,g(a)=(x2-1)a+x0,g(a)=(x2-1)a+x是單調(diào)遞減函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù)22分分|a|1,-1a1,|a|1,-1a1,g(a)max=g(-1)=-x2+x+1g(a)max=g(-1)=-x2

20、+x+1 ,3 ,3分分215(x)24 g(a)min=g(1)=x2+x-1=(x+ )2- ,4g(a)min=g(1)=x2+x-1=(x+ )2- ,4分分|f(x)|=|g(a)|g(a)max|f(x)|=|g(a)|g(a)max|=| | , 5=| | , 5分分|f(x)|f(x)|的最大值為的最大值為 6 6分分(2)(2)當(dāng)當(dāng)a=0a=0時(shí)，時(shí)，f(x)=xf(x)=x；當(dāng)當(dāng)-1x1-1x1時(shí)，時(shí)，f(x)f(x)的最大值為的最大值為f(1)=1f(1)=1不可能滿足題設(shè)條不可能滿足題設(shè)條件件,a0.7,a0.7分分又又f(1)=a+1-a=1,f(1)=a+1-a=

21、1,f(-1)=a-1-a=-1f(-1)=a-1-a=-1，12215(x)24545454故故f(f(1)1)均不是最大值均不是最大值. 8. 8分分f(x)f(x)的最大值的最大值 應(yīng)在其對(duì)稱(chēng)軸上頂點(diǎn)位置取得應(yīng)在其對(duì)稱(chēng)軸上頂點(diǎn)位置取得. .a0.a0a0時(shí)，時(shí)，g(x)=ax+bg(x)=ax+b在在-1-1，1 1上是增函數(shù)上是增函數(shù). .g(-1)g(x)g(1).g(-1)g(x)g(1).|f(x)|1(-1x1),|c|1,|f(x)|1(-1x1),|c|1,g(1)=a+b=f(1)-c|f(1)|+|c|2,g(1)=a+b=f(1)-c|f(1)|+|c|2,g(-1)

22、=-a+b=-f(-1)+cg(-1)=-a+b=-f(-1)+c-(|f(-1)|+|c|)-2.-(|f(-1)|+|c|)-2.由此得由此得|g(x)|25|g(x)|25分分當(dāng)當(dāng)a0a0時(shí)，時(shí)，g(x)=ax+bg(x)=ax+b在在-1-1，1 1上是減函數(shù)上是減函數(shù). .g(-1)g(x)g(1).g(-1)g(x)g(1).|f(x)|1(-1x1),|c|1,|f(x)|1(-1x1),|c|1,g(-1)=-a+b=-f(-1)+c|f(-1)|+|c|2.g(-1)=-a+b=-f(-1)+c|f(-1)|+|c|2.g(1)=a+b=f(1)-c-(|f(1)|+|c|)

23、-2.g(1)=a+b=f(1)-c-(|f(1)|+|c|)-2.由此得由此得|g(x)|2. 8|g(x)|2. 8分分當(dāng)當(dāng)a=0a=0時(shí)，時(shí)，g(x)=b,f(x)=bx+c.g(x)=b,f(x)=bx+c.-1x1,-1x1,|g(x)|=|f(1)-c|f(1)|+|c|2. 10|g(x)|=|f(1)-c|f(1)|+|c|2. 10分分綜上所述，綜上所述，|g(x)|2.12|g(x)|2.12分分方法二：由方法二：由得得g(x)=ax+bg(x)=ax+b22x1x1x,4 6分分當(dāng)當(dāng)-1x1時(shí)，時(shí)，0 1,-1 0.|f( )|1，|f( )|1, 8分分|g(x)|=|f( )-f( )|f( )|+|f( )|1+1=2. 10分分綜上可得綜上可得,當(dāng)當(dāng)-1x1時(shí)時(shí),|g(x)|2. 12分分2222x1x1x1x1ab()4422x1x1x1x1a()b()ca()b()c2222x1x1f()f().22 x12x12x12x12x12x12x12x121.1.假設(shè)假設(shè)x-ax-ah,h,y-ay-ak,k,則下列不等式一定成立的是則下列不等式一定成立的是( )( )(A)(A)x-yx-y2h (B)2h (B)x-yx-y2k2k(C)(C)