1.21絕對值三角不等式的解法ppt課件

1、1.絕對值三角不等式1.1.理解絕對值的幾何意義理解絕對值的幾何意義. .2.2.掌握絕對值三角不等式及其幾何意義掌握絕對值三角不等式及其幾何意義. .3.3.掌握三個實數(shù)的絕對值不等式及應(yīng)用掌握三個實數(shù)的絕對值不等式及應(yīng)用. .1.1.本課重點是絕對值不等式定理的幾何意義及應(yīng)用本課重點是絕對值不等式定理的幾何意義及應(yīng)用. .2.2.本課難點是用絕對值三角不等式的兩個定理證明含絕對值的本課難點是用絕對值三角不等式的兩個定理證明含絕對值的不等式問題不等式問題. . 絕對值不等式絕對值不等式絕對值絕對值不等式不等式幾何幾何意義意義絕對值絕對值三角不三角不等式等式實數(shù)實數(shù)a a的絕對值的絕對值|a|

2、a|表示數(shù)軸上坐表示數(shù)軸上坐標(biāo)為標(biāo)為a a的點的點A A到原點的距離到原點的距離. .對于任意兩個實數(shù)對于任意兩個實數(shù)a,b,a,b,設(shè)它們在數(shù)軸上設(shè)它們在數(shù)軸上的對應(yīng)點分別為的對應(yīng)點分別為A,B,A,B,那么那么|a-b|a-b|的幾何意的幾何意義是數(shù)軸上義是數(shù)軸上A,BA,B兩點之間的距離兩點之間的距離, ,即線段即線段ABAB的長度的長度. .如果如果a,ba,b是實數(shù)，那么是實數(shù)，那么|a+b|a|+|a+b|a|+|b|,|b|,當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)ab0ab0時，等號成立時，等號成立. .如果如果a,b,ca,b,c是實數(shù)，那么是實數(shù)，那么|a-b|a-|a-b|a-b|+|b-c|,

3、b|+|b-c|,當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)(a-b)(b-c)0(a-b)(b-c)0時，時，等號成立等號成立. .定理定理1 1定理定理2 2|a|a|a-b|a-b|1.|a+b|1.|a+b|與與|a|-|b|,|a-b|a|-|b|,|a-b|與與|a|-|b|a|-|b|及及|a|+|b|a|+|b|分別具有什么關(guān)分別具有什么關(guān)系？系？提示：提示：|a|-|b|a+b|,|a|-|b|a-b|a|+|b|.|a|-|b|a+b|,|a|-|b|a-b|a|+|b|.2.2.三個實數(shù)的絕對值不等式的幾何意義是怎樣的？三個實數(shù)的絕對值不等式的幾何意義是怎樣的？提示：數(shù)軸上任意一點到兩點的距離之和

4、，不小于這兩點的距提示：數(shù)軸上任意一點到兩點的距離之和，不小于這兩點的距離離. .3.3.函數(shù)函數(shù)y=y=x-1x-1+ +x-3x-3的最小值是的最小值是_._.【解析】【解析】y=y=x-1x-1+ +x-3x-3x-1+3-xx-1+3-x=2.=2.答案：答案：2 21.1.定理定理2 2的幾何解釋的幾何解釋在數(shù)軸上，在數(shù)軸上，a,b,ca,b,c所對應(yīng)的點分別為所對應(yīng)的點分別為A A，B B，C C，當(dāng)點，當(dāng)點B B在點在點A A，C C之間時，之間時，|a-c|=|a-b|+|b-c|a-c|=|a-b|+|b-c|；當(dāng)點；當(dāng)點B B不在點不在點A A，C C之間時，之間時，|a-

5、|a-c|c|a-b|+|b-c|.|a-b|+|b-c|.2.2.不等式不等式|a|-|b|a|a|-|b|ab|a|+|b|b|a|+|b|中中“=”=”成立的條件成立的條件不等式不等式|a|-|b|a+b|a|+|b|a|-|b|a+b|a|+|b|，右側(cè)，右側(cè)“=”=”成立的條件是成立的條件是ab0ab0，左側(cè)，左側(cè)“=”=”成立的條件是成立的條件是ab0ab0，且，且|a|b|a|b|；不等式；不等式|a|-|b|a-b|a|+|b|a|-|b|a-b|a|+|b|，右側(cè)，右側(cè)“=”=”成立的條件是成立的條件是ab0,ab0,左左側(cè)側(cè)“=”=”成立的條件是成立的條件是ab0ab0且且

6、|a|b|. |a|b|. 與絕對值不等式相關(guān)的判斷與絕對值不等式相關(guān)的判斷【技法點撥】【技法點撥】與絕對值不等式相關(guān)的判斷方法與技巧與絕對值不等式相關(guān)的判斷方法與技巧(1)(1)判斷一個不等式成立與否判斷一個不等式成立與否, ,往往是對影響不等號的因素進行往往是對影響不等號的因素進行分析分析, ,如一個數(shù)的正、負、零等，數(shù)如一個數(shù)的正、負、零等，數(shù)( (或式子或式子) )的積、平方、取的積、平方、取倒數(shù)等都對不等號產(chǎn)生影響，注意考查這些因素在不等式中的倒數(shù)等都對不等號產(chǎn)生影響，注意考查這些因素在不等式中的作用，一個不等式的成立與否也就比較好判斷了作用，一個不等式的成立與否也就比較好判斷了.

7、.(2)(2)如果對不等式不能直接判斷如果對不等式不能直接判斷, ,往往需要對不等式化簡整理或往往需要對不等式化簡整理或變形后再利用絕對值不等式進行判斷變形后再利用絕對值不等式進行判斷. .【典例訓(xùn)練】【典例訓(xùn)練】1.1.若若x5,nN+,x5,nN+,則下列不等式則下列不等式: :其中其中, ,能夠成立的有能夠成立的有_._.2.2.不等式不等式 11成立的充要條件是成立的充要條件是_._.aba|b|nnxlg5 lgn1n1；nnx lg5lgn1n1；nnxlg5 lgn1n1；nnx lg5 lg.n1n1【解析】【解析】1.0 1,lg 0,1.0 1,lg 0,由由x5,x0,|

8、x|lg 0,5|lg |0,故故成立成立. .答案：答案：nn1nn1nn1nn12.2.當(dāng)當(dāng)|a|b|a|b|時時, ,有有|a|-|b|0,|a|-|b|0,|a+b|a|-|b|=|a|-|b|.|a+b|a|-|b|=|a|-|b|.必有必有 11，即，即|a|b|a|b|是是 11成立的充分條件成立的充分條件. .當(dāng)當(dāng) 11時時, ,由由|a+b|0,|a+b|0,必有必有|a|-|b|0,|a|-|b|0,即即|a|b|,|a|b|,故故|a|b|a|b|是是 11成立的必要成立的必要條件條件. .不等式成立的充要條件為不等式成立的充要條件為|a|b|.|a|b|.答案：答案：|

9、a|b|a|b|aba|b|aba|b|aba|b|aba|b|【想一想】你知道如何證明【想一想】你知道如何證明a a- -b ba-ba-ba a+ +b b嗎嗎? ?提示：整體代換法：利用提示：整體代換法：利用a a- -b ba+ba+ba a+ +b b得得a a- -b-ba+(-b)a+(-b)a a+ +-b-b, ,即即a a- -b ba-ba-ba a+ +b b. .【變式訓(xùn)練】【變式訓(xùn)練】“|x-A| ,|y-A| ”|x-A| ,|y-A| ”是是|x-y|q|x-y|q的的( )( )(A)(A)充分不必要條件充分不必要條件(B)(B)必要不充分條件必要不充分條件(

10、C)(C)充要條件充要條件(D)(D)既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件q2q2【解析】選【解析】選A.A.假設(shè)假設(shè)|x-A| ,|y-A| |x-A| ,|y-A| ，那么那么|x-y|=|x-A+A-y|x-A|+|y-A| + =q|x-y|=|x-A+A-y|x-A|+|y-A| + =q，所以所以|x-A| ,|y-A| |x-A| ,|y-A| 是是|x-y|q|x-y|q的充分條件的充分條件. .反之反之, ,假設(shè)假設(shè)|x-y|x-y|q,q,可取可取|x-A| ,|y-A| ,|x-A| ,|y-A| ,顯然顯然|x-A| ,|y-A| |x-A| ,|y-A| 不成立不

11、成立. .q2q2q2q2q2q2q2q23q4q4 求范圍或最值求范圍或最值【技法點撥】【技法點撥】利用絕對值三角不等式求最值利用絕對值三角不等式求最值絕對值三角不等式反映了絕對值之間的關(guān)系，有些對于絕對值三角不等式反映了絕對值之間的關(guān)系，有些對于y=y=x-x-a a+ +x-bx-b或或y=y=x+ax+a- -x-bx-b型的函數(shù)最值求法，利用該型的函數(shù)最值求法，利用該不等式或其幾何意義更簡捷、方便不等式或其幾何意義更簡捷、方便. .【典例訓(xùn)練】【典例訓(xùn)練】1.1.若不等式若不等式x-ax-a+ +x-2x-211對任意的實數(shù)對任意的實數(shù)x x均成立，則實數(shù)均成立，則實數(shù)a a的取值范

12、圍是的取值范圍是_._.2.2.求函數(shù)求函數(shù)f(x)=f(x)=x-3x-3+ +x-1x-1的最小值，并求出取最小值時的最小值，并求出取最小值時x x的范圍的范圍. .xax21恒成立恒成立絕對值不等式的幾何意義：數(shù)絕對值不等式的幾何意義：數(shù)軸上軸上x x到到a a與與x x到到2 2的距離之和的距離之和當(dāng)當(dāng)a=1a=1或或a=3a=3時，對任意的時，對任意的x x，距離和的，距離和的最小值為最小值為1 1，所以當(dāng)，所以當(dāng)a1a1或或a3a3時該不時該不等式恒成立等式恒成立a(,13,) 審題審題轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化求解求解結(jié)論結(jié)論答案：答案：(-,1(-,13,+)3,+)【解析】【解析】1.1.解題

13、流程：解題流程：2.2.根據(jù)定理根據(jù)定理2 2，f(x)=f(x)=x-3x-3+ +x-1x-1(x-3)-(x-1)(x-3)-(x-1)= =2,2,當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)(x-3)(x-1)0,(x-3)(x-1)0,即即x3x3或或x1x1時，時，f(x)f(x)取得最小值取得最小值2. 2. 【想一想】【想一想】本例本例2 2除了用定理除了用定理2 2解答，你還有哪些方法？解答，你還有哪些方法？提示：可利用絕對值不等式的幾何意義，利用數(shù)軸求得最小值提示：可利用絕對值不等式的幾何意義，利用數(shù)軸求得最小值為為2.2.【變式訓(xùn)練】求函數(shù)【變式訓(xùn)練】求函數(shù)f(x)=f(x)=x-3x-3- -x

14、-1-x-1的最大值，并求的最大值，并求出取最大值時的出取最大值時的x x的范圍的范圍. .【解析】【解析】f(x)=f(x)=x-3x-3- -x-1-x-1= =x-3x-3- -x+1x+1(x-(x-3)-(x+1)3)-(x+1)=4,=4,當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 即即x-1x-1時，時，f(x)f(x)取取得最大值得最大值4.4.x3x10 x3x1， 含絕對值不等式的證明含絕對值不等式的證明【技法點撥】【技法點撥】1.1.含絕對值不等式的證明技巧含絕對值不等式的證明技巧含絕對值不等式的證明題主要分兩類：含絕對值不等式的證明題主要分兩類：一類是比較簡單的不等式，往往可通過平方法、換元法去

15、掉絕一類是比較簡單的不等式，往往可通過平方法、換元法去掉絕對值轉(zhuǎn)化為常見的不等式證明，或利用絕對值三角不等式性質(zhì)對值轉(zhuǎn)化為常見的不等式證明，或利用絕對值三角不等式性質(zhì)定理：定理：|a|-|b|a|a|-|b|ab|a|+|b|,b|a|+|b|,通過適當(dāng)?shù)奶?、拆項證通過適當(dāng)?shù)奶怼⒉痦椬C明；另一類是綜合性較強的函數(shù)型含絕對值的不等式，往往可明；另一類是綜合性較強的函數(shù)型含絕對值的不等式，往往可考慮利用一般情況成立，則特殊情況也成立的思想，或利用一考慮利用一般情況成立，則特殊情況也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法來證明元二次方程的根的分布等方法來證明. .2.2.證明絕對值不等式的基

16、本步驟證明絕對值不等式的基本步驟(1)(1)對原式對原式“拆項拆項”“”“重組重組”，以期利用條件；，以期利用條件；(2)(2)利用定理利用定理1 1或定理或定理2 2進行轉(zhuǎn)化；進行轉(zhuǎn)化；(3)(3)化簡、證明結(jié)論化簡、證明結(jié)論. .【典例訓(xùn)練】【典例訓(xùn)練】1.1.已知已知0,0,x-ax-a,y-by-b,求證：求證：(x+y)-(a+b)(x+y)-(a+b)2.2.2.2.設(shè)設(shè)f(x)=x2-x+13,f(x)=x2-x+13,實數(shù)實數(shù)a a滿足滿足|x-a|1,|x-a|1,求證求證:|f(x)-f(a)|2(|a|+1).:|f(x)-f(a)|2(|a|+1).【證明】【證明】1.

17、1.(x+y)-(a+b)(x+y)-(a+b)= =(x-a)+(y-b)(x-a)+(y-b)x-ax-a+ +y-by-b x-ax-a,y-by-b,x-ax-a+ +y-by-b+=2 +=2 由由得得: :(x+y)-(a+b)(x+y)-(a+b)2.2.2.f(x)=x2-x+13.2.f(x)=x2-x+13.|f(x)-f(a)|=|x2-x-a2+a|f(x)-f(a)|=|x2-x-a2+a|=|x-a|x+a-1|x+a-1|=|x-a|x+a-1|x+a-1|，又又|x+a-1|=|x-a+2a-1|x+a-1|=|x-a+2a-1|x-a|+|2a-1|1+|2a

18、|+1|x-a|+|2a-1|m|x|m時時, ,求求證證:| |2.:| |m|a|,|x|m|b|,|x|m1,|x|m|a|,|x|m|b|,|x|m1,|x|2|b|x|2|b|，故原不等式成立故原不等式成立. .22222abxxabab2xxxxxxxx ，2ab2xx ， 含參數(shù)的絕對值不等式的應(yīng)用含參數(shù)的絕對值不等式的應(yīng)用【典例】【典例】(12(12分分) )設(shè)設(shè)aRaR，函數(shù)，函數(shù)f(x)=ax2+x-a(-1x1).f(x)=ax2+x-a(-1x1).(1)(1)假設(shè)假設(shè)|a|1,|a|1,求求|f(x)|f(x)|的最大值的最大值. .(2)(2)求求a a的值，使函數(shù)

19、的值，使函數(shù)f(x)f(x)有最大值有最大值 . .178【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】(1)(1)設(shè)設(shè)g(a)=f(x)=ax2+x-ag(a)=f(x)=ax2+x-a=(x2-1)a+x1=(x2-1)a+x1分分-1x1,-1x1,當(dāng)當(dāng)x=x=1 1時，時，|f(x)|=|g(a)|=1|f(x)|=|g(a)|=1；當(dāng)當(dāng)xx1 1時，時，x2-1x2-10,g(a)=(x2-1)a+x0,g(a)=(x2-1)a+x是單調(diào)遞減函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù)22分分|a|1,-1a1,|a|1,-1a1,g(a)max=g(-1)=-x2+x+1g(a)max=g(-1)=-x2

20、+x+1 ,3 ,3分分215(x)24 g(a)min=g(1)=x2+x-1=(x+ )2- ,4g(a)min=g(1)=x2+x-1=(x+ )2- ,4分分|f(x)|=|g(a)|g(a)max|f(x)|=|g(a)|g(a)max|=| | , 5=| | , 5分分|f(x)|f(x)|的最大值為的最大值為 6 6分分(2)(2)當(dāng)當(dāng)a=0a=0時，時，f(x)=xf(x)=x；當(dāng)當(dāng)-1x1-1x1時，時，f(x)f(x)的最大值為的最大值為f(1)=1f(1)=1不可能滿足題設(shè)條不可能滿足題設(shè)條件件,a0.7,a0.7分分又又f(1)=a+1-a=1,f(1)=a+1-a=

21、1,f(-1)=a-1-a=-1f(-1)=a-1-a=-1，12215(x)24545454故故f(f(1)1)均不是最大值均不是最大值. 8. 8分分f(x)f(x)的最大值的最大值 應(yīng)在其對稱軸上頂點位置取得應(yīng)在其對稱軸上頂點位置取得. .a0.a0a0時，時，g(x)=ax+bg(x)=ax+b在在-1-1，1 1上是增函數(shù)上是增函數(shù). .g(-1)g(x)g(1).g(-1)g(x)g(1).|f(x)|1(-1x1),|c|1,|f(x)|1(-1x1),|c|1,g(1)=a+b=f(1)-c|f(1)|+|c|2,g(1)=a+b=f(1)-c|f(1)|+|c|2,g(-1)

22、=-a+b=-f(-1)+cg(-1)=-a+b=-f(-1)+c-(|f(-1)|+|c|)-2.-(|f(-1)|+|c|)-2.由此得由此得|g(x)|25|g(x)|25分分當(dāng)當(dāng)a0a0時，時，g(x)=ax+bg(x)=ax+b在在-1-1，1 1上是減函數(shù)上是減函數(shù). .g(-1)g(x)g(1).g(-1)g(x)g(1).|f(x)|1(-1x1),|c|1,|f(x)|1(-1x1),|c|1,g(-1)=-a+b=-f(-1)+c|f(-1)|+|c|2.g(-1)=-a+b=-f(-1)+c|f(-1)|+|c|2.g(1)=a+b=f(1)-c-(|f(1)|+|c|)

23、-2.g(1)=a+b=f(1)-c-(|f(1)|+|c|)-2.由此得由此得|g(x)|2. 8|g(x)|2. 8分分當(dāng)當(dāng)a=0a=0時，時，g(x)=b,f(x)=bx+c.g(x)=b,f(x)=bx+c.-1x1,-1x1,|g(x)|=|f(1)-c|f(1)|+|c|2. 10|g(x)|=|f(1)-c|f(1)|+|c|2. 10分分綜上所述，綜上所述，|g(x)|2.12|g(x)|2.12分分方法二：由方法二：由得得g(x)=ax+bg(x)=ax+b22x1x1x,4 6分分當(dāng)當(dāng)-1x1時，時，0 1,-1 0.|f( )|1，|f( )|1, 8分分|g(x)|=|f( )-f( )|f( )|+|f( )|1+1=2. 10分分綜上可得綜上可得,當(dāng)當(dāng)-1x1時時,|g(x)|2. 12分分2222x1x1x1x1ab()4422x1x1x1x1a()b()ca()b()c2222x1x1f()f().22 x12x12x12x12x12x12x12x121.1.假設(shè)假設(shè)x-ax-ah,h,y-ay-ak,k,則下列不等式一定成立的是則下列不等式一定成立的是( )( )(A)(A)x-yx-y2h (B)2h (B)x-yx-y2k2k(C)(C)